Luận văn đường trắc địa trên đa tạp riemann hai chiều

Trong luận văn này, mục đích chính của chúng tôi là nghiên cứu các đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều.. - Mục 1, tác giả chủ yếu trình bày đờng trắc địa trên mặt S trong E3 và c

Trờng Đại Học VinhChapter 1 Khoa Toán

Nguyễn Trung Thành

Đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều

Khoá luận tốt nghiệp

Vinh 2002

Mục Lục

Trang

Chapter 2 Mở đầu 2

Đ1 Đờng trắc địa trên mặt S trong E 3 3

Đ2 Đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều 8

Đ3 Tính bất biến của đờng trắc địaqua vi phôi dẳng cự 15

Đ4 Phơng trình đờng trắc địa và các ứng dụng 19

Đ5 Tính chất ngắn nhất của đờng trắc địa 29

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Mở đầu Trong các giáo trình hình học vi phân, khi đề cập đến hình học nội bộ của mặt trong E3, thờng đề cập đến đờng trắc địa Khi nghiên cứu vấn đề này, chúng ta thấy rằng đờng trắc địa trên mặt cong đóng vai trò của đờng thẳng trên mặt phẳng Do đó nó có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Hình học_Tôpô, lý thuyết đồ thị, cơ học và giao thông vận tải,

Vấn đề này đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các bài toán về tính cực tiểu độ dài của lới các đờng trắc địa đã đợc nhiều tác giả trong và ngoài

n-ớc quan tâm Chúng ta có thể tìm thấy các kết quả về lĩnh vực này trong các bài báo của nhiều nhà toán học Mới đây nhất là luận văn thạc sĩ toán học của Nguyễn Hữu Quang với đề tài “Đờng trắc địa và lới các đờng trắc địa cực tiểu trong toàn cục” (Đại Học Vinh, 2001).

Trong luận văn này, mục đích chính của chúng tôi là nghiên cứu các đờng trắc

địa trên đa tạp Riemann hai chiều Luận văn đợc chia làm 5 Mục:

- Mục 1, tác giả chủ yếu trình bày đờng trắc địa trên mặt S trong E3 và chỉ ra một số đờng trắc địa trên các mặt, cụ thể nh mặt cầu, mặt trụ, mặt phẳng

- Mục 2, trình bày đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều

- Mục 3, tác giả trình bày một số tính chất của ánh xạ đẳng cự và chứng minh

đợc tính bất biến của đờng trắc địa qua một vi phôi đẳng cự

- Mục 4, trong mục này tác giả chủ yếu trình bày phơng trình đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiêùvà đã chứng minh đợc tính đầy trắc địa của nửa phẳng Poincaré

- Mục 5, trình bày tính chất ngắn nhất của đờng trắc địa

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 5 năm 2002 tại trờng Đại Học Vinh dới sự ớng dẫn của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn hình học nói riêng và các thầy giáo cô giáo làm việc tại khoa Toán đã giảng dạy và chỉ bao những vấn đề liên quan đến vấn đề nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn bạn bè

h-và gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ tác gỉa trong quá trình học tập h-và hoàn thành luận văn

Trong toàn bộ mục này luôn giả thiết S là mặt trong E 3 đợc định hớng bởi ờng vectơ pháp tuyến đơn vị n

- Ta biết rằng λ :I→J là một vi phôi thì hoặc λ′>0 hoặc λ′<0 do đó tập tất cả các tham số hoá của Γ chia làm hai tập :

- H1={r | có vi phôi λ để roλ=ρ mà λ′>0 }

- H2={r | có vi phôi λ để roλ=ρ mà λ′<0 }

H1 ( hoặc H2) gọi là một hớng của Γ

- Γgọi là định hớng nếu đã chọn một hớng trên Γ

- Nếu r ∈ [ρ] thì từ ρ[J] =(roλ)(J)=r(I) suy ra ảnh của các tham số hoá của Γ=[ρ]

là trùng nhau Để thuận tiện ngời ta thờng đồng nhất Γ với ρ(J)

2.Cung chính quy.

- Cho đờng cong Γ xác định bởi ρ: J→En ,t ρ(t)

Điểm to∈J (hay ρ(to)) gọi là điểm chính quy của Γ nếu ρ′(to) ≠ 0

- Γ gọi là cung chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy

- Một tham số hoá r:I→En , u r(u) của cung chính quy Γ gọi là tham số hoá tự nhiên nếu r' =1

Định lí Mọi cung chính quy Γ đều có tham số hoá tự nhiên

Chứng minh: Giả sử Γ đợc xác định bởi ρ: J→En, t  ρ(t) Lấy to ∈J Xét hàm số

'

ρ

Rõ ràng λ′(t)= ρ ' (t) >0 , ∀ t∈J , nên λ là một vi phôi từ J lên một khoảng I ⊂

R Vậy có tham số hoá r : I→En của Γ là u r(u) = ρoλ-1(u)

Từ nay trở đi ta chỉ xét những đờng cong là cung chính quy, nếu không chỉ ra thì chỉ xét tham số tự nhiên của nó

3.Đờng trắc địa trên mặt S trong E 3

1 Định nghĩa Giả sử Γ là đờng cong định hớng trên mặt S trong E3

t  ρ(t) ∈ S là tham số hoá của γ Khi đó hàm số :

)) ( ( ).

) (

"

) ( '

( ) ( '

1 )

Nhận xét : Độ cong trắc địa của đờng cong định hớng Γ không phụ thuộc vào

ρ λ

ρ λ

(

) (

)"

( )'

(

0 3

3 0

0 0

0

3.2 Định nghĩa Đờng cong định hớng Γ trên mặt S gọi là đờng trắc địa của S

nếu độ cong trắc địa của nó đồng nhất triệt tiêu

3.3 Mệnh đề Đờng cong định hớng Γcủa S là đờng trắc địa khi và chỉ khi

N và n oρ cộng tuyến, trong đó N là trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị

3.4 Mệnh đề Giả sử ρ: J → S , t  ρ(t) là tham số bất kì của Γ mà ρ ' là hàm

hằng Khi đó Γ là đờng trắc địa của S khi và chỉ khi ρ′′ và n oρ cộng tuyến.

Chứng minh Giả sử Γ là đờng trắc địa của S , tức là kg = 0

⇒ [ noρ ∧ ρ′′ ] ρ′ = 0

⇒ kg = 0./

4.Ví dụ về đờng trắc địa.

4.1.Mệnh đề Trên mặt phẳng E 2 , Γ là đờng trắc địa khi và chỉ khi nó là một ờng thẳng.

đ-Chứng minh.Trong E3 , với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz đã chọn giả sử mặt

E2 có phơng trình: Ax + By + Cz +D = 0, (A,B,C,D là các hằng số, A2 + B2+ C2

≠ 0 ), khi đó trờng vecto pháp tuyến là n=(A,B,C)

Giả sử Γ là đờng trắc địa ρ:J→S , t  ρ(t) là tham số hoá tự nhiên của Γ, theo mệnh đề 3.4, Mục1 ta có ρ′′ và noρ cộng tuyến Tức là có hàm số q(t) sao cho

) ( ).

( )

điểm thuộc Γ Vậy Γ là một đờng đờng thẳng

Ngợc lại nếu đờng thẳng Γ xác định bởi ρ (t) =p+t a ,a là véc tơ hằng Suy ra

a

ρ ' ( ) ⇒ ρ′′= 0 , do đó ρ′′ và noρ cộng tuyến hay Γ là một đờng trắc địa /

4.2.Mệnh đề Trên mặt cầu S bán kính R trong E 3 , định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị hớng ra ngoài n Khi đó Γ là đờng trắc địa của mặt cầu S khi

và chỉ khi nó phải nằm trên các đờng tròn lớn của S

Chứng minh: Giả sử ρ: J→S, s  ρ ( s ) là một tham số hoá tự nhiên của đờng trắc địa Γ trên S Ta có O ρ ( s )2 = R 2, (O là tâm của mặt cầu), ta suy ra:

0 ) s

h ( ' ) h ( T )

ds

) n ( D ds

DN B

kT − τ = =  0ρ =  ρ = 

Trong đó {T , N , B} là trờng mục tiêu Frénet của cung ρ; k và τ theo thứ tự là độ cong và độ xoắn của nó

Ta biết rằng trên mặt cầu bán kính R ta có:

R ) (

h α =−α, nên:

R

T B

Ngợc lại, giả sử Γ nằm trên đờng tròn lớn Khi đó từ : Oρ (s)2 =R2

0 ) ( '

Vậy noρ và N cộng tuyến, hay Γ là đờng trắc địa /

4.3 Mệnh đề Trên S là mặt trụ tròn xoay xác định bởi phơng trình x 2 + y 2 = R 2

trong toạ độ Descarter vuông góc oxyz, chỉ có ba loại đờng trắc địa.

Chứng minh: Giả sử Γ là đờng trắc địa của mặt trụ S

)) t ( ), t ( sin R ), t ( cos R (

)

t

(

t  ρ = ϕ ϕ ψ là một tham số hoá của Γ mà ρ ' là hàm

hằng Khi đó ρ " cộng tuyến noρ, ta biết rằng pháp tuyến của S tại mỗi điểm

luôn vuông góc với trục oz Suy ra ψ " ( t ) = 0, tức là ψ ( t ) = Ct + D (C,D là các

sin(

R A ),

B At

cos(

R A (

) t (

Vậy ρ " và n0ρ cùng phơng, do đó cũng là đờng trắc địa

+) Nếu C = 0 thì ảnh của ρ ( t ) nằm trên các đờng tròn vĩ tuyến

+) Nếu A = 0 thì ảnh của ρ ( t ) nằm trên các đờng thẳng kinh tuyến

+) Nếu A ≠ 0, C ≠ 0 thì ảnh của ρ ( t ) nằm trên đờng đing ốc tròn

5.Trờng mục tiêu Darboux dọc Γ.

5 1.Định nghĩa Với mỗi cung chính quy định hớng γ xác định bởi tham số hoá

vị n Gọi T là trờng vectơ tiếp xúc đơn vị dọc γ, xây dựng trờng vectơ

T )

n

(

:

Y = 0ρ ∧ thì đợc một trờng mục tiêu trực chuẩn thuận dọc cung chính quy

định hớng γ là ( T , Y , n0ρ ) và đợc gọi là trờng mục tiêu Darboux dọc γ .

5.2 Mệnh đề Nếu s  ρ ( s ) là tham số hoá tự nhiên của cung song chính quy

đinh hớng γ trên mặt S thì độ cong trắc địa của nó thoả mãn: kg = k N Y

Trong đó k là độ cong của γ, N là trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị dọc γ.

Chứng minh: Vì ρ là tham số hoá tự nhiên nên ta có:

kg ( s ) = [ ρ (' s ) ∧ ρ (" s ] ) n ( ρ ( s ))

=[T ( s ) ∧ k ( s ) N ( s )] n ( ρ ( s ))

= k ( s )[n ( ρ ( s )) ∧ T ( s )] N ( s )

= k ( s ) Y ( s ) N ( s ) /

Đ 2 đờng trắc địa trên đa tạp riemann haichiều.

Để nghiên cứu các tính chất của đờng trắc địa trên mặt trong mục này tác giả trình bày đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều.

Giả sử M là một đa tạp hai chiều Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc

đặt ứng với mỗi p∈M , một tích vô hớng 〈 , 〉p trên T p M sao cho tích vô hớng

đó phụ thuộc vào p một cách khả vi; tức là với hai trờng vectơ tiếp xúc khả vi X,

Y trên M thì hàm số p  〈X(p),Y(p) 〉 là một hàm số khả vi

M cùng với cấu trúc Riemann <,> > đó gọi là một đa tạp Riemann hai chiều, ký hiệu (M,<, >)

Khi xét 〈 , 〉p là tích vô hớng trên T p M cảm sinh từ tích vô hớng trong En là

đ-ợc đa tạp Riemann hai chiều với metric chính tắc mà ta ký hiệu là (M, can)

1.Định lý ( M , 〈 , 〉 ) là một đa tạp Riemann hai chiều thì với trờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 , U 2} trên tập mở V của M, gọi {θ 1 , θ 2} là trờng đối mục tiêu của

2 1 2 1

d

d

ω

∧ ω

−

= θ

ω

∧ ω

−

= θ

Trong đó 1

2 2

1 = − ω ω

Chứng minh: Đặt d ( U , U ) 1 d 2 ( U1, U2)

2 1 1 2

ω

Giả sử 2

2 1

X = ϕ + ϕ , 2

2 1

Y = ψ + ψ là hai trờng vectơ bất kỳ trên V;

2 1

1 2 2

θ

d ( U , U ).[ 1 2 2 1] ( 2 )

2 1

d θ = − ω ∧ θ Chứng minh tơng tự ta có: 2 1

1 2

d θ = − ω ∧ θ

2 1 2 1 1 1 2 1

ω , ~ ( U ) 1 ( U2)

2 1 1

d θ = − ω ∧ θ ; 2 1

1 2

d θ = − ω ∧ θ trong đó 2

1 1

2 Đạo hàm của trờng vectơ dọc một cung tham số.

Trờng vectơ dọc cung tham số ρ : I → M, t → ρ ( t )

là ánh xạ X:I → TM =χ T p M mà với mọi t ∈ I, X ( t ) ∈ Tρ(t)M

2.1 Định nghĩa Cho cung tham số ρ : I → M, t  ρ ( t ), trên đa tạp Riemann hai chiều (M,< ,>) thì với mỗi trờng vectơ X dọc ρ, qui tắc sau đây xác định một

trờng vectơ dọc ρ, ký hiệu là

Với mỗi t0 ∈ I, lấy một trờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 , U 2} trong một lân cận của

( ) ( )( ' ( t )) U ( ( t ))).

t ( ) t ( dt d

) t ( U ) t ( ' ).

t ( ) t ( dt

d )

0 1 0 1 2 0 2 0 1 0

X dt ) Y X

d ) X (

dt , X Y , X dt Y , X dt

Y X

(

2 2

1 1

ϕ

∇

= +

) (

d

) t ( U ) t ( ' ).

t ( )

t ( dt

) (

d

2 2

1 1 1 2

2

1 1

2 2 2 1

∇ +

) ( ) ( ' ).

( ) ( ) (

2 2

1 1 2

1 1

2 2 1

t U t t

t dt

d

t U t t

t dt

dt

d

) t ( U ) t ( ' ).

t ( ).

t ( t dt

d t

dt

d

2 2

1 1 2

2

1 1

2 2 1

X ( t )

dt ).

t ( ) t ( X ).

t ( dt

=

Vậy: ( ) X

dt X dt

d X dt

∇ ϕ +

ϕ

= ϕ

t ( ) t ( ).

t ( dt

d ) t ( dt

d ).

t ( ) t ( ).

t ( dt

d ) t ( Y

2 1

1 1

d ).

t ( )

t ( ' ).

t ( ) t ( dt

d ).

t (

) t ( ) t ( ' ).

t ( ) t ( dt

d ) t ( ) t ( ' ).

t ( ) t ( dt d

2 1 1 2

2 1

2 2 1

1

2 2

1 1 2

1 1

2 2 1

t ( )

t ( ' )

t ( ' ).

t ( ).

t ( ) t ( dt

d ).

t (

) t ( ).

t ( dt

d ) t ( ' )

t ( ' ).

t ( ).

t ( ) t ( ).

t ( dt d

2 2

2 1 1

2 2 1 1

1

2 2

2 1 1

2 1 2 1

1

ψ ϕ

+ ρ ω + ρ ω ψ

ϕ + ψ ϕ

+

+ ψ ϕ + ρ ω + ρ ω ψ ϕ + ψ ϕ

=

dt

d ).

t ( ) t ( ).

t ( dt

d ) t ( dt

d ).

t ( ) t ( dt

2 2

2 1

1 1

ϕ

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh./

2.3 Mệnh đề M là một đa tạp Riemann hai chiều trong E 3 , xét (M, can), giả

sử M đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n, ta có:

+

∇

=

(Mệnh đề trên gọi là công thức Levi-Civita)

Chứng minh: Thật vậy, dễ thấy công thức đó đúng với X, Y thì đúng với X+Y và

đúng với ϕ X, (ρ là hàm dọc cung) Nên chỉ cần thử công thức cho U1°ρ, U2°

ρ,

{U 1 , U 2} là một trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn trong lân cận điểm đang xét

Ta biết rằng ma trận ( )j

iω

=

ω (i,j = 1,2.3), ma trận của các dạng liên kết của E 3

trong trờng mục tiêu{U1 °ρ, U2 °ρ, n0ρ} là ma trận phản đối xứng (Xem [1])

Tức là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω + ρ ρ

ω

=

ρ

= ρ

−

ρ ρ ω + ρ ρ

ω

= ρ

ρ ρ ω + ρ υ

ω

= ρ

1 3 0

0

3 2 1

1 2 2

0

3 1 2

2 1 1

U ' U

.' dt

n D ' h

n ' U

.' dt

U D

n ' U

.' dt

U D

Trong đó: 1

3 3

1 = − ω

2 2

1 = − ω

3 3

dt U

Vậy

( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )

+ ρ

∇

= ρ

ρ ρ ρ

+ ρ

∇

= ρ

0 2

2 2

0 1

1 1

n U '

h dt

U dt

U D

n U '

h dt

U dt

U D

3 Đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều.

3.1 Định nghĩa Với mỗi cung chính quy định hớng trên đa tạp Riemann hai

chiều có hớng ( M , 〈 , 〉 ), có hàm số dọc cung đó, ký hiệu kg gọi là độ cong trắc

địa của cung đó và đợc xác định nh sau: Lấy một tham số hóa tự nhiên

) (

~ ,

3.2.Nhận xét Khi xét (M, can), M là một đa tạp hai chiều đã định hớng trong

E 3 thì khái niệm độ cong trắc địa vừa trình bày ở mục 3.1, Đ2 trùng với khái niệm độ cong trắc địa của cung trên mặt trong E 3 trình bày ở mục 3.1, Đ1.

Chứng minh: Xét cung định hớng với tham số hoá tự nhiên s  ρ ( s ) trên mặt

M trong E3, M định hớng bởi trơng vectơ pháp tuyến đơn vị n thì độ cong trắc địa của cung theo định nghĩa 3.1 Đ1 là ( )

ds

DT T

n0ρ ∧ ; T là một trờng vectơ tiếp xúc

Theo mệnh đề 2.3 ta có (h ( T ) T).( n )

ds

T ds

DT

0 ρ +

DT N ) n (

T ).

T ( h ds

DT N ds

T

N

3.3 Định nghĩa Cung chính quy trên đa tạp Riemann hai chiều gọi là đờng trắc

địa của đa tạp đó nếu độ cong trắc địa của nó triệt tiêu

Nhận xét:Từ nhận xét 3.2, Đ2 ta thấy khái niệm đờng trắc địa trình bày trong

mục 3.3, Đ2 trùng với khái niệm đờng trắc địa trình bày trong mục 3.2, Đ1.

3.4 Mệnh đề Cung chính quy với tham số hoá t  ρ ( t ) trên đa tạp Riemann hai chiều là đờng trắc địa của đa tạp đó khi và chỉ khi: 





ρ ∇ρ'(t)

dt ), t (

thuộc tuyến tính với mọi t

Chứng minh: Giả sử cung chính quy với tham số hoá ρ : I → M, t  ρ ( t ) có phép đổi tham số λ : I → J, t  λ ( t ) để ρ0λ=ρ

0 2

0 2

2

N kg ' T

dt

' d '.

~ ds

dt

d '

~ dt

d '

kg phụ thuộc tuyến tính với mọi t

3.5.Mệnh đề Đờng cong Γ với tham số hoá ρ: J→M , t  ρ( )t ,mà ρ ' là hàm hằng trên đa tạp Riemann hai chiều M, khi đó Γ là đờng trắc địa của M khi và chỉ khi ' 0

dt ρ =

Chứng minh: Theo giả thiết ρ ' là hàm hằng suy ra 〈 ρ ' , ρ ' 〉 = 2 〈∇ρ ' , ρ ' 〉 = 0

dt dt

d

Giả sử Γ là đờng trắc địa khi đó theo mệnh đề 3.4 Đ2 ta có ρ ∇ρ' ( t )

dt ), t (

ρ:J→M , t  ρ ( t )là một cung tham số trên đa tạp Riemann hai chiều Trờng vectơ X dọc ρ gọi là trờng vectơ song song dọc ρ nếu ∇X = 0

dt

3.6 Mệnh đề Cho cung trắc địa t  ρ ( t ) trên đa tạp Riemann hai chiều và ờng vectơ X dọc cung đó Khi đó X là trờng véc tơ song song khi và chỉ khi X

,

, '

, '

, ,

,

2 2

2 )

2 2

1

2 2

1 1

X ra suy U

dt X

U dt

X dt

X

U dt

X U

dt

X X

dt X

i

ϕ

ϕ ρ ρ

ϕ

ϕ ϕ

Vậy X là trờng véctơ song song dọc ρ./.

1 Định nghĩa ánh xạ khả vi f : ( M , 〈 , 〉 )  ( M~, [, ]) giữa các đa tạp riemann hai chiều gọi là một ánh xạ đẳng cự nếu với mọi p∈M thì:

p p

p Y f

f * U i , f * U j ] = 〈 U i , U j 〉 ; i,j = 1,2.

Chứng minh: (i) Giả sử [f*Ui, f*Uj]= 〈 Ui, Uj〉 i j = 1 , 2

2 1 1 2

2 1

1

* 2

2 1

{U~1 = f * U 1 , U~2 = f * U 2} là một trờng mục tiêu trực chuẩn trên f(v).

* ~

f ω = ω

Chứng minh: Giả sử {θ 1 , θ 2} là trờng đối mục tiêu {U 1 , U 2} và { 1 2}

~ ,

~ f f

)

~

~ ( f )

* 1 2

* 2

1 2

* 1

2

* ω = ω /

4 Mệnh đề f : ( M , 〈 , 〉 ) → ( M~,~< ,~> ) là một vi phôi đẳng cự giữa các đa tạp Riemann hai chiều, X là trờng véctơ dọc cung tham số t  ρ ( t ) trong M, X~ là trờng véctơ dọc cung tham số f 0 ρ trong M~ xác định bởi: X~( t ) = f*X )( t )

dt

~ )) t ( X dt

1 2 2

dt

d t X

) )(

(

~ )) ( )' ((

~ ).

( ) ( 2 0 2 0

1 1

dt

d

ρ ρ

ω ϕ

~

) ( ) ( ) ( )' (

~

0 2

2 1 1 2

0 1

*

*

1 2 2 1

t f U f f dt

d

t f U f f dt

ϕ ϕ

ρ ρ

ω ϕ ϕ





) ( ) ( ) (

) ' (

~

) ( ) ( ) (

) ' (

~

0 1

*

2 1

* 1 2

0 1

*

1 2

* 2 1

t f U f f

dt d

t f U f f

dt d

ω ϕ ϕ

ρ ρ

ω ϕ ϕ





) t ( ) f ) U f (

) ' ( dt

d

) t ( ) f ) U f (

) ' ( dt

d

0 2

* 2

1 1 2

0 1

* 1

2 2 1

U (

) ' ( dt

d

) t ( ) U (

) ' ( dt

d f

2 2

1 1 2

1 1

2 2 1 )

5 Định lý Khái niệm đờng trắc địa là bất biến qua vi phôi đẳng cự giữa các

đa tạp Riemann hai chiều.

Chứng minh: Để chứng minh định lý, ta sẽ chứng tỏ rằng độ cong trắc địa của

một cung định hớng trên đa tạp Riemann hai chiều có hớng là một khái niệm bất biến qua vi phôi đẳng cự