Ôn tập lý thuyết Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Cách 1: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm định nghĩa Cách 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 định lý Cách 3: Tứ[r]
Trang 1Hoàng Ngọc Thà
Trang 2I Ôn tập lý thuyết
Khi chứng minh được một tứ giác nội tiếp đường tròn các kết quả sau thường được sử dụng:
- Tổng hai góc đối diện bằng 180 0
- Các góc bằng nhau; các đoạn thẳng bằng nhau….
Cách 1: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (định
nghĩa)
Cách 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 (định lý)
Cách 3: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn xuống cạnh
chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc (quỹ tích cung chứa góc).
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
Trang 3II Bài tập
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Gọi M là trung điểm của đoạn OB.Dây CD vuông góc với AB tại M Điểm E chuyển động trên cung nhỏ AC (E ≠ A).Nối
AE cắt CD tại K Nối BE cắt CD tại H.Chứng minh:
a Bốn điểm B;M;E;K cùng thuộc một đường tròn.
c AE.AK không đổi
d Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK luôn thuộc một đường thẳng cố định khi E chuyển động trên cung nhỏ AC.
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
Trang 4CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
Cho đường tròn (O;R), đường
kính AB Gọi M là trung điểm
của đoạn OB.Dây CD vuông
góc với AB tại M Điểm E
chuyển động trên cung nhỏ
AC (E ≠ A).Nối AE cắt CD tại
K Nối BE cắt CD tại H.Chứng
minh:
a Bốn điểm B;M;E;K cùng
thuộc một đường tròn.
b AE.AK= AC 2
c AE.AK không đổi
d Tâm I của đường tròn
ngoại tiếp tam giác BHK luôn
thuộc một đường thẳng cố
định khi E chuyển động trên
cung nhỏ AC.
Trang 5
*) Xét tứ giác BMEK có:
∠ KEB = KMB = 90 ∠ 0 →Tứ giác BMEK nội tiếp đường tròn ( quỹ tích cung chứa góc) Vậy bốn điểm B;M;E;K cùng thuộc một đường tròn.
a) Chứng minh:
Bốn điểm B;M;E;K cùng thuộc một đường tròn
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
Các dữ kiện được lấy từ:
+ E thuộc đường tròn đường kính AB.
+ CD vuông góc với AB tại M
*)+Ta có AEB= 90 ∠ 0
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
→ ∠ KEB = 90 0 (kề bù với AEB) ∠
+ CD AB tại M (gt)→ CMB = 90 ⊥AB tại M (gt)→∠CMB = 90 ∠ 0
→ ∠ KMB =90 0
Trang 6AE.AK= AC 2
AEC ~ ACK
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
AE AC
AC AK
=
AMK = ACM
AKM = AMC
Trang 7Các cách chứng minh đẳng thức:
Cách 1: Chứng minh trực tiếp
Cách 2: Chứng minh gián tiếp
b) Cách 2:
*) AEB và AMK có:
∠ AEB = AMK= 90 ∠ 0
∠ BAE- góc chung
→ AEB ~ AMK (g-g)
→ AE.AK =AM.AB (1 )
AE AM
AB AK
=
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
*) ∆ACB: ACB = 90 ∠ 0 (cmt); CM AB tại M(gt) ⊥AB tại M (gt)→∠CMB = 90
→ AC 2 = AM.AB (đl) (2)
Từ (1) và (2), ta có AE.AK= AC 2
Trang 8+ Ta có AE.AK= AC 2 (1)
Xét ACB có:
∠ ACB=90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
CM AB tại M (gt)
→AC 2 = AM AB (2)
Từ (1) và (2) ta có: AE.AK= AM AB (3)
c) Chứng minh: AE.AK không đổi.
M thuộc OB: OM = MB (gt)→ OM =
→ AM= R + =
→ AM.AB = 2R = 3R 2 (4)
Từ (3) và (4) ta có : AE.AK = 3R 2
Vậy AE.AK không đổi.
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
R 2
3R 2 3R 2
R 2
Trang 9Các kết quả có thể được suy ra khi chứng minh đẳng thức:
1- Tích hai đoạn không đổi.
2- Tỷ số hai đoạn không đổi.
3- Độ dài đoạn thẳng không đổi.
Các lưu ý khi chứng minh đẳng thức:
1- Thay một hoặc các đoạn trong đẳng thức cần chứng minh bằng các đoạn thẳng bằng nó để làm xuất hiện các tam giác đồng dạng.
2- Sử dụng linh hoạt các kiến thức có được các tỷ lệ
thức: Định lý Ta lét; tính chất đường phân giác trong tam giác; hệ thức lượng trong tam giác vuông…
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
Trang 10CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
Hướng dẫn câu d:
*) Gọi F là điểm đối
xứng của O qua B→ F cố
định.
*) Chứng minh tứ giác
BHKF nội tiếp(dùng định
lý)
*) Khẳng định tâm I của
đường tròn ngoại tiếp
tam giác BHK
nằm trên đường trung
trực của BF cố định.
Trang 11CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HỆ THỨC
Về nhà:
+ Ôn tập các cách chứng minh hệ thức hình học- các ứng dụng.
+ Xem lại bài giảng- Vận dụng: làm các câu a;b trong các đề: 1;4;5;6.