Ước lượng gradient địa phương cho các hàm p điều hòa trên đa tạp riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN VĂN SƠN

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP

RIEMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN VĂN SƠN

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP

RIEMANN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Thạc Dũng

Mục lục

1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 71.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann 71.2 Liên thông Affine và liên thông Levi-Civita 141.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci 17

2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA 212.1 Ước lượng chuẩn Lb1 cho gradient của hàm p-điều hòa 212.2 Phương pháp lặp Moser và ước lượng gradient của các hàmp-điềuhòa Các ứng dụng 36

Lời cám ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS NguyễnThạc Dũng, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoànthành luận văn tốt nghiệp Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡcủa các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học Tựnhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô của Viện Toán, những người đãgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thờigian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mongnhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoànthiện hơn

Hà Nội, năm 2014

Danh mục ký hiệu

C∞ Tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn

C0k Tập hợp tất cả các hàm khả vi cấp k có giá compact

Wk,p Không gian Sobolev chứa các hàm và các đạo hàm yếu của nó tới bậc

k có chuẩn Lp hữu hạn, với p ≥ 1 cho trước

W0k,p Không gian định chuẩn là bao đóng của C0k trong Wk,p

Wlock,p Không gian các hàm khả tích địa phương trong Wk,p

Mở đầu

Việc nghiên cứu các hàm điều hòa trên đa tạp Riemann là một trong nhữngđối tượng chính trong hình học vi phân Việc nghiên cứu này là cần thiết vì lýthuyết các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ đến hình học và tôpô của đa tạp.Một trong các bài toán được quan tâm trong lý thuyết này là tìm các ước lượnggradient cho các hàm này Trong bài báo nổi tiếng của mình, Cheng-Yau [12] đãchứng minh ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương trên đa tạp Riemannnhư sau

Định lý 0.1 (Cheng-Yau) Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ n-chiều với Ric ≥ −(n − 1)κ, với κ ≥ 0 là một hằng số Giả sử u là một hàm điều hòa dươngtrên hình cầu trắc địa B(o, R) Khi đó

trong đó C n là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n.

Điều quan trọng trong ước lượng của Cheng-Yau là vế phải của Định lý 0.1chỉ phụ thuộc vào n, κ và R.

Có hai phần chính trong chứng minh của định lý trên Phần quan trọng đầutiên là công thức Bochner được sử dụng để ước lượng cận dưới của toán tửLaplace tác động lên |∇u|2 của một hàm điều hòa u bởi các số hạng chỉ phụthuộc vào cận dưới của độ cong Ricci Phần quan trọng thứ hai là một kỹ thuậtthông minh về nguyên lý cực đại Kỹ thuật này là nhân |∇u| 2 với một hàmcut-off được xây dựng bằng cách sử dụng hàm khoảng cách Kết quả là, bấtđẳng thức vi phân mới liên quan đến Laplace của hàm khoảng cách Như đãbiết, hàm khoảng cách trên đa tạp Riemann là Lipschitz đều và toán tử Laplacetác động lên hàm khoảng cách có một cận trên chỉ phụ thuộc vào cận dưới củatensor Ricci

Cách tiếp cận của Cheng-Yau là rất hữu ích và một số kết quả quan trọng

của nhiều bài toán khác nhau được ảnh hưởng sâu sắc bởi định lý trên Lấy ví

dụ, năm 1979, P.Li [4] thu được một ước lượng cận dưới chặt cho giá trị riêngthứ nhất của toán tử Laplace trên một đa tạp, kết quả này sau đó được tổngquát bởi Li-Yau [5] Các kết quả tương tự cho phương trình nhiệt cũng thu đượcbởi Li-Yau Ngoài ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] đã chứng minh các ước lượnggradient cho ánh xạ điều hòa,

Mặt khác, các hàm p-điều hòa (p > 1) được xem là mở rộng tự nhiên của cáchàm điều hòa từ quan điểm biến phân Nó đã được nghiên cứu rộng rãi vì cónhiều đặc trưng và ứng dụng thú vị So với lý thuyết hàm điều hòa, các nghiêncứu về các hàm p-điều hòa nói chung là khó khăn hơn vì phương trình này mặc

dù là elliptic, nhưng là suy biến và các kết quả về tính chính quy là yếu hơn.Gần đây, các hàm p-điều hòa được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toánhọc Đặc biệt, năm 2007, R.Moser [11] đã thiết lập một liên hệ giữa các hàmp-điều hòa và bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình Trong một bài báogần đây vào năm 2009, Kotschwar và Ni [2] đã chứng minh được nhiều kết quảcho hàm p-điều hòa, một trong số đó là một ước lượng gradient địa phương chocác hàm p-điều hòa với giả thiết rằng độ cong nhát cắt bị chặn hạn dưới Đángchú ý là hằng số trong tính toán của họ không bị tăng vọt khi p → 1, dẫn đếnkết quả thú vị về bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình Phương phápchứng minh của họ là tương tự với phương pháp được phát triển bởi Cheng vàYau năm 1975 cho các hàm điều hòa (tức là p = 2).

Kotschwar và Ni đã dự đoán rằng ước lượng của họ có thể giữ nguyên nếuchỉ giả thiết về cận dưới của tensor Ricci Năm 2011, X D Wang và L Zhang[13] đã chứng minh phỏng đoán của Kotschwar và Ni bằng cách thiết lập định

lý sau

Định lý 0.2 Cho (Mn, g) là một đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)k.Giả sử v là một hàm p-điều hòa dương trong hình cầu B(o, R) ⊂ M Khi đó, tồntại một hằng số Cp,n (chỉ phụ thuộc vào p và n) sao cho

|∇v|

v ≤ Cp,n(1 +

√ kR) R

trên B(o, R/2).

Chú ý rằng khi p = 2, các hàm p-điều hòa chính là hàm điều hòa Do đó

ước lượng gradient này có thể xem là tổng quát hóa của ước lượng gradient củaCheng-Yau như đã đề cập đến trong phần đầu của lời giới thiệu.

Toàn bộ nội dung của luận văn này là để làm rõ cách chứng minh của định

lý kể trên của Wang-Zhang Luận văn được viết lại dựa trên bài báo [13] và baogồm hai chương Trong phần chương một, tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản vềhình học vi phân và toán tử Laplace trên đa tạp Riemann Trong chương hai,tôi phân tích kỹ và trình bày một cách chi tiết các bước chứng minh của định lýWang-Zhang Trong đó, chúng ta sử dụng một phiên bản của công thức Bochnercho hàm p-điều hòa, công thức này được sử dụng cho toán tử tuyến tính hóacủa toán tử phi tuyến ∆p và được giới thiệu trong bài báo của Kotschwar-Ni.Nhờ công thức này, chúng ta thu được một ước lượng chuẩn trong không gian

Lb1 của grandient của hàm p-điều hòa với b1 phù hợp Phần tiếp theo là chứngminh một ước lượng cận trên của chuẩn sup theo chuẩn Lb1 này bằng cách sửdụng phép lặp Moser, kết quả là chứng minh được Định lý 0.2 Tôi cũng đưa

ra chứng minh của hai kết quả liên quan đến ước lượng gradient này Kết quảđầu tiên là định lý kiểu Harnack và kết quả thứ hai là định lý Liouville cho hàmp-điều hòa.

1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann

A Đa tạp trơn

Định nghĩa 1.1 Cho M là một không gian tôpô Hausdorff và có cơ sở đếmđược Nó được gọi là một đa tạp tôpô n chiều nếu với mọi p ∈ M, tồn tại một bộ

ba {ϕ, U, V } trong đó U là một lân cận của p trong M, V là một tập con mở của

Rn, ϕ : U → V là một đồng phôi Một bộ ba như vậy gọi là một bản đồ tại p.Hai bản đồ {ϕ1, U1, V1} và {ϕ2, U2, V2} được gọi là tương thích nếu hàm chuyển

ϕ12= ϕ2◦ ϕ−11 : ϕ1(U1∩ U2) → ϕ2(U1∩ U2)

là một đồng phôi Chú ý rằng các tập ảnhϕ1(U1∩ U2), ϕ2(U1∩ U2)là các tập mởthuộc Rn

Định nghĩa 1.2 Một tập A = {ϕα, Uα, Vα} trên M được gọi là một tập bản đồnếu các bản đồ của A đều tương thích với nhau và S

α Uα = M Hai tập bản đồtrên M được gọi là tương đương nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ trên

M

Định nghĩa 1.3 Một đa tạp trơn n-chiều M là một đa tạp tôpô n-chiều đượctrang bị một lớp tương đương các tập bản đồ sao cho các hàm chuyển là các hàmtrơn Một lớp tương đương của một tập bản đồ trơn được gọi là một cấu trúctrơn trên M.

Ví dụ 1.4 Một vài đa tạp trơn cùng với cấu trúc trơn

• Rn là một đa tạp trơn

• Một tập con mở của đa tạp trơn cũng là một đa tạp trơn

Ví dụ 1.5 Hình cầuSn = {(x1, · · · , xn+1) ∈ Rn+1|x 2

1 + · · · + x2n+1 = 1} là một đatạp trơn Cho U1 = Sn − {(0, · · · , 0, 1)} và U2 = Sn − {(0, · · · , 0, −1)}, ta xét cácphép chiếu nổi ϕi: Ui→ R n định nghĩa bởi

Định nghĩa 1.6 Một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn được gọi là trơnnếu với mỗi bản đồ {ϕ α , U α , V α } bất kì của M và {ψβ, Xβ, Yβ} bất kì của N, khi

Cho M là một đa tạp trơn n-chiều.

Định nghĩa 1.7 Một vectơ tiếp xúc tại một điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyếntính Xp: C∞(U ) →R thỏa mãn quy tắc Leibnitz

Xp(f g) = f (p)Xp(g) + Xp(f )g(p).

Ở đây U là một lân cận của p như trong Định nghĩa 1.1.

Tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc của M tạiplập thành một không gian vectơ

và được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là TpM Khônggian đối ngẫu của TpM được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và kýhiệu là Tp∗M Cả hai không gian T p M và Tp∗M đều là không gian vectơ n-chiều.Hơn nữa, người ta đã chỉ ra rằng cho{ϕ, U, V }là một bản đồ tạipvớiϕ(p) = 0.Khi đó các ánh xạ

∂i: C∞(U ) →R, f 7→ ∂f ◦ ϕ

−1

∂x i (0), i = 1, 2, · · · , n

là các vectơ tiếp xúc tạip Chúng độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của

TpM Để mô tả không gian đối tiếp xúc Tp∗M, chúng ta cần đưa ra định nghĩasau

Định nghĩa 1.8 Cho f : M → N là một ánh xạ trơn Khi đó, với mỗi p ∈ M,

vi phân của f là một ánh xạ tuyến tính dfp: TpM → Tf (p)N được định nghĩa bởi

Nói cách khác, df p ∈ Tp∗M là một vectơ đối tiếp xúc tại p.

Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương tại p Từ bây giờ, chúng ta sẽ viết

ϕ = (x1, · · · , xn) với mỗi xk là một hàm tọa độ thứ k trên U và ký hiệu bởi{U, x 1 , · · · , xn} Khi đó, cơ sở đối ngẫu của {∂1, · · · , ∂n}trongTp∗M là{dx 1

p , · · · , dxnp}và

dfp = (∂1f )dx1p+ · · · + (∂nf )dxnp.Quy ước tổng Einstein: Nếu trong một biểu thức xuất hiện chỉ số trên và chỉ

số dưới tương tự nhau, khi đó, biểu thức sẽ được hiểu là tổng của tất cả các giátrị có thể có của chỉ số đó (thường là từ 1 đến số chiều) Vì vậy, biểu thức trên

có thể viết lại thành dfp= ∂kf dxkp

Định nghĩa 1.9 Một trường vectơ X trên đa tạp trơn M là một phép tươngứng mỗi điểm p ∈ M với một vectơ tiếp xúc X p ∈ T p M Nó được gọi là trơn nếuvới mỗi f ∈ C∞(M ), hàm

1 Ep = π−1(p) là một không gian vectơ k-chiều.

2 Tồn tại một lân cận mở U của p và vi phôi ΦU : π−1(U ) → U ×Rk sao cho

ΦU(π−1(p)) = {p} ×Rk

3 Nếu U, V là hai tập mở với p ∈ U ∩ V, và ΦU, ΦV là các vi phôi xác định nhưtrên, khi đó ánh xạ

gU V(p) = ΦU ◦ Φ−1V : {p} ×Rk → {p} ×Rk

là tuyến tính và phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V

Chúng ta thường gọi E là không gian tổng, M là cơ sở, π−1(p) là một thớ trên

p, và ΦU là tầm thường địa phương Một phân thớ vectơ hạng một thường đượcgọi là phân thớ đường thẳng

Ví dụ 1.11 Ta đặtT M = ∪ p T p M là hợp rời của các không gian vectơ tiếp xúc.Khi đó, với ánh xạ chiếu

π : T M → M, (p, Xp) 7→ p,

T M là một phân thớ vectơ hạng n trên M Chúng ta sẽ gọi T M là phân thớvectơ tiếp xúc trên M Một ánh xạ tầm thường địa phương của T M cho bởi

T ϕ = (π, dϕ) : π−1(U ) → U ×Rn

trong đó {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương của M

Ví dụ 1.12 Phân thớ vectơ T∗M = ∪pTp∗M cũng là một phân thớ vectơ hạng

n trên M Nó là phân thớ đối ngẫu của T M

Bây giờ, cho (π1, E1, M ) và (π2, E2, M ) là hai phân thớ vectơ hạng k1, k2 trên

M Chúng ta xác định phân thớ từ tensor(π1⊗ π2, E1⊗ E2, M ) là phân thớ vectơ

có hạng k1k2 trên M với thớ sau

(π1⊗ π2)−1(p) = (E1)p⊗ (E2)p = span{ei1⊗ ej2},trong đó ei1, ej2 tương ứng là cơ sở của (E1)p và (E2)p, ei1⊗ ej2 có thể coi như mộtánh xạ song tuyến tính

ei1⊗ ej2 : E1∗× E2∗ →R, (v1, v2) 7→ ei1(v1)ej2(v2).

Định nghĩa 1.13 Một lát cắt trơn của phân thớ vectơ (π, E, M ) là một ánh xạtrơn s : M → E thỏa mãn π ◦ s = IdM Tập hợp các lát cắt trơn của E được kýhiệu là Γ∞(E).

hXp, Ypip = Xi(p)Yj(p)h∂i, ∂jip = gij(p)Xi(p)Yj(p)

Ta có thể viết g = gijdxi⊗ dx j, hoặc gọn hơn là g = gijdxidxj

Dễ thấy, gij có các tính chất sau

• gij(p) là trơn với mọi p ∈ M, với mọi i, j.

• gij = gji, ma trận (gij(p)) là đối xứng với mọi p

• Ma trận (gij(p)) xác định dương với mọi p

Chú ý rằng, ma trận (gij) không suy biến và ta ký hiệu (gij) là ma trận nghịchđảo của (gij).

Cho (M, g) là một đa tạp Riemann Ta có một phép đẳng cấu giữa các trườngvectơ trên M và các dạng vi phân trên M

là một dạng vi phân dương trên U, trong đó G = det(g ij ) và dx1∧ · · · ∧ dxn là độ

đo Lebesgue trên Rn

Cho w là một n-dạng vi phân w = f dx1∧ ∧ dx n, xét ánh xạ

ιX : ∧n(M ) → ∧n−1(M ).

xác định bởi

(ιXw)(Y1, Yn−1) = w(X, Y1, , Yn−1)pvới Y 1 , Y n−1 ∈ T p M với mọi p ∈ M

Định nghĩa 1.16 Toán tử divergence của X là hàm div(X) trên M định nghĩabởi

(divX)dV ol = d {ιXdV ol} Giả sử X =

n

P

i=1

Xi∂ i, dễ dàng tính toán được,(ιXdV ol)(Y1, , Yn−1)

dx2(Y1) · · · dx2(Yn−1)

.

dxn(Y1) · · · dxn(Yn−1)

− X2

... + < /p>

divX = √1 < /p>

G∂i(X < /p>

i √ G). < /p>

Trên đa t? ?p Riemann (M, g),... Γ∞(T M ) → Γ∞(T M ), < /p>

trong [X, Y ] = XY − Y X. < /p>

C Liên thông Levi-Civita < /p>

Cho (M, g) đa t? ?p Riemann. .. < /p>

Cho (U, x1, · · · , xm) đồ địa phương, tồn hàm Γkij Uthỏa mãn < /p>

∇∂i∂j