Dạng liên thông trên đa tap symplectic

Trong luận văn này chúng tôi tập hợp và trình bày các khái niệm, tínhchất về dạng liên thông trên đa tạp symplectic, đồng thời khảo sát mối liên hệdạng liên thông đó với cấu trúc symplec

Bộ giáo dục và đào tạoTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Bộ giáo dục và đào tạo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Ngườ i hướng dẫn khoa học 1:

PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG

Ngườ i hướng dẫn khoa học 2:

PGS.TS PHAN THÀNH AN

Vinh – 2007

ChƯ¬ng II.CÁC CẤU TRÚC tƯ ¬ng thÝch

vµ d¹ng liªn th«ng trªn ®a t¹p symplectic 16

mở đầu

Nhưchúng ta đã biết hình học symplectic ra đời cách đây hai thế kỷ và

nó phát triển mạnh vào những năm 1970 với nhiều công trình nghiên cứu củacác nhà toán học nhưWeinrstein, Gromov, Taube, … và có nhiều ứng dụnghình học, vật lý học, cơ học và hệ động lực Hiện nay Hình học symplectic làmôn học đã được giảng dạy ở các trường Đại học sưphạm, Đại học KHTN vàCao học trong ngành hình học - TôPô

Trong luận văn này chúng tôi tập hợp và trình bày các khái niệm, tínhchất về dạng liên thông trên đa tạp symplectic, đồng thời khảo sát mối liên hệdạng liên thông đó với cấu trúc symplectic và cấu trúc hầu phức

Luận văn được chia làm hai chương

Chương I Đa tạp symplectic.

Trong chương này, chúng tôi tập hợp các khái niệm cơ bản của hình họcsymplectic nhưcác khái niệm về dạng song tuyến tính, dạng symplectic, khônggian véctơ symplectic, đa tạp symplectic nhằm phục vụ cho chương sau.Chương này được chia làm hai mục

I Không gian véctơ symplectic

II Đa tạp symplectic

Chương II Cỏc cấu trỳc tươ ng thớch và dạ ng liờn thụng trờn đa tạp

II Dạng liên thông trên đa tạp symplectic.

Phần này chúng tôi trình bày dạng liên thông và dạng liên kết trên đa tạpsymplectic, một số tính chất về mối liên hệ giữa chúng và áp dụng để chứng

minh Tenxơ Nijenhuis N(X,Y)0 trên đa tạp symplectic

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa sau Đại học trường Đạihọc Vinh Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy giáo TS Phan Thành An và PGS.TS Nguyễn Hữu Quang đã đặt bài toán và chỉ dẫn hướng

nghiên cứu Cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ bảocác vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng tụi xin chân thành cảm ơncác thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa sau Đại học, bạn bè và gia đình đãquan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

ChƯơng I đa tạp symplectic

Trong chương này, chỳng tụi trỡnh bày cỏc khỏi niệm, tớnh chất cơbản

của khụng gian vộctơ symplectic, đa tạp symplectic, khụng gian con Lagrangian

I không gian véctơ symplectic.

Ta luụn giả thiết V là không gian véctơ n - chiều trên ℝ Dạng songtuyến tính: : V V  ℝ

),()

,(u v  u v

được gọi là phản xứng nếu: (u,v) (v,u),  ,u v V

1.1.1 Mệnh đề (xem [5]) Giả sử là dạng song tuyến tính phản xứng Khi đótồn tại cơ sở  u1, u2,  , uk, e1, e2, , em, f1, f2, , fmcủa V sao cho:

k i

0),(),



.,,2,1,,

),

()

,( 1  1 1 1  

)(ae1 bf1 v ae1 bf1

1 1

1 bf W

ae  

Mµ (v ae1 bf1,e1) (v,e1) b(e1, f1) b b 0

0)

,()

,()

,(  1  1 1  1   1 1   

 v ae bf W

W U

V   1 2 ; với W i span{e i, f i}

Ta có cơ sở của V là:  u1, u2,  , uk, e1, e2, , em, f1, f2, , fmthỏa mãncác điều kiện của định lý □

Chú ý.

 Cơ sở xác định ở trên là không duy nhất

 Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc

 Đối với cơ sở này (u,v) u t Av, matrận A có dạng là:

Id00

000)

,(

n n j i

Khi đó ta có:

i) ~ ở trên là tuyến tính

ii) Ker~ v V ~v 0U

iii) ~ là song ánh  U {0}

1.1.2 Định nghĩa Dạng song tuyến tính phản xứng  được gọi là dạngsymplectic nếu ~ là song ánh Khi đó ánh xạ  cũn được gọi là cấu trúcsymplectic và (V,) được gọi là không gian véctơ symplectic.

Nhận xét V là không gian véctơ symplectic  ~ là song ánh  U {0}

Id0

1.1.3 Định nghĩa Giả sử (V,) là không gian véctơ symplectic

i) Không gian con W của V được gọi là không gian con symplectic nếu

Không gian conY được gọi là đối đẳng hướng nếu Y Y

1.1.4 Mệnh đề (xem [5]) Cho V là không gian con tuyến tính của không gian

Giả sử trong V có cơ sở e1,e2,, e n và trong Y có cơ sở

Xét ánh xạ: : V  Y(Ylà đối ngẩu của Y)

),(

i e v v

1

thay vào (1) ta được: , ( )

1

x f e

v x

m

i i

x v

,(

)()

,(

)()

,(

1

2 1

2

1 1

1

m m

i

i i m

m

i

i i

m

i

i i

e f v

e e

e f v

e e

e f v

e e

i e e

A  ( , )  làkhông suy biến, nên hệ (3) luôn có nghiệm

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh □

iv) a) Chøng minh Y lµ kh«ng gian symplectic khi và chỉ khi

}{

e v v

m

i i i

;0),(

,(

0)

,(

0)

,(

1

1 2

1 1

m

i

i i m

m

i

i i

m

i

i i

v e e

v e e

v e e

i e e

A  ( , )  lµ kh«ngsuy biÕn, nªn hÖ (3) chØ cã nghiÖm tÇm thưêng v 0

Ngưîc l¹i nÕu   { }

Y

Y ta cÇn chøng minh Y lµ kh«ng gian vÐct¬symplectic v Y Y  v(v1, v2,,v m) tháa m·n hÖ (3)

Do Y Y  0}nªn hÖ chØ cã nghiÖm v 0

 

n m j

i e e

1.1.5 Mệnh đề [5] Giả sử Y là không gian con tuyến tính của không gianvéctơ symplectic (V,) và Y là khụng gian con đẳng hướng Khi đú

1dimY n 

Mặt khỏc dimY dimY 2n 2dimY 2n

 Y  Y n

dimdim

 Y Y

 Y Y

Hay Y đối đẳng hướng

Ngược lại Y vừa là đẳng hướng và đối đẳng hướng, ta cần chứng minh Y

là không gian con Lagrangian

Do Y là đẳng hướng nờn  Y 0 (1) và Y  dimV n

2

1dim

và Y đối đẳng hướng nờn Y Y

II đa tạp symplectic.

1.2.1 Định nghĩa.

i) Giả sử M là đa tạp, là 2 - dạng vi phân trên M :



 M T M

iii) Giả sử (M1,1) và (M2,2) là hai đa tạp symplectic và g : M1M2

là vi phôi Khi đó g được gọi là đẳng cấu symplectic nếu 2 1

g , tức là:

,, v T M1 g 2 u v 2 ( ) g u g v

1

0

 là dạng symplectic và (ℝn, ) là đa tạp symplectic.0

1.2.5 Mệnh đề [5] Giả sử Y là không gian con Lagrangian của (V, ) thì)

,

(V  đẳng cấu symplectic với không gian (  ,0)

Y

Y trong đó 0 đượcxác định bằng công thức 0(u,v) (u)(v)

Dễ chứng minh ( ,) (  ,0)

Y Y

V ta cần chỉ ra một đẳng cấu tuyếntính : V  YYvà  

)( 0

i

i

i e u f u

u

1 1

, và xét ánh xạ:





 Y Y V

i i

i e u e u

u u

1 1

)(



thì dễ dàng kiểm tra là đẳng cấu tuyến tính và

.,

);

,()

,(

0 u v u v u v V





ChƯơng II CÁC CẤU TRÚC TƯƠNG THÍCH VÀ

DẠNG LIấN THễNG TRấN ĐA TẠP SYMPLECTIC

I CÁC CẤU TRÚC TƯƠNG THÍCH.

Trong phần này chúng tôi trỡnh bày mối liên hệ và cỏc tớnh chất của bacấu trúc, đú là cấu trúc symplectic, cấu trúc Riemann và cấu trúc phức hầu phức trờn đa tạp M

1 Cấ u trỳc phức tương thớch.

2.1.1 Định nghĩa Một cấu trúc phức trên V là ánh xạ tuyến tính J :V V

thỏa mãn J2 Id Khi đó cặp (V,J) được gọi là không gian vectơ phức

Ví dụ.V ℝ4

ta xét ánh xạ: J : V  V

),,,(x1 x2 x3 x4  (x3,x4, x1,x2)

Khi đú J là tuyến tính và J2 Id Vỡ vậy J là cấu trúc phức trên V

2.1.2 Định nghĩa Giả sử (V,) là không gian véctơ symplectic Một cấu trúcphức J được gọi là tương thích với nếu sự xác định:

V v u Jv

u v

i i

i e u f u

u

1 1

i i

i e u f u

J Ju

1 1

i

i

i Je u Jf u

i

i

i f u e u

1 1

i

i

i f u e u

J u

J

1 1

i

i

i Jf u Je u

1 1

)(

i i

i e u f u

i i

i e u f u

u

1 1

i i

i e v f v

v

1 1

i

i

i e v f v

Jv

1 1

),(),(u v u Jv

i i i i

i n

i i

i e u f v e v f u

1 1 1 1

),

(

),()

,(

1 , 1

,

j i n

j i

j i j

i n

j i

,(

1 1

j i n

i

j i j

i n

i i

i v u v u

1 1

i i i

J u v u v u v G

1 1

),(

Rõ ràng G J xác định trên là một tích vô hướng

Vậy J là cấu trúc phức tương thích với  □

2.1.4 Mệnh đề [5] Giả sử (V,) là không gian vectơ symplectic J là cấu trúc phức trên V Khi đó J là - tương thích khi và chỉ khi.

),(

)1(),(),(

u Ju

u

v u Jv

,()

,(Ju Jv G J Ju v G J v Ju

),(v JJu



),(v u

Mà là song tuyến tính và J là ánh xạ tuyến tính nên dễ dàng chứng

minh được G J là song tuyến tính

 G J là đối xứng

V v u Jv

u v

u

G J( , )( , ); , 

),(Ju JJv



),(Ju v



 (Vì J2 Id)

),(Ju v





 (v, Ju)

V v u u

v

 ( , ); ,

2.1.5 Mệnh đề [5] Giả sử (V,) là không gian vectơ symplectic Khi luôntồn tại cấu trúc phức J tương thích với trên V

Chứng minh Giả sửG là vụ hướng trên V , khi đú và G là không suy biến.

u v

G~u( ) ( , ); 

Khi đó ~ và G~ là các đẳng cấu tuyến tính từ V  V

Từ đú ta suy ra tồn tại ánh xạ tuyến tính A : V V

Khi đó (Au,v) G(u, Av) G(Av, u)

),

( u v



 (u,v)

.,

;),( Av u u v V

1) AA AA (Agiao ho¸n víi )A

u AA G

ThËt vËy ( , ) (  , ) 0; 0

u u

A u A G u u AA

 AAJ  AA J 

6) JJId

Tõ (1) ta có    

 AA J A

AJ     AA

 AA AA JA

Au G Jv

( , ) ( , ); ,

),

V v u v

u G v AA u

,);

,()

,(Khi đó G J là một tích vụ hướng

Từ việc xác định công thức (1) vào các kết quả 8) và 10) ta khẳng định sự

tồn tại cấu trúc phức J tương thích với trên V □

2.1.6 Mệnh đề Giả sử (V,J) không gian vectơ symplectic, g là một tích vụ

hướng thỏa mãn g(Ju,Jv)g(u,v);u,vV Khi đó sự xác định

),(

 g(JJu, Jv) (theo giả thiết)

),( u Jv

 g(Jv,u)

),

2.1.7 Mệnh đề Giả sử (V,) là không gian vectơ symplectic 2nchiều;

Id,

Giả sử J là cấu trúc phức trên không gian (V,) symplectic (*) là cơ sở

của V ta cần chứng minh J và - tương thích  ,u v V

i i

i e u Je u

u

1 1

i i

i e v Je v

v

1 1

i i

i e v Je v

Jv

1 1

),

(),()

,(

1 1

1 1

i i i n

i

i i n

i i i

J u v u Jv u e u Je v e v Je G

),()

,(

1 , 1

,

j i n

j i

j i j

i n

j i

,(

1 , 1

,

j i n

j i

j i j

i n

j i

i i

i v u v u

1 1

Với bất kỳe1 e V, 1 0 thỡ Je1 V và g(e1,e1)0

Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả sử g(e1,e1) 1 Khi đú Je1 V và

1),()

a e

bJe ae

),(

),(

1 1 1

1 1 1

0

a b

)(

)

W W

de cJe v de

cJe v

2.1.8 Mệnh đề [5] Giả sử (V,) là không gian véctơ symplectic 2nchiều,

J là  tương thích và L là không gian con Lagrangian của V Khi đó JL

cũng là không gian con Lagrangian và JLL V

i e u u

i i

i e u Je u

J x

1 1

(2)  JL 0

JL y

L x

n

i i i

Je x x

e x x

1 1

1 1

i i

i e x Je x

n i

i i n

i

i i

j, 0, 1,

1 1

i j i n

i

i j i

ij

Je e x e

e x

JL  hiển nhiên Ta cần chứng minh V JLL

V

v 

 vì theo mệnh đề 2.1.7 {e1,e2,,e n,Je1,Je2,,Je n} là cơ sở

của V

n

i i

i e v Je v

Chỳ ý Ta chỉ xột J nhưmột ỏnh xạ

)()

Ở đõy B( M) là tập cỏc trường vộctơkhả vi trên M

Nhậ n xột Giả sử J là cấu trúc hầu phức trên đa tạp M khi đó J là đẳng cấu

tuyến tính

Thật vậy, J là đơn ánh.

)(

2.1.10 Định nghĩa Giả sử (M,) là đa tạp symplectic Một cấu trúc hầu

phức J trên M được gọi là tương thích với nếu sự xác định:



 M T M

T g x

g :  x : x x ℝ

),()

,()

,(u v  g x u v x u J x u

Chỳ ý Trên M ta cú thể trang bị cỏc cấu trỳc sau:

 là dạng symplectic : x  x : T x M  M T x  ℝ là dạng songtuyến tính không suy biến,  phụ thuộc khả vi vào x x

g là một mêtric Riemann g : x  g x : T x M  M T x  ℝ là tích vụ

hướng, g x phụ thuộc khả vi vào x

J là một cấu trúc hầu phức J : x  J x : T x M  M T x  ℝtuyến tính

và J2 Id

Khi đú (, g,J) được gọi là bộ ba tương thích nếu

),()

,

2.1.12 Mệnh đề [5] Giả sử (M,) là đa tạp symplectic, g là một mêtric

Riemann trên M Thì tồn tại cấu trúc hầu phức J trên M tương thích với 

Chứng minh.  x M , T x M,xlà không gian véctơ symplecvvtic Theomệnh đề 2.1.5 tồn tại cấu trúc phức J x trên T x M tương thích với  x

M T v u M x

Jv u v

G sinh bởi g cũng là mêtric Riemann

trờn M Mặt khác  phụ thuộc khả vi vào x , ta suy ra J phụ thuộc khả vi vào

x Vậy J : x  J x : T x M  M T x  ℝlà một cấu trúc hầu phức tương thíchvới  trên M

2.1.13 Mệnh đề [5] Giả sử (, g,J) là bộ ba tương thích trên đa tạp M

M T

~ u

Xác định bởi ~(u)(v) (u,v), u,v TM

M T TM

)(

,()

,(v JJu v u u v

2.1.14 Mệnh đề Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức và J tương thớch với hai

cấu trỳc symplectic  và0  Khi đú tồn tại họ khả vi 1 t,0t 1cấu trỳc symplectic nối  với 0 .1

1(0

),,()

t   



),()1(),(.g0 u v t g1 u v



),(u v

g t

 là tích vụ hướng (1)

 là không suy biến Giả sử ngược lạit  là suy biến.t

Vì J là đẳng cấu tuyến tính nên từ (1) suy ra g t là suy biến Từ đó dẫn

đến g không phải tích vụ hướng điều này vô lý.

Vậy  là không suy biến.t

Hệ quả.Đặt (M,J) J tương thớch với  Khi đú (M,J) là tập co rỳt được

Thật vậy với 0(M,J) Ta xột ỏnh xạ:

),()

,(:

0 M J M J

,(:

)0,(  

F

)()

1,( 0 0 

)( 0 1  1 0 2 2 

J J J J Khi đó tập J(M,) co rút được

Để chứng minh mệnh đề ta cần bổ đề sau:

Bổ đề Giả sử J1, J2J(M,);t, [0,1] Khi đó:

),()

 J t2 Id uB(M) ta có:

0 (1 ) 10 (1 ) 1( )

2

u J t tJ

J t tJ

Id(u uB M



(ta sử dụng t(1t)(J1J0 J0J1) t2 (1t)2 1Id)

 J t2 Id

 J tuyến tính vì J , J tuyến tính

 J t là - tương thích.

Vì J0 là  tương thích nờn:

)(,

),,()

,(u J0v g0 u v u v B M

Tương tự J1 là  tương thích nên:

)(,

),,()

,(u J1v g1 u v u v B M

]1,0[



 t ta có:

),()1(),(.),()1(),( u J0v t u J1v t g0 u v t g1 u v

),(u Jv

,(

)0,

)()

1,( 0 

F

Vậy h là ánh xạ đồng luân nối Id với 

Hay tập J(M,) co rút được □

II dạng liên thông trên đa tạp symplectic.

Trong mục này ta luụn giả thiết M là đa tạp khả vi 2n – chiều, B(M)

là tập tất cả các trường véctơ khả vi trên M và F( M) là tập các hàm khả vitrên M

2.2.1 Định nghĩa Một liên thông tuyến tính trên M đú là một ánh xạ:

)()

()(: B M B M  B M



Y Y

X, )  X(

2.2.2 Mệnh đề Giả sử M, là một đa tạp symplectic J là cấu trúc hầu

phức tương thích với  Khi đó luôn tồn tại liên thông tuyến tính  trên M

thỏa mãn

5)  X,Y X Y Y X

6) Z(X,Y)Z X,YX,Z Y

Chứng minh Do  M, là đa tạp symplectic, J là cấu trúc hầu phức tương

thớch với  Theo mệnh đề 2.1.7 thì tồn tại trường véctơ cơ sở trên B(M) códạng:E1, E2,, E n, JE1, JE2,, JE n

Trong đó(E i,E j)(JE i,JE j)0;(E i, JE j)ij

Xét ánh xạ ~ : B(M)B(M)  B(M)

Y Y

i

i

i E X JE X

X M Y

X

1 1

),(

i

i E Y JE Y

Y

1 1

i

i i

X Y X Y E X Y JE

1 1

][]

i

i i X

1 1

])[

(]

i

i i n

i

i i n

i

i

i E X Y JE X Y E X Y JE Y

X

1 1

1 1

][]

[]

[]

i

i i

X Y X Y E X Y JE

1 1

][]

i

i

i E X Y JE Y

X

1 1

][]

i

i i i

X Y Z X Y Z E X Y Z JE

1 1

][

][

][

i

i i n

i

i i n

i

i

i E X Z E X Y JE X Z JE Y

X

1 1

1 1

][]

[]

[]

i

i i

X Y X Y E X Y JE

1 1

][]

i

i i n

i

i i n

i

i

i E X Y E X Y JE X Y JE Y

X

1 1

1 1

][]

[]

[]

i n

i

n

i

i i i

i E Y JE X Y E X Y JE Y

X

1 1

1 1

][]

[]

i

i i i

Y

X Y X X Y Y X E X Y Y X JE

1 1

][][]

[][

~

~

],[X Y

i i i i

i E X JE Y E Y JE X

Y X

1 1 1 1

,)

i Y X Y X

i Y X Y X

Z Y X Z

1 1

)]

,(

i n

i

n

i

i i i

i Y X Z Y Z X Y X Z Y X

Z

1 1

1 1

][]

[]

[]

i i i i

i

Z X Y Z X E Z X JE Y E Y JE

1 1 1 1

,][]

[)

i Y Z X Y X

Z

1 1

][]

i i

i i

i

Z Y X E X JE Z Y E Z Y JE X

1 1 1 1

][]

[,)

~,

i Z Y X Z Y X

1 1

][]

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra Z[(X,Y)](~Z X,Y)(X,~Z Y) □

Bây giờ ta xét  ( )

2 2

1

)(

2.2.4 Mệnh đề Giả sử  M, là đa tạp symplectic, J là cấu trúc hầu phức

tương thích với  Xét trường véctơ cơ sở {E1,E2,,E n,JE1, JE2,, JE n}

i

i i

X Y X Y E X Y JE

`

`

][]

i

i i

X Y X Y E X Y JE

`

`

][]

i i

i E Y JE Y

i

i

i JE Y J E Y

JY

` 2

i i

i E Y JE Y

i

i i

X JY X Y E X Y JE

`

`

][]

i

i

i E X Y JE Y

X

`

`

][]

i

i i

X Y X Y JE X Y J E J

`

2

`

][]

i

i

i E X Y JE Y

X

`

`

][]

Từ (*) và (**) ta có: J~X Y ~X JY

1) Ta cã:

j n

j

j n j

n

j

j n n

X

j n

j

j j

n

j

j X

j n

j

j n j

n

j

j n n

X

j n

j

j j

n

j

j X

JE X E

X JE

JE X E

X JE

JE X E

X E

JE X E

X E

)()

(

~

)()

(

~

)()

(

~

)()

(

~

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

B A M

~(),

~(X E i JE j  X E j JE i

 0i j(X)i j(X);XB(M)

j j

  (sö dông kÕt qu¶ (2) vµ (3))VËy A lµ ma trËn ph¶n xøng

~()]

,([ E i E j X E i E j E i X E j

 0ij(X)j i(X);XB(M)

j j

  (sö dông kÕt qu¶ (2) vµ (3))VËy B lµ ma trËn ph¶n xøng

j i j

j i k

i

1 1

,)()

()

j i k

,()

j i j

j i k

i

1 1

,)()

()

j i k

j j

j

),()()

,()



2.2.5 Mệnh đề Giả sử  M, là đa tạp symplectic, J là cấu trúc hầu phức

tương thích với  Giả sử  là liên thông tuyến tính trên M thỏa mãn 5), 6) và

J

J Khi đó là liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann (M, g J)

Chứng minh Từ định nghĩa của liên thông Levi - Civita trên đa tạp (M, g J)tachỉ cần chứng minh

),()

,()]

,([g J X Y g J Z X Y g J X Z

Thật vậy Z[g J(X,Y)]Z[(X,JY)] (vì J là  - tương thích)

),

(),(Z X JY  X Z JY

),

(),(Z X JY  X JZ Y

  (vì J J)

),()

,( X Y g X Y

g J Z  J Z



Vậy là liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann M , g J □

2.2.6 Định nghĩa Giả sử  M , J là đa tạp phức B(M) là tập tất cả các trườngcủa véctơ khả vi trên M Ánh xạ:

),()

,(

((

)(:

Y X Y

X

M M

xác định bởi: N(X,Y) [JX,JY] J[X, JY] J[JX,Y] [X,Y]