Tích phân k- dạng vi phân với giá trị véctơ trên đa tạp riemann

Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann...33 Kết luận...37 Tài liệu tham khảo...38 Lời nói đầu K - dạng vi phân với giá trị thực có nhiều ứng dụng trong các lĩ

MụC LụC

Lời nói đầu 1

Chơng 1: K - dạng vi phân với giá trị véc tơ 3

I K-dạng vi phân 3

II Phép vi phân ngoài trên k-dạng vi phân 6

III ánh xạ đối tiếp xúc 8

Chơng 2: Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann 20

I Phân hoạch đơn vị 20

II Tích phân 1 - dạng vi phân với giá trị véc tơ dọc đờng cong  23

III Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên ngăn trong Rn 25

IV Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann 33

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Lời nói đầu

K - dạng vi phân với giá trị thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực

Vật lí và các ngành khác nhau của Toán học nh: giải tích, hệ động lực, hình

học - tôpô K - dạng vi phân là một công cụ để nghiên cứu các bài toán về biến

phân thể tích của các miền compact trên đa tạp Riemann Vì vậy nó đợc nhiềunhà Toán học trong và ngoài nớc quan tâm.

Các k - dạng vi phân với giá trị thực đã đợc trình bày trong nhiều tài liệuchuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày cách xây dựng và khảo sát một

số tính chất cơ bản của tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạpRiemann tơng tự nh trong việc khảo sát tích phân k - dạng vi phân với giá trịvéc tơ trên Rn Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng:

Chơng 1: K - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann

Trong chơng này, chúng tôi trình bày về k - dạng vi phân với giá trị véctơ trên đa tạp Riemann, tích ngoài của k-dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đatạp Riemann theo một dạng song tuyến tính xác định, về vi phân ngoài của

k - dạng vi phân, phơng pháp tìm nguyên hàm của các dạng đóng trên một tậpsao trên đa tạp Riemann Chơng này là cơ sở cho việc trình bày chơng 2

Chơng 2: Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann

Chơng 2 là nội dung chính của luận văn ở đây, bằng cách tơng tự nh

cách xây dựng tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên Rn, chúng tôitrình bày về tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann.Trớc hết, chúng tôi trình bày về phân hoạch đơn vị là kiến thức cơ sở cho việcchứng minh các mục sau Sau đó, chúng tôi trình bày về tích phân của

1 - dạng vi phân với giá trị véc tơ dọc đờng cong , tích phân k-dạng vi phânvới giá trị véc tơ trên ngăn trong Rn, tích phân k-dạng vi phân với giá trị véc tơtrên đa tạp Riemann

Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa sau Đại học trờng Đại học Vinh, với

sự hớng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin đợc bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc với sự hớng dẫn tận tình của Thầy

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy,cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán,khoa đào tạo Sau đại học, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, tạo

điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trờng THPT ĐàoDuy Từ, đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, th¸ng 12 n¨m 2008

T¸c gi¶

Chơng I

k - dạng vi phân với giá trị véc tơ

I k- dạng vi phân

Trong chơng này, chúng ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann thực

n- chiều và U là tập mở trong M, với uU, ta kí hiệu:

TuM là không gian véc tơ tiếp xúc với M tại u ; và TM = 

M u TuM

trên TuM

Cũng trong chơng này, với pM chúng ta xét ánh xạ

 p : TpM  TpM  Rm ( x(xi), y(yi) )  (x1y1, , xmym)

Nên u có dạng (1 (u), ,m (u) ); trong đó j  Ak(TuM)

Vì vậy, ta có sự biểu diễn:  = ( 1, ,m ); j k( M, R); j = 1, ,m ( Các j là các k- dạng vi phân thực xác định trên U)

 đợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu các j khả vi

Từ nay, khi nói k- dạng vi phân với giá trị trong M, ta hiểu là k - dạng viphân khả vi

 j(X 1 , ,X n) khả vi; ( X 1 , ,X n) ; X j  B(U) 

Ta kí hiệu: k(U) ={ |  là k-dạng vi phân lấy giá trị véc tơ trong U}

k

 (M) ={ |  là k-dạng vi phân lấy giá trị véc tơ trong M}

k(U) đợc trang bị các phép toán nh sau:

Xét M= R3 , dạng vi phân  2( R3), ( R3 với toạ độ (x,y,z) )

Với  = (xdxdy , ydydz , xydx  dz )

VÝ dô XÐt  2( M) víi  = ( xdy , xydz )

Ta cã d = (dx dy, ydx dz + xdy dz )

= df   + f  d

= df   + f(d)

Vậy d(f ) = df   + f(d) 

III ánh xạ đối tiếp xúc

Nh ta đã biết (xem [5]): Giả sử f : U  Rm

x(x1, ,xn)  f(x) =(f1(x), , fm(x))

đợc gọi là khả vi tại aU nếu các hàm toạ độ:

fi : U  R

x  fi(x) ;  i = 1, ,m

có đạo hàm riêng liên tục tại a ( U là tập mở trong Rn)

* Hàm F đợc gọi là khả vi trên U nếu khả vi tại mọi aU

Nếu f khả vi tại a = (a1, ,an) U thì f có ma trận:

Và Jf(a) đợc gọi là ma trận Jacobien của hàm f tại a

*Giả sử f : Rn  Rm khả vi tại a = (a1, ,an)  Rn và

g : Rm  Rp khả vi tại b= f(a) =(f1(a), , fm(a))  Rm

Khi đó hàm hợp gof : Rn  Rp khả vi tại a và Jg.f(a) = Jg(b) Jf(a)

1.11 Định nghĩa

Giả sử M và N là hai đa tạp Riman, f: M  N là ánh xạ khả vi và điểm p

M

ánh xạ tiếp xúc của f tại p là : f*|P : TpM  Tp’N và đợc xác định:Nếu v

 TpM tiếp xúc với đờng cong ( )t trong M tại p thì f*|P(v) = v’ tiếp xúc với

đờng cong fo ( )t trong N tại p’.(Trong đó TpM là không gian véc tơ tiếp xúcvới M tại pU, p’= f(p))

v v

Giả sử M là đa tạp Riman m-chiều có tập bản đồ {U ,  }  I và N là

đa tạp Riman n-chiều có tập bản đồ{U ,  } J

Giả sử f : M  N là ánh xạ khả vi

= (1f*(X1), , 1f*(Xk))+ (2 f*(X1), , 2 f*(Xk)) = 1(f*(X1, , Xk))+ 2 (f*(X1, , Xk))

ánh xạ đối tiếp xúc f * bảo toàn tích ngoài nghĩa là: 1 , 2  k (N) thì f* (1  2 ) = f*1 f*2

Chứng minh: Ta trực tiếp sử dụng định nghĩa phép nhân ngoài Ta có:

v

2

0 1

v

2

0 1

2

1

2

X X

 

 

  = ( X1 ,v X1 + uX2, v2X1 + 2uvX2 )

Tơng tự f*Y = ( Y1, v Y1 +uY2, v2Y1 + 2uvY2 )

Mặt khác

f*(X,Y) = ( f*X, f*Y )

= (xdy dz ) ( f*X, f*Y )

= x[(vX1 +u X2)(v2Y1 +2uvY2)-(vY1 +uY2)(v2X1 +2uvX2)

= u[v3X1Y1+ 2uv 2X1Y2 +uv2X2Y1 +2u2v X2Y2– v3X1 Y1- 2u

Bây giờ, ta tìm điều kiện để một dạng đóng là dạng khớp trên tập mở U

Nh ta đã biết (xem [8]): Tập con U của không gian Rn đợc gọi là tập sao ứngvới một trong các điểm a của nó nếu với một điểm bất kì khác xU, đoạn[a,x] lập nên từ các điểm dạng (1- t )a +tx( 0t 1) đợc chứa trong U

Nh ta đã biết ( Xem [2]), với I = [0,1], tập U mở trong Rn, và một ánh xạ liêntục  :

Chứng minh: Ta chứng minh định lí này theo từng thành phần của  Nghĩa là

ta chứng minh: I(dj) +d(Ij) = j ;  j = 1, , m

Thật vậy, bằng tính toán trực tiếp ta có:

 ( 1 )

k

h

i i x

d = (ydx dx dy + xdy dx dy, 2yzdy dy dz + y2dz dy dz) = 0

Ta cã  =(1 , 2) víi 1 = xydx dy; 2 = y2zdy dz

VËy d(I) = .

Chơng II

I Phân hoạch đơn vị

2.1.Định lý (Xem [4])

Giả sử U là một phủ bất kỳ của tập AR n Khi đó tồn tại họ  các hàm

 thuộc lớp C ,xác định trên một tập mở W chứa A sao cho:

Giả sử tập compact A bị chứa trong tập mở U khi đó tồn tại tập compact

DU, sao cho A  ( IntD )

2.3 Bổ đề

Cho tập compact D  U Khi đó tồn tại hàm không âm thuộc lớp Clà:

f : U  R sao cho f(x) > 0 với mọi x D, f(x) = 0 ngoài một tập đóng bị chứa trong U

Bây giờ ta trở lại việc chứng minh định lý Ta xét các trờng hợp sau:

*) Trờng hợp 1

A là tập compact Vì U phủ A, A là tập compact nên tồn tại phủ con hữu

hạn {U1, U2, …, U, Un} Do đó ta chỉ cần lập phân hoạch đơn vị đối với A phù hợp phủ { U1, U2, …, U, Un}.

Thật vậy, trớc hết ta xây dựng các tập compact Di  Ui sao cho A( n

x x

1

) (

) (

, trong đó Ai là các tập compact Ai  ( IntAi+1)

Đặt : U={ U  ((IntAi+1)\Ai-2) , U  U.

Từ đó với mọi x  A đều có tập mở V chứa x, sao cho chỉ có một số hữu hạn

Từ đó nếu x  Ai thì  (x) = 0, với mọi  j, với mọi j 







) (

) (

Đây cũng là phân hoạch đơn vị cần đối với A 

Nhận xét Nếu C là tập compact trong A chỉ có hữu hạn các hàm  thuộc họ

II Tích phân của 1 - dạng vi phân với giá trị véc tơ dọc đờng cong 2.5 Định nghĩa

Cho M là đa tạp Riman, giả sử   M, 1

1

) 2 , (

1

) ( 2 ) 2

2.7 Định lý

Giả sử  là một dạng khớp ( d) trên M Khi đó 



 chỉ phụ thuộc vào hai điểm A, B mà không phụ thuộc vào tham số.

Chứng minh: Ta chứng minh định lí này theo từng thành phần của  Nghĩa

là ta chứng minh: Giả sử i là một dạng khớp (i di) trên M Khi đó





i

 chỉ phụ thuộc vào hai điểm A, B mà không phụ thuộc vào tham số

Thật vậy, theo giả thiết i khớp trên M Ta có: i di, i F(M),  là ờng cong bất kỳ đi qua A, B định hớng khả vi trong M, đợc xác định bởi tham số hoá  : [a,b]  M, (a)= A, (b)= B

b

a i i

b

a i b

b) Gọi  là đờng cong kín khả vi trong M Ta xem  nh hai cung 1 và

Ký hiệu k là hộp k-chiều trong Rn, k = {x(x1,…, U,x2)/ai  xi

b

a

dx f

2.10 Định lý

Giả sử 1, 2 là tơng đơng và cùng hớng Khi đó:

) (

2 1

2

) , (

* )

0 0 1

u v

J

X X u v X

0 0

zx[(vX1uX2)Y2  (vY1 uY2)X2]

 (uv3  u3vuv)(X1Y2  X2Y1)

dv du uv v u

(

1

2 2

(

1

1

2 4 2 3

(

2

2 2

0

1

2 ) 2

2 4 (

1

1

2 4



) (

2 1

3

) , (

* )

Z dv Y dv X dv

Z du Y du X du



3 3 3

2 2 2

1 1 1

Z Y X

Z Y X

Z Y X

u v J

0

0

0 0 1

0

0

0 0 1

X X X v t

0

0

0 0 1

Y Y Y v t

0

0

0 0 1

Z Z Z v t

'

' '

' 3

3

Z dz Y dz X dz

Z dy Y dy X dy

Z dx Y dx X dx t v u



3 2 3 2 3 2

2 1 2 1 2 1

1 1

1 3

3

vZ tZ vY tY vX tX

uZ vZ uY vY uX vX

Z Y

X t v u

1 1 1 3

3 3

2 2 2

1 1 1 3 3

0 0 0

tZ tY tX

vZ vY vX vZ

vY vX

uZ uY uX

Z Y X t v u

3 3 3

2 2 2

1 1 1 3 3

vZ vY vX

uZ uY uX

Z Y X t v u



3 3 3

2 2 2

1 1 1 3

Z Y X

Z Y X

Z Y X v u t v u



4 1

* )

     

     

 ,  '  '

' '

'

' '

'

Z dz Y dz X dz

Z dy Y dy X dy

Z dx Y dx X dx u



3 2 3 2 3 2

2 1 2 1 2 1

1 1

1

vZ tZ vY tY vX tX

uZ vZ uY vY uX vX

Z Y

X u

1 1 1 3

3 3

2 2 2

1 1

tZ tY tX

vZ vY vX vZ

vY vX

uZ uY uX

Z Y X u

3 3 3

2 2 2

1 1 1

vZ vY vX

uZ uY uX

Z Y X u



3 3 3

2 2 2

1 1 1

.

Z Y X

Z Y X

Z Y X v u u

* )

( 1 )

1

k j

k j

k j i

k t

k j

t t

i

dy dy

dy dy y

f j

k

i i

i S

* )

k i

i

j dy dy y

k

j

dy dy

 

1

1 2 1

i k

dy f dy

dy

k j k

i

k k

IV.Tích phân k-dạng vi phân với giá trị véctơ trên đa tạp Riman

Cho (M,g) là một đa tạp Riemann định hớng,compact có biên là M với

U, I là họ hữu hạn tập bản đồ của M, ký hiệu U mở trong Rn



U x x i /a i x i b i,a n x n b n,i 1 ,n 1

M={x(xi)/xn=bn hoặc xn=an}

Các xi là biến, còn xn là hằng và khi đó M là một đa tạp n-1 chiều

Nh ta đã biết (Xem [6]): Gọi U, I là một phủ mở của M, tức

M = U là tập mở trong M, luôn tồn tại họ hàm số khả vi gI trên M thoả mãn:

i) g  0

ii) Suppg U là bao đóng của tập các điểm p  M mà g p  0

iii) Họ {Suppg}I hữu hạn địa phơng, tức là mọi p  M có lân cận chỉ giao với một số hữu hạn tập Suppg

i) Theo giả thiết g  0, f  0 p  M  g.f 0p  M

ii) Suppg U,Suppf V

k-) , ,

*B  1B là hợp các hộp có phần trong rời nhau

*Việc lấy tích phân trên M là lấy tích phân trên các ngăn có phần trong rời nhau

2.15 Định lý

Tích phân 

M

 không phụ thuộc vào việc chọn phân hoạch đơn vị.

Chứng minh: Ta chứng minh định lí này theo từng thành phần của Nghĩa

là ta chứng minh: Tích phân 

M i

 không phụ thuộc vào việc chọn phân hoạch đơn vị

Thật vậy, giả sử U,  ; V ,   là hai tập bản đồ trên M, g là phân hoạch đơn vị ứng với U ;  f là phân hoạch đơn vị ứng với V.

Theo (2.13) ta có g  f là phân hoạch đơn vị ứng với U  V

 theo họ f

Vậy tích phân 

M i

 không phụ thuộc vào việc chọn phân hoạch đơn vị.

Trong luận văn này, chúng tôi đã thực hiện đợc những việc sau đây:

1 Chứng minh định lý 1.22; trình bày phơng pháp tìm nguyên hàm của cácdạng đóng trên một tập sao trên đa tạp Riemann ở các ví dụ 1.25

2 Trình bày cách xây dựng tích phân 1- dạng vi phân với giá trị véc tơ dọc

đờng cong , tích phân k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên ngăn Rn, tíchphân k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann

3 Chứng minh định lý Stokes 2.12

4 Chứng minh các định lý 2.13, 2.15

5 Nêu một số ứng dụng của định lý Stokes 2.16

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu tích phân k - dạng viphân với giá trị véc tơ trên trờng số phức

tµi liÖu tham kh¶o

[1].Khu Quèc Anh - NguyÔn Do·n TuÊn (2004): LÝ thuyÕt liªn th«ng vµ

H×nh häc Riemann - NXB §¹i häc S ph¹m Hµ néi 1

[2] H.Cartan (19)80) - PhÐp tÝnh vi ph©n vµ c¸c d¹ng vi ph©n -NXB §¹i häc

vµ THCN

(B¶n dÞch tiÕng ViÖt do Hoµng H÷u Nh - Phan V¨n H¹p dÞch tõ tiÕng Nga)

[3].NguyÔn V¨n Khuª - Lª MËu H¶i (2004) - PhÐp tÝnh vi ph©n - d¹ng vi

ph©n trong kh«ng gian Banach - NXB §¹i häc S ph¹m Hµ néi 1.

[4].NguyÔn H÷u Quang (2005) - §a t¹p kh¶ vi - §¹i häc Vinh.

[5].NguyÔn H÷u Quang (2005) - Më ®Çu vÒ H×nh häc Riemann - §¹i häc

Vinh

[6].§oµn Quúnh (2003) - H×nh häc vi ph©n - NXB §¹i häc S ph¹m Hµ néi

[7].§oµn Quúnh - TrÇn §×nh ViÖn - Tr¬ng §øc Hinh - NguyÔn H÷u Quang

(19)9)3) - Bµi tËp H×nh häc vi ph©n - NXB Gi¸o dôc.

[8].M.Xpivak (19)85) - Gi¶i tÝch to¸n häc trªn ®a t¹p - NXB §¹i häc vµ

trung häc chuyªn nghiÖp.MNM

(B¶n dÞch tiÕng ViÖt do Hoµng H÷u §êng dÞch tõ tiÕng Anh)