Về liên thông lêvi sivita trên đa tạp riemann

Trong luận văn này, chúng tôi tập hợp và chứng minh chi tiết các tính chất của liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi-sivita và một số tính chất của dạng liên thông trên đa tạp.. Trong c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫ n khoa học:

PGS.TS.NGUYỄN HỮU QUANG

VINH - 2007

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đ ầu 2

Chương I : Liên thông tuyế n tính trên M 4

I Liên thông tuyến tính trên M 4

II Đạo hàm của trường vectơ 13

Chương II : Liên thông Lêvi-sivita trên đa tạ p Riemann 21

I Liên thông Lêvi-sivita trên đa tạp Riemann 21

II Dạng liên thông 30

Kế t luận 36

Tài liệ u tham khảo 37

LỜI NÓI ĐẦU

Các liên thông trên đa tạp là các phép lấy đạo hàm các trường vectơtiếp xúc

của đa tạp Do đó các liên thông là những công cụ để nghiên cứu các tính chất hình học trên đa tạp Chẳng hạn, nghiên cứu độ cong, độ xoắn, các phươngtrình cấu trúc của đa tạp, Vì vậy, liên thông tuyến tính và liên thông Lêvi-sivita đã được trình bày trong nhiều tài liệu viết về hình học vi phân

Trong luận văn này, chúng tôi tập hợp và chứng minh chi tiết các tính chất

của liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi-sivita và một số tính chất của dạng liên thông trên đa tạp

Luận văn được chia thành 2 chương:

I Liên thông tuyế n tính trên M.

II Đạ o hàm của các trường vectơ.

I Liên thông Lêvi-sivita trên đ a tạ p Riemann.

II Dạ ng liên thông.

Trong chương I, chúng tôi trình bày định nghĩa, các ví dụ minh họa và một số tính chất cơbản của liên thông tuyến tính, chứng minh sự tồn tại của liên

thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi và tính bất biến của liên thông tuyến tính qua một phép vi phôi Ngoài ra, chúng tôi đã trình bày các tính chất về

đạo hàm của trường vectơtheo một vectơtiếp xúc, đạo hàm của trường vectơ

dọc theo một cung

Trong chương II, chúng tôi trình bày các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơbản của liên thông Lêvi-sivita, chứng minh liên thông Lêvi-sivita luôn tồn

tại và duy nhất trên đa tạp Riemann M, chứng minh tính bất biến của liên

thông Lêvi-sivita qua một phép vi phôi đẳng cự Ngoài ra, chúng tôi cũng

chứng minh sự tồn tại và duy nhất của trường vectơ f trên đa tạp Cũngtrong chương này chúng tôi đã chứng minh một số tính chất của dạng liênthông trên R n.

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2007 tại khoa Đào tạo sau đại

học, trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS.TS Nguyễn

Hữu Quang Nhân dịp này, chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã tận tình chỉ dẫn, giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học

tập và nghiên cứu Chúng tôi cảm ơn các thầy giáo trong bộ môn hình học đãgiảng dạy, chỉ bảo những vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu và cũngxin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, khoa Sau đại học -Trường Đại học Vinh, Trường THPT Nghi Lộc 3, các đồng nghiệp, gia đình,

bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình hoànthành luận văn này

Vinh, tháng 12 nă m 2007.

Tác giả

CHƯƠNG I LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP.

Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết M là một đa tạp khả vi thực

n-chiều với cơsở đếm được và với hệ bản đồ U,I.Ta kí hiệu:

B (M) = {X\X là trường vectơtiếp xúc khả vi trên M}.

F(M) = { f f :U R , f khả vi trên U- mở trong n

R }

T p M = {không gian các vectơtiếp xúc với M tại p }.M

I LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN M.

D X 1  .

Khi đó, là một liên thông tuyến tính trên 3

R .

Thật vậy, với X,Y,Z B (R3); F(R3) ta có:

T1 X  Y  Z =   X Y Z 

n Z Y

D X  1  

n Z D Y

n Z D Y X n Y

D X 1   X 1 

= X Y X Z.

T2 XY Z =  X Y Z

n Z

D XY 1  

n Z D Z

D X  Y 1   

n Z D Z X n Z

D X 1   Y 1 

= X Z Y Z .

T3 X Y =   X Y

n Y

DX 1  

n Y

n Y D Y

= X Y X Y

2 Giả sử M là đa tạp khả song n - chiều với trường mục tiêu E ,E , ,E 

i E Y Y

i

i

i E X Y E Y

X

1 1

i Y E Y

i

i

i E X Y E Y

X

1 1

i Y X E Y

i

i

i E X Y E Y

X

1 1

Để kiểm tra điều kiện thứ 4 của ta sử dụng các nhận xét sau:

1 Giả sửcung tham số  :J M thỏa mãn: t0 p ;  't0  p

t f dt

X X

Thật vậy, dễ thấy thỏa mãn các điều kiện 1, 2, 3 của liên thông tuyến tính

Ở đây ta chỉ kiểm tra điều kiện thứ 4 của 

Với mọi p ;M  Y X , B (M) ;   F(M) ta có:

 

X Y p=    

p I

X Y g

Y p

X Y X Y p

p g

I

X Y g p X Y g

Giả sử  ,1  là hai liên thông tuyến tính trên M và2 11 22 là liênthông tuyến tính trên M.

Thật vậy, với X, X’, Y, Y’ B (M); ,1,2 F(M), ta kiểm tra 4 điều kiện

của liên thông tuyến tính

n

i i

II ĐẠO HÀM CỦA CÁC TRƯỜNG VECTƠ:

Giả sử là một liên thông tuyến tính trên M Theo mệnh đề 1.6 thì

 X Y pchỉ phụ thuộc X p Từ đó ta có thể nói về khái niệm đạo hàm của trường vectơtheo một vectơtiếp xúc

Với mỗi T p M , ta có trường vectơX B (M) sao cho : Xp  Khi

p M T TM

là vớip M ,Zp T f p N

Kí hiệu: B f ={ tậ p các trường vectơZ dọc f | f :M  N }.

j p X f j

p f y A p X y

y p A p

Bây giờ ta xét trường hợp f  : J  M

t

t   Trong đó, M là đa tạp Riemann n - chiều, khả song với trường mục tiêu trực chuẩn  n

y X

i y t

n

i

i

i t U X t U X

d X

i n

i

i i

i Y t U X Y t U X

n

i

i t i

n

i i n

i

i

i t U Y t X t U Y t U X

1 1

n

i

i i n

i

i t i

n

i

i

i t U X t U Y t U Y t U X

1 1

n

i

i

i t U X t U X

n

i

i i

n

i

i

i t U X t U t X t U X

1 1

n

i

i i n

i

i

i t U X t U X t U X

1 1

n

i

i

i t U X t U X

X

1 1

d X

t t U

1





i t U t U t

n

i

i

i t U t U t

1 1

n

i

i

i t U X t U X

1 1

CHƯƠNG II LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA TRÊN ĐA TẠP

X Y X Y E

1

.Khi đó, là một liên thông Lêvi-sivita trên M.

Thật vậy, theo ví dụ 2 (1.2) ta đã chứng minh là liên thông tuyến tính Bây giờ ta sẽ kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi-sivita

i

i

i E Y X E Y

X

1 1

= X Y   Y X   .

j i n

j i

j i j

i Y E E X Y X

Y

X

1 , 1

i Y Z Y X X

i

i

i Y Z Y X X

Z

1 1

i n

i

i i n

i

i

i E Y E Z Y E X E X

Z

1 1

= Z X E Y ZY E X

n

i

i i n

Khi đó, tồn tại duy nhất một trường vectơAB (M) sao cho:

 ; với g ij E i E j,i, j 1 ,n (2)

Từ (2) ta có được một hệ gồm n phương trình ẩn i.Vì dạng tích vô hướng g

không suy biến nên với mọi qU, ta có det g ij |q0 Do đó, từ (2) xác định duy nhất được các  j và chúng được biểu thị qua các hàm khả vi  E i và

Chia hai vế cho 2 ta được:

Thật vậy, để kiểm tra là một liên thông tuyến tính ta chỉ cần kiểm tra quy

X Y Y

Z X Z

 thỏa mãn điều kiện (1) của liên thông Lêvi-sivita

Vậy, luôn tồn tại liên thông Lêvi-sivita trên đa tạp Riemann

2.4 Đị nh nghĩ a:

Giả sửM, N là các đa tạp Riemann, f :M  N là ánh xạ khả vi

Khi đó, f được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với mọi pM ; v,wT p M , tacó: v.w f p v f p w , (tức là fp bảo tồn tích vô hướng,p)

Ánh xạf :M  N được gọi là vi phôi đẳng cự nếu f là một vi phôi và là

một ánh xạ đẳng cự

Từ đó ta có mệnh đề sau:

Giả sử f :M  N là một vi phôi đẳng cự và là một liên thông Lêvi-sivita

trên M Ta đặt fX fY f X Y ,  Y X , B (M) Khi đó là một liên

thông Lêvi-sivita trên N.

f f Y

.

E 1 Với X , Y B (Rn) tacó:

Đạo hàm của trường vectơY dọc theo trường vectơX được xác định bởi công

1

Khi đó, D là một liên thông Lêvi-sivita trên Rn

Chứng minh:

Ta dễ dàng kiểm tra được D là một liên thông tuyến tính trênRn.Bây giờ, ta

sẽ kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi-sivita

Thật vậy:

Giả sử  n

i

i

E 1 là trường mục tiêu tự nhiên trong Rn

Với mọi X , Y B (R n), ta có biểu diễn: 

i

i

i E Y X E Y

X

1 1

i

i i n

i

i i n

i

i

i E Y X E Y X E X Y E Y

X

1 1

1 1









i E Y X E Y

i E Y X E Y

i

i i Z

Z X Y X D Y Z X Y Z Y X

D

1 1

1

X X

1

2 1

Mặt khác, giả sử f B (M), ta có:

   

i j

j i

ij X f g

j

x

f g f

Nên f Utồn tại và duy nhất trênU

Gọi   là phân hoạch đơn vị ứng với  U Khi đó:

Trường vectơf nêu ở trên được gọi là Gradiăng của hàm f trên đa tạp M.

II DẠNG LIÊN THÔNG:

Giả sử M là đa tạp khả song n - chiều với trường mục tiêu U1,U2, ,U n,

là liên thông Lêvi-sivita trên đa tạp M

Với X B (M) ; X U iB (M), ta có sự biểu thị X U i theo U1,U2, ,U nnhưsau:

n

n

X U 1 X U1 2 X U2   X U

i i

Các 1- dạng vi phân i ji  1 , ,n; j  1 , ,nđược gọi là các dạng liên thông

của đối với trường mục tiêuU1,U 2, ,U ntrong đa tạp Riemann M.

Bây giờ ta xét dạng liên thông trong R n với   D Khi đó:

X U X U

i

 F(U) ,i1,2, ,n

Ta thường viết tắt công thức đó là: 

i U DU

2

2 1

1

cos

sin

sin

cos

E E

U

E E

cos cos

E y X

E x X E

y X

E x

sin sin

cos cos

E y

X x

X E

y

X x

=X1 x sinX2y sin E1 X1x cosX2ycosE2

= X1xsinE1 cosE2X2y sinE1  cosE2

i

Giả sử Y Y1U1  Y n U n .Khi đó:

j n

j

n

i

j i i

j Y U dY

X Y U D

i U Y D U Y

i X U Y X U Y

i n

i

i X U Y X U Y

d

1 1 1

j

j i i n

j

j

j U Y U Y

d DY

1 , 1

j

i

i j

j

i

i n

k

k

k j j

i

X

X X

U U X U

U X

U U D U

0

1 1

Bây giờ ta giả sử  n

i i

E 1 là một trường mục tiêu tự nhiên trong n

R Khi đó ta có sự biểu diễn sau:







































n

n n n

n

n

n n n n

E c E

c E c

U

E c E

c E c

U

E c E

c E

c

U

2

2 1

1

2 2

2 2 1

1

2

2

1 2

2 1 1

1

1

1

Đặt:  j

i

c

c , c được gọi là ma trận chuyển từ trường mục tiêu

 n

i

i

E 1  n

i i

U 1 Từ đó ta có mệnh đề sau:

dc

c1



 .

Chứng minh:

Ta có: DXU i =  



n

j

j

j i

X c E D

1



n

j

j

j i

X c E D

1





n

j

j X

j i j

j

i E c D E c

X

1

n

j

j

i E c X



1

 







 n

j

j

j i

i dc E

DU

1

Mặt khác ta có:





 n

k

k

k i

DU

1







 n

j

k

j

j k

k

i c E

1 ,

.



j k

j i n

k i

c dc

2

2 1

1

.cos

sin

.sin

cos

E E

U

E E

sincos

sincos

d d

dc

sincos

cossin

d d

dc

c

sincos

cossin

cossin

sincos

dc c

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

1 Bằng việc sử dụng tính bất biến của liên thông tuyến tính và phân hoạch đơn vị chúng tôi chứng minh được sự tồn tại của liên thông tuyến tính trên đa

tạp( mệnh đề 1.4)

2 Chứng minh chi tiết một số tính chất về đạo hàm của trường vectơtheo một vectơtiếp xúc, đạo hàm của trường vectơdọc một ánh xạ và một cung (nhận xét 1.8, mệnh đề 1.10, mệnh đề 1.12, hệ quả 1.14)

3 Chứng minh chi tiết mệnh đề 2.5 vềtính bất biến của liên thông Lêvi-sivitaqua một phép vi phôi đẳng cự

4 Chứng minh mệnh đề 2.7 về sự tồn tại và duy nhất của trường vectơf

trên đa tạp

5 Trình bày sự biểu diễn D X Y qua i j(mệnh đề 2.12)

6 Trình bày chứng minh tính chất của dạng liên thông trên R n( mệnh đề2.14)

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann và các ứng dụng của nó

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn(2005) Lí thuyế t liên thông và hình

họ c Riemann, NXB ĐHSP Hà Nội.

[2] Trần Việt Dũng (1995) Bài giảng đa tạp Riemann, ĐHSP Vinh.

[3] Nguyễn Hữu Quang (2005) Đa tạp khả vi Bài giảng chuyên đề sau đại

học Đại học Vinh

[4] Nguyễn Hữu Quang (2005) Mở đầu hình học Riemann Bài giảng chuyên

đề sau đại học Đại học Vinh

[5] Đoàn Quỳnh (2001) Hình học vi phân NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[6] D.Gromoll, W.Klingenberg, W.Meyer (1971) Hình họ c Riemann toàn

cụ c.(Bản dịch tiếng Việt - Thưviện Đại học Vinh)

[7] Spivak (1985) Giải tích toán học trên đ a tạ p.(Bản dịch tiếng Việt) NXB

ĐH và THCN Hà Nội