hoặc Như vây, ngoài hai tam giác vuông đã cho trong bài toán, không còn tam giác vuông nào có tính chất như vậy nữa.. Người ra đề.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN SƠN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề)
Câu 1: (4 điểm )
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì: x 6m+4 + x 6n+2 + 1
chia hết cho x - x + 1 2
b) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương lớn hơn 1 sao cho 2xy - 1 chia hết cho (x - 1)(y - 1)
Câu 2: (4 điểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x x - 7 - 36x 3 2 2 Từ đó suy ra nghiệm của phương trình x x - 7 - 36x = 0 3 2 2
b) Giải phương trình:
Câu 3: ( 3 điểm )
Tìm a, b sao cho đa thức f(x) = x + ax + b4 chia hết cho đa thức x 2 4
Câu 4: (2 điểm )
Biết ab + bc + ca = 0 và abc 0
A = + +
Câu 5: ( 7 điểm )
a) Ta đã biết hai tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dương như ( 5, 12, 13 ) và ( 6, 8, 10 ) đồng thời có số đo diện tích của mỗi tam giác bằng số
đo chu vi của mỗi tam giác đó Hỏi còn tam giác vuông nào còn tính chất như vậy nữa không ?
b) Cho tam giác ABC Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC Gọi I, J tương ứng là trung điểm của đoạn MN và cạnh BC Chứng minh rằng: ba điểm A, I, J thẳng hàng
-Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8
Trang 2NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề)
a
6m+4 6n+2 6m+4 4 6n+2 2 4 2
x + x + 1= x - x + x - x + x + x + 1
x (x - 1) + x (x - 1) + x + x + 1
Do x - 1 x -1; x - 1 x -16m 6 6n 6 và
2
2đ
b
Đặt a = x - 1; b = y - 1 với a, b là các số nguyên dương ta được:
2xy - 1 = 2( a + 1 )( b + 1 ) - 1 = ( 2a + 2b + 2ab + 1 )
( 2xy - 1) ab 2a + 2b + 1 ab
Suy ra 2a + 1 b và 2b + 1 a không mất tổng quát ta có thể giả
sử a b
+ Nếu a = b thì 2a + 1 a => 1 a = > a = b = 1 => x = 2; y = 2
+ Nếu a > b thì vì ( 2b + 1) là số lẻ nhỏ hơn 3a nên khi chia 2b + 1
cho a, ta có một thương là số lẻ nhỏ hơn 3
Do đó 2b + 1 = a => 2a + 1 = (4b + 3) b
= > 3 b ta được b = 1 hoặc b = 3
Nếu b = 1 thì a = 3 => x = 4; y = 2
Nếu b = 3 thì a = 7 => x = 8; y = 4
Vì vai trò của x, y là như nhau nên ta được các nghiệm (x; y) là
(2; 2), (4; 2), (2; 4), (8; 4), (4; 8)
1đ
0,5đ 0,5đ
a x x - 7 - 36x = 3 2 2 x 3 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 3
Từ đó suy ra
2
3 2
x x - 7 - 36x = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3
1đ 1đ
Thu gọn x( x + 19)(19x + 181) = 0
S =
181 0; 19;
19
2đ
f(x) = x - 4 q x , x 2 1
Chọn các giá trị riêng x sao cho x2 4 0 x 2
+ x = 2 thì 16 + 2a + b = 0 (2)
+ x =- 2 thì 16 - 2a + b = 0 (3)
Từ (2) và (3) ta nhận được: a = 0 và b = -16
3đ
Trang 3abc
1đ 1đ
a
Gọi b, c là độ dài các cạnh góc vuông, a là độ dài cạnh huyền của
Theo định lí Pytago ta có: b2 c2 a2 (1)
bc = 2( a + b + c ) (gt) (2)
Từ (1) suy ra
b + c - 2bc = a2 2 b + c - 2 = a + 22 2
b + c - 2 = a + 2 ( Do b + c 2)
a = b + c - 4 (3)
Thay (3) vào (2) ta được: bc = 4(b + c - 2)
b - 4 c - 4 = 8= 4.2 = 8.1
b - 4 = 4
c - 4 = 2
b-4=8 c-4=1
8
6 10
b
c
a
12 5 13
b c a
Như vây, ngoài hai tam giác vuông đã cho trong bài toán, không
còn tam giác vuông nào có tính chất như vậy nữa
1đ
1đ
1đ
1đ
b
I
J A
B
C
Do I, J nằm về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ
Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng ta chỉ cần chứng tỏ
cho tam giác ABC có:
1 2 1 2
MN
AB BC BC BJ
1đ
2đ Người ra đề
Lê Trung Hiếu