Chương 5 Đường tròn Toán 9 chương trình mới

Vậy AHDK là hình vuông.b Chứng minh A B C, , cùng thuộc đường tròn O OB; Chỉ ra DB DC vì D nằm trên đường trung trực của BCChứng minh ΔABCDHBΔABCDKC cạnh huyền – cạnh góc vuôngHD

Chương 5 Đường tròn.

Bài 13 Mở đầu về đường tròn.

B BÀI TẬP VẬN DỤNG.

một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

Bài làm:

Gọi là trung điểm của

vuông tại có là đường trung tuyến

Vậy ba điểm cùng thuộc đường tròn tâm , bán kính

Bài 2: Cho hình vuông có là giao điểm của hai đường chéo

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm Xác định tâm đối xứng và hai trục đối xứng của đường tròn đó

b) Tính bán kinh của đường tròn đó nếu hình vuông có cạnh bằng

Bài làm:

a) Hình vuông có là giao điểm của hai đường chéo

đường tròn tâm , bán kính

là tâm đối xứng của đường tròn

và là hai trục đối xứng của đường tròn này

b) Ta có

Vậy bán kính của đường tròn tâm là

Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc

một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

Bài làm:

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và

Khi đó Như vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn tâm bán kính

Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc

một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

A

Như vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn tâm , bán kính

Bài 5: Cho đường tròn Điểm Đường thẳng

vuông góc với tại trung điểm của cắt đường tròn

tại và

a) Chứng minh rằng là tam giác đều

b) Tính độ dài đoạn

Bài làm:

a) có ( cùng bằng bán kính) nên cân tại

Gọi đường thẳng cắt tại

có vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại Vậy có nên là tam giác đều

b) Ta có Áp dụng Pythagore ta có:

Bài 6: Cho đường tròn và ba điểm thuộc đường tròn đó sao cho cân tại

a) Giả sử , đường cao của bằng Tính

b) Gọi là điểm đối xứng với qua Vẽ tại Tứ giác là hình gì?

Bài làm:

a) cân tại , nên đường cao cũng là đường trung tuyến

Áp dụng định lý Pythagore ta có

b) có nên là đường trung tuyến, mà

Nên vuông tại

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

Bài 7: Cho nhọn Vẽ đường tròn đường kính , đường tròn

này cắt lần lượt tại và Gọi là giao điểm của

và

b) Chứng minh rằng

Bài làm:

a) có nên là đường trung tuyến,

2

O

B' H

B

A

O H

E D

C B

A

M d

C

B

A O

có nên là đường trung tuyến,

b) có hai đường cao và cắt nhau tại , nên là trực tâm

3

Bài 8: Cho vuông tại có

Vẽ đường tròn đường kính cắt tại

a) Chứng minh vuông tại

Chứng minh vuông tại

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

E D

A

D K

O

B

A

Bài 10: Cho nửa đường tròn đường kính là một điểm thay đổi trên đường tròn sao cho

Tia phân giác cắt đường trung trực tại Hạ và lần lượt vuông góc với

và

a) Chứng minh rằng là hình vuông

b) Chứng minh cùng thuộc một đường tròn

Bài làm:

a) Chỉ ra là hình chữ nhật lại có là tia phân giác

b) Chứng minh cùng thuộc đường tròn

Chỉ ra ( vì nằm trên đường trung trực của )

Chứng minh ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Khi đó Chứng minh cùng thuộc đường tròn

Kết luận cùng thuộc một đường tròn

Bài 11: Cho vuông tại có , đường cao

1) Chỉ ra tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

A

Chứng minh

Chứng minh

Thay vào ta được:

6

Bài 12: Cho vuông tại , đường cao

a) Biết Tính độ dài cạnh và số đo góc

b) Gọi là trung điểm của , là hình chiếu của trên

Chứng minh điểm cùng nằm trên một đường tròn

c) Đường thẳng qua và vuông góc với cắt đường thẳng

qua vuông góc với tại Chứng minh

và ba điểm thẳng hàng

Bài làm:

b) Lấy là trung điểm của

vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyển Vậy bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn

c) Chỉ ra

Chứng minh

Chỉ ra

Chứng minh ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

nằm trên đường trung trực của

Mà nằm trên đường trung trực của nên thẳng hàng

Bài 13: Cho cân tại , vẽ hai đường cao và cắt nhau tại

a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một

đường tròn và chỉ ra tâm của đường tròn đó

b) Gọi lần lượt là hai điểm trên và sao cho

Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

c) Gọi là trung điểm của Tìm điều kiện của

để điểm thuộc đường tròn đi qua bốn điểm

A

I H

M

K

O

C B

A

I H

M

K

O

C B

A

a) Lấy là trung điểm của

Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm

b) cân tại có là hai đường cao nên

Và vừa là đường cao vừa là phân giác góc

Chứng minh ( cạnh huyền – góc nhọn)

c) Đường tròn đi qua bốn điểm có tâm là và bán kinh

Để thuộc đường tròn thì khi đó là tam giác đều

Vậy đều thì điểm thuộc đường tròn

8

Bài 2 Cung và dây của một đường tròn.

Gọi khoảng cách từ tâm đến

cân tại , nên đường cao cũng là đường phân giác

Bài 3: Cho đường tròn và dây Biết rằng sđ

a) Tính khoảng cách từ tâm đến dây

A O

α

H B

O

Mà vừa là đường cao vừa là phân giác nên

E O

8 cm

E

D C

O

B

A

I D

B

C

A O

A O

Bài 15 Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên.

B BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho đường tròn và ba điểm trên đường tròn đó sao cho cân tại và số

đo cung nhỏ bằng

a) Chứng minh rằng cung và cung bằng nhau

b) Tính độ dài cung và ( làm tròn đến hàng phần mười)

Bài 2: Tính diện tích của hình quạt tròn có bán kính , ứng với cung

a) Tính diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung

b) Tính diện tích hình viên phân ( hình giới hạn bởi cung và dây ) ( Hình bên)

Bài làm:

a) Diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung là

.b) Diện tích là

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung và dây là

13

Bài 5: Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có hình dạng của một hình quạt tròn với bán kính và khi xòe hết thì góc tạo bởi hai thanh nan ngoài cùng của chiếc quạt là

a) Tính chiều dài cung tròn của chiếc quạt

b) Tính diện tích phần giấy làm quạt, biết rằng phần giấy của quạt là một hình vành khuyên có bán kính đường tròn nhỏ là

Bài làm:

a) Chiều dài cung tròn của chiếc quạt là

b) Diện tích hình quạt tròn với bán kính là

Diện tích hình quạt tròn với bán kính là

Bài 6: Cho là tam giác nhọn cân tại Kẻ hai đường cao và

a) Chứng minh rằng đường tròn tâm đường kính đi qua và

b) Chứng minh rằng cung và cung bằng nhau

c) Tính số đo của cung nếu

Bài làm:

a) vuông tại có là trung tuyến

vuông tại có là trung tuyếnVậy thuộc đường tròn tâm đường kính

a) Chứng minh rằng ba cung và bằng nhau Tính số đo mỗi cung ấy

b) Tính diện tích phần viên phân giới hạn bởi dây và cung

Bài làm:

a) Chỉ ra

.b) đều nên

A

O

E D

C B

A

Diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung là

Tính được diện tích bằng

a) Chứng minh rằng đỉnh thuộc đường tròn

b) Tính diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung và diện tích phần viên phân giới hạn bởi dây vàcung

Bài làm:

a) Lấy là trung điểm của

vuông tại có là trung tuyến nên Vậy thuộc đường tròn tâm đường kính

Khi đó diện tích hình viên phân tạo bởi dây và cung là

Bài 9: Cho đường tròn và hình lục giác đều sao cho đỉnh của hình lục giác đều đều thuộc đường tròn

a) Chứng minh rằng cung và cung bằng nhau

b) Tính diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung và diện tích phần viên

phân tạo bởi cung và dây

Bài làm:

a) Ta có sđ

b) Diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung là

Diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung là

Tính diện tích được suy ra

15

D

C B

A

O

O

E D

C B

A

Diện tích phần viên phân tạo bởi cung và dây là

16

Bài 16 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

B BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn ( là hai tiếp điểm) Gọi là mộtđiểm tùy ý trên cung nhỏ Tiếp tuyến của tại cắt tại và cắt tại

a) Chứng minh rằng chu vi của bằng

b) Giả sử là giao điểm của đoạn với đường tròn Chứng minh

Ngoài ra là đường phân giác của

Bài 2: Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng

b) Vẽ đường kính Chứng minh rằng

Bài làm:

a) Chỉ ra nên nằm trên đường trung trực của

nên nằm trên đường trung trực của

là đường trung trực của b) Chứng minh , mà

Khi đó

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính Về cùng phía với nửa đường tròn, vẽ hai tia

vuông góc với Gọi là một điểm bất kì thuộc tia Qua kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tại

C

a) Chỉ ra bốn điểm cùng thuộc đường tròn

có tâm là trung điểm của , bán kinh

Tứ giác có hai đường chéo và

vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm

của mỗi đường nên là hình thoi

x

N M

C

Chỉ ra cân tại , mặt khác chỉ ra nên đều.

Bài 6: Cho đường tròn đường kính Vẽ tiếp tuyến tại của đường tròn, từ trên tiếp tuyến đó

vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường tròn ( là tiếp điểm và khác ) cắt tại

Vậy là tiếp tuyến của

Bài 8: Cho đường tròn đường kính Gọi là trung điểm của Qua kẻ dây vuông gócvới Tiếp tuyến của tại cắt tại

a) Chứng minh

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

c) Gọi là trung điểm của dây

Chứng minh thẳng hàng

Bài làm:

19

N M H A

C B

O

E I

D O

C F

B A

O

M C

a) Chứng minh

b) Chỉ ra là tia phân giác

là tiếp tuyến của đường tròn c) Chỉ ra và là trung tuyến của là trọng tâm

Khi đó là đường trung tuyến nên đi qua trung điểm của thẳng hàng

Bài 9: Cho đường tròn và dây Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tiếp tuyến tại của đường tròn tại

a) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn

B A

Bài 10: Cho đường tròn đường kính và là một điểm trên đường tròn ( khác và ) Kẻ

Gọi là trung điểm của , cắt tiếp tuyến tại của tại , cắt tại a) Chứng minh và vuông tại

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

c) Chứng minh là trung điểm của

Bài làm:

a) Chỉ ra cân tại

Chỉ ra có là đường trung tuyến

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

c) Vẽ tại Gọi là trung điểm của Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại Chứng minh thẳng hàng

Bài làm:

a) Chỉ ra

có trung tuyến mà vuông tại

C

B A

O

F

E

I H

K C

B A

O

D

Từ đó vuông tại có là trung tuyến

22

Bài 12: Cho đường tròn đường kính Lấy điểm thuộc đường tròn ( khác và ) Tiếp

tuyến tại của đường tròn cắt tại

a) Chứng minh rằng vuông và

b) Gọi là trung điểm của Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn

c) cắt tiếp tuyến tại của đường tròn tại Chứng minh rằng vuông

B O

A M

Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính Qua điểm thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến của đường tròn Gọi lần lượt là chân đường vuông góc từ và tới Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ đến

a) Chứng minh cùng thuộc một đường tròn

b) Kẻ tiếp tuyến của đường tròn Tia cắt tại Chứng minh

c) Gọi giao điểm của với là Chứng minh và

.Chỉ ra suy ra

I

C

A

a) Chứng minh và

b) Chứng minh là tiếp tuyến của nửa đường tròn

c) Từ kẻ , cắt tại Chứng minh rằng là trung điểm của

Bài làm:

Chứng minh

.b) Chỉ ra vuông tại

b) Gọi là trung điểm của Chứng minh là tiếp tuyến của

c) Tia cắt tiếp tuyến tại của đường tròn tại Chứng minh

Bài làm:

a) có là trung tuyến mà

vuông tại Chứng minh

.b) Chứng minh

D

K C

A

C

Bài 18: Cho cân tại , các đường cao và cắt nhau tại Vẽ đường tròn đường kính.

a) Chứng minh là điểm nằm trên đường tròn

b) Chứng minh là tiếp tuyến của

Bài làm:

a) Chứng minh vuông tại có là trung tuyến

b) Chỉ ra

Bài 19: Cho cân tại , đường cao và cắt nhau tại

a) Chứng minh đường tròn đường kính đi qua

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Bài làm:

a) Gọi là trung điểm của

Chỉ ra nên thuộc đường tròn đường kính

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Bài 20: Cho đều, đường cao và cắt nhau tại , cắt tại

a) Chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đi qua bốn điểm

Bài làm:

a) Gọi là trung điểm của Chỉ ra

Khi đó cùng thuộc một đường tròn

Khi đó

Nên là tiếp tuyến của đường tròn

Bài 21: Cho là hai điểm trên đường tròn Từ kẻ đường thẳng vuông góc với cắt đường phân giác tại là giao điểm của và

26

E

F

D B

B

A

a) Chứng minh vuông và

b) Chứng minh là tiếp tuyến của

c) là đường kính của Qua dựng đường

thẳng vuông góc với tại và cắt tại

Bài làm:

a) cân tại có là phân giác nên cũng là trung trực

Chứng minh b) Chứng minh ( cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy nên là tiếp tuyến của

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

c) Đường thẳng cắt tại Gọi là trung điểm của

Chứng minh cùng thuộc một đường tròn

d) Gọi là trung điểm của , cắt tại

Chỉ ra cùng cách đều trung điểm của

Nên cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của

d) Gọi là trung điểm của

27

E

F

D B

F I D

D

I F N

1) Chứng minh và là tiếp tuyến của đường tròn

2) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại Chứng minh:

Bài 24: Cho Từ một điểm ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến với đường tròn

( là các tiếp điểm) Gọi là giao điểm của và dây

a) Chứng minh điểm cùng nằm trên một đường tròn

b) Kẻ đường kính của , vẽ vuông góc với ( ) Chứng minh

c) cắt tại Chứng minh là trung điểm của

C B

A

H

I

K O A

M

Suy ra

.c) Gọi là giao của với

là đường trung bình

Bài 25: Cho nửa đường tròn tâm , đường kính Trên nửa đường tròn lấy điểm bất kì (

khác và ) Tiếp tuyến tại và tiếp tuyến tại cắt nhau tại

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

b) cắt tại Chứng minh vuông góc với và

c) Tia cắt nửa đường tròn tại Chứng minh

d) Tia cắt tại Chứng minh là trung điểm của

Bài làm:

a) Chứng minh cùng thuộc đường tròn

có tâm là trung điểm của

b) Chỉ ra là trung trực của nên

A

M

1 1

O

Bài 17 Vị trí tương đối của hai đường tròn.

B BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho đoạn thẳng Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn và

Bài làm:

Ta có

Nên đường tròn và đường tròn tiếp xúc trong

Bài 2: Cho hai điểm và sao cho

Giải thích tại sao hai đường tròn và tiếp xúc với nhau

Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Bài làm:

Ta có

Nên đường tròn và đường tròn

tiếp xúc ngoài với nhau

Bài 3: Cho hai đường tròn và đường tròn tiếp xúc ngoài

với nhau tại Một đường thẳng qua cắt tại và cắt tại

Bài làm:

Chứng minh cân tại

Chứng minh cân tại

Bài 4: Cho là trung điểm của đoạn thẳng Vẽ hai đường tròn và đường tròn

a) Hai đường tròn và có vị trí như thế nào?

b) Kẻ đường thẳng đi qua , cắt và làn lượt tại và

A

O' O

2 cm

3 cm

2 1

C

B

O'

O A

Bài 5: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và Gọi là điểm đối xứng với qua, là điểm đối xứng với qua

a) Chứng minh rằng và và ba điểm thẳng hàng

b) Chứng minh rằng đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đường kính

Bài làm:

a) Vì đối xứng với qua nên

Vì đối xứng với qua

Chỉ ra

thẳng hàng

b) Gọi cắt tại

Chỉ ra là trung trực của là trung điểm

Khi đó là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng

Vậy tiếp xúc với đường tròn đường kính

Bài 6: Cho đường tròn đường kính , tiếp tuyến tại và tiếp tuyến tại của Một tiếp tuyến thứ ba của tại điểm ( khác và ) cắt tại và cắt tại

Vậy tiếp xúc với đường tròn đường kính

Bài 7: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại và cùng tiếp xúc với đường thẳng

tại và ( khác ), trong đó và Tiếp tuyến của tại cắt tại Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng tiếp xúc với

b) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng từ đó suy ra vuông

I

P M

y' x'

x

y

B A

O