Một số vấn đề về đa tạp riemann hai chiều

Chơng II: Tác giả nghiên cứu về đa tạp Riemann hai chiều, độ cong Gauss và đờng trắc địa, về định lý Gauss - Bonnet và đặc trng Euler qua đó tácgiả đã đa ra một số ứng dụng của định lý G

Trờng Đại học Vinh

về đa tạp riemann hai chiều

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

====Vinh, 2005===

về đa tạp riemann hai chiều

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

Cán bộ hớng dẫn khoa học: Th.s Trơng chí trung

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Nga

Lớp: 41E 4 - Khoa Toán

====Vinh /2005===

Mở đầu

Nh chúng ta đã biết các kiến thức về đa tạp và các vấn đề liên quan đến

nó đợc đề cập đến rất nhiều trong các tài liệu về hình học vi phân Tuy nhiên,việc sử dụng các kiến thức đó vào giải các bài toán trên đa tạp cụ thể thì ít đợc

đề cập đến Chính vì thế, trên cơ sở nghiên cứu một số kiến thức về đa tạp luậnvăn đã xây dựng một số ứng dụng của nó, cụ thể là nghiên cứu các trờng trắc

địa và các tam giác cong trắc địa trên mặt cầu

Luận văn đợc chia làm hai chơng:

Chơng I: Tác giả nghiên cứu về đa tạp khả vi, dạng vi phân trên đa tạp,

đa tạp định hớng và ánh xạ khả vi

Chơng II: Tác giả nghiên cứu về đa tạp Riemann hai chiều, độ cong

Gauss và đờng trắc địa, về định lý Gauss - Bonnet và đặc trng Euler qua đó tácgiả đã đa ra một số ứng dụng của định lý Gauss - Bonnet và đặc trng Euler đó

là kiểm tra lại diện tích mặt cầu, tính diện tích tam giác cong trắc địa trên mặtcầu

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành vào tháng 04/2005 tại Trờng Đạihọc Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo - Th.s: Trơng Chí Trung

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy,cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, đặc biệt là thầy Trơng Chí Trung đã giúp đỡ tậntình, giúp tôi mạnh dạn suy nghĩ và hoàn thành khoá luận này

Mặc dù đã rất cố gắng nhng chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tácgiả mong nhận đợc những góp ý chân tình của các thầy giáo, cô giáo cùng cácbạn để khoá luận đợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 04 năm 2005

Tác giả

ChơngI: Đa tạp khả vi

Đ1 Đa tạp khả vi

1.1 Định nghĩa

1.1.1.Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Euclid địa

phơng n - chiều nếu đối với mỗi điểm của X đều tồn tại một lân cận mở đồng

phôi với một tập mở trong không gian Euclid Rn, mỗi phép tôpô nh thế đợc gọi

là một bản đồ hoặc một hệ toạ độ địa phơng của X.

Xét bản đồ (U, ϕ), ϕ phép đồng phôi Nếu y ∈ U thì bộ số:

ϕ (y) = (y1,…, yn) ∈ Rn đợc gọi là các toạ độ của điểm y đối với bản đồ đangxét Họ bản đồ {(Uα, ϕα)}α∈ I đợc gọi là một tập bản đồ của X nếu các miền

xác định Uα của các ánh xạ ϕαphủ X Nghĩa là: X = I U

∈

α α

1.1.2 Định nghĩa Một không gian tôpô đợc gọi là một đa tạp (tôpô) n

- chiều nếu nó vừa là không gian Euclid địa phơng n- chiều vừa là

T2 - không gian

1.1.3.Định nghĩa Giả sử M là đa tạp n- chiều và {(Uα, ϕα)} là tập bản

đồ của nó Ta gọi đây là tập bản đồ (khả vi) lớp Cr nếu đối với bất kỳ

(Ui, ϕi), (Uj, ϕj) ∈ {(Uα, ϕα)} đều có ϕj oϕi-1 thuộc lớp Cr

Tập bản đồ đang xét đợc gọi là tập bản đồ giải tích nếu các hàm chuyển

là các hàm giải tích thực

1.1.4 Định nghĩa Hai tập bản lớp Cr trên cùng một đa tạp M đợc gọi là

hai tập bản đồ C r tơng đơng nếu hợp của chúng lại là một tập bản đồ lớp Cr

4

-trên M Hợp của tất cả các tập bản đồ Cr - tơng đơng trên M đợc gọi là tập bản

đồ cực đại lớp C r trên M

Một đa tạp (tôpô) n - chiều M cùng một Cr cấu trúc trên nó đợc gọi là

một đa tạp khả vi n - chiều lớp C r, hoặc một C r đa tạp n - chiều Khi r = ∞:

đa tạp gọi là nhẵn

1.2 Ví dụ M là một đa tạp khả vi n - chiều, U là một tập con mở khác

rỗng của M Thu hẹp bản đồ của M lên U ta sẽ đợc một tập bản đồ trên U, và

nh vậy U trở thành đa tạp khả vi (U đợc gọi là đa tạp con mở của đa tạp M)

1.3 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi

1.3.1 Định nghĩa Gọi M là đa tạp khả vi n - chiều, x ∈ M, Tx(M) làkhông gian tiếp xúc với M tại x, T*

x(M) là không gian vectơ đối ngẫu của

Tx(M), ∧p Tx(M) là luỹ thừa ngoài cấp p của Tx (M), và ∧Tx(M) là đại số ngoàitrên không gian T*

là một dạng vi phân bậc p ( hoặc một p - dạng vi phân) trên đa tạp M (ta cũng

sẽ viết ωx thay cho ω(x))

Giả sử (U, ϕ) là một bản đồ trên đa tạp M; ký hiệu yi là hàm toạ độ thứ i

u (i = 1, 2,…, n) là một cơ sở của

Tx(M), còn các vi phân toàn phần (du1)x, (du2)x, …, (dun)x của các hàm u1, u2,…,

un thì tạo thành cơ sở trong không gian T*

x(M) mà đối ngẫu với cơ sở

u

Nh vậy theo lý thuyết về luỹ thừa ngoài của không gian vectơ thì tập

i x

i x

i du du p

du ) ( ) ( )

( 1 ∧ 2 ∧ ∧ (1 ≤ i1 ≤ …≤ ip ≤ n) là một cơ sở của khônggian vectơ ∧p T* (M) Nh vậy mỗi phần tử của ∧p T* (M) có dạng

x

i x

i n

ω(x) = x

i x

i n

i i i

1

1 , , ,

du }(1 ≤ i1≤ …≤ ip≤ n) là một cơ sở của không gian Ωp(U)

1.3.2 Dạng vi phân với giá trị trong không gian vectơ Giả sử M là

một đa tạp khả vi n - chiều và V là một R - không gian vectơ m- chiều Ngời tagọi p - dạng trên M với giá trị trong V là một quy tắc cho ứng với mỗi điểm x

∈ M một ánh xạ tuyến tính thay phiên ω(x): Tx(1) x …x Tx(m)

Rõ ràng các p - dạng vi phân trên M đã nói ở trên chính là các p - dạngtrên M với giá trị trong R không gian vectơ R

Nhận thấy rằng nếu {e1,…,em} là một cơ sở trong V thì có thể biểu thị ω

một cách duy nhất nh sau: ω = ∑

=

m

j 1 ωj ej Trong đó các ωj là các p - dạng thôngthờng trên M Nếu các p - dạng ωi( i = 1, 2,…, m) đều khả vi lớp Cr thì p - dạng

Phép định hớng trên V đó là sự lựa chọn một trong n - dạng tơng đơng

1.4.2 Mệnh đề Đa tạp V định hớng đợc khi và chỉ khi có thể chọn hệ

toạ độ {(Ui, ϕi)}i ∈ I sao cho V = ∈I Ui và dij(x) > 0 đối với tất cả i, j ∈ I,

x ∈ Ui ∩ Uj

6

-Chứng minh Ta có thể coi V là một liên thông Giả sử ω là n - dạngliên tục không đâu bằng 0 Nếu (Ua, ϕa) là hệ toạ độ, ϕa(x) = (x1, x2,…, xn) thìgiả sử ωa: dx1∧ …∧ dxn , đây là n - dạng trên Ua không đâu bằng 0 Đối với mỗi

điểm a ∈ V ta có thể tìm hệ toạ độ (Ua, ϕa ) sao cho a ∈ Ua và ω = gaωa trong

đó ga là hàm liên tục và ga > 0 đối với tất cả các x ∈ Ua

Nếu cần ta thay ϕa (x) = (x1, …xn-1, xn) bằng ( x1, x2,…,xn-1, - xn) Ngoài ratrên Ua ∩ Ub ta có ωa = dab ωb Do đó dab = gbga > 0 trên Ua ∩Ub

Ngợc lại, giả sử rằng {(Ui,ϕi)}i ∈ I là họ hệ toạ độ sao cho V = i I U i

n (a) ωi(a) = {∑

∈I i i

n (a)d ii0 (a)} ωii0(a) trong đó io ∈ I là cố

Đ2 ánh xạ khả vi

2.1 Các khái niệm

M và N là hai đa tạp khả vi lớp Ck ánh xạ f :M → N gọi là ánh xạ khả

vi lớp C k nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa phơng (U, x) của M; (V, y) của N

mà w = U ∩ f-1(V) ≠φ thì ánh xạ:

yofox-1: x(w) → y(V)

x(p)  y(f(p))

là ánh xạ khả vi lớp Ck(từ tập mở x(w) trong Rm vào tập mở y(V) trong Rn, m

và n theo thứ tự là số chiều của M và N) Các yofox-1 gọi là các biểu thức toạ độ

địa phơng của f Với p ∈ w thì hạng của f tại p là hạng của yofox-1 tại x(p) Kýhiệu là hạng pf

+ f dìm tại p ∈ M nếu hạng pf = dim M

+ f ngập tại p ∈ M nếu hạng pf = dim N

+ f trải tại p ∈ M nếu hạng pf = dimM = dimM

+ Nói f là dìm, ngập hay trải nếu theo thứ tự f là dìm, ngập hay trải tạimọi p ∈ M

+ f gọi là nhúng khả vi nếu theo thứ tự f là một dìm, đơn ánh, đồng phôi

lên ảnh

+ f gọi là một vi phôi lớp C k nếu f là song ánh, f và f-1 là ánh xạ khả vilớp Ck

2.2 Định lý M và N là hai đa tạp khả vi, nếu hai đa tạp M và N vi phôi

với nhau thì chúng có cùng số chiều

Chứng minh: Ký hiện g = f-1 Viết theo toạ độ địa phơng ta có:

-Lấy đạo hàm riêng với y1 ta đợc 

1 1

y

g x

f hay

y

g x

f y

k

k ji k

k ij

k ji k

2.3.1 Định nghĩa Cho hai đa tạp khả vi M, N Một ánh xạ khả vi

F: M → N và một điểm p ∈ M Ngời ta gọi ánh xạ tiếp xúc tại p của ánh xạ F

(hay dạng vi phân tại p của ánh xạ F) là ánh xạ F*: Tp(M) → TF(p)(N) xác định

nh sau: đối với mỗi v ∈ Tp(M) là vectơ tiếp xúc tại điểm p = x(t0) với đờngcong x(t) trong đa tạp thì F*p(v) ∈ TF(p)(N) là vectơ tiếp xúc tại

Fo x(t0) = F(p) với đờng cong trong đa tạp N Nh vậy, nếu

v(f) =

0

)) ( (

t

dt

t x f d

t

dt

t x F g d

t

dt

t x F g d

(F*p(v))(g) =

0

))) ( ( (

t

dt

t x F g d

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

2 F*p là ánh xạ tuyến tính từ R - không gian tuyến tính Tp(M) vào

Suy ra: F*p(αu + βv) = αF*p(u) + βF*p(v), ∀α, β∈ R, ∀ u, v ∈Tp(M).

3 Đối với ánh xạ đồng nhất id trên một đa tạp M ta luôn có:

1 ) (   ϕ ϕ , ∀v ∈Tp(Mm) (2)

Chứng minh

a Nh ta đã biết, đối với bất kỳ v ∈ Tp(Mm) ta có:

v =

p i m

i

i

u u

u u

v F

u u

v F

) ( 1

)

(

p F j m

j

j

u F

∑  , ∀v ∈Tp(Mm) ⇒ điều phải chứng minh

b áp dụng công thức (1) cho trờng hợp v =

p i

) (

p F j j

n

j i p p

-Mà ∂u i

∂

(u-j oF) = Di(u-j oFoϕ-1)ϕ(p)

Thay vào (2’) ta đợc công thức cần chứng minh

2.3.4 Mệnh đề Đối với hợp thành các ánh xạ khả vi, ta có

(GoF)*p = G*F(p) oF*p

Chứng minh.

Theo tính chất 1 ta có: [(GoF)*p(v)](h) = v(hoGoF) (1)Cũng theo tính chất 1 ta có:

[(G*F(p) oF*p)(v)](h) = [G*p(F*p(v))](h) = [F*p(v)](hoG) = v (hoFoG) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

2.3.5 Mệnh đề: Nếu F:M → N là vi phôi thì F*p là song ánh và

*Hệ quả của mệnh đề 2.3.5 Nếu F:M → N là vi phân thì dimM = dim N

Thật vậy, do F*p là song ánh (theo mệnh đề 2.3.5) nên:

DimF*pTp(M) = dimTp(M) = dimTF(p)(N) và do đó dimM = dimN

Chơng II: Đa tạp Riemann hai chiều

Đ 1 Đa tạp Riemann hai chiều

Ví dụ Lấy toạ độ afin (x1, x2,…,xn) của En và xét ánh xạ r:U → En

(n ≥ 3), (u, v)  r(u,v) = (u,v,x3(u,v), x4(u, v),…, xn(u, v)), trong đó U là một tập

mở trong R2 và (u, v)  x3(u, v), x4(u, v),…, xn(u, v) là n - 2 hàm số (khả vi) chotrớc trên U

r (u, v) = (0, 1, (x3)’v (u, v),…, (xn)’v(u, v)

là độc lập tuyến tính r là một đơn ánh và r-1: r(U) → U là liên tục vì với

1.2.Đa tạp hai chiều trong E n

S là một tập con của En, (S ≠φ ) gọi là một đa tạp hai chiều (hay đơn

giản, một mặt) trong En nếu mỗi p ∈ S có lân cận mở (của p trong S) là mộtmảnh hình học; mỗi tham số hoá của mảnh hình học này gọi là một tham sốhoá địa phơng cuả S

1.3 Đa tạp Riemann hai chiều

12

-Định nghĩa M là một đa tạp hai chiều Một (cấu trúc) mêtric Riemann

trên M là việc đặt tơng ứng với mỗi p ∈ M một tích vô hớng < , >p trên TpMsao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với hai trờngvectơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M thì hàm:

p  < X(p), Y(p)> là hàm số khả vi

Đa tạp M cùng với tích vô hớng < , >đó là một đa tạp Riemann hai chiều, ký hiệu (M, < , > )

Khi xét < , >p là tích vô hớng trên TpM cảm sinh từ tích vô hớng trong

Em ta đợc đa tạp Riemann hai chiều với mêtric chính tắc mà ta ký hiệu (M,Can)

1.4 Đa tạp hai chiều định hớng (trong E n )

Một hớng trên đa tạp hai chiều S trong En là việc đặt tơng ứng với mỗi

điểm p ∈ S một hớng của không gian vectơ thực hai chiều TpS sao cho với mọi

p0∈ S có tham số hoá địa phơng r: U → S của S, r(U) ∋ p0 và với mọi (u, v) ∈

U

T(u, v)r biến hớng chính tắc của R2 thành hớng của Tr(u,v)S, tức là với mọi p

∈ r(U), hớng của TpS xác định bởi cơ sở (Ru(p), Rv(p)) (tham số hoá này gọi làtơng thích với hớng đó)

S gọi là định hớng đợc khi S có hớng và S gọi là đa tạp (đã ) định hớng(hay có hớng) nếu đã chọn một hớng trên S

* Đa tạp hai chiều trong E3 định hớng đợc khi và chỉ khi có trờng vectơpháp tuyến đơn vị (khả vi) trên S ,vì coi E3 đã có hớng thì với mọi

p ∈ S hớng của TpS và hớng của pháp tuyến của S tại p xác định nhau

Cụ thể, trong tham số hoá r:U → S của S tơng thích hớng đã chọn trên S,

xét trờng hợp vectơ pháp tuyến đơn vị trên r (U):

v u

v u

R R

R R

- Dạng vi phân bậc 1 trên S là việc đặt tơng ứng với mỗi p ∈ S một ánhxạ tuyến tính θp: TpS → R.

- Dạng vi phân bậc hai trên S là việc đặt tơng ứng với mỗi p ∈ S mộthàm song tuyến tính phản đối xứng àp:TpS x TpS → R (tức một dạng songtuyến tính phản đối xứng trên TpS)

Các dạng vi phân bậc cao hơn trên S là O

1.5.2 Dạng diện tích chính tắc

Nếu S là định hớng thì có dạng vi phân (khả vi) bậc hai à0 trên S gọi là

dạng diện tích chính tắc xác định nh sau: Với p ∈ S, với α, β∈ TpS,

(à0)p (α, β) là diện tích đại số của hình bình hành tạo bởi α , β trong TpS đã cóhớng (tức là ± diện tích thông thờng của hình bình hành đó, dấu cộng hay trừtuỳ cơ sở {α, β} là thuận hay nghịch)

Để thấy à0 khả vi ta viết biểu thức toạ độ của nó trong tham số hoá r: U → S của S tơng thích với hớng đã chọn của S

à0 r (u) = Gr(R u,R v) d(uor-1) ∧ d(vor-1) Trong đó Gr (Ru, Rv) là định

thức Gram

u v

u u

R R

R R





v v

v u

R R

R R



 Rõ ràng dạng diện tích chính tắc à0 trên S là mộtdạng vi phân bậc hai khác 0 tại mọi điểm của S

1.6 Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều

1.6.1 Định lý (M, < , >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì với mọi

trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} trên tập mở V của M, gọi {θ1, θ2} là trờng

đối mục tiêu của nó (tức các dạng vi phân bậc một trên V mà

θi(Uj) = δji (i, j = 1,2), ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một ω1

2 trên Vthoả mãn dθ1 = - ω1 ∧θ2; dθ2 = - ω2 ∧θ1 ( trong đó ω1 = - ω2 )

+ Ma trận vuông cấp hai: ω =  0 

0 1 2 2 1

ω ω

Và sử dụng quy tắc nhân ma trận có thể viết các phơng trình:

dθ1 = - ω1 ∧θ2, dθ2 = - ω2 ∧θ1 dới dạng: dθ = - ω ∧ θ (ma trân ω gọi là matrận các dạng liên kết

Nếu xét một trờng mục tiêu trực chuẩn khác {Ũ1,Ũ2 }, trên V thì ta cócác hàm nhẵn cosϕ, sin ϕ trên V mà: Ũ1= U1cos ϕ + U2 sin ϕ

Ũ2 = ε(-U1sin ϕ + U2 cos ϕ )( ε = ± 1 tuỳ hai trờng mục tiêu {U1, U2} và {Ũ1,Ũ2 } trên V cùng hớnghay ngợc hớng: đó là công thức đổi mục tiêu trực chuẩn Có thể viết dới dạng

Ũ = UC, trong đó Ũ là ma trận dòng (Ũ1,Ũ2 ), C là ma trận vuông cấp hai

{Ũ1,Ũ2}, suy ra:

ω ~ = C-1ωC + C-1dC

Cụ thể, giả sử có hàm số ϕ nhẵn trên V để xác định cos ϕ, sin ϕ nói trên(mỗi p ∈ V có lân cận V’ thoả mãn điều kiện đó) thì dễ tính đợc:

1.6.3 Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều

a Định lý (M, < , >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì có một và chỉ

một hàm số nhẵn K trên M sao cho với trờng đối mục tiêu {θ1

, θ2} của trờngmục tiêu trực chuẩn {U1, U2} tuỳ ý trên tập mở V của M ta có:

dω1 = Kθ1∧θ2, trong đó ω1 là dạng liên kết của (M, < , >) trong trờngmục tiêu đó

Chứng minh Vì {θ1, θ2} là một trờng đối mục tiêu trên V nên dạng viphân bậc hai d 1

b Định nghĩa Hàm K nói trên đợc gọi là độ cong Gauss của đa tạp

Riemann hai chiều

c Ví dụ Xét nửa phẳng Poincaré.

Nh ta đã biết với mọi trờng mục tiêu trực chuẩn

{U1 = yE1, U2 = yE2} của nửa phẳng Poincaré thì trờng đối mục tiêu của nó là:

{U1, U2} là ω1 = - θ1, khi đó dω1 = - dθ1 = - θ1∧θ2 Suy ra K = -1

Vậy độ cong Gauss tại mọi điểm trên H đều bằng - 1

16

-Đ 2: ánh xạ đẳng cự

2.1 ánh xạ đối tiếp xúc

Giả sử Mn là đa tạp Riemann m - chiều có tập bản đồ là {Uα, ϕα}α ∈ I và

Nn là đa tạp Riemann n - chiều có tập bản đồ là {Uβ, ϕβ}β∈ J

Theo định nghĩa: *.

ω

F (X, Y) = α( X1Y2 - X2Y1)Mặt khác theo quy tắc ta có: *.

= (Y1, vY1 + uY2, v2Y1 + 2uvY2) = Y~

2.2 ánh xạ đẳng cự

2.2.1 Định nghĩa S1,S2 là các đa tạp hai chiều trong E3, ánh xạ (khả vi)f:S1→ S2 gọi là ánh xạ đẳng cự nếu mọi điểm p ∈ S1, Tpf:TpS1→ Tf(p)S2 bảo tồntích vô hớng( tức là một ánh xạ tuyến tính trực giao) và gọi là một vi phôi đẳng

-Từ đó với mọi p ∈ f1 có lân cận V chứa p mà f v : V → f(V) là một viphôi đẳng cự.

+ f bảo tồn góc giữa các phơng tiếp xúc, tức là nếu α, β ∈ TpS1 thìcos(α, β ) = cos(Tpf(α), Tpf(β))

+ f bảo tồn độ dài cung trên đa tạp tức là nếu:

ρ : I = [a, b] → S1 là một cung đoạn trên S1 thì

4 f là một vi phôi đẳng cự từ tập mở V trên đa tạp hai chiều S lên tập

mở V~ trên đa tạp hai chiều S~(trong E3) f biến trờng mục tiêu tiếp xúc trựcchuẩn {U1, U2} trên V thành trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn

~ ω

Trong đó {θ1, θ2} là trờng đối mục tiêu của {U1, U2}; {θ ~ 1,θ ~ 2} là trờng

đối mục tiêu của { 1