§èi víi c¸c gi¸o viªn cßn thiÕu kinh nghiÖm gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt lµ båi dìng häc sinh giái th× viÖc n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p BÊt ®¼ng thøc sÏ bæ sung kho kiÕn thøc cho hä.. §èi víi häc sinh kh[r]
Trang 1A - phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài
1- Cơ sở khoa học:
Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững
đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vàocác môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa toán học còn làcơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quantrọng trong nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao độngnghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học vàgiải quyết các bài toán
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từtiểu học đến trung học Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thứckhông những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ chonhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học Đặc biệt việc phát triển t duysáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học Nhng vấn đề đặt ra cho mỗigiáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bấtà
2- Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó Nhiềuhọc sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng phápgiải toán Bất đẳng thức nh thế nào Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức cónhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơngpháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất
đẳng thức
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi
kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10THPT
Trang 2Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồidỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sungkho kiến thức cho họ.
Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho họcsinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán
II - Mục đích nghiên cứu:
Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất
đẳng thức nói riêng Đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vàolớp 10 THPH chuyên
Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳngthức một cách nhanh chóng và hiệu quả Phát huy đợc tính tích cực, chủ độngsáng tạo của học sinh trong quá trình học tập
III - Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Nhóm chia mỗi phơng pháp cho một học viên nghiên cứu và qua thựcnghiệm, rút ra bài học kinh nghiệm của từng phơng pháp
- Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức
- Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố
Lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh
- Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị
IV - Phạm vi nghiên cứu và sử dụng:
Trang 35) a < b, c > d a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta
đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ)6) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b
0 ,
m m b m a
m m b m a
7) Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợcmột Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d a.c<b.d
8) a> b >0 an> b n; 0>a>b an+1>b2n+1 và an<b2n
9) so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số: m>n>0; a>1 am > an; am < an
với 0 < a <110) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng
thức đổi chiều: a b
b a
1 1
Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc
Trang 42- Kiến thức cần vận dụng
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)2=A+2AB+B2
- Tổng quát: Ai Ai n Ai Aj i j
j i
n i
n i
) (
2 1 ,
2 1
2 1
Các kỹ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳngthức đúng hay điều kiện đúng của đề bài:
3
b2=0 suy
ra a = b = 0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự cho Bài a2+b2
ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (an)2+(bn)2 a n b n
Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a b c chứng minh rằng:
b
c c
a a
b a
c c
b b
c c
a a
b a
c c
b b
) [(
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)0 (do 0<a b c )
Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
Bài 3: Cho a b c và x y z hãy chứng minh rằng:
Trang 52 2
2
by ax y x b
2
by ax y x b
1(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:
3 3
.
3
cz by ax z y
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán
Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng:
1[(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)] =
4
1
[(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] 0
Do (a+2b)2 0 và (a+2c)2 0 và (a+2d)2 0 và (a+2e )2 0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
Bài 5: Tổng quát bài 4
Cho ai i=1,2, ,n là các sổ thực chứng minh rằng:
2
1 2
Trang 6a b b
c a b
a c a
(*) x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 0
(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1)
(x-y)2+(y-z)2+(z-1)2
0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh
Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức:
Trang 7 a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) 0
a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) 0
a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) 0 đúng với mọi a, b
Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh
*Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự:
Cho 0a b Chứng minh Bất đẳng thức:
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của
đề bài vậy c(a c) + c(b c) abvới a c 0 và b c
Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức:
b
c
1+
c
a
1)2 biết a,b,c >0
Giải
Trang 81 =
abc
c b
a ) (
Từ (1) và (2) Ta có
ab
3+
cb
3+
b
c
1+
c
a
1)2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất
đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh Sau đây
là một ví dụ nữa kiểu nh vậy
Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:
(a2-b2)(a-b) 0 a3-a 2b-ab2+b3 0 a3 +b3 a 2b+ab2
a3 +b3 +1a 2b+ab2+abc a3 +b3 +1(a+b+c)ab
suy ra
1
1
3 3
Trang 9c
a 1 DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c =1
III - Ph ¬ng ph¸p 3: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè
(Ngêi thùc hiÖn: §µo Thuû Chung)
c a
DÊu "=" x¶y ra khi a=b
c a
DÊu "=" x¶y ra khi a=b
c a
Trang 103- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng:1<
c b
a
+
c a
b
+
a b
c
< 1
b a
c
<
c b a
c c
=
c b a
c
<
c b a
c
2
Chứng minh tơng tự ta có:
c a
b
<
c b a
a
<
c b a
a
2Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc
b
+
a b
c
<
c b a
a
2+
c b a
b
2+
c b a
b
+
a b
c
>
c b a
a
c b a
b
c b a
c
=1 Do a, b, c dơng Vậy 1<
c b
a
+
c a
b
+
a b
c a
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Bài 2: Chứng minh rằng
n
n b b
b
a a
2 1
2 1
Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và gí trị
a
M với mọi i=1,2,…,n
mbi ai bi.M Do bi>0 với mọi i=1,2,…,n
Lần lợt cho i+ 1,2, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc:
m( b1+b2+…+bn) < a1+a2+…+an < M( b1+b2+…+bn)
Trang 11 m <
n
n b b
b
a a
2 1
< M Do ( b1+b2+…+bn) >0 (đfcm)Bài 3:
Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng:
b a
b b
Giải
Ta chứng minh
2
1(1
a
a
+1
b a
b a
b a
Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối ta đợc:
b a
2
1(1
a
a
+1
b a
b a
b b
b a
a
a
+1
b a
b b
7 5 3
2004
6 4 2
Bài 2: Cho a, b là các số dơng thoả mãn ab =1 chứng minh rằng:
2 2
1
a +
2 2
1
b <
b a
b a
a
m a
x
2005 2004
2005 2004
IV - Ph ơng pháp 4 Phơng pháp phản chứng
(Ngời thực hiện: Đỗ Văn Thành)
1- Nội dung phơng pháp
Trang 12Để chứng minh A B ta giả sử phản chứng A<B rồi điều vô lý với giảthiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A B là đúng.
Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 đều
đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1)
Mặt khác ta có
a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2 a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 0,25
a(1-a) 0.25 Tơng tự ta có b(1-b) 0,25 và c(1-c) 0,25Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25 3 (2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điềugiả sử là sai suy ra: trong các Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c)
>0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai
Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời
ba Bất đẳng thức sau: x < y z , y x z , z y x
Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳngthức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có: : x < y z x2 < (y-z )2 x2 -(y-z )2 <0 (x-y+z)(x+y-z) < 0Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]2 <0 vô lý
Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức: x <
0 0
abc
ca bc ab
c b a
Trang 13Hãy chứng minh rằng: a,b,c > 0 (*)
Giải: Giả sử (*) không đúng có ít nhất một trong các số a,b,c phải 0Không mất tình tổng quát giả sử a 0 do abc >0 bc <0
Xét trờng hợp a 0 b>0 c<0 a+c<0
từ gỉa thiết ta có b >-a-c b(a+c) < -(a+c)2 ac + b(a+c) < ac-(a+c)2
ac + b(a+c) < -(-ac+a2+c2) ac +ba +bc < -(a-0.5c)2- 0.75c2 0
Trái giả thiết ab +bc +ca >0
Tơng tự đồi với trờng hợp A 0 b<0 ,c>0 ta cũng điều vô lí
4-Bài Tập áp dụng:
Bài1 Cho ba số dơng nhỏ hơn 2 a,b,c: chứng minh rằng ít nhất mộttrong các Bất đẳng thức sau là sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng: S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) 1
Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau
0
2 ac b
Trang 141) Nội dung phơng pháp;
Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờngthì không thể chứng minh đợc Thờng các Bất đẳng thức đó có dạng dãy sốhoặc những Bất đẳng thức tổng quát Thông thờng để chứng minh các Bất
đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp
Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạpchứng ta thực hiện các bớc sau;
Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với n0 nào đo ( thông thờng tachọn n0 =0 hoặc 1)
Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với k
Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với k+1
Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi
2- Kiến thức cần vân dụng:
Các tình chất của Bất đẳng thức:
Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức
1 a a 0
Giải
a) +) Với n =1 ta có (a+b):2 (a+b):2 đúng
+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]k
(ak+bk):2+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là:
Trang 15Do a+b 0 nên a, b không cùng <0
Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài
+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]n (an+bn):2 với a+b 0 và N n
đợc chứng minh
b) + Với 1 Bất đẳng thức trở thành a <
2
1 4
1 a
2 a <
1 4
a a
1 a a 0+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với k+1 tức là
a a
a
), 1 (
1 a a 0
Đặt xn =
dau n
a a
a
,
dau k
a a
a
,
dau k
a a
a
), 1 (
1 a a 0 ( a x k )2< (
2
1 4
1 a )2
a+xk <
4
1 4 2 4
2 a a 4xk <2=2 4a 1 xk <
2
1 4
1 a
Đúng do giả thiết quy nạp Bất đẳng thức đúng với n = k+1
+ Vậy
dau n
a a
1 a a 0Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnhhuyền của tam giác đó chứng minh rằng:
b2n+a2n c2n
Giải:
+ Với 1 theo định lí Pithago ta có b2+a2 = c2 Bất đẳng thức đúng
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với k tức là b2k+a2k c2k
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 hay: b2(k+1)+a2(k+1)
Trang 16Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnhhuyền của tam giác đó ta có; b2n+a2n c2n
Bài 3 cho m,n là các số nguyên dơng Chứng minh rằng trong các số n m,
Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k 4 tức là 3 k k3
Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3 k+1
Trang 17VI-Ph ơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức trong tam giác:
(Ngời thực hiện: Nguyễn Quang Hiền)
1- Nội dung phơng pháp
Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hìnhnên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất củaBất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học
đặc biệt là Bất đẳng thức trong tam giác
2- Các kiến thức cần vận dụng:
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có
- a, b, c >0
- |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c và |c-a| < b < a+c
- Một số quan hệ khác trong tam giác:
ta thấy b c b-c 0 và 4b-c a+b-c +2b 0 (2) đúng
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh
Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng:
Bài 3: Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3
Giải:
a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3
a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 - a3 - b3 - c3 > 0
a[(b-c)2 - a 2] + b[(c-a)2 - b2] + c[(a-b)2 -c2] > 0
Trang 18 a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > 0
( a+b-c)( ab-ac-a2 -bc-b2+ab+ac+bc+c2) >0
(a+b-c)(c2 - a2- b2+2ab) > 0
(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) > 0 đúng
do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác
Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có:
a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a2(b+c)+ b2(+-a) +c2(a+b ) >2abc + a3 + b3 +c3
Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a2(b+c)+ b2(c+a) +c2(a+b ) < 3abc + a3 + b3 +c3
bai3 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
2
2 1
a
a a
1)… (1- 2
) 1 (
1
n )
Trang 19vì u i > i +1
Bài 2 Chứng minh rằng n tự nhiên ta có 1.23..45..67. (8 (2n 2n)1) <
1 2
) 1 2 (
n
n
1 ) 2 (
) 1 2 (
2 2
1 2
n n
Lần lợt thay n= 1,2,3,… rồi nhân vế với vế của các Bất đẳng thức đó ta đợc:
) 2 (
1
n (Đfcm)Bài 3 Cho hn =1+
3
1+5
1+….+
1 2
(
1
k h
n h
1 2
1 )(
1 2 (
1
n )
1 2
Trang 201 1
) (
1 1
z y
1 1
1 1
) (
1 1
Trang 21.a) 1
) 1 ( (
1
3 2
1 2
.b) 1+
n n
1 2
1
3
1 2
1
2 2
Bài 3 Chứng minh 1 2
2
1 1
2 2
a trong đó N * , n ak =
k
1 3
1 2
2
1 1
1 2
Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức
- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b 0:
ab b
a
2 Dấu "=" xảy ra khi a=b
- Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1, a2, …, an
n
a a
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và ai, i=1,2,3…,n ta đợc
(1+a1) 2 a1, (1+a2) 2 a2 ,…….,(1+an) 2 a n
Trang 22Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta đợc:
(1+ a1), (1+a2 ) … (1+a n) 2 a1.2 a2 …….2 a n
(1+ a1), (1+a2 ) … (1+a n) 2n do a1, a2 … a n =1
Dấu "=" xảy ra khi 1= a1 ,1=a2 , … ,1=a n a1 = a2 =… =an =1
Bài 2 Cho a,b 0 chứng minh rằng 3a3+72 b3
Dấu "=" xảy ra khi 3a3= 9b3= 8b3 a=b=0
Bài 3: Cho a>b >0 Chứng minh rằng a + b(a1 b)
3
Giải
Ta thấy a = b +( a-b ) do a>b a-b >0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a-b, b(a1 b)
1 b) -
Chứng minh rằng:
q
b p
ab *
Giải:
Do p,q là các số hữu tỉ nên 1p ,q1 cũng là các số hữu tỉ, do đó từ giả thiết
tồn tại các số tự nhiên m,n,k sao cho 1p =
k
a +k n n
k