Tổng và tích trực tiếp các môđun nội xạ

Những lớp môđun có thể phân tích thành tổng hay tích trực tiếp và các lớp môđun không phân tích được đang được nhiều tác giả nghiên cứu quan tâm.. Khái niệm môđun nội xạ đã được giới thi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÂM ANH TUẤN

TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÂM ANH TUẤN

TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Tổng và tích trực tiếp các môđun 4

§1.2 Môđun con cốt yếu – tính chất 11

Chương II: TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ §2.1 Môđun nội xạ 15

§2.2 Định lí Papp and Bass về tổng trực tiếp các môđun nội xạ 19

§2.3 Tích trực tiếp các môđun nội xạ 23

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

MỞ ĐẦU

Môđun là một khái niệm cơ bản của Đại số hiện đại Một trong những hướng nghiên cứu môđun là phân tích thành những môđun đơn giản hơn theo tổng hay tích trực tiếp Một hướng khác, xây dựng những lớp môđun mới từ những lớp môđun đã cho nhờ các phương pháp mở rộng Những lớp môđun

có thể phân tích thành tổng hay tích trực tiếp và các lớp môđun không phân tích được đang được nhiều tác giả nghiên cứu quan tâm

Trong l ý thuyết môđun, c ng với lớp môđun xạ ảnh th lớp môđun nội

xạ là một trong những lớp môđun đóng vai tr quan trọng góp phần h nh thành hai trụ cột trong nghiên cứu l ý thuyết này Khái niệm môđun nội xạ đã

được giới thiệu trong [3]: Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu

:

f AQ và với mỗi đơn cấu g A: B của những R – môđun, tồn tại một

đồng cấu :h BQ sao cho hg  f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

Như vậy, khái niệm môđun nội xạ được xây dựng từ những môđun đã cho thông qua các đồng cấu môđun Một cách tự nhiên, có thể đặt ra các câu hỏi: Tổng trực tiếp (hay tích trực tiếp) của các môđun nội xạ có nội xạ hay không? Với những điều kiện nào th xảy ra sự phân tích thành tổng trực tiếp? Những môđun không phân tích được có tính chất g ? Đây là những vấn đề chính mà luận văn hướng đến

Dựa vào tài liệu chính [3] luận văn t m hiểu về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp các môđun nội xạ Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành hai chương:

Chương I là phần kiến thức chuẩn bị, tr nh bày hệ thống các khái niệm

về tích trực tiếp, tổng trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, trình bày chứng minh một số tính chất cơ bản của chúng thông qua các định lí và bổ đề

Chương II là phần nội dung chính của luận văn, tr nh bày khái quát về khái niệm, tính chất cơ bản của môđun nội xạ T m hiểu và chứng minh chi tiết thêm về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun nội xạ

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt t nh của Thầy PGS.TS Ngô Sỹ T ng Tác giả xin bày tỏ

l ng biết ơn sâu sắc đến Thầy, đồng thời tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, Cô GVC.TS Nguyễn Thị Hồng Loan, Cô GV.TS Đào Thị Thanh Hà cùng quý thầy cô trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khoa Toán, Ph ng Sau Đại học của Trường Đại học Vinh, Ph ng QLKH&SĐH của Trường Đại học Đồng Tháp, các bạn học viên Cao học Toán khoá 20 đã hỗ trợ, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn này

Nghệ An, tháng 9 năm 2014

LÂM ANH TUẤN

Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được hiểu là vành có đơn vị ký hiệu

là 1 và các môđun là môđun phải unita

Chương này trình bày hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổng trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, một số tính chất cơ bản của chúng thông qua các định lí và bổ đề Các khái niệm, tính chất được trình bày lấy từ tài liệu [3]

xB  i I Khi đó  là một đồng cấu môđun

Suy ra ' x i x  x ,  x B Cho nên ' 

1.1.3 Mệnh đề Giả sử f i:A i B i i | I là một họ đồng cấu môđun Khi

Chứng minh Với mọi    i , i i

 gồm tất cả những phần tử  a mà i a i 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số iI,

được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ A i i | I và được kí hiệu bởi i

 Trường hợp A i A,  i I, ta kí hiệu:  I

nếu nếu

cho bởi f    a i f a i i  là một đồng cấu được kí hiệu bởi i

I f

Chứng minh Tương tự phần chứng minh của Mệnh đề 1.1.3 

1.1.7 Định nghĩa (Tổng trực tiếp trong)

Môđun A R được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con

A i i | I nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

Chứng minh   Do điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1.7, nên có một tập hữu hạn I'I sao cho phần tử a viết được dưới dạng

  Ngược lại, giả sử mỗi phần tử a A có sự biểu diễn duy nhất dưới dạng i, i i

Từ Bổ đề 1.1.8, ta suy ra các hệ quả sau

1.1.9 Hệ quả Giả sử A là tổng của những môđun con A Khi đó A là tổng i trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ

i I

Từ Hệ quả 1.1.10, nên ta thường d ng thuật ngữ tổng trực tiếp thay cho

cả tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài, c ng với kí hiệu i

 Sự phân biệt tổng trực tiếp trong hay tổng trực tiếp ngoài được hiểu theo từng t nh huống cụ thể

1.1.12 Định nghĩa Đơn cấu : AB của các R – môđun được gọi là chẻ

1.1.13 Mệnh đề

được gọi là chẻ ra nếu Im  Ker  là hạng tử trực tiếp của B

1.1.15 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn (*), các phát biểu sau là tương

đương:

(a) Dãy khớp ngắn (*) chẻ ra

Chứng minh Được suy ra trực tiếp từ định nghĩa và Mệnh đề 1.1.13 

§1.2 MÔĐUN CON CỐT YẾU – TÍNH CHẤT

Môđun con cốt yếu

1.2.1 Định nghĩa

a) Môđun con A của R – môđun M gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A B0 (một cách tương đương, A B0 thì B0) Khi đó, ta cũng nói rằng M là mở rộng

b) Đồng cấu : A B được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu Im  *B

1.2.2 Ví dụ

1) Với mỗi môđun M, ta đều có M *M

2) Vành số nguyên Z xem như môđun trên chính nó Khi đó, mỗi iđêan khác không trong Z tức là các môđun con khác không của Z- môđun Z đều

cốt yếu Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ aZ và bZ ta đều có:

0abaZ bZ (vì ,a b0)

1.2.3 Nhận xét Từ định nghĩa, ta có: M 0 và A*M thì A0

Chứng minh (a) Giả sử U 0 là môđun con của C Khi đó U cũng là môđun con khác không của M Ta có:

A M A U  Mà A B B U 0

Do đó B*C

(b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n1, mệnh đề đúng theo giả thiết Giả sử mệnh đề đúng với n1, tức là:

1

1

*

n i i

(d) Giả sử U C và Im  U 0 Do  là đơn cấu, nên ta có:

Chứng minh   Giả sử m0, mM , khi đó mR0 Do A*M

nên A mR0 Từ đó suy ra  r R sao cho mr0 và mrA

  Ngược lại, giả sử B là môđun con khác không của M Khi đó,

lấy 0 m B  và tồn tại rR sao cho 0mrA Vì mrB nên A B0 Điều này chứng tỏ A*M 

Từ Bổ đề 1.2.5, ta suy ra một số tính chất cơ bản của môđun con cốt yếu thông qua các hệ quả sau

Mà A*M, nên theo Bổ đề 1.2.4 (a) ta được B*M

   3  1 Giả sử 0m iM i Khi đó 0m iM , theo Bổ đề 1.2.5 thì tồn tại rR sao cho 0m r i B Ta cũng có m r i M i, nên ta suy ra được

0m r i B M i M i Điều này chứng tỏ B M i *M i,  i I 

Chương II

TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Chương này là phần nội dung chính của luận văn, tr nh bày khái niệm, một số tính chất cơ bản của môđun nội xạ, t m hiểu và trình bày chứng minh

về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun nội xạ

§2.1 MÔĐUN NỘI XẠ

2.1.1 Định nghĩa (Môđun nội xạ)

Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu : f AQ và với mỗi đơn cấu g A: B của những R – môđun, tồn tại một đồng cấu

:

h BQ sao cho hg  f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

Về đặc trưng của môđun nội xạ, ta có định lí sau

Chứng minh * Chứng minh    a  b :

   a  b Do Q nội xạ, nên tồn tại đồng cấu : BQ sao cho biểu

đồ sau giao hoán

nghĩa là  1Q

Do đó, theo Mệnh đề 1.1.13 thì  là chẻ ra

   b  a Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau

trong đó g là đơn cấu

Gọi K là môđun con của QB gồm tất cả các cặp có dạng

   

 f a ,g a , a A

Đặt NQB K , ta có các đồng cấu : B N và : Q N sao cho hình vuông sau giao hoán





   c  a Do Hom,1Q là toàn cấu, nên với mỗi f Hom RA Q, 

th tồn tại hHom RB Q,  sao cho

 ,1Q   1Q

Do đó, theo Định nghĩa 2.1.1 thì Q là nội xạ 

2.1.3 Hệ quả Nếu Q là môđun nội xạ và Q A thì A nội xạ

Chứng minh Giả thiết Q A , nên tồn tại g Q1:  A là đẳng cấu V

Q nội xạ nên với mỗi đơn cấu f M: B và mỗi đồng cấu g M: Q thì tồn tại một đồng cấu :h BQ sao cho hf g

Khi đó, h cũng là một đồng cấu (v 1 h g, 1 là đồng cấu) Bây giờ xét

Điều này chứng tỏ A là nội xạ 

2.1.4 Định lí (Tiêu chuẩn Baer)

Chứng minh (Xem [3] mục 5.7 hoặc [1] mục 4.5)

Từ Định lí 2.1.4, ta suy ra ngay hệ quả sau

2.1.5 Hệ quả Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi Q là R – nội xạ

Chứng minh Được suy ra trực tiếp từ Định lí 2.1.4, với U là R R và i

§2.2 ĐỊNH LÍ PAPP AND BASS VỀ TỔNG TRỰC TIẾP

CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Một trong những vấn đề cơ bản của lí thuyết môđun là với những điều kiện nào th xảy ra sự phân tích thành tổng trực tiếp và những môđun không phân tích được có những tính chất như thế nào?

Để t m hiểu về nội dung chính của phần này th một số khái niệm, định nghĩa có liên quan trong phần chứng minh ta có thể xem trong [1], [3] Trước tiên xin nêu lại các định lí, bổ đề để làm cơ sở Phần chứng minh của chúng

có thể xem trong [3] hoặc [1] được nêu cụ thể theo từng mục tương ứng

2.2.1 Định lí ([3], Định lí 6.5.1)

Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương:

(b) Mọi tổng trực tiếp các R – môđun phải nội xạ là nội xạ

(c) Mọi tổng trực tiếp đếm được của các bao nội xạ của các R – môđun đơn phải là nội xạ

2.2.2 Định nghĩa 1) Môđun M gọi là phân tích được nếu nó có hạng tử R

trực tiếp khác 0 và M (ngược lại, M được gọi là không phân tích được) R

2) Môđun M gọi là thuần nhất (hay đều) nếu với mọi môđun con khác R

không A và B ta có A B0

2.2.3 Định lí ([3], Định lí 6.6.2 hoặc [1], 5.2)

đương:

(a) Q không phân tích được

(b) Q là bao nội xạ của môđun con bất kỳ của nó

(c) Mỗi môđun con trong Q là thuần nhất

(d) Q là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không náo đó

2.2.4 Hệ quả ([3], Hệ quả 6.6.3)

(a) Bao nội xạ của một R – môđun đơn là không phân tích được

(b) Môđun nội xạ Q chứa hầu hết môđun con đơn là không phân tích được

là bao nội xạ của một R – môđun đơn

2.2.5 Bổ đề ([3], Bổ đề 6.6.6 hoặc [1], 5.3)

U U

2.2.6 Hệ quả ([3], Hệ quả 6.6.7 hoặc [1], 5.4)

nội xạ không phân tích được có tổng là trực tiếp

đơn mà tổng là trực tiếp

2.2.7 Bổ đề ([3], Bổ đề 6.6.8 hoặc [1], 5.5)

môđun con thuần nhất khác không

2.2.10 Định lí Papp and Bass ([3], Định lí 6.6.4(a))

Những điều kiện sau là tương đương:

không phân tích được

Chứng minh    1  2 Theo Hệ quả 2.2.6, trong Q tồn tại tập hợp

tối đại các môđun con nội xạ không phân tích được có tổng là trực tiếp Gọi

tổng đó là

0

vì Q i nội xạ với mọi iI nên theo Định lí 2.2.1 thì Q0 nội xạ Do đó Q0 là

hạng tử trực tiếp trong Q Giả sử rằng

QQ B

Giả sử B0 0, khi đó theo Bổ đề 2.2.7 thì B chứa môđun con thuần 0

nhất U 0 Gọi I U là bao nội xạ của U , chứa trong   B thì 0 I U là không  

phân tích được và là hạng tử trực tiếp của B Gọi 0

Điều này chứng tỏ môđun nội xạ Q là tổng trực tiếp của các môđun con

không phân tích được

   2  1 Chứng minh được hoàn thành khi mà điều kiện (c) trong

Định lí 2.2.1 được thoả mãn Giả sử

Giả sử I Q là bao nội xạ của Q với   Q I Q  Ta chứng minh rằng

Nếu Soc D j 0, theo Hệ quả 2.2.4 đặt F j Soc D j là đơn và D là j

bao nội xạ của F Do đó ta có j

và theo định lí Krull-Remak-Schmitd (Định lí 2.2.9) thì Soc I Q có hai sự    

phân tích là đẳng cấu với nhau Khi đó E i F j, theo Định lí 2.2.8 ta được

Do đó Q đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ I Q và  

chính bản thân nó nội xạ Điều này chứng tỏ tổng trực tiếp đếm được các Q i

là thoả mãn điều kiện (c) trong Định lí 2.2.1, nên R là Noether  R

§2.3 TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Như đã đề cập đến ở phần mở đầu, một trong những vấn đề mà luận văn hướng đến là t m hiểu xem tích trực tiếp của các môđun nội xạ có nội xạ hay không Vấn đề này được làm sáng tỏ thông qua định lí sau:

2.3.1 Định lí ([3], Định lí 5.3.4)

I

Nghĩa là, tích trực tiếp các môđun là nội xạ khi và chỉ khi các môđun thành viên là nội xạ

Chứng minh   Giả sử :g AB là một đơn cấu, f A: Q i là

một đồng cấu với i I Gọi i :Q i Q là phép nhúng chính tắc, khi đó :

  là một đồng cấu

Do Q nội xạ nên tồn tại đồng cấu : k BQ sao cho kgi f , nghĩa

là biểu đồ sau giao hoán

Xét đồng cấu hi k, trong đó :i QQ i là phép chiếu chính tắc Khi đó, ta có:

i

hg  k g  kg   f  f  f Điều này chứng tỏ Q là nội xạ i

  Giả sử Q là nội xạ với i i I Xét biểu đồ giao hoán sau

trong đó g là đơn cấu, f là đồng cấu, i là phép chiếu chính tắc, với h là i

đồng cấu có được do Q i là nội xạ và i f h g i

Khi đó, theo Định lí 1.1.2, th tồn tại đồng cấu :h BQ sao cho

2.3.2 Hệ quả Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ

Chứng minh Giả sử Q là nội xạ và QQ1Q2 Tương tự phần chứng minh   của Định lí 2.3.1, ta suy ra Q i i1,2 là nội xạ 

KẾT LUẬN

Luận văn đã đề cập, t m hiểu và tr nh bày các vấn đề sau:

1 Khảo sát, hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổng trực tiếp của các môđun, khái niệm môđun con cốt yếu và trình bày một số tính chất cơ bản của chúng như: Tính chất phổ dụng của tích và tổng trực tiếp các môđun (Định lí 1.1.2, 1.1.5 chương I); tích trực tiếp, tổng trực tiếp của họ các đồng cấu là một đồng cấu (Mệnh đề 1.1.3, 1.1.6 chương I); điều kiện để một môđun

là môđun con cốt yếu (Bổ đề 1.2.5 chương I), tổng trực tiếp các môđun con cốt yếu là cốt yếu (Hệ quả 1.2.6 chương I)

2 Khảo sát khái niệm môđun nội xạ và tr nh bày chi tiết tính chất đặc trưng của môđun nội xạ (Định lí 2.1.2 chương II), một môđun đẳng cấu với môđun nội xạ là nội xạ (Hệ quả 2.1.3 chương II)

3 Trình bày chứng minh tích trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ (Định lí 2.3.1 chương II), mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ (Hệ quả 2.3.2 chương II), mỗi môđun nội xạ trên vành Noether là tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được (Định lí 2.2.10 chương II)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết

môđun và vành, NXB Giáo dục, Hà Nội

[2] Ngô Sỹ T ng (1995), Một số lớp vành đặc trưng bởi các điều kiện liên

tục và lớp CS – môđun, Luận án P.TS Toán lý, Đại học Vinh

B TIẾNG ANH

[3] F Kasch (1982), Modules and Ring, Academic Press, London - New

York