Nếu học sinh có cách giải khác, đúng và lập luận chính xác thì vẫn cho điểm tuyệt đối..[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN LỚP 8
( Thời gian làm bài: 150 phút ) Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giả sử y 1 và y 0, biết rằng : 1 2
1986
x 3 ;
2
2 2
y z yz xy xz
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Phân tích đa thức C = (x – 2)(x – 4) (x – 6)(x – 8) + 15 thành nhân tử ;
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a5 – 5a3 + 4a 120
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Cho
và x 1 Hãy tính z theo y ;
b) Cho xy + xz + yz = 1 và x, y, z khác 1 Chứng minh rằng :
1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z
Câu 4 (4,0 điểm)
và b + c – a 0; bc 0; a + b + c 0
Tính giá trị của biểu thức P = (x + y + xy + 1)3
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau thì :
Câu 5 (5 ,0 điểm)
a) Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G O là một điểm thuộc miền trong của tam giác và
O khác G Đường thẳng OG cắt các đường thẳng BC, BA và AC theo thứ tự ở A’, B’, C’ Chứng minh rằng: OA' OB' OC' 3
GA'GB'GC' ; b) Từ một điểm P thuộc miền trong của tam giác đều ABC Hạ các đường vuông góc PD,
PE và PF xuống các cạnh BC, CA và AB Tính PD PE PF.
-Hết -
Họ và tên thí sinh:………SBD:…………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 8
2
1
1
1 y
2
0,5
2
2
2
Mà x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ) 0,5
Do đó kết quả trên được viết thành :
2
2 x y z x y z – xy – yz – zx
= 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
= 3(x2 + y2 + z2)
(xyz 0; y + z 0 và x + y + z 0)
b) a5 – 5a3 + 4a = (a – 2)(a – 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên
tiếp nên chia hết cho 5; 3 ; 8, chúng đôi một nguyên tố cùng nhau,
nên a5 – 5a3 + 4a 3.5.8 = 120
2,5
Trang 3a) Ta có :
2
2 2
1
x
2
x
0,5
4
2 4
4
4 4
1 x
1
b) Ta có:
x y z x(1 y )(1 z ) y(1 x )(1 z ) z(1 x )(1 y )
Phân tích tử thức của phân thức trên, ta có:
x – xy2 – xz2 + xy2z2 + y – x2y – yz2 + x2yz2 + z – x2z – y2z + x2y2z
= xyz(xy + xz + yz) + y(1 – xy – yz) + x(1 – xz – xy) + z(1 – xz – yz) (1)
0,5
0,5
Theo giả thiết xy + yz + xz = 1, nên xz = 1 – xy – yz ; yz = 1 – xz – xy ;
xy = 1 – xz – yz Thay vào (1), ta được tử thức bằng 4xyz Từ đó ta có được
kết quả của bài toán
0,5
a) Ta có (x + y + xy + 1)3 = [(x +1) + y(x + 1)]3 = [(x + 1)(y + 1)]3 0,5
Vì
Vậy P xyxy 1 3 x 1 y 1 3
3 3
( bc 0, a + b + c 0 và b + c – a 0 ) Vậy P = 8
0,5
0,5
0,5
;
;
0,5
0,5
Cộng theo từng kết quả tìm được, suy ra điều phải chứng minh 1
Trang 4Câu 5 5 điểm
0,5
a) Từ G hạ GH, GE, GF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA và AB
(Xem Hình vẽ 1 )
Từ O hạ OI, OM và ON lần lượt vuông góc với BC, CA và AB Áp dụng
định lí Thales đối với tam giác, ta có
A'G GH B'G GF C'G GE
Mặt khác ABC đều nên GE = GF = GH = 1
h
3 và OI + OM + ON = h (h là đường cao của ABC ) Từ đó suy ra điều phải chứng minh
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Từ P dựng các đường song song với các cạnh của ABC, ta được ba tam
giác đều MNP, PIK và PRS nhận PD, PE và PF là đường cao ( Xem Hình vẽ
2 )
Gọi x, y, z lần lượt là các cạnh của tam giác đều trên thì x + y + z = a (a là
cạnh của tam giác đều ABC)
Gọi h là đường cao của tam giác đều ABC, ta có a 3
h 2
2
0,5
0,5
0,5
Trang 5BD + CE + AF = a 3
2 Vậy
0,5
Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác, đúng và lập luận chính xác thì vẫn cho điểm
tuyệt đối