Môđun tựa nội xạ và môđun hầu tựa nội xạ

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được các nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm.. Vì vậy người ta đã mởi rộng nghiên cứu các lớp môđun này và trong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG ĐÌNH HẠNH

MÔĐUN TỰA NỘI XẠ

VÀ MÔĐUN HẦU TỰA NỘI XẠ

luËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Nghệ An - 2011

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được các nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm Đặc biệt, môđun nội xạ là một trong những trụ cột chính của lý thuyết môđun, từ đó ứng dụng để đặc trưng vành Nhưng điều kiện của môđun nội xạ quá mạnh vì thế một số lớp vành khó

có thể đặc trưng Vì vậy người ta đã mởi rộng nghiên cứu các lớp môđun này và trong những thập kỷ 80 và 90 các nhà khoa học đã đạt được nhiều kết quả tốt trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ

Năm 1989, Yoshitomo Baba và Manabu Harada đã đưa ra các khái niệm mới về lớp môđun nội xạ là môđun hầu nội xạ Với các tính chất cơ bản của chúng Mặc dù lớp môđun này đã được nghiên cứu trong hơn thập kỷ qua nhưng nhiều tính chất thú vị và hữu ích vẫn không được chú ý

Năm 2009 Adel Alahmadi và S K Jain tiếp tục nghiên cứu và mở rộng lớp môđun này, và đã thu được nhiều kết quả, đó là một số tính chất về môđun hầu tựa nội xạ Các kết quả chính được đăng trên tạp chí Math J Okayama Univ năm 2009

Dựa trên những kết quả chính của bài báo “ A note on almost injective modules” của Adel Alahmadi và S K Jain (xem [2]) luận văn nhằm tìm hiểu một số tính chất về môđun hầu tựa nội xạ Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là “Môđun tựa nội xạ và môđun hầu tựa nội xạ”

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1 Môđun tựa nội xạ

Trong chương này chúng tôi trình bày các tính chất về môđun con cốt yếu, môđun A – nội xạ, môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ

Chương 2 Môđun hầu tựa nội xạ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun hầu tựa nội xạ

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư, TS Đào Thị Thanh Hà

và các thầy giáo cô giáo khác trong chuyên nghành Đại số đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn học viên

1.1.1 Định nghĩa Môđun con B của môđun A được gọi là hạng tử trực tiếp

trong A nếu có môđun C của A sao cho A B   C

Môđun A khác không được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những

hạng tử trực tiếp duy nhất trong A

1.1.2 Định nghĩa ( Các điều kiện Ci của môđun)

(C1) Mọi môđun con của môđun M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M (C2) Mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì nó cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3) M1, M2 là các hạng tử trực tiếp của M, M1 M2  0 thì M1M2  M

(1 – C1) Mọi môđun đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

1.1.3 Định nghĩa

* M thỏa mãn (C1) được gọi là CS – môđun

* M thỏa mãn (C1) và (C2) được gọi là môđun liên tục

* M thỏa mãn (C1) và (C3) được gọi là môđun tựa liên tục

* M thỏa mãn (1 – C1) được gọi là (1 – C 1 ) môđun

1.1.4 Định nghĩa Cho A là môđun con của môđun M

* A được gọi là đóng trong M nếu *

A BM A B

* A được gọi là phần bù trong M nếu tồn tại BM , A tối đại để A   B 0

1.1.5 Mệnh đề

(i) A là đóng trong M khi và chỉ khi A là phần bù trong M

(ii) Bao đóng luôn tồn tại theo nghĩa cho A là môđun con của môđun M, T được gọi là bao đóng của A trong M nếu A cốt yếu trong T và T đóng trong M

1.1.6 Định nghĩa Đơn cấu  : A  B của các R môđun được gọi là chẻ ra nếu

Im  là hạng tử trực tiếp trong B Toàn cấu : BC được gọi là chẻ ra nếu

er

K  là hạng tử trực tiếp của B

1.1.7 Mệnh đề

(i) Đồng cấu môđun  : A  B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu : B A

  sao cho  id A Khi đó BImKer

(ii) Đồng cấu : B C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

  sao cho  id C Khi đó BKerIm

1.1.8 Định nghĩa Dãy khớp ngắn

0 A  B  C 0

Được gọi là chẻ ra nếu Im  Ker  là hạng tử trực tiếp của B

1.1.9 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn

0 A   B  C 0

Các phát biểu sau tương đương

(i) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra

(ii)  là đơn cấu chẻ ra

(iii)  là toàn cấu chẻ ra

1.1.10 Định lý Cho dãy khớp ngắn

0   A  B  C 0

Khi đó các dãy sau là khớp

1) 0 Hom M A( , ) * Hom M B( , ) * Hom M C( , )

2) 0 Hom C M( , ) * Hom B M( , ) * Hom A M( , )

* Hom id( M, ), Hom( ,id M)

và  *

1.1.11 Định nghĩa Vành R được gọi là địa phương nếu tập tất cả các phần tử

không khả nghịch của R đóng kín đối với phép cộng

1.1.12 Định lý Cho vành R, gọi A là tập tất cả các phần tử không khả nghịch

của R Khi đó các điều kiện sau là tương đương

(i) R là vành địa phương;

(ii) A là iđêan hai phía của R;

(iii) A là iđêan phải thực sự lớn nhất;

(iii)’ A là iđêan trái thực sự lớn nhất;

(iv) Trong R tồn tại iđêan phải lớn nhất;

(iv)’ Trong R tồn tại iđêan trái lớn nhất;

(v)   r R thì hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch phải;

(v)’   r R thì hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch trái;

(vi)   r R thì hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch

1.1.13 Mệnh đề Cho môđun M, khi đó nếu vành End(M) địa phương thì M là

môđun không phân tích được

1.2 Môđun con cốt yếu

1.2.1 Định nghĩa Môđun con N của R – môđun M được gọi là môđun con cốt

yếu của M, kí hiệu *

N M Nếu với mọi môđun con khác không K của M ta đều

có K   N 0 Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N

Nếu mọi môđun con của môđun M là cốt yếu thì M được gọi là môđun đều

1.2.2 Bổ đề Cho A là môđun con của môđun M Khi đó A* M khi và chỉ khi với mỗi phần tử 0 m M   tồn tại r R  sao cho 0 mr   A

Chứng minh Giả sử A *M, m  0 và m M  thì khi đómR  0 và A mR   0

Từ đó suy ra tồn tại r  R mà 0 mr   A

Ngược lại, nếu B là môđun con khác không của M, lấy 0 m B   và tìm được

r R  sao cho 0  mr  A thì do mr  B nếu B   A 0 vậy *

A M 

1.2.3 Hệ quả Cho A là môđun con của môđun M trên R Khi đó

A  * M  Rx   A 0   x M

Nếu f X( ) 0 , khi đó A* N nên ta có f X( ) A 0  x X x, 0 sao cho ( )

Chứng minh X là môđun con khác không của M

Nếu B X   0 thì A X    0 Tồn tại tổng trực tiếp X   A A

Lúc đó

1

n i i

Chứng minh Trường hợp 1: I n hữu hạn

Quy nạp theo n và chỉ cần chứng minh n = 2

1.3.1 Định nghĩa Môđun M trên R được gọi là A - nội xạ nếu mọi môđun con

X và mỗi đồng cấu f X: Mcó thể mở rộng tới đồng cấu *

   A ImfKergf chẻ ra

Nếu A không phân tích được thì theo định nghĩa Kerg = 0

Khi đó A  Imf  f toàn cấu  f đẳng cấu 

1.3.3 Mệnh đề Cho N là A - nội xạ và B là môđun con của A thế thì

(ii) Giả sử X/B là môđun con của A/B, : X B/ N là đồng cấu môđun

Gọi  : A  A B / là toàn cấu tự nhiên và '

Dễ thấy  là ánh xạ,  là đồng cấu,  X B/   do đó N là A/B – nội xạ 

1.3.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn Baer tổng quát)

Môđun N là A - nội xạ N là Ra - nội xạ   a A

Kiểm tra  đồng cấu

Tương tự cách chứng minh Mệnh đề 1.3.4 bằng Bổ đề Zorn ta giả sử  không

mở rộng thành một đồng cấu từ X’ vào N với bất kỳ môđun con '

X  A mà X’chứa X Khi đó, X là môđun con cốt yếu của A Do X  A nên   j I và aA j sao cho a X  , mà N là Aj - nội xạ   j I N là aR - nội xạ,   a A (Mệnh đề 1.3.4)

Tương tự Mệnh đề 1.3.4 ta có thể mở rộng đồng cấu  thành đồng cấu

:X aR N

   , điều này mâu thuẫn với tính tối đại của

Vậy N là A - nội xạ hay N là i

 - nội xạ

1.4 Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ

1.4.1 Định nghĩa 1 ChoR M, M được gọi là nội xạ nếu M là A - nội xạ với mọi

1.4.3 Mệnh đề Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là một hạng tử trực

tiếp của mọi môđun chứa nó

Chứng minh Nếu A là nội xạ thì A là hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó

Thật vậy nếu A là nội xạ và AB, một ánh xạ đồng nhất trên A mở rộng thành đồng cấu f B: A

Khi đó, B A Kerf Tức A là hạng tử trực tiếp của môđun B chứa A Ngược lại giả sử ta có các môđun A và B sao cho B A K   erf Khi đó A B  và tồn tại đồng cấu f B: A là mở rộng của phép đồng nhất idA Vậy A là - nội xạ 

1.4.4 Mệnh đề Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R là nội xạ

Chứng minh Giả sử X là tổng trực tiếp của U va V trên R, X nội xạ

Để chứng minh mệnh đề, ta chứng minh U cũng là nội xạ

Cho đơn cấu g A: B và đồng cấu f A: V gọi :j U X là phép nhúng tự nhiên và h X :  U là phép chiếu tự nhiên Khi đó vì X là nội xạ nên tồn tại đồng cấu k B :  X sao cho k g  j f Xét đồng cấu hợp thành h k B :  U ta có

h k g h j f  f  U nội xạ 

1.4.5 Định lý Với một môđun tùy ý X trên R và tự đồng cấu đồng nhất của nó

:

i X  X các phát biểu sau tương đương

a) X nội xạ

b) Mọi dãy khớp ngắn chẻ ra

c) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R

d) Với mọi đơn cấu g A: B ta có g*  Hom g i( , ) :Hom B X( , )Hom A X( , )

Chứng minh a)  b) Giả sử X nội xạ và xét biểu đồ sau

Theo định nghĩa, tồn tại h U :  Xthỏa mãn h g i

theo kết luận dãy khớp điều này kéo theo dãy khớp ngắn sau chẻ ra

b)  c) Gọi U là một môđun nội xạ chứa X khi đó ta có dãy khớp ngắn

Trong đó g U: U X/ là phép chiếu tự nhiên Theo chứng minh a)  b) thì dãy trên là chẻ ra và do đó X là hạng tử trực tiếp của U

c)  a) Từ Mệnh đề 1.3.3

a)  d) Theo định nghĩa g* = Hom(g,i) là toàn cấu nếu và chỉ nếu mọi phần tử :

f AX trong Hom(A,X) tồn tại phần tử h B :  X trong Hom(B,X) sao cho

g*(h) = ihg =hg = f Tức a) xảy ra  X nội xạ 

1.4.6 Bổ đề Môđun N là A – nội xạ nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ đồng cấu

Chứng minh Vì E(N) là môđun nội xạ nên chỉ cần xét đối với Hom A E N( , ( ))

Điều kiện cần Đặt X   { a A  ( ) a  N } Vì N là môđun A – nội xạ nên

X

 mở rộng được thành một đồng cấu  : A  N Ta sẽ chứng minh N (  )( ) 0A  Thật vậy, giả sử n N  và aA sao cho n ( )( )a khi đó ( ) a ( )a n là một phần tử của N Do đó a X  Từ đó n( )a ( )a ( )a ( ) 0a  Thế thì ( )( ) 0

N   A  Do đó (  )( ) 0A  vì *

( )

N E N Vậy ( ) A ( )A N

Điều kiện đủ Giả sử X  A và  : X  N là một đồng cấu vì E(N) nội xạ nên 

mở rộng được thành một đồng cấu : AE N( ) Theo giả thiết ( ) A N, do đó

 là đồng cấu từ A đến N mở rộng của  Vậy N là A – nội xạ 

1.4.7 Hệ quả Môđun Q là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi End E Q( ( )) luôn

có ( ) Q Q

1.4.7 Hệ quả Giả sử A và B là các môđun nội xạ lẫn nhau ( tức A là B – nội xạ

và B là A – nội xạ) Nếu ( ) E A E B( ) thì A B Hơn nữa nếu : ( ) f E A E B( )là một đẳng cấu thì f A là đẳng cấu từ A lên B; ngoài ra A và B là tựa nội xạ

Chứng minh Giả sử : ( )f E A E B( )là một đẳng cấu thì ( ) f A B và 1

f là một toàn ánh Từ đó suy ra f A là đẳng cấu từ A lên B

Từ A là B – nội xạ và AB nên A là A - nội xạ, do đó A là tựa nội xạ 

Cho M và N là hai R môđun phải M được gọi là hầu N - nội xạ (almost

N – injective) nếu mỗi môđun con X của N và mỗi đồng cấu f :X M , tồn tại đồng cấu g sao cho biểu đồ (1) giao hoán hoặc tồn tại đồng cấu h sao cho biểu đồ (2) giao hoán

N1 là hạng tử trực tiếp khác không của N, và  :N N1 là phép chiếu lên

N1 những biếu đồ này được gọi là biểu đồ (1) và biểu đồ (2) tương ứng M được gọi là hầu tựa nội xạ nếu M là hầu M – nội xạ Một vành R được gọi là hầu tựa nội xạ phải nếu nó là tựa nội xạ như là môđun phải trên chính nó Vành hầu tựa nội xạ trái được định nghĩa tương tự

Trong suốt phần này, trừ khi có quy định khác, R là vành có đơn vị 1  0

Và tất cả các môđun là môđun phải có đơn vị Một môđun M được gọi là CS nếu mỗi phần bù của môđun con là hạng tử trực tiếp của M Nếu n

M là CS với mỗi

n, thì M được gọi là CS hữu hạn Vành R được gọi là vành CS phải nếu R môđun phải là CS Vành CS trái định nghĩa tương tự R được gọi là Utumi nếu vành thương phải tối đại của nó trùng với vành thương trái tối đại

2.1 Bổ đề Một môđun hầu tựa nội xạ không phân tích được là tựa liên tục, do

Chứng minh Rõ ràng M là môđun hầu tựa nội xạ không phân tích được nên M

là môđun tựa liên tục Ta chứng minh M là môđun đều.Vì M là tựa liên tục nên

với mọi môđun con U của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Mà

M là môđun không phân tích được nên M chỉ có 0 và M là hạng tử trực tiếp của

M do đó U cốt yếu trong M hay M là môđun đều 

2.2 Mệnh đề Cho M và N là 2 môđun đều M hầu N - nội xạ khi và chỉ khi mỗi

X  n N f n M Khi đó f X :X M Vì M là hầu N - nội xạ, cũng như hình

(1) hoặc hình (2) đã chỉ ra Nếu (1) đúng , khi đó tồn tại g N: M sao cho

Nếu (2) đúng thì sẽ tồn tại h: M N sao cho h f  1X Khi đó f là tương ứng

một một Do đó f là đẳng cấu vì E(N) là nội xạ và E(M) là môđun không phân

2.3 Mệnh đề Cho R là vành với lũy đẳng không tầm thường Khi đó R là hầu

nội xạ phải khi và chỉ khi mỗi cE R( R) thì cR hoặc tồn tại rR sao cho cr 1

Chứng minh Giả sử R là hầu nội xạ phải Khi đó RR là đều bởi Bổ đề 2.1 Cho

( R)

cE R và l C:RE R( R) là phép nhân trái đồng cấu Khi đó tồn tại f:E R( R)E R( R) sao cho l c R  f R Bởi Mệnh đề 2.2 thì f R( ) Rhoặc f là đẳng cấu và 1

( )

f R R Nếu f R( ) R, thì c R  Nếu f là đẳng cấu và 1

( )

f R R thì tồn tại rR sao cho f(r) = 1 nên cr l r C( ) f r( ) 1

Giả sử mỗi cE R( R), c R  hoặc tồn tại r R  sao cho cr  1 Chúng ta đã có rằng E(RR) là đều Nếu e End E R ( ( R)) là lũy đẳng khi đó mỗi e(1) Rhoặc tồn tại

rR sao cho e(1)r = 1 Nếu e(1) Rthì e(1) là một lũy đẳng trong R và giả thiết e(1) = 0 hoặc e(1) = 1 Do đó e = 0 hoặc 1 ( )

( )

f R rRR Theo Mệnh đề 2.2, R là hầu tựa nội xạ.

2.4 Hệ quả Cho D là miền nguyên và Q là vành tối đại của thương

Khi đó D là hầu tựa nội xạ phải khi và chỉ khi cQ thì c hoặc 1

c D

2.5 Định lý Nếu M là môđun hầu tựa nội xạ không phân tích được Khi đó

End(M) là địa phương

Để chứng minh định lý ta chứng minh hai bổ đề sau

2.6 Bổ đề Cho M là môđun hầu tựa nội xạ không phân tích được Khi đó với

mỗi f g,  S End M( )

(i) Nếu Ker(f) Ker(g)thì Sg  Sf

(ii) Nếu Ker(f)=Ker(g) thì Sf Sg hoặc SgSf

Chứng minh Định nghĩa  : (f M) g M( ) bởi  ( (f M)) g M( )  là R - đồng cấu

(i) Chúng ta có Ker( ) f  K g er( ), khi đó  không là ánh xạ một một Bằng giả sử

 có thể mở rộng trên M Do đó tồn tại  S sao cho  ( ( ))f m   ( ( ))f m mỗi

mM Khi đó g m( )  (  f)( )m với mọi mM Kết quả SgSf

(ii) Cho Ker(f)=Ker(g) Trong trường hợp này  là một một Do đó  có thể mở rộng thành tự đồng cấu  S hoặc tồn tại  S sao cho    1f m( ) Nếu

   rộng thành tự đồng cấu  S hoặc tồn tại  S sao cho    1f m( ) Nếu

2.8 Bổ đề Cho M là môđun hầu tựa nội xạ không phân tích được và S =

End(M) Khi đó iđêan trái H của S được tạo ra bằng phép đơn cấu không đẳngcấu trong S là iđêan hai phía