một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp 10

Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, được sử dụng nhiều trong các kỳ thi cao đẳng, đại học và trung học chuyên nghiệp, thi học sinh giỏi…Các bài to

Phần I: Mở đầu I- Lý do chọn đề tài.

Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, được sử dụng nhiều trong các kỳ thi cao đẳng, đại học và trung học chuyên nghiệp, thi học sinh giỏi…Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú

và có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau Tuy nhiên trong chương trình SGK Đại số 10 cơ bản hiện hành bất đẳng thức được trình bày ở đầu chương IV chỉ đưa ra các bất đẳng thức cơ bản và một số tính chất không có ví dụ để minh hoạ cụ thể Mặt khác do số tiết của chương trình này quá ít nên trong quá trình giảng dạy các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, để chứng minh được một bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán trong trường THPT tôi nhận thấy rằng trình độ của học sinh là rất khác nhau Mức độ và năng lực tư duy của các em cũng chênh lệch rất đáng kể Với đối tượng học sinh ở các lớp cơ bản tiếp thu chậm thì việc chứng minh một bất đẳng thức là khó thể thực hiện được

Vậy làm thế nào để bản thân các em học sinh khá, giỏi không xem thường kiến thức cơ bản sách giáo khoa, đồng thời các em học sinh trung bình và yếu không e ngại sự chậm hiểu của bản thân ?

Vì vậy trong bài viết này, tôi đưa ra một số phương pháp cơ bản để chứng

minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp 10.

II- Mục đích nghiên cứu:

Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách thoải mái, tạo điều kiện để các em được học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây được hứng thú và phát triển tư duy logíc Tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu làm việc trong giờ

học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, không bằng

lòng với những gì đã biết Đặc biệt qua đó giúp học sinh có khả năng ứng phó và thích ứng nhanh với các thay đổi, đáp ứng yêu cầu của cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy trong ngành giáo dục nói riêng và trên đất nước nói chung

Đứng trước một bài toán nói chung hay một bài toán bất đẳng thức nói riêng, không nhiều em giải ngay được bài toán đó Các em thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, không biết khai thác bài toán đó như thế nào

Qua nhiều lần thử nghiệm tôi nhận thấy rằng: Cần bắt đầu từ việc giải quyết một vấn đề bằng nhiều con đường khác nhau, cụ thể là: Giải một bài toán bất đẳng thức bằng các cách giải khác nhau mới đạt được mong muốn đã nêu ở trên

III- Phạm vi nghiên cứu :

- Nội dung phần bất phương trình và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình đại số 10

- Một số bài giải bất đẳng thức trong các đề thi Đại học – cao đẳng –THCN

IV- Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điêù tra từ thực tế dạy học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

V- Thời gian nghiên cứu:

Trong thời gian trực tiếp giảng dạy khối 10 tại trường THPT Lê Viết Tạo năm học 2012-2013

Phần II: Nội dung

A- Cơ sở lý thuyết

 Số thực dương, số thực âm và mệnh đề phủ định

 Định nghĩa bất đẳng thức

 Các tính chất của bất đẳng thức

 Bất đẳng thức Côsi

 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

I- Các bài toán cơ bản

Bài toán 1 (Bài tập 4SGK ĐS10)

Chứng minh rằng : a b c R, ,  ta có: abc2  3a2 b2 c2 (1)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: (Sử dụng định nghĩa: a > b  a – b > 0)

Xét hiệu:

a b c  a b c 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca























a b2 b c2 c a2 0 , a,b,c















  ( đpcm )

Cách 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương)

( 1 )  a2 b2 c2  2ab 2bc 2ca 3a2 b2 c2

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 0 , ( 2 )













 a b b c c a luôn đúng  (đpcm).

Cách 3: Xuất phát từ một BĐT đúng: x y2  0  x2 y2  2xy, ( x,y)

Ta có: a2 b2 2ab



 (i)

b2 c2  2bc(ii)

c2 a2  2ca (iii)

Từ (i), (ii), (iii) 2a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca











  3a2 b2 c2a2 b2 c2  2ab 2bc 2caabc2  (đpcm).

Cách 4: Vì a, b, c có vai trò như nhau, không mất tổng quát giả sử abc

Khi đó ta có:

3 2 2 2  2 2   2 2 0





















(vì a ba c 0 và  2 0



 c

b )  (2) luôn đúng  (đpcm).

Cách 5: (phương pháp tam thức bậc hai)



























Xem f(a) a2 bcab2c2 bc là tam thức bậc hai ẩn a, với b,c là tham số

Ta có: a b c2 4 (b2 c2 bc) 3b c2 0 , b,c























 f(a) a2 b ca b2 c2 bc 0 , a,b,c















Cách 6:

b c b c a b c R a

bc c b a c b a ca

bc ab c b a





















































, , , 0 2

1 2

1

0 0

1

2 2

2 2 2

2 2 2

Suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét:

1)Với cách giải 5 và 6 ta có bài tập 3a ( sgk ĐS10):

Cho a, b, c R Cmr : a2b2c2abbcca(*)

2)Thay đổi số lượng các chữ trong (*) ta có bài toán mới:

1 Cho a, b, c, d R Cmr : a2b2c2d2 abbccdda

2 Cho x i R, i 1 ;n Cmr : 1 2 2 3 3 4 1

1

2 x x x x x x x x

n

i



 …

Bài toán 2: ( VD1 SGK ĐS10)

Chứng minh rằng a2 b2  2ab, a,bR(*)

Bài toán này được giải đơn giản bằng một trong các cách giải trên

 Khai thác bài toán 2 :

Bài toán 3: ( Bài tập 5 SGK ĐS 10)

Cho a, b là hai số dương Chứng minh rằng :

a)   2

a

b b

a

b) a3 b3 a2bab2

Hướng dẫn giải: Bài toán này có nhiều cách giải, xin trình bày 2 cách sau

a) Cách 1( SGK trình bày):

áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương b a và a b ta có:

  2  2

a

b b

a a

b b

a

 (đpcm).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

2 2 2

2

















a

b b

a ab

b a ab b

b) Cách 1( SGK trình bày):

   

      

2 2 3 3

2 2

2

2 2

2 2 3

3

0

ab b a b a

b a b a b a b

a

a b b b a a ab b a b

a





































Cách 2: (sử dụng bài toán 2) ta có:

2

2 2 3 3 2

2

2 2

2

2



































b a ab b a b a b a ab b ab a

b

a

ab b ab a ab

b

a

Bài toán 4: Cho a, b là hai số dương.

Chứng minh rằng :

b a b

a  

4 1 1

Hướng dẫn giải : (Bài toán này có thể giải bằng nhiều cách)

Cách 1: (sử dụng Bài toán 2) ta có

b a b a b a ab

b a ab b

a ab

b

a

























4

2

Cách 2: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương a1,b1 ta có : 1 1 2 ( 1 )

ab b

a  

Vì ab a2b nên  a b ab ab

4 2

2 1 1 ) 1 (

(đpcm).

Bài toán 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c

























 a p b p c a b c p

1 1 1 2 1 1

1

(1) Với p là nửa chu vi tam giác

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Với pa2bc ta có:

 1 2 2 2 2 1 1 1 ( 2 )



































c b a c b a b a c a c b

Mặt khác theo bài toán 4 ta có:

) (

2 2

4 1

1

) (

2 2

4 1

1

) (

2 2

4 1

1

iii b b c b a a c b

ii a a c b a b a c

i c c b a c a c b











































Từ (i), (ii), (iii) suy ra (2) luôn đúng  (đpcm).

c b a c b a b a c a c

b          



y x c z x b z y a c

b a z

b a c y

a c b x





































Khi đó  3 1 1 1 2 2 2 ( 4 )

x z z y y x z y

x       

 Mặt khác:



















































x z z y y x z y x x

z x z

z y z y

y x y x

2 2

2 1

1 1 1

1 1

4 1

1

4 1

1

(đpcm).

Cách 3: áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương p 1a và p 1b ta có:

p a p b p ap b p a p b c

2 2

1 1

1 1

2

1

































Tương tự ta có: p b p c p bp c p b p c a

2 2

1 1

1 1

2

1

































p c p a p cp a p c p a b

2 2

1 1

1 1

2

1

























































 a p b p c a b c p

1 1 1 2 1 1

1

 (đpcm).

Bài toán 6: Cho a,b, c dương

Chứng minh rằng :























2

1 2

1 2

1 4

1

4

1

4

1

Hướng dẫn giải:

4

1 4

1

b a b

a  

1 (**)

4

1 4

1

c b c

b  

1 (* * *)

4

1

4

1

a c a

c   

2

1 2

1 2

1

a c c b b a c b

a       

 Mặt khác:

) 2 ( 2

2 2

2 2

2 1

1 1

2 4 1

1

2 4 1

1

2 4 1

1

b a c a c b c b a a c c b b a a

c b b a

c

b

b a c c b

a

c

c b a a c

b

a

















































































Từ (1) và (2) ta có:

b a c a c b c b a c b

a        2  

2 2

2 2

2 2

1 2

1

2

1

b a c a c b c b a c b



2

1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

1

 (đpcm).

Bài toán 7: Cho a,b, c dương

Chứng minh rằng a b b c c a a b c b c a c a b



























1 2

1 2

1 3

1 3

1 3 1

Giải: Ta có:

) 3 ( 2

1 2

2 3

1 2

2 2

4 2

4 2

1

3

1

) 2 ( 2

1 2

2 3

1 2

2 2

4 2

4 2

1

3

1

) 1 ( 2

1 2

2 3

1 2

2 2

4 2

4 2

1

3

1

c b a b a c a c b a c b a c c b

a

a

c

b a c a c b c b a c b a c b b a

c

c

b

a c b c b a b a c b a c b a a c

b

b

a













































































































Từ (1), (2), (3) suy ra:

a b b c c a a b c b c a c a b



























1 2

1 2

1 3

1 3

1 3

1

 (đpcm).

Bài toán 8: Cho a,b,c là 3 số thực dương Chứng minh rằng :

 2









c a c

b c b a

Giải: Sử dụng BĐT Côsi cho hai số dương a và b  cta có :

a c

b

a c

b a c b a c

b a c

b

a



























Tương tự ta có: 2 , ( 2 )

c b a

b a

c

b







c b a

c b

a

c



























c b a b a

c a c

b c

b

Bài toán 9: Cho a,b,c là 3 số thực dương

Chứng minh rằng : 3 3 3  2









c a c

b c b a

Giải : Đặt 3 a x  a2 x3

3b  y b2 y3

3 c z c2 z3

CM: b a c  yx z



3 (*) Thật vậy ta có:

3 2

z y

x c

b

a z

y

x

c

b

a





















































Mặt khác: 3   6 6 3 3 6 2 , , 0













y

Suy ra (i) luôn đúng

Tương tự ta có:

x z

y a

c

b







a c b x z y







Từ (*),(**),(***) suy ra:





















3

y x

z x z

y z y

x b a

c a c

b c

b

a

đpcm (bài toán 8).

Bài toán 10: (Khối A, 2003)

Cho x, y, z là ba số dương và x y x  1 Chứng minh rằng:

82

Giải : Ta sử dụng phương pháp đặt qua vectơ để đánh giá bất đẳng thức

Nhận xét: với mọi u v , ta có  u v   u +v (*)

Vì u v  2 u2v2 u2 v22u v  (u v )2

( ; ), ( ; ), ( ; )

Từ bất đẳng thức (*) ta có:

a   b   c    a b    c     a b c   

Vậy P = x2 12 y2 12 z2 12 x y z2 1 1 1 2

           

Cách 1 Ta có

2 2

2

3

Với  

2 2

x y z

9

( )

Q t

 giảm trên 0;1

9

 

 

 

9

Q t Q  

  Vậy P  Q t( )  82

( Dấu “=” xảy ra khi 1

3

x  y z )

Cách 2

Ta có

2

1 1 1

x y z

               

           

Vậy P  82

( Dấu “=” xảy ra khi 1

3

x  y z )

Bài toán 11: (Khối A, 2005)

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 4.

1

2x y x x   2y z x y   2z 

Giải:

Với a, b >0 ta có:

a b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Từ kết quả trên ta có:

2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z

Tương tự

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

             

             

Vậy ta có

1

Ta thấy trong các bất đẳng thức trên thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

4

Sau khi đưa ra các dạng bài tập về bất đẳng thức và hướng dẫn học sinh giải Giáo viên ra các dạng bài tập tương tự để học sinh giải, qua đó hình thành kỹ năng nhìn nhận và đáng giá bất đẳng thức

Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho a, b, c là 3 số thực dương

Chứng minh rằng : 4 4 4  2









c a c

b c b

a

(giải tương tự bài toán 9)

Bài 2: Cho a, b, c là 3 số thực dương

Chứng minh rằng : 6 6 6  2









c a c

b c b a

Bài 3: Cho a, b, c là 3 số thực dương, n  , n 2

1

n

n

b c  c a  a b  n   Bài 4: Cho a, b, c, d là các số thực dương





















d b

a d

c a

d c

b d

c b a

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số thực dương





















d b

a d

c a

d c

b d

c b a

Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương.

2

c c

a

b c

b a

Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P a ab b c a bc b c a ca b c



















2 2

2

Bài 9: Với a, b, c > 0, chứng minh rằng:

2

a b c

 

Bài 10: Với 0 x y z, ,  3, chứng minh rằng:

.

x  y  z   x y z

II- Các biện pháp để tổ chức thực hiện

Để thực hiện được bài viết này tôi đã sử dụng các phương án sau:

1 Thực hiện qua giờ bài tập

2 Thực hiện qua các buổi học ngoại khóa theo các chuyên đề

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

Việc giảng dạy giải bài tập toán nói chung, hay một bài toán bất đẳng thức nói

riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố Tuy nhiên nếu chúng ta biết kết hợp, vận dụng các kiến thức và phương pháp nhuần nhuyễn, hợp lý sẽ đạt được hiệu quả cao Với cách làm trên tôi nhận thấy rằng : Đã tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu làm việc trong giờ học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, biết khai thác một bài toán Đặc biệt là tạo cho các em có lòng tin khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết Hình thành phương pháp tự học, tự nghiên cứu cho học sinh

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bất đẳng thức Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Số h c sinhọc sinh

bi t áp d ng t ng rõ r t C th các l p kh i 10 sau khi áp d ng sáng ki năng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ệt Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ối 10 sau khi áp dụng sáng kiến

n y v o gi ng d y thì s HS hi u v có k n ng gi i ảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng ạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng ối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ỹ năng giải được cơ bản các dạng ăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng được cơ bản các dạngc c b n các d ngơ bản các dạng ảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng ạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, k t qu qua các b i ki m tra th nh sauảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng ể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến ử như sau ư :

Năm

Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến8 Điểm dưới 5 Số

lượng Tỷ lệ

Số lượng Tỷ lệ

Số lượng Tỷ lệ

2010-2011

2011-2012

Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khi dạy phần toán giải bất đẳng thức giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng

để học sinh nắm được bài tốt hơn

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho đề tài đạt hiệu quả cao hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

2 Kiến nghị và đề xuất:

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập

Hoằng Hóa, tháng 05 năm 2013

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi tự viết,

không sao chép của người khác

Người viết

Lê Thị Thu Huyền