Một số tính chất của lớp môđun nội xạ trực tiếp

Theo thời gian và nhu cầu của việc nghiên cứuchuyên sâu, khái niệm này đến nay đã được mở rộng theo nhiều hướngkhác nhau như: nội xạ chính, giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, min nội xạ,...

2.1 Môđun nội xạ trực tiếp và các tính chất 152.2 Một số kết quả đặc trưng vành 20

LỜI NÓI ĐẦUCùng với lớp môđun xạ ảnh, môđun nội xạ là một trong những lớpmôđun đóng vai trò quan trọng góp phần hình thành hai trụ cột trongnghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian và nhu cầu của việc nghiên cứuchuyên sâu, khái niệm này đến nay đã được mở rộng theo nhiều hướngkhác nhau như: nội xạ chính, giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, min nội xạ, Một hướng mở rộng khác của khái niệm nội xạ đã được giới thiệu trong[4]: Cho R là vành, một R - môđun phải MR được gọi là nội xạ trực tiếp(direct injective) nếu với mọi hạng tử trực tiếp N của M, mỗi đơn cấu

g : N → M đều tồn tại một tự đồng cấu f của R - môđun M sao cho

f ◦ g = iN

Như vậy, khái niệm nội xạ trực tiếp là một sự mở rộng của khái niệmnội xạ Với định nghĩa tương tự môđun nội xạ, tuy nhiên ở đây đã có sựthay thế mọi môđun con bởi các hạng tử trực tiếp và mọi đồng cấu bởicác đơn cấu Rõ ràng, nội xạ suy ra nội xạ trực tiếp, tuy nhiên điều ngượclại không hoàn toàn đúng

Mục đích chính của đề tài là tìm hiểu một số vấn đề sau:

1 Tính chất của môđun nội xạ trực tiếp

2 Một số ứng dụng của lớp môđun nội xạ trực tiếp

Từ các lý do đã nêu trên, đề tài chúng tôi có tựa đề: "Một số tínhchất của lớp môđun nội xạ trực tiếp"

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luậnvăn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương này là các kiến thức cơ sở có liên quan đến

nội dung của chương 2 Đặc biệt là các kiến thức về môđun nội xạ và cáctính chất cơ bản có liên quan.

Chương 2 Môđun nội xạ trực tiếp Nội dung của chương 2 đượctrình bày trong 2 phần:

2.1 Môđun nội xạ trực tiếp và các tính chất Phần này chủ yếu trình bày

về khái niệm nội xạ trực tiếp và các tính chất cơ bản của nó, đồng thời

có sự so sánh giữa khái niệm nội xạ và nội xạ trực tiếp

2.2 Một số kết quả đặc trưng vành Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệumột số kết quả đặc trưng các lớp vành nửa đơn và vành di truyền thôngqua lớp môđun nội xạ trực tiếp

Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 3 năm 2010 dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn trân trọng

và sâu sắc tới Thầy về sự tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nhưng cũng hếtsức nghiêm khắc trong suốt thời gian qua

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới các Thầy giáo, Cô giáo trong

Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại họcVinh về những sự giúp đỡ, động viên và tạo những điều kiện thuận lợinhất để tác giả hoàn thành khóa học này

Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo cáctài liệu cũng như tiếp thu các ý kiến đóng góp, song luận văn khó tránhkhỏi những hạn chế, thiếu sót Kính mong nhận được các ý kiến đóng gópcủa quý Thầy, Cô và các bạn

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giảNguyễn Nam Cao

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn, các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp và

có đơn vị Các môđun trên vành luôn được hiểu là unita phải (nếu khôngnói gì thêm)

Nội dung của chương này trình bày các khái niệm cơ bản, các kết quả

đã biết có liên quan đến nội dung các chương sau Các khái niệm, tínhchất cơ bản và ký hiệu được tham khảo trong các tài liệu [1], [2] và [5]

Trước hết chúng ta có các khái niệm về môđun đơn và môđun nửa đơn.1.1.1 Định nghĩa • Trên vành R, một R- môđun phải M được gọi

là môđun đơn (simple) nếu M 6= 0 và không có môđun con nàokhác ngoại trừ 0 và chính nó Môđun M được gọi là môđun nửa đơn(semisimple) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

1 Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn

2 M là tổng của các môđun con đơn

3 M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn

4 Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M

• Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là

đế phải của môđun MR Ký hiệu Soc(MR) hoặc Sr(M )

1.1.2 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn

n + 1 các môđun con của M: M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0 được gọi làdãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1/Mi

là đơn

Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành khái niệm

về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:

1.1.3 Định lý Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

có độ dài hữu hạn thì mọi cặp dãy hợp thành đó đều có cùng độ dài.1.1.4 Định nghĩa Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp thànhđược gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành đượcgọi là độ dài của M Ký hiệu lg(M ) hoặc length(M )

Sau đây là định nghĩa và một số tính chất của dãy khớp

1.1.5 Định nghĩa Một cặp các đồng cấu M0 →f M →g M ” được gọi làkhớp (exact) tại M nếu Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng 0 → M0 →f

M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn (short exact sequence)

Đối với dãy khớp chúng ta có một số tính chất sau:

1.1.6 Mệnh đề Cho M và N là các R-môđun và f : M → N là mộtđồng cấu Khi đó ta có:

1 0 → M →f N là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đơn cấu

2 M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là toàn cấu

3 0 → M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu

1.1.7 Định nghĩa Nếu f : M → N, f0 : N → M là các đồng cấu thỏamãn f f0 = 1N thì ta nói rằng f là một toàn cấu chẻ (split epimorphism)

và f0 là một đơn cấu chẻ (split monomorphism) Dãy khớp ngắn 0 →

M0 →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn chẻ (split exact) nếu

f là đơn cấu chẻ và g là toàn cấu chẻ

Trong lý thuyết vành, một trong những lớp iđêan đặc biệt đó là linhhóa tử Nhiều tính chất của các lớp vành cũng như các đặc trưng củachúng đã được nghiên cứu thông qua lớp iđêan này.

1.1.8 Định nghĩa Cho vành R vàA ⊂ R là tập con khác rỗng Linh hóa

tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) := {b ∈R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A})

Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trường hợpđặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏa mãntính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải

Đối với linh hóa tử ta có một số tính chất cơ bản sau:

1.1.9 Bổ đề Cho A là một tập con khác rỗng của vành R Khi đó ta có:

1 Linh hóa tử trái l(A) là iđêan trái của R Tương tự đối với linh hóa

Vào cuối những năm của thập kỷ hai mươi, E Noether và E Artin

đã giới thiệu các khái niệm ACC và DCC Từ đây, Artin đã chứng minhđược định lý mô tả cấu trúc của lớp vành nửa đơn và được gọi là định

lý Wedderburn - Artin, đánh dấu cho việc phát triển của lý thuyết vànhmột cách có hệ thống

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC (Descending ChainCodition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇

Mn ⊇ , tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, 1.1.11 Định nghĩa

• Môđun M được gọi là môđun Artin (Noether) nếu M thõa mãn điềukiện DCC (ACC)

• Vành R được gọi là vành Artin (Noether) phải nếu RR là môđunArtin (Noether) Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vànhArtin (Noether) trái

trong Mod-R

1.2.2 Nhận xét Như vậy chúng ta có, môđun N là nội xạ nếu và chỉnếu N là RR -nội xạ Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn mộttrong các điều kiện tương đương sau:

1 Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu

f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từA → N;

2 (Tiêu chuẩn Baer ) Mọi đồng cấu từ iđêan phảiI của Rtới N đều

có thể mở rộng được thành đồng cấu từ R tới N;

3 Với mọi R-môđun M, mọi đơn cấu f : N → M đều chẻ ra Nghĩa

là, Im f là hạng tử trực tiếp của M;

4 R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự

Chúng ta có một số tính chất của môđun nội xạ

1.2.3 Mệnh đề Tích trực tiếp và các hạng tử trực tiếp của môđun nội

xạ là môđun nội xạ

1.2.4 Định lý Cho Q là một R- môđun phải Các điều kiện sau tươngđương

(i) Q là môđun nội xạ;

(ii) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B chẻ ra (nghĩa là Im(ϕ) là một hạng tử trựctiếp của B);

(iii) Với mỗi đơn cấu α : A → B, ánh xạ Hom(α, 1Q) : HomR(B, Q) →HomR(A, Q) là toàn cấu

1.2.5 Định nghĩa Môđun P được gọi là M-xạ ảnh nếu với mọi toàncấu g : M → N và đồng cấu f : P → N đều tồn tại một đồng cấu

h : P → M sao cho f = gh Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là M-xạảnh với mọi môđun M thuộc Mod-R

Nhóm aben Q được gọi là chia được (divisible) nếu Q có dạng nQ với

n là một số nguyên khác không Một số kết quả sau là mối liên hệ giữalớp nhóm này với môđun nội xạ

1.2.6 Bổ đề Nhóm aben Q là chia được nếu và chỉ nếu Q là Z- môđunnội xạ

1.2.7 Bổ đề Nếu Qlà nhóm aben chia được thìR- môđun tráiHomZ(RR, Q)

là nội xạ

1.2.8 Mệnh đề Mọi R- môđun phải (trái) đều có thể nhúng được trongmột R- môđun nội xạ phải (trái).

Từ Định lý 1.2.4 ta có một đặc trưng của lớp vành nửa đơn

1.2.9 Hệ quả Vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R- môđun là nộixạ

1.2.10 Định nghĩa Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhaunếu M là N-nội xạ và ngược lại

Về tính chất nội xạ lẫn nhau ta có một số kết quả sau

1.2.11 Bổ đề Cho G = ⊕i∈IGi và M là một R-môđun phải Khi đó G

là M- nội xạ nếu và chỉ nếu Gi là M-nội xạ với mọi i ∈ I

1.2.12 Bổ đề Nếu G là M- nội xạ và N ⊆ M thì G là N- nội xạ và

1.2.15 Định nghĩa Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội

xạ E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N Kíhiệu E(N )

Một khái niệm khá quan trọng của môđun nội xạ đó là bao nội xạ (xemĐịnh nghĩa 1.2.15) Ví dụ như từ Q là chia được như một Z- môđun do

đó Q là Z- nội xạ Mặt khác đồng cấu bao hàm i : Z → Q là đồng cấu

cốt yếu do đó (Q, i) là bao nội xạ của Z Định lý sau là một trong nhữngkết quả khẳng định sự tồn tại bao nội xạ của các môđun

1.2.16 Định lý Mọi R- môđun phải MR (trái RM) đều có bao nội xạ

E(MR) (E(RM )) và sự tồn tại đó là duy nhất theo nghĩa sai khác nhaumột đẳng cấu

Giữa các tính chất khác của bao nội xạ ta có bổ đề sau

1.2.17 Mệnh đề Trong phạm trù các R- môđun phải (trái) trên vành R

ta có:

1 M là nội xạ nếu và chỉ nếu M = E(M )

2 Nếu M ⊂∗ N thì E(M ) = E(N )

3 Nếu M ⊂◦ Q, với Q nội xạ, thì Q = E(M ) + E0

4 Nếu⊕AE(Mα)là nội xạ, vớiAlà tập hữu hạn các chỉ số, thìE(⊕AMα) =

⊕AE(Mα)

Như chúng ta đã có trong Mệnh đề 1.2.3, hạng tử trực tiếp của mộtmôđun nội xạ là môđun nội xạ Vấn đề đặt ra là, liệu tổng trực tiếp củacác môđun nội xạ có là môđun nội xạ hay không Điều này chỉ đúng trongmột số trường hợp cụ thể Chẳng hạn chúng ta có câu trả lời trong mệnh

đề sau

1.2.18 Mệnh đề Trên vành R, các điều kiện sau là tương đương:

1 Mọi tổng trực tiếp của các R- môđun nội xạ phải (trái) là môđunnội xạ phải (trái)

2 Nếu (Mα)α∈A là một họ các R- môđun phải (trái) thì E(⊕AMα) =

⊕AE(Mα)

3 R là vành Noether phải (trái)

Một kết quả khác về mối liên hệ giữa tính chất nội xạ và tính chấtnoether:

1.2.19 Định lý Trên vành R, các phát biểu sau là tương đương:

1.3 Môđun con cốt yếu và các điều kiện Ci

1.3.1 Định nghĩa Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđuncon cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (tương ứng A ⊂◦ M) nếu và chỉnếu với mọi môđun con U ⊂ M, A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (tương ứng

A + U = M ⇒ U = M)

Nếu A ⊂∗ M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của A

Ta có một số tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé:1.3.2 Bổ đề

1 A ⊂◦ M ⇔ ∀U ⊂ M ta có A + U ⊂ M

2 A ⊂∗ M ⇔ ∀0 6= U ⊂ M ta có A ∩ U 6= 0

3 A ⊂◦ M 6= 0 ⇒ A 6= M

4 A ⊂∗ M 6= 0 ⇒ A 6= 0

5 0 ⊂◦ M và M ⊂∗ M với mọi R- môđun M

Nếu K là một môđun con của môđun M, sử dụng bổ đề Zorn, tồn tạimôđun con tối đại C của M thỏa mãn C ∩ K = 0 Khi đó C được gọi làmôđun con bù (complement) của K trong M Do đó, K ⊂∗ M nếu và chỉnếu 0 là bù của K

Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của môđun con bù

1.3.3 Mệnh đề Cho C là một môđun con của môđun M Các điều kiệnsau tương đương:

Bổ đề sau còn được gọi là bổ đề cốt yếu (Essential Lemma)

1.3.4 Bổ đề Giả sử K là một môđun con của môđun M Nếu C là mộtmôđun con bù bất kỳ của K trong M thì:

• (C2) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau và

A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp của

MR

• (C3) : Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của MR và A ∩ B = 0

mod-được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn các điềukiện (C1) và (C3) Môđun MR được gọi là (1 − C1)- môđun (uniformextending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1)

Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:

Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1)

Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđuntrên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng

1.3.8 Định nghĩa Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục) vànhphải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên chính nó.Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái vàvành tựa liên tục trái

1.3.10 Mệnh đề Môđun M không phân tích được và có tính chất (C1)

nếu và chỉ nếu M đều Mọi môđun đều M là môđun tựa liên tục

Chúng ta có mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là một môđunnội xạ Mệnh đề sau là kết quả tương tự trên lớp môđun thỏa mãn cácđiều kiện (Ci)3i=1

1.3.11 Mệnh đề Các điều kiện (Ci)3i=1 có tính chất di truyền đối vớicác hạng tử trực tiếp Đặc biệt, mọi hạng tử trực tiếp của một môđun liêntục (tựa liên tục) là một môđun liên tục (tương ứng tựa liên tục)

CHƯƠNG 2MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP

Môđun nội xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọngtrong nghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian và nhu cầu của việcnghiên cứu chuyên sâu, khái niệm này đến nay đã được mở rộng theonhiều hướng khác nhau như: nội xạ chính, min nội xạ, giả nội xạ, cốt yếugiả nội xạ, Trong phần này chúng tôi tập trung giới thiệu về lớp môđunnội xạ trực tiếp, một hướng mở rộng khác của lớp môđun nội xạ

2.1 Môđun nội xạ trực tiếp và các tính chất

Trước hết chúng ta có định nghĩa của môđun nội xạ trực tiếp

2.1.1 Định nghĩa Một R- môđun M được gọi là nội xạ trực tiếp (directinjective) nếu với một hạng tử trực tiếp N của M và đồng cấu bao hàm

iN : N → M Mọi đơn cấu g : N → M đều tồn tại một tự đồng cấu

f ∈ End(M ) sao cho f g = iN

2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa của môđun nội xạ trực tiếp ta thấy:

1 Dễ nhận thấy mọi môđun nội xạ là nội xạ trực tiếp Thật vậy, nếu

M là môđun nội xạ thì với đơn cấu g : N → M, với mọi hạng tửtrực tiếp N đều tồn tại tự đồng cấu f0 : M → M sao cho f0iN = g.Chọn f = (f0)−1 ta có (f )0−1g = f g = iN và do đó M là môđun nội

xạ trực tiếp

2 Điều ngược lại của nhận xét trên không hoàn toàn đúng trong trườnghợp tổng quát Chẳng hạn, Z- môđun Z4 là môđun nội xạ trực tiếp

nhưng không là môđun nội xạ.

3 Nếu M là môđun nội xạ trực tiếp thì f (M ) là một hạng tử trực tiếpcủa M, với mỗi f ∈ End(M )

Chúng ta có dấu hiệu đầu tiên để nhận biết môđun nội xạ trực tiếp.2.1.3 Định lý Cho M là một R- môđun Các điều kiện sau là tươngđương:

1 M là môđun nội xạ trực tiếp;

2 Với một môđun con A và một hạng tử trực tiếp N của M Một đơncấu bất kỳ g : M/N → A tồn tại một đồng cấu f : A → M sao cho

f g = h, trong đó h : M/N → M là một đồng cấu bao hàm;

3 Với A là một môđun con của N và N là một hạng tử trực tiếp của M.Mọi dãy khớp 0 → N → A chẻ ra

Chứng minh Ta sẽ chứng minh theo lược đồ sau: (1) ⇔ (2) và (1) ⇔ (3)

• (1) ⇔ (2) Điều kiện (2) ⇒ (1) là hiển nhiên do đó ta chỉ cần chứngminh (1) ⇒ (2) Giả sử M là một môđun nội xạ trực tiếp và N là mộthạng tử trực tiếp của M Nếuh : M/N → M là một đồng cấu bao hàm và

g : M/N → A là một đơn cấu thì tồn tại một tự đồng cấu u ∈ End(M )

sao cho uig = h, trong đó i là đồng cấu bao hàm từ A đến M Đặt

ui = f : A → M ta có f g = uig = h Vậy ui = f là đồng cấu cần tìm

• (1) ⇔ (3) Để chứng minh điều kiện cần chúng ta giả sử M = N ⊕ B

và p : M → N là phép chiếu, i : N → M là đồng cấu bao hàm Giả sử

g : A → M và h : N → A là các đơn cấu Từ giả thiết M là môđunnội xạ trực tiếp, tồn tại tự đồng cấu u ∈ End(M ) sao cho ugh = i Đặt

f = pug thì f là đồng cấu từ A đến N thỏa mãn f h = iN

Để chứng minh chiều ngược lại ta giả sử M = N ⊕ B, đặt h : N → M,