Về môđun hầu nội xạ

MỞ Đ U Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được các nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun quan tâm.. b R- môđun M được gọi là môđun nửa đơn Semisimple

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN MAI DẠ THẢO

NGHỆ AN – 12.2011

MỤC LỤC

Trang

.

MỞ Đ U

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được các nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun quan tâm Môđun nội xạ là một trong hai trụ cột chính của lý thuyết môđun và nó được ứng dụng nhiều để đặc trưng vành Nhưng điều kiện để một môđun

là nội xạ quá mạnh, do đó một số lớp vành khó có thể đặc trưng qua lớp môđun này Vì vậy người ta đã mở rộng nghiên cứu lớp môđun nội xạ và trong những năm của thập kỷ 80, 90 các nhà toán học đã đạt được nhiều kết quả tốt trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nội

xạ Cụ thể người ta x t các lớp môđun sau: Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ, môđun liên tục, tựa liên tục, CS- môđun, môđun M- nội xạ… Năm 1989, Y Baba [6] đã đưa ra khái niệm về lớp môđun hầu M-

nội xạ (M - almost injective) Dựa vào tài liệu chính là “A note on almost

injective modules” của Adel Alahmadi and S.K.Jain [4] ; luận văn

nghiên cứu về các tính chất cơ bản của lớp môđun hầu nội xạ, mối quan

hệ với CS- môđun, từ đó trình bày một số tính chất và điều kiện của các môđun hầu nội xạ lẫn nhau, và sự phân biệt giữa môđun hầu nội xạ và môđun nội xạ Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của

lý thuyết môđun Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Môđun hầu nội xạ

Trong chương này chúng tôi đề cập những tính chất đặc trưng của môđun hầu M-nội xạ, từ đó tìm ra điều kiện của các môđun hầu nội xạ lẫn nhau, phân biệt giữa môđun hầu nội xạ và môđun nội xạ

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn

Tôi xin được cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau Đại học-Trường Đại học Vinh và tất cả các bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự giúp đỡ của thầy cô và các bạn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Tất cả các vành R trong luận văn này là vành có đơn vị, ký hiệu 1 và các môđun là các R- môđun phải unita

1.1.Môđun con cốt yếu, môđun con đóng

Cho R là vành có đơn vị và M là R-môđun phải , N là môđun con của M

1.1.1 Định nghĩa Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong M

và kí hiệu là NÍ e M , nếu với mọi môđun con K của M, K ≠ 0 thì N  K

1.1.2 Định nghĩa a) Nếu N cốt yếu trong M thì M được gọi là mở rộng

cốt yếu (essential extension) của N

b) Nếu mọi môđun con của môđun M là cốt yếu thì M gọi là môđun

1.1.3 Định nghĩa a) R- môđun M được gọi là môđun đơn (simple

module) nếu M không chứa môđun con thực sự nào (có nghĩa là M chỉ

có hai môđun con là 0 và M)

Ví dụ: Z - môđun Zp với p nguyên tố là môđun đơn

b) R- môđun M được gọi là môđun nửa đơn (Semisimple module) nếu mọi môđun con của M là hạng tử trực tiếp

Ví dụ:

1 Môđun 0 gọi là môđun nửa đơn

2 Mỗi môđun đơn là một môđun nửa đơn

c) Tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M được gọi là đế (socle) của M và ký hiệu là Soc(M)

Nếu M không có môđun con đơn thì ta qui ước Soc(M) = 0

Nhận x t: Môđun M là nửa đơn nếu và chỉ nếu Soc(M) = M

M e A

A M

ii) Nếu M là môđun nửa đơn thì M = Soc(M)

iii) Môđun nửa đơn có môđun con bé là và chỉ là 0

1.1.5 Định nghĩa Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M Kí

hiệu N C M nếu N không có mở rộng cốt yếu thật sự trong M

Hay nói cách khác, N được gọi là đóng trong M nếu với môđun con K của M mà N cốt yếu trong K thì N = K

Ví dụ: Mọi hạng tử trực tiếp của M là đóng trong M

1.1.6 Định nghĩa Môđun con K của M được gọi là bao đóng của

môđun con N trong M nếu K đóng M và N cốt yếu trong K

Hay nói cách khác, môđun K được gọi là bao đóng của N trong M nếu K

là môđun con tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K

1.1.7 Nhận xét Bao đóng của một môđun con A trong M luôn tồn tại

Chứng minh Đặt  {B A B M} Khi đó ta thấy:

1.1.8 Mệnh đề i) Cho M là R - môđun, N là môđun con khác không của

M và K là môđun con cốt yếu của M Thế thì K  N e

N ii) Nếu A i , B i ( i= 1,n ) là môđun con của M sao cho A i e

1.1.9.Mệnh đề i) Cho A là môđun con của R- môđun M khi đó A cốt

yếu trong M khi chỉ khi A  mR ≠ 0 m  M , m ≠ 0

ii) Cho M là R- môđun, K  N  M Khi đó K e

1.1.10 Định nghĩa Cho M là một R- môđun Ta có các điều kiện sau

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

(C2) Nếu A và B là các môđun con của môđun M, A và B đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của

c Một môđun M được gọi là tựa liên tục ( quasi - continuous ) nếu

M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3)

d Một môđun M được gọi là (1 – C1) – môđun nếu mỗi môđun con đều của M cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M, hay mỗi môđun con đóng đều của M là hạng tử trực tiếp

Ta có các quan hệ sau đây đúng với một R- môđun phải

Nội xạ  Tựa nội xạ  Liên tục  Tựa liên tục  CS  (1– C1) Chiều ngược lại của các k o theo trên không hoàn toàn đúng

1.2 Môđun nội xạ

1.2.1 Định nghĩa a) Cho M, A là các R- môđun, X là môđun con bất kỳ

của M Môđun A được gọi là M- nội xạ (M-injective module) nếu với mọi đồng cấu f : X  A đều tồn tại đồng cấu mở rộng f * : X  A của f

sao cho biểu đồ sau giao hoán

b) Môđun M được gọi là nội xạ (injective module) nếu M là A- nội

xạ với mọi môđun A

c) M gọi là tựa nội xạ nếu M là M- nội xạ

d) Ta gọi bao nội xạ của M là một môđun Q và một đơn cấu

:

f M® Q sao cho Imf cốt yếu trong Q Kí hiệu Q = E(A)

e) Cho M, A là các R- môđun Một đơn cấu f : A  M được gọi là

đơn cấu cốt yếu nếu f(A) e

M Khi đó ta còn nói A nhúng cốt yếu được vào M

1.2.2 Mệnh đề Cho môđun N là A- nội xạ và B là môđun con của A

k

  h

N (ii) N là A- nội xạ, ta chứng minh N là A/B- nội xạ

Gọi X/B là môđun con của A/B và j :X B/ ® N là đồng cấu

Điều kiện đủ : Giả sử N là A i- nội xạ với iI Đặt i

i I

Î

= Å , gọi X là môđun con bất kỳ của A và  : X  N là đồng cấu Theo bổ đề Zooc tồn tại cặp tối đại (X ’ ;  ’) mà X  X ’  A và  ’ là mở rộng của  Suy ra

Theo giả thiết N là A j- nội xạ  N là Ra - nộị xạ, chọn K = {rÎ R raÎ X'}

Lấy α : Ka  N với α(ra) =  ’(ra)

Do N là Ra- nội xạ nên tồn tại  : Ra  N là mở rộng của α

Lấy môđun X’ + Ra thì X là môđun con thực sự của X’ + Ra

Xét h : X’ + Ra  N

x’ + ra a  (x) +  (ra) thì h là đồng cấu

 Cặp (X ’ + Ra , h) chứa thực sự (X’ ,  ’), mâu thuẫn với tính tối đại

của (X ’ ,  )  A = X ’ Do đó N là A- nội xạ 

1.2.5 Hệ quả Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con I

của R và mọi đồng cấu f :IM luôn tồn tại phần tử a thuộc M sao cho f(x)=xa,mọi xI

1.2.6 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ

Chứng minh

Cho Q là nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của Q ta chứng minh A nội xạ, do A là hạng tử trực tiếp của Q nên ta có Q = A  B

Với mọi môđun M và X là môđun con bất kỳ của M, với mọi đồng cấu f : X  A

Lấy iA : A  Q = A  B

a a a + 0 Gọi α = iAf : X  Q

Do Q nội xạ nên tồn tại α* : M  Q là mở rộng của α, lấy

f * = pA α* : M  A

Với pA : Q = A  B  A

a + b a a Thì f * là mở rộng của f hay A là M- nội xạ với mọi M nên A là nội xạ 

1.2.7 Mệnh đề Môđun A nội xạ khi và chỉ khi nó là hạng tử trực tiếp

của các môđun chứa nó

1.2.8 Định lý Mọi môđun M luôn nhúng vào được một môđun nội xạ 1.2.9 Định lý Một môđun Q- nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực

tiếp của các môđun chứa nó

1.2.11 Định nghĩa Cho môđun M Môđun nội xạ N nhỏ nhất chứa M (N

là mở rộng cốt yếu tối đại của M) được gọi là bao nội xạ của M, ký hiệu

E(M)

1.2.12 Mệnh đề Bao nội xạ của môđun A là tối đại trong các mở rộng

cốt yếu và tối tiểu trong tất cả mở rộng nội xạ

Chứng minh Giả sử B là mở rộng cốt yếu của A

trong đó f là đơn cấu cốt yếu, j là phép nhúng

Vì E(A) nội xạ nên $g: B  E(A) sao cho gf = j.Ta chứng minh g

đơn cấu

Giả sử kerg ≠ 0  f(A)  kerg ≠ 0 vì f(A) e

B  x ≠ 0, xX sao

cho x = f(a)  kerg, aA

Khi đó a = j(a) = gf(a) = 0  x = 0, mâu thuẫn

Vậy kerg = 0  g đơn cấu  B  E(A)

Ngược lại, giả sử E ’ là mở rộng nội xạ của A

Ta chứng minh E(A)  E ’.

X t biểu đồ :

f  g

E ’ trong đó j là phép nhúng, f là đơn cấu

Do E ’ nội xạ nên$g: E(A) E ’ sao cho gj = f Ta chứng minh g đơn

cấu

Giả sử kerg¹ 0Þ kergÇ ¹A 0, vì A e

E(A)Þ $ Îa A a, Î ker ,g a¹ 0 Khi đó f(a)= gj(a)= g(a)= 0

Vì f đơn cấu nên a = 0, mâu thuẫn

Vậy kerg = 0  g đơn cấu  E(A)  E ’ 

1.2.13 Hệ quả i) Môđun A là nội xạ khi và chỉ khi A không có mở rộng

cốt yếu thực sự

ii) Nếu A là môđun con của môđun nội xạ E thì A nội xạ khi và chỉ

khi A đóng trong E

Chứng minh i) Giả sử A là môđun nội xạ  E(A) = A

Vì E(A) là mở rộng cốt yếu tối đại của A nên A không có mở rộng

ii) Giả sử A nội xạ Theo 1.2.7 thì A 

nN* thì nA = A Nói cách khác, ¢ - môđun A gọi là chia được nếu

nN* thì phương trình nx = a có nghiệm x  A, a A

Ví dụ Nhóm Q(+) là chia được,nhóm Z(+) không chia được

nội xạ

Chứng minh Ta sử dụng tiêu chuẩn Baer: R- môđun A là nội xạ khi và

chỉ khi với mọi iđêan I< R và đồng cấu R-môđun f :IA ,tồn tại aÎ A để

f(a) = xa " Îi I

Điều kiện cần: Giả sử A là ¢ -môđun chia được Khi đó *

i N

" Î thì nA =A

Lấy b= f(n)Î A  tồn tại aÎ A để na = b Khi đó " =x nzÎ nZcó

f(nz) = zf(n) = zb = zna = xa  A là ¢ -môđun nội xạ

Điều kiện đủ:Nếu A là ¢ -nội xạ, nN*,ta chứng minh nA=A

(n.1) Î A  nA = A  A là ¢ -môđun chia được

CHƯƠNG 2

M ĐUN H U NỘI Ạ

2.1 Môđun hầu M- nội xạ và Môđun hầu nội xạ

2.1.1 Định nghĩa Giả sử M, N là các R-môđun Môđun N được gọi là

hầu M-nội xạ (M-almost injective module) nếu với mọi môđun con X của

h * : N  M 1 sao cho h * h=  i, với  : M  M 1 là ph p chiếu

O  X M

h 

N M1Môđun M được gọi là hầu nội xạ(almost injective module) nếu M là hầu

A-nội xạ với mọi môđun A

2.1.2 Hệ quả Nếu môđun M không phân tích được thì N là hầu M-nội

xạ với mọi môđun con X của M và đồng cấu h: X  N thì hoặc tồn tại đồng cấu h *

: N  M sao cho h * i = h, hoặc tồn tại đồng cấu h * : N  M sao cho h * h = i, trong đó i: X  M là phép nhúng

2.2 Môđun mở rộng (CS - môđun)

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Nếu với môđun con N bất

kỳ của M, tồn tại sự phân tích M=M 1 Å M 2 sao cho N M và N cốt

yếu trong M 1 thì M được gọi là CS- môđun (hay môđun mở rộng) Nói cách khác, M là CS- môđun nếu mọi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

2.2.2 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun

Theo định luật modular ta có N = N  M = N  (U  V) = U  (N

 V) hay U là hạng tử trực tiếp trong N

Do đó ta có N là CS – môđun 

2.2.3 Bổ đề Cho M 1 và M 2 là các môđun uniform có vành các tự đồng cấu địa phương và M = M1 Å M2 Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) M 1 và M 2 hầu nội xạ lẫn nhau

ii) M là CS- môđun

Chứng minh i) ii)Giả sử M1 và M2 hầu nội xạ lẫn nhau và A là môđun con của M = M1 ÅM2 Ta có thể giả thiết rằng A là môđun uniform Để chứng minh M là CS_ môđun, ta sẽ chứng minh A là môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

Trước hết ta chứng minh rằng mọi môđun uniform N không phân tích được Thật vậy, nếu N = N1 ÅN2 thì các môđun N1, N2 là các môđun

con của N và N1  N2 = 0 thì N1, N2 không cốt yếu trong N, mâu thuẫn

định nghĩa N là uniform.Vậy N không phân tích được

Gọi i là ph p chiếu từ M lên M i và A ( ),A i 1, 2

ii)  i) Ta định nghĩa A'= A1(f ) với f : A1  A2 là đồng cấu Vì A'

là môđun uniform, tồn tại sự phân tích M = N1 Å N2 với N1  A'.Hơn

nữa N1, M1, M2 là uniform nên M1 có tính chất thay đổi  M = N1 ÅM1

hoặc M = N1 Å M2

Nếu M = N1 Å M2 và '

2

 : M  M2 là ph p chiếu X t đồng cấu

1 2 2 1

1 ) ~( ) ( ) (

~

m m n m

n h m

 M α với M α là uniform và với End(Mα) địa

phương α I Giả sử M là CS- môđun Khi đó không tồn tại tập hợp vô

n f f

f

n

M M

môđun không đẳng cấu

Chứng minh Giả sử {f i : M i  M i + 1} là tập hợp các đồng cấu môđun

I i i

I M f M

M*   ( )  

Vì M mở rộng, ta có sự phân tích M = X  Y sao cho M* e

X Vì

i* : M*  M đẳng cấu trong A/J  Y = 0 Do đó M* e

M  M 1  M * ≠

0 Nếu tất cả các f i là đơn cấu, thì {f i}I phải là hữu hạn

2.2.6 Ví dụ R1 (tương ứng R2) là vành các ma trận tam giác trên (dưới)

trên trường K có đặc số vô hạn

Giả sử e i = e ii là ma trận sơ cấp Khi đó e k R i là hầu e s R i- nội xạ với

e2R2 …enR2 … Hơn nữa e1R2 là hầu

trong đó f là đẳng cấu Vì Hom R (e i R, e1R) = 0 với i ≥ 2, ta có thể phân

tích U = A  B và ~h : e1R  A sao cho ~h f = A i với A : U  A Hơn

) (A Soc A

Soc



Do đó ~h f = A i kéo

theo Soc(A) là đơn Vì vậy A không phân tích được và B là tổng trực tiếp các môđun không phân tích được Bj (j ≥ 2) Vì vậy ta có thể giả thiết

j n

Soc(U) =

2





i e i Re1, trong đó ~h f(e n+1 Re1) = A (e n+1 Re1)  A (B) = 0, vô lý

Vậy e1R2 không phải là hầu

2





i e i R2 nội xạ

2.2.7 Định nghĩa a) Cho M là R- môđun và N là môđun con của M, N =

N1  N2 Nếu M có thể phân tích thành M = M1  M2 sao cho M1N =

2.2.8 Mệnh đề Giả sử {M i}iI là tập hợp các môđun uniform và

End(M i ) địa phương iI;

1

n i i

M  M Khi đó các điều kiện sau là tương

đương:

i) M i là hầu M j - nội xạ i ≠ j

ii) M có tính chất mở rộng của hạng tử trực tiếp

Hơn nữa các điều kiện sau là tương đương

iii) M i là M j - nội xạ i ≠ j

iv) M có tính chất mở rộng của tổng trực tiếp

xạ của M i , i = 1,2 Giả sử M1 là hầu M2- nội xạ, và f : E1  E2 không

phải là đơn cấu Khi đó f(M2)  M1

Vì f 1(0)  M ≠ 0, tồn tại g : M2  M1 sao cho gM = fM theo giả

thiết M1 là hầu M2- nội xạ Ta có thể giả sử rằng g là một phần tử trong

Hom R (E2, E1) Nếu (f-g)(M2) ≠ 0, vì M e

E1, tồn tại m1 ≠ 0, m1M1 và

m2  M2 sao cho (f-f)(m2) = m1 Tuy nhiên g(m2)  M1, nên m2  M2  f

 1

(M) = M Do đó (f-g)(m2) = 0, mâu thuẫn với (f-g)(M2) ≠ 0 Vậy f(M2) =

g(M)  M1 

2.2.10 Định nghĩa a) Một họ các môđun con {Mi  iI} của một

môđun M được gọi là hạng tử trực tiếp địa phương của M nếu 

Chứng minh Giả sử A là một hạng tử trực tiếp của M(J), khi đó A cũng

là hạng tử trực tiếp của M Theo giả thiết tồn tại tập con K của I sao cho

M = AM(K)

Vì A là môđun con của M(J), sử dụng luật modular ta có :

M(J) = A(M(K)  M(J))