Ánh xạ tiếp xúc và liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơbản, chứng minh chi tiết các tính chất và đa ra một số nhận xét về ánh xạ tiếpxúc, liên thông tuyến tính.. Trong Đ1,

Khoa toán

Nguyễn thị thu hơng

ánh xạ TIếP XúC và liên thông

tuyếntính trên đa tạp khả vi

chuyên ngành hình học

Khoá luận tốt nghiệp đại học

ngành cử nhân khoa học toán

Giáo viên hớng dẫn Th.S Trơng Chí TrunG

Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thu Hơng Lớp 43B-Khoa Toán

Vinh-2006

Lời mở đầu

ánh xạ tiếp xúc có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích, , chẳnghạn sử dụng nó để tính độ dài cung, diện tích, thể tích của các hình trên đa tạpnhiều chiều Vấn đề này đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu Hình học (xem[2], [5], [6], [7])

Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơbản, chứng minh chi tiết các tính chất và đa ra một số nhận xét về ánh xạ tiếpxúc, liên thông tuyến tính

Khoá luận đợc chia làm 4 mục :

Đ1 ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi

Đ2 Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

Đ3 ánh xạ tiếp xúc trên Rn

Đ4 Liên thông tuyến tính trên Rn

Ta có thể xem Đ 3, Đ 4 là trờng hợp cụ thể của Đ 1, Đ 2

Trong Đ1, chúng tôi trình bày định nghĩa về ánh xạ khả vi, ánh xạ tiếpxúc trên đa tạp khả vi (định nghĩa 1.1.1, định nghĩa 1.2.5) và các định nghĩa cóliên quan Các tính chất cơ bản của chúng đợc chứng minh khá chi tiết (mệnh

đề 1.1.3, mệnh đề 1.2.3, mệnh đề 1.2.6, mệnh đề 1.2.7, hệ quả 1.2.8, mệnh đề1.2.10)

Trong Đ 2, chúng tôi trình bày định nghĩa liên thông tuyến tính trên đatạp khả vi (định nghĩa 2.1) và các định nghĩa có liên quan Nêu đợc hai ví dụ vềliên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi (mệnh đề 2.4, mệnh đề 2.5) và một sốnhận xét quan trọng

Trong Đ3, chúng tôi trình bày định nghĩa về ánh xạ tiếp xúc trên Rn.Ngoài những tính chất đã nêu ở Đ1 chúng tôi còn bổ sung thêm một số tính chấtkhác (mệnh đề 3.7) Đồng thời đã nêu đợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào

định nghĩa, dựa vào ma trận Jacobi (ví dụ 3.3, mệnh đề 3.4) Ngoài ra trong

mục này chúng tôi đã đa ra khái niệm trờng véctơ bất biến trái và một số tínhchất của nó (thể hiện ở mệnh đề 3.9, nhận xét 3.10).

Trong Đ4, chúng tôi đã đa ra đợc 2 ví dụ về liên thông tuyến tính trên Rn

(mệnh đề 4.1, mệnh đề 4.6), các tính chất đợc chúng tôi trình bày và chứngminh khá chi tiết (mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4, mệnh đề 4.5, mênh đề 4.8, mệnh

đề 4.9)

Trong quá trình làm khoá luận, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng chắcchắn không tránh khỏi các thiếu sót, chúng tôi mong muốn thiết tha đợc sự

đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn

Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán - Trờng Đại học Vinh

Nhân dịp hoàn thành khoá luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo Th.S

Tr-ơng Chí Trung lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn, chỉ dạy tận tình củathầy giáo trong suốt quá trình chúng tôi làm khoá luận Đồng thời chúng tôicũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè

đã động viên, giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoáluận

Vinh, tháng 4 năm 2006

Trong mục này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm về ánh xạ khả vi, ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi (vi phân của ánh xạ khả vi) cùng với các tính chất cơ bản của chúng trên đa tạp khả vi

1.1 ánh xạ khả vi.

1.1.1 Định nghĩa Giả sử M, N là các đa tạp khả vi có số chiều n, k tơng ứng.

ánh xạ f : M → N đợc gọi là ánh xạ khả vi (lớp Cr) nếu với mọi bản đồ khả vi(U, ϕ) trên M và (V, ψ) trên N thì ánh xạ

(αf)(x) = α.f(x), ∀ x ∈ M

Phép nhân : ∀ f, g ∈F (M) ta xác định f.g ∈F (M) nh sau :

(f.g)(x) = f(x).g(x), ∀ x ∈ M Khi đó F (M) trở thành một R- đại số và đợc gọi là đại số các Ck- hàm trên M

Chứng minh Ta dễ dàng kiểm tra đợc (F (M), +) là một nhóm và vì phép cộngcác số thực có tính chất giao hoán nên (F (M),+) làm một nhóm aben

Ngoài ra, ∀ f, g, h ∈F (M) ; ∀α, β∈ R ta có

(α + β)f = αf+βf

α(f + g) = αf + αg(αβ)f = α(βf) = β(αf)1.f = f

(αf + βg)h = α(fh) + β(gh)

Vậy F (M) là một R-đại số

1.1.4 Định nghĩa Cho các đa tạp khả vi M, N Khi đó

f : M → N

đợc gọi là một vi phôi nếu f là song ánh và f, f-1 là các ánh xạ khả vi

Các đa tạp M, N đợc gọi là vi phôi với nhau nếu tồn tại một vi phôi giữa chúng

1.2 Vi phân của ánh xạ khả vi.

Trong mục này, để tiện cho việc xây dựng vi phân của một ánh xạ, trớc hếtchúng tôi nhắc lại khái niệm véc tơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc và các tínhchất cơ bản của chúng

1.2.1 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi M, một đờng cong lớp Cr trên M là một Cr

v : F (p) → R

f  v(f) = dt d f(x(t)) t = to

khi đó v cũng đợc gọi là một véc tơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p và v(f)

đ-ợc gọi là đạo hàm của hàm f dọc đờng cong x(t) tại điểm p = x(to)

1.2.3 Mệnh đề 1) Nếu v là véc tơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p thì

v : F (p) → R

là một ánh xạ tuyến tính

2) Với bất kỳ f, g ∈F (p) ta có

v(f.g) = v(f).g(p) + f(p).v(g)

Chứng minh 1) Giả sử x(t) là một đờng cong khả vi trong M sao cho p = x(to)

và giả sử v là véc tơ tiếp xúc với x(t) tại p

1.2.4 Mệnh đề Ký hiệu TpM là tập hợp các véc tơ tiếp xúc của M tại điểm p.Trên TpM đa vào các phép toán cộng và nhân với số thực nh sau

(v+ω)(f) = v(f) + ω(f)(αv)(f) = α.v(f)

1.2.5 Định nghĩa Vi phân của ánh xạ f tại điểm p là ánh xạ

f*p : TpM → Tf(p)N

v  f*p(v)

đợc xác định nh sau : nếu v là véc tơ tiếp xúc với đờng cong x(t) tại p = x(to) thì

f*p(v) là véc tơ tiếp xúc với đờng cong f(x(t)) tại điểm f(p) = f(x(to))

Chú ý Nếu v là véc tơ tiếp xúc với các đờng cong x(t), y(u) tại p = x(to) = y(uo)thì ngời ta đã chứng minh đợc các đờng cong f(x(t)) và f(y(u)) cùng xác địnhmột véc tơ tiếp xúc tại f(p) = f(x(to)) = f(y(uo))

Do đó định nghĩa 1.2.5 là hoàn toàn hợp lý

1.2.6 Mệnh đề Cho f : M → N là ánh xạ khả vi từ đa tạp M vào đa tạp N Khi

2) Gi¶ sö v, ω ∈ TpM, ∀ g ∈F (N), ta cã

[f*p(v + ω)](g) = (v + ω)(gf)

= v(gf) + ω(gf) = [f*p(v)](g) + [f*p(ω)](g) = [f*p(v) + f*p(ω)](g), ∀ g ∈F (N) ⇒f*p(v+ω)=f*p(v)+f*p(ω).T¬ng tù, ∀ v ∈ TpM, ∀λ∈ R ta cã

1.2.8 HÖ qu¶ NÕu f : M → N lµ vi ph«i tõ ®a t¹p M vµo ®a t¹p N th× dim M

f* X [ϕ] = X [ϕ  f]  f-1.

Đ2 Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

Cho M là một đa tạp khả vi, ký hiệu Vec(M) là tập hợp các trờng véc tơkhả vi trên M, F (M) là tập hợp các hàm số khả vi trên M

2.1 Định nghĩa Một liên thông tuyến tính (hay đạo hàm hiệp biến) trên M là

ánh xạ

∇ : Vec(M) ì Vec(M) → Vec(M)

(X,Y)  ∇ (X,Y) : = ∇XYthỏa mãn các tính chất sau:

∇X(Y1 + Y2) = ∇XY1 + ∇XY2 (1)

∇X(fY) = (Xf)Y + f∇XY (2)

Y

X X

∇ 1 + 2 = ∇X1Y + ∇X2Y (3)

∇fXY = f∇XY (4)

đối với bất kỳ các trờng véc tơ X, X1, X2, Y, Y1, Y2∈ Vec(M) và với mọi f ∈

F (M)

2.2 Nhận xét 1) Từ (1) và (2) suy ra liên thông tuyến tính ∇ có tính chất

nh một đạo hàm đối với biến thứ hai

2) Từ (3) và (4) suy ra liên thông tuyến tính ∇ có tính chất

F (M)-tuyến tính đối với biến thứ nhất

2.3 Định nghĩa Đa tạp khả vi n-chiều M đợc gọi là khả song (song song hoá

đợc) nếu tồn tại n trờng véc tơ khả vi X1, X2 , …, Xn ∈Vec(M) sao cho tại mỗi

điểm p ∈ M, các véc tơ X1(p), X2(p),… , Xn(p) tạo thành một cơ sở của khônggian tiếp xúc TpM

Khi đó các trờng véc tơ X1, X2 , …, Xn đợc gọi là sự song song hoá của đatạp khả song M

2.4 Mệnh đề Cho M là đa tạp khả song, X1, X2 , …, Xn là sự song song hoácủa M Khi đó ánh xạ

∇ : Vec(M) × Vec(M) → Vec(M)

n

i

i i

i X

1

2

1 ) ( ϕ ϕ

1 1 2

) ( ϕ ϕ

1

1 ) ( ϕ + ∑

1

2 ) ( ϕ

1

)) (

1

ϕ

i

i

i X X

X

1

) ) '

1

) '

1

) ( ϕ

1

) ( ϕ

2.5 Mệnh đề Cho M, N là các đa tạp khả vi, f : M → N là vi phôi và ∇ là mộtliên thông tuyến tính trên N Khi đó ánh xạ

∇’ : Vec(M) ì Vec(M) → Vec(M)

(X, Y)  ∇’XY

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của định nghĩa 2.1 đối với ánh xạ ∇’.

1) Giả sử Y1, Y2∈ Vec(M), X ∈ Vec(M), ta có

* 1

* g f f Y

= ( ) ([ ( )] ( 1 ) * )

* 1

*

* 1

* f Y f

g Y f f g X f

= ( ) (( ) ( 1 ) * )

* 1

* 1

* f Y f

g Y f f Xg

= ( ) 1 [( 1 ) * ]

f Y

= ( ) 1 ( * )

gf Y

Vậy ∇’ là một liên thông tuyến tính trên M

Chú ý Liên thông tuyến tính ∇’ xây dựng nh trên đợc gọi là liên thông tuyếntính cảm sinh của ∇ bởi vi phôi f

Đ3 ánh xạ tiếp xúc trên R n

Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tínhchất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi f : Rm → Rn

Giả sử ánh xạ f : Rm → Rn; (x1, , xm) a f(x1, , xm) thì f đợc đồng nhấtvới bộ n hàm số (f1, , fn) với fj : Rm → R; (x1, , xm)  fj (x1, , xm) Chúng

ta đã biết rằng f khả vi khi và chỉ khi fj khả vi ∀j = 1 , n ⇔ fj có đạo hàm riêng

liên tục ∀j = 1 , n

3.1 Định nghĩa Giả sử f : R m → Rn khả vi ánh xạ tiếp xúc của f tại p đợc ký

hiệu là f*p hay Tpf : Tp R m → Tf(p) Rn xác định bởi : nếu vp ∈ TpR m là vectơ tiếpxúc của đờng cong ρ(t) tại p = ρ(to) thì f*p (vp) là vectơ tiếp xúc với đờng cong f

ρ(t) tại f(p)

3.2 Chú ý + Khi không chú ý tới điểm p, ta thờng viết f * thay cho f*p ; Tf thay

cho Tpf

+ Nếu f* đơn ánh thì f đợc gọi là dìm

+ Nếu f* toàn ánh thì f đợc gọi là ngập

+ Nếu f* song ánh thì f đợc gọi là trải

+

=

+ +

+

=

n m nm n

n

m m

b x a x

a x

b x a x

a x

1 1

1 11 1



Giả sử p(p1, , pm) và v p ∈ T p R m , với v p (v 1 , , v m ) ta xác định v'f(p) = f*p(vp) nh sau :

Ta xét đờng cong ρ(t) = (x1(t) = p1 + v1t, ,xm(t) =pm + vmt) Khi đó với t = 0 thì

ρ(0) = p và ρ'(0) = vp Theo định nghĩa, ta có

'f(p) = f (t)t=0

dt d

n n

m

x

f x

f

x

f x

.

.

.

.

1

1 1

, t

x ,

, t x

x '(t)f

; i 1,m, j 1,nx

f* [X, Y] = [f*X, f*Y] .

3.8 Định nghĩa Giả sử La : R n→ Rn

x  a + xKhi đó, trờng vectơ X đợc gọi là trờng vectơ bất biến trái khi và chỉ khi

⇒ Xa = X0, ∀ a ∈ Rn

Vậy X là trờng vectơ song song

+ Giả sử X là trờng vectơ song song ta cần chứng minh X là trờng vectơbất biến trái

Do X là trờng vectơ song song nên Xp = Xp + a , ∀ a, p ∈ R n

Do đó X là trờng vectơ bất biến trái

3.10 Nhận xét 1) X, Y là trờng vectơ bất biến trái thì λX + βY là trờng vectơbất biến trái, ∀λ, β∈ R

2 ) K = { X | X bất biến trái } Khi đó K đẳng cấu tuyến tính với T0 Rn

Vậy λX + βY là trờng vectơ bất biến trái

2) Xét ϕ : T0 Rn→K

α  X; X0 = α

+) Ta chứng minh ϕ là một ánh xạ, tức chứng minh mỗi α có duy nhất X

Giả sử có 2 trờng vectơ X, X~ mà ( )

Trong mục này chúng tôi xem xét các liên thông tuyến tính trên R n nh ví

dụ của khái niệm liên thông tuyến tính đã đa ra ở Đ2

Cho Rn là không gian Ơclit n chiều, ký hiệu Vec(Rn) là tập hợp các ờng vectơ khả vi trên Rn, f(Rn) là tập hợp các ánh xạ khả vi trên Rn

tr-4.1 Mệnh đề Giả sử n

1 i

i i

∂ là cơ sở của Vec(R n ) Khi đó ánh xạ

∇≡ D : Vec(R n ) x Vec(R n) → Vec (R n)

(X, Y)  D X Y = [ ] i

n 1 i

i E Y X

∑

(trong đó Y = i

n 1

i i

E Y

i i

E Y

X[Yi + Y~i] Ei

= ∑

=

n 1 i

X[Yi] Ei +∑

=

n 1 i

X[Y~i] Ei

= ∇XY + ∇x Y~ (T2) ∇X(ϕY) = ∑

=

n 1 i

X[ϕYi] Ei

= ∑

=

n 1

i (Yi X [ϕ] + ϕ X [Yi]) Ei

= ∑

=

n 1

i Yi X [ϕ]Ei + ∑

=

n 1

i ϕ X [Yi]) Ei

= Y X[ϕ] + ϕ ∇XY

(T3) ( ) [ ]i i

n i X

= ∑

=

n 1

i X[Yi] Ei + [ ]i i

n 1 i

E Y

i (ϕX) [Yi] Ei

= ϕ ∑

=

n 1 i

X[Yi] Ei

= ϕ ∇XY

Vậy D là một liên thông tuyến tính trên Rn

4.2 Chú ý Liên thông tuyến tính ∇ xác định trong mệnh đề 4.1 đợc gọi là liên

Y

i n 1

1

Y p

~

i

∇ ϕ

∑

=

=

p E P (

~ Y

i n 1

Cho trớc vectơ αp luôn có trờng vectơ X mà Xp = αp Từ định lý trên ta cóthể xây dựng đợc định nghĩa đạo hàm của Y theo αp bằng cách sau:

=

ϕ

1 U\

4.5 Mệnh đề Giả sử ∇ và ∇ ' là hai liên thông tuyến tính trên R n và ϕ, ϕ' ∈ f

(R n ) Khi đó ϕ∇ + ϕ'∇ ' là một liên thông tuyến tính trên R n⇔ϕ +ϕ'=1.

Chứng minh Ta cần kiểm nghiệm 4 điều kiện của liên thông tuyến tính.

Giả sử ∀ X1, X2, X, Y, Y1, Y2∈ Vec(Rn ); ∀ϕ, ϕ' ∈f (R n ).

(T1) (ϕ∇ + ϕ'∇')X(Y1 + Y2) = ϕ∇X(Y1 + Y2) + ϕ'∇'X(Y1 + Y2)

= ϕ∇XY1 + ϕ∇XY2 + ϕ'∇'XY1 + ϕ'∇'XY2

= (ϕ∇XY1 + ϕ'∇'X Y1) + (ϕ∇X Y2 + ϕ'∇X Y2)

= (ϕ∇ + ϕ'∇')X Y1 + (ϕ∇ + ϕ'∇)XY2.(T2) (ϕ∇ + ϕ'∇')X(γ Y) = ϕ∇X(γ Y) + ϕ'∇'X(γY)

= ϕ (X[γ] Y + γ ∇XY) + ϕ '(X[γ] Y + γ ∇'XY)

= (ϕ + ϕ') X[γ] Y + γ (ϕ∇ + ϕ'∇')XY

(T3) (ϕ∇ + ϕ'∇')X1+X2Y= ϕ Y ' ' Y

2 1 2

= γ.ϕ∇XY + γ.ϕ'∇'XY

= γ (ϕ.∇XY + ϕ'∇'XY)

= γ (ϕ∇ + ϕ'∇')XY (T2) đợc thoả mãn ⇔ϕ + ϕ' = 1 .

Từ mệnh đề 4.5 ta có nhận xét tổng của 2 liên thông tuyến tính nóichung không phải là một liên thông tuyến tính

4.6 Mệnh đề Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên R 3 Ta đặt

(X Y)

n Y

X = ∇ + ∧

∇~ 1 , n ∈ N*.

Khi đó ∇~ là liên thông tuyến tính trên R 3

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính:

1 X

X X

1 Y

Y X ( n

Vậy ∇~ là một liên thông tuyến tính trên Rn

4.7 Định nghĩa Giả sử f : R n→ Rn là vi phôi, ∇ là một liên thông tuyến tính.Khi đó f đợc gọi là bảo toàn ∇ nếu và chỉ nếu

f*( ∇ XY ) = ∇f*Xf*Y; ∀ X, Y ∈ Vec(Rn)

4.8 Mệnh đề f là vi phôi bảo toàn D nếu và chỉ nếu f là phép afin

Chứng minh Trớc khi chứng minh mệnh đề ta chứng minh bổ đề sau:

X là trờng vectơ song song khi và chỉ khi DZX = 0; ∀ Z ∈ Vec(Rn)

Thật vậy, giả sử X(Xi), vì X là trờng vectơ song song nên Xi là hàm hằng, ∀ i = 1 , n

Ta có

DZX = ∑

=

n 1

i i i

E ] X [

=

=

n 1

i i i

0 E ] X [

i i

j j

i E 0 x

⇒ Xi là hàm hằng; ∀ i = 1 , n Vậy X là trờng vectơ song song

+ Bây giờ ta sẽ chứng minh mệnh đề 4.8

Điều kiện cần: Giả thiết f vi phôi và bảo toàn D, ta chứng minh f là phép

afin

Giả sử X là trờng vectơ song song Khi đó

DZX = 0, ∀ Z ∈ Vec(Rn)

⇒ f*(DZX) = 0 (vì f* là ánh xạ tuyến tính)

⇒ Df*Zf*X = 0; ∀ Z (vì f vi phôi và bảo toàn D)

⇒ f*X là trờng vectơ song song

Điều kiện đủ: Giả thiết f afin, ta chứng minh f vi phôi bảo toàn D.

Thật vậy ta có: + Mọi phép afin là vi phôi

+ Lấy trờng mục tiêu song song {Ui}i = 1 , n và xét

1 i

Nói chung f* không bảo toàn ∇

4.9 Mệnh đề Liên thông tuyến tính D trên R n có các tính chất sau:

1) D X Y - D Y X = [X, Y]; ∀ X, Y ∈ Vec(R n ).

2) Z[X Y] = X D Z Y + Y D Z X; X, Y, Z ∈Vec(R n ).

Chøng minh

1)∀ f ∈F (Rn); X = ∑

=

n 1

i

i E f Y

X - ∑ [ ] [ ]

=

n 1 i

i

i E f X Y

=

i j i n

1 j

i j i n

1 j

f x

X Y x

f x

Y X

i j j

i j

x

f x

X Y x

Y

n

i

f X Y x

2 f n

1 j i

j i i

j i n

1 j i

j j

i

2 f n

1 j i

i j i

f x

X Y x

x Y X x

f x

i

f x

X Y x

i i i

Y Z

=

n 1

i i i

X Z Y

i

i Y X Z

= Z[X Y] .

4.10 Chú ý Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính và { }n

1 i i

E = là trờng mục tiêu

tự nhiên trong Rn Khi đó ta có sự biểu diễn:∇EjEi = ∑

=

n 1 k

- Kiểm tra đợc F(M) là R-đại số (mệnh đề 1.1.3).

- Chứng minh chi tiết một số tính chất liên quan (mệnh đề 1.2.3)

- Trình bày về định nghĩa ánh xạ tiếp xúc khá chi tiết, cụ thể (định nghĩa1.2.5)

- Chứng minh rõ ràng các tính chất quan trọng về ánh xạ tiếp xúc (mệnh

đề 1.2.6, mệnh đề 1.2.7, hệ quả 1.2.8, mệnh đề 1.2.10) Từ đó ta kết luận đợc f

là vi phôi thì f*P là đẳng cấu tuyến tính

- Chỉ ra đợc 2 ví dụ minh họa cho khái niệm liên thông tuyến tính trên đatạp khả vi (mệnh đề 2.4, mệnh đề 2.5)

- Nêu đợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào định nghĩa, dựa vào ma trậnJacobi (ví dụ 3.3, mệnh đề 3.4) Đồng thời đã chứng tỏ đợc ánh xạ tiếp xúc bảotoàn tích Lie (Mệnh đề 3.7)

- Trình bày định nghĩa và một số tính chất của trờng vectơ bất biến trái(mệnh đề 3.9, nhận xét 3.10)

- Chỉ ra đợc hai ví dụ minh hoạ cho khái niệm liên thông tuyến tính trên

- Đa ra điều kiện cần và đủ để vi phôi bảo toàn D (Mệnh đề 4.8)

Với những hạn chế về mặt thời gian và năng lực nên có một số vấn đề liên quan

đến liên thông tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc chúng tôi cha trình bày trong khoáluận này