Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành artin và vành noether

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ ĐĂNG KIM LỘC SỰ PHÂN TÍCH CỦA MÔĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2017... BỘ GIÁO DỤC VÀ Đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ ĐĂNG KIM LỘC

SỰ PHÂN TÍCH CỦA MÔĐUN NỘI XẠ

TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ ĐĂNG KIM LỘC

SỰ PHÂN TÍCH CỦA MÔĐUN NỘI XẠ

TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An – 2017

Mục lục

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 4

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 7

Các điều kiện   Ci của môđun 7

1.1 Môđun A - nội xạ 10

1.2 Môđun, vành Artin 15

1.3 Môđun, vành Noether 21

1.4 CHƯƠNG 2: SỰ PHÂN TÍCH CỦA MÔĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER 24

Môđun nội xạ 24

2.1 Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành Artin 27

2.2 Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành Noether 29

2.3 KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

A Giao của tất cả các tập A i với i I

M

 Tích trực tiếp của các môđun M i với i I

A B A đẳng cấu với B Kerf, Imf Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f I(M) Độ dài của môđun M

End M Vành các tự đồng cấu của môđun  

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay được phát triển mạnh mẽ và

có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành Nghiên cứu cấu trúc vành người ta có thể nghiên cứu đặc trưng qua tính chất của một lớp xác định nào đó của các môđun trên vành đó

Có hai hướng chính để nghiên cứu lý thuyết vành Hướng thứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hướng thứ hai là đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng Về mặt lịch

sử hướng thứ nhất phát triển sớm hơn và đưa ra những định nghĩa đặc trưng ban đầu về các lớp vành khá quen thuộc hiện nay như vành nửa đơn, các vành tựa Frobenius, vành Artin, vành Noether, vành nửa nguyên tố, vành nửa nguyên sơ Hướng thứ hai xuất hiện muộn hơn nhưng tỏ ra khá hiệu quả Kết quả đầu tiên và hoàn chỉnh nhất là đặc trưng của vành Artin nửa đơn Xuất phát từ đây, người ta đã thu được nhiều đặc trưng vành khác nhau của các lớp vành thõa mãn điều kiện hữu hạn

Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ được xem là một trong hai trụ cột chính để nghiên cứu lý thuyết vành và môđun Luận văn của chúng tôi tập trung tìm hiểu và nghiên cứu về sự phân tích thành tổng trực tiếp (gọi tắt là sự phân tích) của lớp môđun nội xạ trên hai loại vành là vành Artin và vành Noether Dựa vào tài liệu chính là [3] và [4] chúng tôi nghiên cứu và trình bày tường minh một số kết

quả trong các tài liệu đó, vì vậy chúng tôi chọn đề tài là: Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành Artin và vành Noether

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi trình bày một số

khái niệm và tính chất về các điều kiện  C i của môđun, môđun A - nội xạ,

môđun, vành Artin và vành Noether nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau

Chương 2 Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành Artin và vành Noether Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và đặc trưng của

môđun nội xạ, sự phân tích của môđun nội xạ trên vành Artin và vành Noether

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy hướng dẫn, người đã định hướng, dẫn dắt và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu luận văn này

Xin chân thành cám ơn các thầy cô ở Trường Đại học Vinh Nghệ An và Trường Đại học Sài Gòn TP Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập Cuối cùng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn

TP Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2017

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong toàn bộ luận văn chúng tôi giả thiết vành là vành có đơn vị và tất cả các môđun là môđun phải unita Khi nói cho một môđun M chúng ta hiểu M là

môđun phải trên vành R cố định nào đó

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về các điều kiện  C i của môđun, môđun A - nội xạ, môđun, vành Artin và Noether nhằm

mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2

Các điều kiện   Ci của môđun

1.1

Định nghĩa 1.1.1 Cho môđun M trên vành R Ta xét các điều kiện sau đối với

môđun M

 C1 : Với mọi môđun con A của M , tồn tại B là hạng tử trực tiếp của

môđun M để A là môđun con cốt yếu của môđun B

 C2 : Cho ,A B là môđun con của M và đẳng cấu với nhau, nếu A là hạng

tử trực tiếp của môđun M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của môđun M

 C3 : Cho ,A B là các hạng tử trực tiếp của môđun M , A B 0 thì A B

cũng là hạng tử trực tiếp của môđun M

1 C 1: Mọi môđun con đều U của M , tồn tại B là hàng tử trực tiếp của môđun M để U là môđun con cốt yếu của môđun B

Chú ý 1.1.2 Mọi môđun M bất kì có thể không thỏa mãn điều kiện nào hoặc thỏa

mãn một số điều kiện nào đó

Ví dụ 1.1.3 Xét - môđun Ta có các khẳng định sau:

Khẳng định 1 thỏa mãn điều kiện  C1

Chứng minh Với mọi môđun con A của thì:

+) Nếu A0 thì A là môđun con cốt yếu của 0,0 là hạng tử trực tiếp của +) Nếu A0 thì A k , k là môđun con cốt yếu của , là hạng tử trực tiếp của , k 0

Khẳng định 2 không thỏa mãn  C2

Chứng minh Vì ta có n  ,  n * mà là hạng tử trực tiếp của nhưng

n không là hạng tử trực tiếp của

Khẳng định 3 thỏa mãn điều kiện  C3

Chứng minh Vì chỉ có 0 và là hạng tử trực tiếp, mà  0 0 và 0 là hạng tử trực tiếp của

Khẳng định 4 thỏa mãnđiều kiện 1 C 1

Chứng minh Hiển nhiên vì   C1  1 C1

Mệnh đề 1.1.4 Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện  C2 thì cũng thỏa mãn điều kiện  C3

Chứng minh Cho , A B là các hạng tử trực tiếp của môđun M và A B 0 Do

A là hạng tử trực tiếp của môđun M nên M A A  1 với A1 M

b B M A A    , nên b a a ' 1 với a A a' , 1A1, suy ra  b a1 Khi đó

a b  a a     a A B A  B  1 Lấy a b  A  B với a A ,    b  B b B,  nên

1

" '

b a a  với a"A a, '1  A1  b a1' Như vậy ta có

  1'  "  " a '1

a b  a a  a a  a   A B Suy ra A B  A B  2

Từ  1 và  2 suy ra A B A   B

Lại vì Ker A, Ker \B  A B 0 suy ra  / :B B B là đằng cấu

Do tính chất  C2 mà B là hạng tử trực tiếp của môđun M nên  B là hạng tử

trực tiếp của môđun M Ta có

1

M A A   a

  ,

M  B N N là môđun con nào đó của M  b

Lại vì  B  A1, giao hai vế  b với A1 ta được

Định nghĩa 1.2.1 Cho A và M là các R - môđun Môđun M được gọi là A - nội

xạ nếu thỏa mãn điều kiện sau đây:

Với mọi môđun con X của A và với mọi đồng cấu f X: M tồn tại đồng cấu mở rộng f A*: M của f để * f i f tức là biểu đồ sau giao hoán, trong đó i là đơn cấu nhúng đồng nhất

Mệnh đề 1.2.2 Cho B là môđun con của môđun A Khi đó nếu môđun M là A -

Để chứng minh M là A B/ - nội xạ, lấy X B/ là môđun con bất kì của

Trong đó j X: A là phép nhúng đồng nhất,  , là các đồng cấu tự nhiên,

i

f

Cho M và A là các R - môđun phải Khi đó M là A - nội xạ khi và chỉ khi M là

aR - nội xạ với mọi a A

Chứng minh Dùng Bổ đề Zorn

  Hiển nhiên (do Mệnh đề 1.1.7.)

  Cho M là aR - nội xạ với mọi a R Ta chứng minh M là A - nội xạ

Thật vậy,

Nhắc lại Bổ đề Zorn: Cho X   là tập sắp thứ tự thỏa mãn: mọi tập con khác rỗng của X sắp thứ tự toàn phần đều có cận trên thì trong X có phần tử tối đại (tập sắp thứ tự toàn phần nghĩa là 2 phần tử bất kì đều có thể so sánh được với nhau)

Cho A X x , 0X được gọi là cận trên của A nếu  a A thì a x 0 Xét biểu đồ

sau với X là môđun con bất kì của A f là đồng cấu tùy ý từ X đến M và , i là phép nhúng đồng nhất

+) Thứ tự trong L như sau:

B k,k  B t,t B k B t và t là mở rộng của k Kiểm tra được  là quan hệ thứ tự trên L và thỏa mãn Bổ đề Zorn Vậy theo Bổ

đề Zorn L có phần tử tối đại, kí hiệu  B, 

Tiếp theo ta chứng minh B A Lấy f*  Trước hết ta chứng tỏ B là môđun con cốt yếu của môđun A Thật vậy, nếu B không là môđun con cốt yếu trong A thì tồn tại 0 C A mà B C    0 B C

Lấy ': B C M sao cho b c  b Thấy ngay ' là đồng cấu

mở rộng của  Suy ra   B,  B C , '   Mâu thuẫn với tính tối đại của  B, ,

vậy B là môđun con cốt yếu của môđun A

Cuối cùng ta chứng minh B A Thật vậy, nếu B A    a A B a, 0

Kí hiệu K r R ar B|   khi đó K là môđun con cốt yếu của R R Suy ra

aK aR B  mà B là môđun con cốt yếu của môđun A và aR A nên

 i Môđun M được gọi là môđun Artin nếu mọi tập khác  các môđun con

của môđun M có phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm

 ii Vành R được gọi là vành Artin phải ( trái) nếu R - môđun phải R R (trái

Ví dụ 1.3.2 Xét là - môđun trên chính nó Khi đó không là vành Artin vì

có họ các môđun con  2i 1

i



 không có phần tử tối tiểu

Định lí 1.3.3 Cho M và A M các điều kiện sau là tương đương:

 i M là môđun Artin;

 ii A và M A/ là Artin;

 iii Mọi chuỗi giảm các môđun con A1  A2 … là dừng;

 iv Mọi môđun thương của M là hữu hạn đối sinh;

 v Mọi họ các môđun con A i  A i I|    có họ con hữu hạn

Từ đó suy ra i0 là phần tử tối tiểu của  i i I

 hay M/ A là môđun Artin

   ii  iii Luật modula: M  N A, R thì

   iii  i Ta sử dụng phương pháp phản chứng

Gọi M không là Artin Khi đó có  là tập con khác rỗng của M mà 

không có phần tử tối tiểu Khi đó với mọi U A thì luôn có U'A sao cho

      Suy ra mọi dãy giảm từ B dừng

2) Cho V là không gian vectơ, dimK V  

Giả sử e e1, , , , 2 e n  là một hệ độc lập tuyến tính trong V Ta có dãy vô hạn

0  Ke1 Ke Ke1 2  … Ke Ke1 2   Ke n …

Suy ra  N   Do đó V không Artin

3) Vành là Noether, không Artin

Định lí 1.3.5 Cho M là môđun Artin, f End M  . Khi đó

 i Tồn tại n0 sao cho  n n0thì Im f n Ker f n

 ii Nếu f đơn cấu thì f đẳng cấu

Vậy a b  k Im Ker và ta có điều phải chứng minh

 ii Nếu f đơn cấu thì f cũng đơn cấu Do đó n MImf n0 M Imf vì

0

Im f n Im f Điều này chứng tỏ f toàn cấu và do đó f đẳng cấu

Môđun, vành Noether

1.4

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị:

 i Môđun M R được gọi là môđun Noether nếu mọi tập khác  các môđun con của môđun M có phần tử tối đại theo quan hệ bao hàm

 ii Vành R được gọi là vành Noether phải (trái) nếu R - môđun phải R R

Khi đó ta có m m k i i | , k  Do m i có hữu hạn ước và m m m1 2 3 m i m i là ước của m1 và tồn tại i sao cho m m i  i k ,  k 0 Suy ra phần tử tối đại của m i Vậy

 iii Mọi chuỗi tăng các môđun con của M là dừng;

 iv Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh;

 v Trong mọi họ  A i I các môđun con của M tồn tại họ con hữu hạn

Định lí 1.4.4 (Định lí cơ sở của Hilbert) Cho R là vành Noether phải (trái) Khi

đó R x  là vành Noether phải (trái)

Hệ quả 1.4.5 Nếu R là vành Noether phải (trái) thì vành R x x 1, , ,2 x n cũng là vành Noether phải (trái)

Định lí 1.4.6 Cho M là môđun Noether, f End M  . Khi đó

 i Tồn tại n0 sao cho  n n0thì Im f n Ker f n 0

 ii Nếu f toàn cấu thì f đơn cấu

  theo  *  x 0, nghĩa là Im f n Kerf n 0

 ii Nếu f toàn cấu thì f cũng toàn cấu n

Khi đó Imf n M và Kerf n  0 Kerf 0 vì Kerf Kerf n

2 M là hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa M.

3 Với mọi đơn cấu  : M N là chẻ ra, tức là Im là hạng tử trực tiếp của môđun N

i

4 Với mọi đơn cấu  :  thì đồng cấu

 ,1 :M  ,   , 

Hom  Hom B M Hom A M

là toàn cấu

Hệ quả 2.1.5 Cho M là nội xạ và N M khi đó N là nội xạ

Định lí 2.1.6 Tích trực tiếp của các môđun i

Do M là nội xạ nên tồn tại g X:  M là mở rộng của , tức là gk

trong đó k là phép nhúng từ A vào X Gọi p M i : M i là phép chiếu xác định

Kiểm tra ta được f* thỏa mãn yêu cầu bài toán, vì

Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành Artin

2.2

2.2.1 Định nghĩa

a) Môđun M được gọi là phân tích trực tiếp được (tương ứng không phân

tích trực tiếp được) nếu M0 hoặc tồn tại một hạng tử trực tiếp khác 0 của M

(tương ứng M0 và không có hạng tử trực tiếp của M khác 0 và khác M )

( một môđun con B  M được gọi là một hạng tử trực tiếp của M

C

   M M B C    )

b) Cho U là môđun con thực sự của M , M được gọi là bất khả quy trên U

nếu mỗi môđun con tùy ý , A B M với U là môđun con thực sự củaA, Ulà môđun con thực sự của B ta có U A B 

c) M được gọi là bất khả quy M là bất khả quy trên 0 Môđun bất khả

quy còn gọi là môđun unifom (đều)

2.2.2 Định lí

Cho Q là nội xạ, Q0 Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:

 1 Q không phân tích trực tiếp được

   2  3 Cho M  Q và cho , A B M, A0, B0 Từ Q là một bao

nội xạ của A, A là mở rộng trong Q và A B 0

   3  4 Như một môđun con bất khả quy, ta có Q chính là bất khả quy và

Q là bao nội xạ của Q

   4  1 Cho Q là một bao nội xạ của môđun con bất khả quy M  0 của

Q Giả sử Q A B  , A0, B0 Khi đó M là mở rộng trong Q , M A 0,

2.2.3 Định lí

một môđun con đơn

các bao nội xạ của các R - môđun đơn

Chứng minh

 a Mọi môđun đơn là bất khả quy

 b Cho E E, 1 là môđun con đơn của Q Từ E là môđun con cốt yếu của

Q, E E 1 0 suy ra E E E  1E1

 c Cho 0 q Q  khi đó qR là Artin Suy ra tồn tại môđun con E trong

qR  Q Theo Định lí 2.1.2 Q là một bao nội xạ của E.

Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành Noether

2.3

2.3.1 Định lí

Nếu R là vành Noether, khi đó mọi R - môđun nội xạ là tổng trực tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích trực tiếp được Hơn nữa, R là Artin khi đó mọi hạng tử không phân tích trực tiếp được là một bao nội xạ của một R - môđun đơn

Để chứng minh Định lí này ta có Bổ đề sau

2.3.2 Bổ đề

Cho  là một tập các môđun con của môđun M Khi đó trong các tập con  của

 với

U U

0

U U

 (bởi vì H là tập con thứ tự toàn phần) vì vậy tổng của chúng là phân tích

trực tiếp được Do đó ta có G và  là một cận trên H trong G Vậy theo Bổ

để Zorn tồn tại một phần tử cực đại 0 trong G

2.3.3 Hệ quả

phân tích trực tiếp được mà tổng của chúng là phân tích trực tiếp được

chúng là phân tích trực tiếp được