Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có: a+b +... Chứng minh rằng:..[r]
Trang 1TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng √a+√b>√a+b
Giải:
Cách 1: Ta có:
√a+b¿2
√a+ √b¿2>¿
√a+√b>√a+b ⇔¿
⇔ a+2√ab+b>a+b
⇔ 2√ab>0
(Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2 √ab>0 ) Vậy √a+√b>√a+b
Cách 2:
√a+√b¿2
¿
¿
√a+√b=√¿
(vì 22 √ab>0 )
2) Chứng minh rằng: x 2 + 3 + 1
x2+3≥
10 3
Giải:
Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương x2+3
1
x2+3 ta có:
x2+3+ 1
x2+3=
x2+3
9 +
1
x2+3+
8
9(x
2+3)≥2√x2+3
9 .
1
x2+3+
8
9.3=
2
3+
8
3=
10 3
3) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng:
b+c a + b
a+c+
c a+b ≥
3 2
Giải:
a
b +c+
b a+c+
c a+b ≥
3 2
⇔ a b+c −
1
2+
b a+c −
1
2+
c a+b −
1
2≥ 0
⇔ 2 a − b −c
1
2+
2 b − a− c
1
2+
2 c − a −b
1
2≥ 0
⇔ a −b b+c +
a − c b+c+
b −a a+c +
b −c a+c +
c − a a+b+
c −b a+b ≥ 0
⇔(a− b)(b+c1 −
1
a+c)+(a −c )(b+c1 −
1
a+b)+(b − c)(a+c1 −
1
a+b)≥ 0
⇔(a −b) a − b
(b+c )(a+c)+(a − c).
a− c
(a+b)(b+c)+(b− c).
b −c
(a+c)(a+b)≥ 0
a −b¿2
¿
a − c¿2
¿
b − c¿2
¿
¿
¿
¿
⇔¿
(BĐT đúng)
b+c+
b a+c+
c a+b ≥
3 2
4) Cho a + b 1 Chứng minh rằng a 2 + b 2 1
Ta có: a + b 1 a+b ⇒¿¿2≥ 1
Mà (a – b)2 0 Do đó (a + b)2 + (a - b)2 1
Trang 2
⇒a2+2 ab+b2
+a2−2 ab+b2≥ 1
⇒ 2(a2
+b2)≥1
⇒(a2
+b2)≥1 2
5) Cho a > b, b > c, c > 0 Chứng minh rằng: √c (a − c)+√c (b −c )≤√ab
Giải:
Ta có: √c (a − c)+√c (b −c )≤√ab
√c (a − c)+√c (b −c )¿2≤√ab2
⇔¿
⇔ √a −c√c+√c√b −c¿2≤√ab2
¿
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki
√a −c√c+√c√b −c¿2≤ (a −c +c )(c +b − c)=ab=√ab2
¿
Vậy √c (a − c)+√c (b −c )≤√ab
6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 a , b , c ≤ 2 và a+b+c=3 Chứng minh rằng: a2
+b2+c2≤ 5
Giải:
0 a , b , c ≤ 2
¿
⇒
a ,b , c ≥ 0
2 −a ,2 −b , 2 −c ≥ 0
¿
⇒ abc ≥0
(2 −a)(2 −b)(2 − c)≥0
¿
¿{
¿
⇒ abc+(2− a)(2− b)(2 −c )≥ 0
⇔abc +8 − 4 a − 4 b − 4 c +2 ab+2 bc+2 ac − abc ≥0
⇔ −2(ab+bc +ac)≤8 − 4 (a+b+c)=− 4
⇒ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca) 32
− 4=5
7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0
Giải:
Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có:
b + c > a, c + a > b, a + b > c
⇒ a2(b + c) > a2 a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c
⇒ a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3
⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3
⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)
8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2
Giải:
a < b + c (bất đẳng thức tam giác)
⇒ a + a < a + b + c
⇒ 2a < 2 ⇒ a < 1 Tương tự b < 1, c < 1
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
⇔ (1 – b – a + ab)(1 - c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
⇒ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2
⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2)
Trang 39) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a
3+b3
2 ≥(a+b2 )3
Giải:
a3+b3
2 ≥(a+b2 )3 ⇔ a3+b3
2 −(a+b2 )3≥ 0
⇔(a+b)(a
2
− ab+b2)
2 −(a+b2 )3≥ 0
⇔(a+b)(a
2−ab+b2
)
2 −(a+b2 )3≥ 0
⇔ a+b
2 .[(a2−ab+b2)−(a+b2 )2]
⇔ a+b
2 .
4 a2− 4 ab+4 b2−(a2+2ab +b2)
⇔(a+b)(4 a2
− 4 ab+4 b2− a2− 2 ab −b2)≥ 0
⇔(a+b)(3 a2
− 6 ab+3 b2)≥ 0
a −b¿
2
≥ 0
⇔3(a+b)¿ (BĐT đúng)
3
+b3
2 ≥(a+b2 )3
10) Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 1 ab + a + b
Giải:
Ta có: a2 + b2 2ab
b2 + 1 2b
a2 + 1 2a
⇒ 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b)
⇔ (a2 + b2 + 1) ab + a + b
11) Cho các số dương x,y,z 0 và x + y + z = 1 Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có:
(1-x)(1-z) (1− x +1 − y2 )2
⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y)
⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y)
12) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 1a+1
b+
1
c ≥ 9
Giải:
a+
1
b+
1
c ≥ 9 ⇔(a+b +c)(1a+
1
b+
1
c)≥ 9 (vì a+b+c=1)
⇔1+1+1+ a
b+
a
c+
b
a+
b
c+
c
a+
c
b ≥ 9
⇔ a
b+
b
a+
b
c+
c
b+
c
a+
a
c ≥ 6
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
a
b+
b
a+
b
c+
c
b+
c
a+
a
c ≥ 2√a
b.
b
a+2√b
c.
c
b+2√c
a.
a c
⇔ a
b+
b
a+
b
c+
c
b+
c
a+ a
c ≥ 2+2+2=6
Trang 4Vậy với các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 1a+1
b+
1
c ≥ 9
13) Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca)
Giải:
a) Ta có: a2 + b2 2ab
b2 + c2 2bc
c2 + a2 2ca
⇔ 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca)
⇔ (a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca)
Mặt khác a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
a<b+c; b<c+a;c<a+b
⇒a a<a(b+c);b b <b(c+a);c c<c(a+b)
⇒a2
<ab+ac ;b2<bc +ba ;c2<ca+cb
⇒ a2
+b2+c2<2(ab+bc+ac)
Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
1+b2 2 √1 b2=2 b
⇒ a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) a.2b + b.2c + c.2a = 2ab + 2bc + 2ca Vậy a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca)
14) Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì x 2 + y 2 + z 2 1
3
Giải:
Ta có: x2 + y2 + z2 1
3
⇔ x2
+1
9+y
2
+1
9+z
2
+1
9−
2
3≥ 0
⇔ x2
− 2 x 1
3+
1
9+y
2
− 2 y 1
3+
1
9+z
2
− 2 z 1
3+
1
9+
2
3(x + y +z )−
2
3≥0
z −1
3¿
2
+2
3 1−
2
3≥ 0
¿
y −1
3¿
2
+¿
x −1
3¿
2
+¿
⇔¿
z −1
3¿
2
+2
3.1 −
2
3≥ 0
y −1
3¿
2
+¿
x −1
3¿
2
+¿
⇔¿
z −1
3¿
2≥ 0
y −1
3¿
2
+¿
x −1
3¿
2
+¿
⇔¿
(là bất đẳng thức đúng)
15) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng:
Trang 51a+1
b+
1
c ≥
1
√ab+
1
√bc+
1
√ca
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
1
a+
1
b ≥2√1a.
1
b=
2
√a b 1
b+
1
c ≥ 2√1b.
1
c=
2
√b c
1
c+
1
a ≥ 2√1c.
1
a=
2
√c a
⇒ 2(1
a+
1
b+
1
c)≥2(
1
√ab+
1
√bc+
1
√ca)
⇔ 1a+1
b+
1
c ≥
1
√ab+
1
√bc+
1
√ca
16) Cho a 0, b 0,c 0 Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c)
Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 2ab hai lần
17) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây đúng với mọi số thực x,y khác 0
x
2
y2+y2
x2+4 ≥3(x y+
y
x)
Giải: Ta có: x
2
y2+
y2
x2+4 ≥3(x y+
y
x)
⇔( x2
y2+
y2
x2+2)+2 − 3(x y+
y
⇔(x y+
y
x)2−1+3 −3(x y+
y
x)≥ 0
⇔(x y+
y
x+1)(x y+
y
x −1)−3( x y+
y
x − 1)≥ 0
⇔(x y+
y
x − 1)(x y+
y
x −2)≥ 0
⇔ x2+y2− xy
x2
+y2−2 xy
x − y¿2
¿
[ (x − y
2)+3
4 y
2
]¿
⇔¿
(là bất đẳng thức đúng)
2
y2+
y2
x2+4 ≥3(x y+
y
x)
18) Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng: a + b + 1
a+b
5 2
Giải:
Trang 6Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có:
a+b + 1
a+b=
3
4(a+b)+
1
a+b+
1
4(a+b)≥
3
4 2√ab+2√ 1
a+b.
1
4(a+b)=
3
2+1=
5 2
19) Chứng minh rằng với a,b,c là các số dương thì ta có:
a
2
b2+c2+
b2
c2+a2+
c2
a2+b2≥
a b+c+
b
c +a+
c a+b
Giải: Vai trò a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giải sử a b c>0 Ta có
a2
b2+c2−
a
b+c=
a2(b +c)− a(b2+c2) (b2+c2)(b+c) =
a2b +a2c − ab2−ac2
(b2+c2)(b+c) =
a2b − ab2+a2c − ac2
(b2+c2)(b+c) =
ab(a − b)+ac(a− c )
(b2+c2)(b+c)
Tương tự ta có:
b2
c2+a2−
b
c +a=
bc(b −c )+ba(b − a)
(c2+a2)(c+a)
c2
a2
+b2− c
a+b=
ca (c −a)+cb (c − b)
(a2
+b2)(a+b)
2
b2+c2+
b2
c2+a2+
c2
a2+b2−
a b+c −
b c+a −
c a+b=¿
ab(a −b)+ac (a − c)
(b2
+c2)(b+c ) +
bc(b − c)+ba (b − a)
(c2+a2)(c +a)
+ ca (c −a)+cb(c − b)
(a2+b2)(a+b) = ab(a-b) [(b2 1
+c2
)(b+c ) −
1 (c2
+a2
)(c +a)] +……… 0
20) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a + b +c = 1 Chứng minh rằng: a + b 16abc
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có:
⇒b+c≥ 4 a¿
21) Cho x 2 + 4y 2 = 1 Chứng minh |x − y|≤√5
2
Hướng dẫn: Đặt x – y = A ⇒ x = A + y rồi thay vào biểu thức x2 + 4y2 = 1…… dùng kiến thức về phương trình bậc hai để suy ra điều phải chứng minh
22) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
Giải:
Ta có: a2 – (b – c2) a2 ⇒ (a+b-c)(a-b+c) a2
Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b2
(c+a-b)(c-a+b) c2
⇒ [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 (abc)2
⇒ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
23) Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x+y+z) 2 với mọi x,y,z
Giải:
3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x+y+z)2
⇔2 x2+2 y2+2 z2−2 xy −2 yz − 2 zx ≥ 0
x+ y+ z¿2+x2+y2+z2≥ 0
Vậy 3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x+y+z)2
24) a) Chứng minh √a2
b +√b2
a ≥√a+√b (với a,b > 0)
Trang 7b) Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4
Giải:
a) √a2
b+√b2
a ≥√a+√b ⇔√a2
b +√b2
a+√a+√b ≥2√a+2√b
⇔√a2
b+√b+√b2
a +√a ≥2√a+2√b
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
√a2
b+√b+√b2
a +√a 2 √ √a2
b .√b+2√ √b2
a .√a=2√a+2√b
Vậy √a2
b +√b2
a ≥√a+√b
b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2)
= (a – b)2[(a + b
2¿
2 + 3 b2
⇒ a4 + b4 a3b + ab3
⇒ 2(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab3
⇒ 2(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b)
⇒ 2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3)
⇒ 2(a4 + b4) 2( a3+ b3) vì a + b 2 >0
Vậy a3+b3 a4 + b4
25) a) Cho a 0, b 0 Chứng minh: a+b ≥12 ab
9+ab
b) Cho a2+b2≥1
4
+b4≥ 1
32
Giải:
a) a+b ≥12 ab
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có:
a+b ≥ 2√ab; 9+ab ≥ 2√9 ab
⇒(a+b)(9+ab)≥ 2√ab 2 √9 ab=12 ab
b) Ta có:
a4 + b4 =
a2+b2
¿2=1
2.(14)2= 1
32
a2− b2
¿2≥1
2¿
a2+b2¿2+1
2¿ 1
2¿
26) Cho a+b+c abc Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 abc
- Trường hợp : |a|≥ 1 ;|b|≥ 1;|c|≥ 1
Ta có: a2+b2+c2≥|a|+|b|+|c|≥ a+b+c ≥ abc
- Trường hợp: trong ba số |a|;|b|;|c| có ít nhất một số nhỏ hơn 1
Không mất tính tổng quát, giả sử |c|≤1
Ta có: a2+b2+c2 a2+b2 2|ab|≥|abc|≥ abc
27) Cho x 1, y 1 Chứng minh 1
1+x2+ 1
1+ y2≥ 2
1+xy
Giải:
1+x2+ 1
1+ y2≥ 2
1+xy
Trang 8⇔ 1
1+x2−
1 1+xy+
1
1+ y2−
1 1+xy≥ 0
⇔
28) Chứng minh rằng √a2+b2≥ a+b
√2 với mọi a,b
Giải: Nếu tổng a+b < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
a+b¿2⇔ 2 a2
+2b2− a2−2 ab+b2≥ 0
√a2+b2≥ a+b
√2 ⇔√2(a2+b2)≥ a+b⇔2(a2
+b2)≥¿
a −b¿2≥ 0
Vậy √a2+b2≥ a+b
√2 với mọi a,b
29) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh:
1
p − a+
1
p −b+
1
p − c ≥ 2(1a+
1
b+
1
c)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức 1x+1
y ≥
4
30) Cho a,b,c>0 Chứng minh : a3
b +
b3
c +
c3
a ≥ ab+bc+ca
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số a3
31) Chứng minh rằng: −1
2≤
(a+b)(1 − ab) (a2+1)(b2
+1)≤
1 2
Giải:
Ta có:
|x|−|y|¿2≥ 0 ⇔ x2
+y2−2|xy|≥ 0 ⇔|x2 xy2+y2|≤1 (∗)
¿
Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2
1− ab¿2
a+b¿2+¿
¿
(a+b)(1− ab)
¿
⇒|(a+b)(1 −ab)
(a2+1)(b2+1)|=¿
Áp dụng (*) ta có:
1 − ab¿2
a+b¿2+¿≤1
2
¿ (a+b)(1− ab)
¿
¿
⇒|(a+b)(1 −ab)
(a2+1)(b2
+1)|≤1
2
⇔− 1
2≤|(a+b)(1 −ab)
(a2+1)(b2+1)|≤1
2
Trang 932) Cho a 0, b 0 Chứng minh rằng:
a+b¿2+1
4(a+b)≥ a√b+b√a 1
2¿
Giải:
Ta có:
a+b¿2+1
4(a+b)=
1
2(a+b)(a+b+
1
2)=
1
2(a+b)(a+
1
4+b+
1
4) 1
2¿
Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có:
1
2(a+b)(a+
1
4+b+
1
4) 12.2√ab(2√a 1
4+2√b 1
4)=√ab(√a+√b)=a√b+b√a
Vậy
a+b¿2+1
4(a+b)≥ a√b+b√a 1
2¿
33) Cho xy =1, x>y Chứng minh rằng x
2
+y2
x − y ≥ 2√2
Giải:
Ta có:
x − y¿2+2 xy
¿
¿
x2+y2
x − y =¿
(theo BĐT côsi)
34) Chứng minh: 1
√1 1999+
1
√2 1998+ +
1
√1999 1>1 , 999
Giải:
√ab≤
2
a+b dấu ‘=’ xảy ra khi a = b
Trong bài toán trên thì dấu ‘=’ không xảy ra vì a b
Ta có:
1
√1 1999+
1
√2 1998+ +
1
√1999 1>
2 1+1999+
2 2+1998+ +
2 1999+1=
2
2000+
2
2000+ .+
2 2000
⏟
1999 so
0 ,001+0 , 001+ +0 ,001
⏟
1999so
=1, 9999
35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a 2 +b 2 +c 2 =5/3 Chứng minh rằng: 1
a+
1
b −
1
c<
1 abc
Giải:
⇒ a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc 0
⇒ 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2
Mà a2+b2+c2=5/3 < 2
⇒ 2 bc+2 ca −2 bc
2 abc <
2
2 abc (do abc>0)
⇒1
a+
1
b −
1
c<
1 abc
36) Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e)
Hướng dẫn: Chuyển vế đưa về hằng đẳng thức
37) Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng: a+c a+b+b+d
b+c+
c+a c+d+
d+b d+a ≥ 4
Giải:
Trang 10(a+c)(a+b1 +
1
c +d)+(d +b)(d +a1 +
1
b+c)≥ (a+c) 4
a+b+c +d+
(d+b) 4 d+a+b+c=
4(a+b+c+d) a+b+c +d =4
(áp dụng bất đẳng thức phụ 1x+1
y ≥
4
x+ y )
38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: √4 a+1+√4 b+1+√4 c +1≤√21
Giải:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
√4 a+1= √37√(4 a+1).7
3≤√37.
4 a+1+7
3
√21
14 (4 a+10
3 )
Tương tự:
√4 b+ 1≤√21
14 (4 b+10
3 )
√4 c+ 1≤√21
14 (4 c +10
3 )
⇒√4 a+1+√4 b +1+√4 c +1 ≤√21
14 (4 a+ 4 b+ 4 c+10)=
√21
14 14=√21
Vậy √4 a+1+√4 b+1+√4 c +1≤√21
39) a) Chứng minh: x
2+3
√x2+2>2 với mọi x
√2005+
2005
√2006>√2005+√2006
Giải:
a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 2√(x2+2) 1=2√x2
+2 (theo côsi cho hai số dương) dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi x
2+3
√x2
+2>2 với mọi x
b)
2005+1
√2005 +
2006 −1
√2006 >√2005+√2006
⇔√2005+ 1
√2005+√2006 −
1
√2006>√2005+√2006
√2005−
1
√2006>0 (BĐT đúng)
√2005+
2005
√2006>√2005+√2006
40) Cho a 2 chứng minh rằng: √a+2√a −1+ √a− 2√a − 1
√a+√2 a −1+√a−√2 a − 1<1
Giải:
Trang 11√a− 1+2√a − 1+1+√a − 1− 2√a −1+1
¿
¿√2a − 1+2√2 a −1+1+√2 a− 1− 2√2 a −1+1
¿
√a −1+1¿2
¿
√a − 1− 1
¿
¿2
¿
√2 a −1+1¿2
¿
| √2 a − 1−1|¿2
¿
¿
¿
¿
¿
√¿
√2¿
¿
√a+2√a −1+√a− 2√a − 1
√a+√2 a −1+√a−√2 a − 1=
√2(√a+2√a −1+√a −2√a −1)
√a+2√2 a −1+√a − 2√2 a −1 =¿
¿√2(√a − 1+1)+√a −1 −1
√2 a− 1+1+√2 a − 1−1 (vì a 2)
¿√2 2 √a −1
2√2 a − 1 =
√2a − 2
√2a − 1=√2 a −2
2 a −1<1 vì a 2 nên 2a – 2 < 2a – 1
41) Chứng minh bất đẳng thức:
b +d¿2
a+c¿2+¿
¿
√a2
+b2
+√c2
+d2≥√¿
Giải:
b+d¿2
¿
b+d¿2
¿
¿2
¿
b+d¿2
¿
⇔2√a2+b2.√c2+d2≥2 ac+2 bd
a+c¿2+¿
¿
√¿
√a2+b2+√c2+d2¿2≥¿
a+c¿2+¿
¿
¿
√a2+b2
+√c2+d2≥√¿
Nếu ac + bd > 0 thì
⇔√(a2+b2)(c2+d2)≥ ac+bd
ac+bd¿2
¿
bd¿2+2 acbd
¿
ac¿2+¿
⇔√(a2+b2)(c2+d2)2≥¿
Trang 12bd¿2+2 acbd
ac¿2+(¿⇔ a2
d2+b2c2)− 2(ad).(bc)≥ 0
⇔ a2c2
+b2d2
+a2d2+b2c2
¿
ad − bc¿2≥ 0
Vậy ta có:
b +d¿2
a+c¿2+¿
¿
√a2+b2+√c2+d2≥√¿
42) Cho a>0, b>0 và a + b = 1.
a) Chứng minh rằng: ab1 + 1
a2+b2≥ 6
b) Chứng minh rằng: ab2 + 3
a2+b2≥ 14
Giải:
Áp dụng các bất đẳng thức phụ:
1
x+
1
y ≥
4
x+ y
x+ y¿2
¿
¿
¿
1
xy ≥
4
¿
( HS tự chứng minh )
a) Ta có:
a+b¿2
¿
a+b¿2
¿
a+b¿2
¿
¿
¿
¿ 1
ab+
1
a2
+b2= 1
2 ab+(
1
2 ab+
1
a2+b2)≥1
2.
4
¿
b)
a+b¿2
¿
a+b¿2
¿
a+b¿2
¿
¿
¿
¿ 2
ab+
3
a2
+b2= 1
2 ab+(
3
2 ab+
3
a2+b2)≥1
2.
4
¿
43) Cho a,b 0 Chứng minh a 2 b – 3ab + ab 2 + 1 0 Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải:
√xyz
Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3 3
√a2b ab2 1 - 3ab = 3ab – 3ab = 0 Dấu bằng xảy ra khi a2b = ab2 = 1 ⇒ a = b = 1
44) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: a2
b+c+
b2
c +a+
c2 a+b ≥ a+b+c
2
Trang 13Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có:
a2
b+c+
b+c
4 +
b2
c +a+
c+a
4 +
c2 a+b+
a+b
4 ≥ 2√ a2
b+c.
b+c
4 +2√ b2
c +a.
c +a
4 +2√ c2
a+b.
a+b
4
= a + b + c
⇒ a2
b+c+
b2
c+a+
c2
a+b+
a+b
4 ≥ a+b+c −
b+c
4 −
c +a
4 −
a+b
4 =
a+b+c
2
45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện a 2 + b 2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1 Chứng minh rằng:
c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2
Giải:
Ta có: a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1
Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4
= a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4
= (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4
2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2
46) Cho a + 4b = 3 Chứng minh rằng: a 2 + 4b 2 9
5
Hướng dẫn: a + 4b = 3 ⇒ a = 3 – 4b thế vào biểu thức cần chứng minh rồi dưa về dạng đánh giá A2+
α ≥ α
47) Chứng minh rằng nếu x+y+z =1 thì x 2 +y 2 +z 2 1
3
Giải:
x2+y2+z2 = 3 x2+3 y2+3 z2
(x2+y2+z2=2 xy+2 yz+2 zx)+(x2+y2−2 xy)+( y2+z2− 2 yz)+( z2+x2− 2 zx)
3
z− x¿2
¿
x + y +z¿2
¿
¿
y − z¿2+¿
x − y¿2+¿
x+ y+ z¿2+¿
¿
¿ ¿
48) Chứng minh rằng: 2( √n+1−√n¿< 1
√n<2(√n −√n −1) (với n là số nguyên dương)
Giải:
Ta có: 2(√n+1 −√n)= 2(n+1 −n)
√n+1+√ n=
2
√n+1+ √n<
1
√n(1)
Mặt khác: 2(√n −√n −1)= 2(n −n+1)
√n+√n −1=
2
√n+√n− 1>
1
√n(2)
Vậy √n+1−√n¿< 1
√n<2(√n −√n −1)
49) Cho x,y 0 và x 2 + y 2 = 1 Chứng minh rằng 1
√2≤ x
3
+y3≤ 1
Giải:
⇒ x3 + y3 x2 + y2 = 1 (1)
1 = x2 + y2 = ( √x √x3
+√y √y3≤(√x2
+√y2
)(√x32
+√y32
)=(x + y )(x3
+y3
) (theo bunhiacopxki)
⇒ 1≤( x+ y )(x3+y3)≤√2(x3+y3)⇒ x3
+y3≥ 1
√2 (2)