Dạng liên kết trên đa tạp hai chiều

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu và chứng minh cụ thể các tính chất dạng vi phân trên tập mở, dạng liên kết, phơng trình cấu trúc của mặt trong E3, tính độ cong của mặt

Lời Nói Đầu 

Trong lĩnh vực hình học vi phân, dạng liên kết, phơng trình cấu trúc trên đa tạp đợc nhiều tác giả quan tâm thể hiện trong nhiều tài liệu nh: [1], [2], [3]

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu và chứng minh

cụ thể các tính chất dạng vi phân trên tập mở, dạng liên kết, phơng trình cấu trúc của mặt trong E3, tính độ cong của mặt trong E3 thông qua dạng liên kết và dạng liên kết, phơng trình cấu trúc của đa tạp Riemann hai chiều

Luận văn đợc chia thành 3 mục

Đ 1 Các dạng vi phân trên tập mở trong En

Đ 2 Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của mặt trong E3 Đ 3 Dạng liên kết trên đa tạp Riemann hai chiều

Trong Đ1.Trình bày 1- dạng , 2- dạng vi phân trên tập mở trong En,

vi phân ngoài của dạng vi phân, ánh xạ đối tiếp xúc

Trong Đ2 Trình bày dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của mặt trong E3 thông qua dạng liên kết

Trong Đ 3.Trình bày đa tạp Riemann hai chiều liên thông Civita, định nghĩa dạng liên kết thông qua liên thông Lêvi – Civita, phơng trình cấu trúc, các tính chất và cách tìm dạng liên kết trên đa tạp Riemann hai chiều

Luận văn đợc thực hiện tại Khoa Toán – Trờng Đại Học Vinh, dới

sự hớng dẫn tận tình của cô giáo Thạc Sỹ Nguyễn Ngọc Bích và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong Khoa Toán cùng với sự giúp đỡ của bạn bè cùng khoá

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn tận tình của cô giáo Thạc sỹ Nguyễn Ngọc Bích cùng các thầy cô giáo trong Trờng

Đại Học Vinh và xin cảm ơn các bạn bè cùng khoá đã giúp đỡ tạo

điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này

Vinh , Ngày 22 tháng 4 năm 2004.

Tác giả

Đ1 Dạng Vi Phân Trên Tập Mở U Trong E n

1.1.Định nghĩa i) Một dạng vi phân bậc một θ trên U là việc đặt tơng ứng mỗi đểm P thuộc U với một ánh xạ tuyến tính θP : TPU→ R

Từ định nghĩa ta thấy rằng mỗi XP thuộc TPU thì θP(XP) ∈R Khi P thay đổi trên U ta đợc θ(X) là một hàm số :U→ R

ii) Dạng vi phân bậc một θ trên U là khả vi nếu với mọi trờng vecto X khả vi trên U thì hàm số θ(X) khả vi trên U

Ký hiệu Ω1(U) = {θ \θ là 1 - dạng vi phân khả vi trên U}

1.2 Các phép toán trên Ω1(U)

Ký hiệu F(U) là tập tất cả các ánh xạ khả vi trên U

Giả sử θ1, θ2∈Ω1(U) , ϕ∈ F(U), λ∈ R Khi đó θ1+ θ2, ϕθ1, λθ1 thuộc vào

Ω1(U) và xác định bởi : θ1+ θ2: P →θ1 + θ2 ,với mọi P thuộc U (1)

ϕθ1:P →ϕ(P) θ1 P , với mọi P thuộc U (2)

λθ1: P→λθ1 P , với mọi P thuộc U (3)

Nhận xét: Giả sử X, Y là các trờng vectơ trên U, ϕ∈ F(U) và θ∈Ω1(U) khi

= (θ(X) + θ(Y))(P), với mọi P ∈U

Vậy : θ(X +Y) = θ(X) + θ(Y)

1.3 Định nghĩa Giả sử {Ui}i = 1 ,n và trờng mục tiêu trên U, {θi}i = 1 ,n là họ các 1- dạng vi phân thuộc Ω1(U) thoả mãn θi(Uj) = δij Khi đó {θi}i = 1 ,n đợc gọi là trờng mục tiêu đối ngẫu của trờng mục tiêu {Ui}i = 1 ,n

1.4.Nhận xét i) Ω1(U) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành không gian vectơ trên trờng số thực R

ii) Ω1(U) cùng với hai phép toán (1) và (2) lập thành môđun trên vành F(U)

1.5 Mệnh đề Giả sử {Ui}i = 1 ,n và {U’i}i = 1 ,n là hai trờng mục tiêu trên tập

mở U trong En , {θi}i = 1 ,n và {θ’i}i = 1 ,n là các trờng mục tiêu đối ngẫu tơng ứng của {Ui}i = 1 ,n và {U’i}i = 1 ,n

Ký hiệu U = [U1 U2 Un] , U’ = [U’1 U’2 U’n]

θ = θ2 θ’ = θ’ 2

θn θ’n

C = (Cij)n.n là ma trận chuyển từ trờng mục tiêu U sang U’, Cij ∈ F(U)

Khi đó θ’ = C-1θ (Trong đó C-1 là ma trận nghịch đảo của C)

Chứng minh Do C là ma trận chuyển từ mục tiêu từ U sang U’ nên detC ≠ 0,

từ đó suy ra luôn tồn tại C-1

U’1 = C11U1 + C21U2 + + Cn1Un

⇔ U’2 = C12U1 + C22U2 + + Cn2Un

Hay ϕ = C.

Thay vào (*) ta đợc: θ = C.θ’ hay θ’ = C-1θ

1.6 Mệnh đề Ký hiệu vec(U) là tập các trờng vectơ khả vi trên U Khi đó ánh

xạ α : Ω1(U) ì vec(U) → F(U)

(θ, X)  α(θ, X) = θ(X) là song tuyến tính

Chứng minh ∗) α tuyến tính đối với biến thứ nhất

Với mọi λ1,λ2 ∈ R; θ1,θ2∈Ω1(U), cố định X ∈ vec(U) Ta có:

α(λ1θ1 + λ2θ2,X) = (λ1θ1 + λ2θ2)(X)

= λ1θ1(X) +(λ2θ2(X)

= λ1α( θ1,X) + λ2α( θ2,X)

Suy ra: α(λ1θ1 + λ2θ2,X) = λ1α( θ1,X) + λ2α( θ2,X)

∗) α tuyến tính đối với biến thứ hai

Với mọi X,Y ∈ vec(U), cố định θ∈Ω1(U); λ1,λ2 ∈ R

1.7.Định nghĩa Vi phân của hàm số ƒ ∈ F(U) là 1- dạng vi phân

ƒ∈Ω1(U).xác định bởi dƒ(X) = X[ƒ] , ∀ X ∈ vec(U)

Chú ý {dx1, dx2, , dxn} gọi là cơ sở chính tắc của Ω1(U) Vì thế với mọi θ

∈Ω1(U) thì θ = ϕ1dx1 +ϕ2dx2 + + ϕndxn, (ϕi ∈F(U)) và(ϕ1, ϕ2, , ϕn) gọi là tọa độ của θ đối với cơ sở {dx1, dx2, , dxn}

1.10 Ví dụ:

i) Giả sử U là tập mở trong R2, {E1, E2} là trờng mục tiêu song song trên U

t-ơng ứng với mục tiêu trực chuẩn {0; →

e 1, →

e 2} trong E2 Trong hệ toạ độ cực

{r,ϕ}.Với tham số hoá I: (r, ϕ)  (rcosϕ, rsinϕ ), (r ≠ 0) Xét trờng mục tiêu

{U1, U2}: U1 = cosϕE1 + sinϕE2

U2 = -sinϕE1 + cosϕE2

Khi đó trờng đối mục tiêu của {U1,U2} là {dr, rdϕ}

Chứng minh ta có: dr(U1) = U1[r]

= r[cosϕ(-sinrϕ) +sinϕ cosrϕ]

Tơng tự (1) và (2): dr(U2) = 0 (3)

rdϕ(U2) =1 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có {dr, rdϕ} là trờng đối mục tiêu của {U1,U2} và gọi

là trờng đối mục tiêu toạ độ cực

ii) Giả sử U là tập mở trong R3 Xét tọa độ trụ { r, ϕ, t } với tham số hoá: ( r, ϕ, t)  (rcosϕ, rsinϕ,t ) và trờng mục tiêu {U1 ,U2 ,U3 } xác định bởi

rdϕ(U3) = 1 ( Sử dụng kết quả của i )

Vậy : {dr, dt, rdϕ} là trờng đối mục tiêu của {U1, U2, U3} và gọi là trờng đối muc tiêu của hệ toạ độ trụ

iii).Giả sử U là tập mở trong R3 Toạ độ cầu {r, u, v } với tham số hoá:( u, v )

 (rcosucosv, rsinucosv, rsinv ) (với r ≠ 0; 0 < u < 2π ; -π2

< v < π2

)

Xét trờng mục tiêu {U1, U2, U3} xác định bởi :

U1 = cosu cosvE1 + sinu cosvE2 + sinvE3

Với cách tính nh vậy ta đợc các kết quả : dr(U2) = 0; dr(U3) = 0;

rcosvdu(U1) = 0; rcosvdu(U2) = 1 ;rcosvdu(U3) = 0; rdv(U1) = 0; rdv(U2) = 0; rdv(U2) = 1

Vậy : {dr, rcosvdu, rdv } là trờng đối mục tiêu của {U1, U2, U3}

Nhận xét Giả sử X,Y là các trờng vectơ khả vi trên U từ định nghĩa ta thấy

rằng: Mỗi (XP, YP) ∈ TPU ì TPU thì ωP(XP, YP) ∈R khi P thay đổi trên U cho

ta một hàm số trên U Nh vậy mỗi dạng vi phân bậc hai trên U tác động vào (X, Y) bất kỳ thì đợc một hàm số xác định bởi ω(X, Y)(P) = ωP(XP, YP).

ii) Dạng vi phân bậc hai ω gọi là khả vi trên U nếu với mọi X, Y là các trờng vectơ khả vi trên U thì ω(X, Y) là hàm khả vi trên U Ký hiệu Ω2(U) là tập các 2- dạng khả vi trên U.

∗) Tơng tự ta chứng minh đợc ω(X, Y + Y’) = ω(X, Y) + ω(X, Y’)

∗) ω(ϕX,Y)(P) = ωP((ϕX)P, YP)

= ωP(ϕ(P)XP, YP)

=ϕ(P)ωP(XP, YP), (do ω là song tuyến tính )

= [ϕω(X,Y)](P) , ∀ P ∈ U

Suy ra: ω(ϕX,Y) = ϕω(X,Y)

Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc : ω(X,ϕY) = ϕω(X,Y)

1.13 Định nghĩa Giả sử θ1,θ2 ∈Ω1(U) Tích ngoài của θ1 với θ2, ký hiệu

θ1Λθ2, là 2- dạng vi phân xác định bởi :

θ1Λθ2 (X,Y) = θ1(X) θ2(Y) - θ1(Y).θ2(X) ; ∀ X,Y ∈ vec(U)

Nhận xét: Định nghĩa trên là phù hợp Thật vậy ta kiểm tra tính song tuyến

tính phản xứng của θ1Λθ2 Ta có: Với mọi X,Y ∈ vec(U), ∀ P ∈ U

θ1Λθ2 (X,Y)(P) =(θ1(X).θ2(Y) - θ1(Y).θ2(X))(P)

1.14 Nhận xét ∗) Ω2(U) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành không gian vectơ trên trờng số thực R.

∗) Ω2(U) cùng với phép toán (1) và (2) lập thành môđun trên vành F(U)

1.15.Mệnh đề Giả sử {Ui}i= 1 ,nlà trờng mục tiêu trên U, {θi}i=1,nlà trơng

đối mục tiêu tơng ứng Khi đó {θi Λθj }i < j là cơ sở của Ω2(U)

1.16 Ví dụ: Giả sử U là tập mở Trong Rn, {E1, E2, , En} là trờng mục tiêu trên

U sinh bởi trờng mục tiêu tự nhiên trong Rn {dx1, dx2, , dxn} là trờng đối mục tiêu tơng ứng khi đó {dxi Λ dxj}i <j là cơ sở của Ω2 (U)

1.17 Định nghĩa Vi phân ngoài của dạng vi phân là ánh xạ

d:Ωi (U) →Ωi+1, i = 0, 1

+) i = 0 d: Ω0(U) →Ω1 (U) (quy ớc Ω0(U) ≡ F(U) )

X[θ(Y)]− Y[θ(X)] = ψX[Y[ϕ]]−ψY[X[ϕ]]+ X[ψ].Y[ϕ]− Y[ψ].Xϕ]

= ψ[X, Y][ϕ]+ dθ(X, Y)

= ψ dϕ([X,Y]) + dθ(X,Y)

= θ([X, Y]) + dθ(X, Y)

Suy ra: dθ(X ,Y) = X[θ(Y)]− Y[θ(X)]−θ([X, Y])

1.19 Định nghĩa Giả sử U, V là các tập mở trong En

ƒ: U → V là ánh xạ khả vi Khi đó ƒ∗: Ωi(V) →Ωi(U), (Với i = 0, 1, 2) đợc gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ ƒ Trong đó:

Tóm lại : ƒ∗(θ) = (u + uv + v2)du + (u + u2 + uv)dv.

1.22 Mệnh đề Giả sử ƒ : U→ V; g: V→ W là các ánh xạ khả vi Khi đó (gƒ)∗ = ƒ∗g∗

= ƒ∗(θ)(αP) ƒ ∗(θ’)(βP) − ƒ∗(θ)(βP) ƒ ∗(θ’)(αP).

= ƒ∗(θ) Λ ƒ∗(θ’)(αP , βP) ; ∀αP , βP ∈ TP U

Suy ra: ƒ∗(θΛθ’) = ƒ∗(θ) Λ ƒ∗(θ’)

Đ 2 Dạng Liên Kết Và Phơng Trình Cấu Trúc Của Mặt trong E3

Trong mục này ta xét mặt S đợc định hớng bởi vectơ pháp tuyến đơn vị n

2.1 Định nghĩa Giả sử S là mặt trong E3, {U1,U2}là trờng mục tiêu tiếp xúc, trực chuẩn trên S , {θ1,θ2} là trờng mục tiêu đối ngẫu của {U1,U2}

n = U3 =

2 1

2 1

U U

U U

∧

∧

, thì {U1,U2 ,U3} đợc gọi là trờng mục tiêu của E3 dọc S

2.2 Định nghĩa Giả sử {U1,U2 ,U3} là một trờng mục tiêu trực chuẩn dọc S với mọi trờng vectơ X đặt : DxUi = ∑

=

3 1

j

j i

ω (X)Uj (*) ,(i = 1, 2 ,3), với j

i

ω là dạng vi phân dọc S và gọi các dạng này là dạng liên kết của S trong trờng mục tiêu {U1,U2 ,U3} dọc S Ma trận ω = ( j

ω .Uk + Uj ∑

=

3 1

r

r i

j

j i

C Ej (i = 1, 2, 3)

C )

( − 1 d j

i

C ( Trong đó(C-1) là ma trận nghịch đảo của ma trận C = ( j

j

j i

C Ej)

= ∑

=

3 1

j

d j i

C Ej , (i = 1, 2, 3) (1)

Mặt khác : DUi = ∑

=

3 1

k

k i

ω Uk , (i = 1, 2, 3)

= ∑

=

3 1

k

k i

ω (∑3=

1

j

j k

C Ej) = ∑3=

1

,k j

k i

,k j

k i

k

C Ej ⇔ d j

i

C = ∑

=

3 1

k

k i

j

k j

C )

( − 1 d j

i

C

Nhận xét Công thức của mệnh đề cho ta cách tìm dạng liên kết của mặt S

trong trờng mục tiêu {Ui}i = 1 , 3

2.4 Mệnh đề a) dθi = - ∑3=

1

j

i j

ω Λ θi, i = 1, 2, 3 b) d i

j

ω = - ∑

=

3 1

j

k i

j

j i

=

3 1

k

k j

C Ek)

= ∑

=

3 1

k

k j

k (2)Thay (2) vào(1) ta đợc : θi(Ek) = ∑

=

3 1

j

i j

j

i j

k

i k

C Λθi = ∑

=

3 1

j (∑

=

3 1

k

i k

l

j l

k

i k

k

i k

C )

( − 1 d k

j

C (5)Thay (5) vào (4) ta đợc:

i k

= - ∑

=

3 1

j

C )

( − 1 Λ dxj (6)

Kết hợp (3) và (6) ta suy ra :dθi = - ∑3=

1

j

i j

ω Λθj.b) d ω j

i = - ∑

=

3 1

k

j k

k

j k

k

(∑

=

3 1

l

j l

l

k m

i = - ∑

=

3 1

k

j k

j

i j

ω Λ θj, i = 1, 2, 3 Gọi là phơng trình cấu trúc thứ nhất

∗) Phơng trình d ω j

i = - ∑

=

3 1

k

j k

ω Λ k

i

ω Gọi là phơng trình cấu trúc thứ hai

2.6 Định nghĩa Các phơng trình sau đây đợc gọi là phơng trình cơ bản của

1 Λθ1 + ω3

2 Λθ2 = 0 (gọi là phơng trình đối xứng)c) dω1

2 = - ω3

1 Λω3

2 (gọi là phơng trình Gauss)d) dω1

3 (gọi là phơng trình Peterson- Codazzi)

2.7 Ví dụ : Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của một số mặt thờng gặp

i) Mặt trụ S với tham số hoá :(u, v) → (acosu, asinv, v)

Gọi {E1, E2, E3}là trờng mục tiêu song song ứng với mục tiêu trực chuẩn

{0; e→1,e→2,e→3 } trong E3 {U1, U2, U3}là trờng mục tiêu trực chuẩn dọc S xác

2 1

U U

U U

*) Phơng trình cấu trúc của mặt S trong trờng mục tiêu {U1, U2}

Ta có trờng đối mục tiêu của {U1, U2} là {adu, dv} (ở đây sử dụng kết quả của ví dụ 1.10 (ii) trong đó giới hạn trên mặt trụ tức là r = a , ϕ = u, t = v) Từ

đó:

dθ1 = - ω1

2Λθ2 = - 0 Λ dv

= 0.

dθ2 = - ω2

1 Λθ1 = - 0 Λ adu

2 1

U U

U U

∧

∧

= (cosu cosv, sinu cosv, sinv)

Ta cã : - sinu cosu sinv cosu cosv

C = cosu - sinu sinv sinu cosv

0 cosv sinv

- sinu cosu 0

C-1 = - cosu sinv - sinu sinv cosv

cosu cosv - sinu sinv sinv

- cosudu sinusinvdu – cosu cosvdv - sinu cosvdu – cosu sinvdv

dC = - sinudu - cosu sinvdu – sinu cosvdv cosu cosvdu – sinu sinvdv

0 - sinvdv cosvdv

*) Ma trËn d¹ng liªn kÕt:

= asinvdu Λ dv.

dθ2 = - ω2

1 Λθ1 = - sinvdu Λ acosvdu

Nhận xét: hP là một trị đồng cấu tuyến tính đối xứng của TPS

2.9 Định nghĩa Giả sử AP là ma trận của ánh xạ tuyến tính của hP khi đó:

*) Định thức của AP gọi là độ cong Gauss tại P của S ký hiệu K(P)

a) Theo định nghĩa K(P) = det(AP ) = a11a22 – a12a21

b) Gọi K1, K2 là độ cong của S tại P Khi đó theo định nghĩa K1, K2 là nghiệm của phơng trình A−xI = 0

⇔

x a a

a − = 0 ⇔ x2 – (a11 + a22)x + a11a22 – a12a21 = 0

2.10 Mệnh đề Giả sử {U1, U2} là trờng mục tiêu trực chuẩn của S, P ∈S ,

{θ1,θ2} là trờng đối mục tiêu của trờng {U1, U2} Khi đó: dω1

2 = K(P)θ1Λ

θ2(P) K(P) là độ cong Gauss của S trong E3

Chứng minh Với mọi α ∈ TPS ta có: hP(α) = - Dαn

Theo 2.2 Ta lại có: Dαn = ω1

3(α)U1(P) + ω2

3 (α)U2(P)Suy ra: hP(α) = ω3

1 Λω3

2 (U1, U2)(P), ∀ P ∈ S (1)Mặt khác: dω1

2 = - ω1

3 Λω2

3 = ω3

( ω3

2 Λθ1 - ω1

3Λθ2)P(U1, U2)P = 2H(P) = 2H(P) θ1Λθ2(U1, U2)|P

Suy ra H = - 21a

Vậy độ cong trung bình : H = -

a

2 1

ii) Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt cầu với tham số hoá: (u, v)  ( acosu cosv, asinu sinv, asinv), 0 ≤ u < 2π, - π2

Suy ra - 2a cosvdu Λ dv = 2H a2 cosvdu Λ dv

3.1 Định nghĩa Cho M là đa tạp hai chiều Một (cấu trúc) mêtric Riemann

trên M là việc đặt tơng ứng mỗi điểm P ∈ M với một tích vô hớng < , >P trên TPM sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào P một cách khả vi, tức là với hai trờng vectơ (tiếp xúc) khả vi X , Y trên M thì < , > : P  (XP, YP) là hàm khả

vi trên M Khi đó M cùng với tích vô hớng < , > đợc gọi là một đa tạp

Riemann hai chiều Ký hiệu (M, < , >)

Khi đó D là một liên thông tuyến tính Trên R2

Thật vậy, theo tính chất đạo hàm của một trờng vectơ dọc một trờng vectơ ta có:

3.4.Mệnh đề : Giả sử ∇1, ∇2 là hai liên thông tuyến tính trên M và ϕ1, ϕ2 ∈

F(M) Ký hiệu ∇ = ϕ1∇1 + ϕ2∇2 Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M khi

Từ (1) và (2) ta suy ra ϕ1 + ϕ2 = 1

∗) Điều kiện đủ Nếu ϕ1 + ϕ2 = 1 thì ∇ = ϕ1∇1 + ϕ2∇2 là liên thông tuyến tính trên M

Thật vậy, thử các điều kiện về liên thông tuyến tính ta có :

+) ∇X(Y1 + Y2) = (ϕ1∇1 + ϕ2∇2)X(Y1 + Y2)

= (ϕ1∇1)X(Y1 +Y2) + (ϕ2∇2)X(Y1 + Y2)

= (ϕ1∇1)XY1 + (ϕ1∇1)XY2 + (ϕ2∇2)XY1 + (ϕ2∇2)XY2

Khi đó ∇ đợc gọi là liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann (M < , >)

3.6 Ví dụ: ( R2 < , >) (trong đó < , > là tích vô hớng thông thờng)

D : B(R2) ì B(R2) → B(R2)

(X, Y)  DXY

Khi đó D là liên thông Lêvi – Civita

Thật vậy: D là liên thông tuyến tính (theo ví dụ 3.3) và thoả mãn hai tiên đề: T5 : DXY – DYX = [X, Y]

T6 : Z[< X, Y>] = < X, DZY> + < X, DZY>

( Suy ra từ tính chất đạo hàm của trờng vectơ dọc trờng vectơ )

3.7.Mệnh đề : Giả sử (M < , > ) là đa tạp Riemann hai chiều khi đó tồn tại và

duy nhất một liên thông Lêvi – Civita trên (M, < , > )

2

(

=- < ∇XY , Z > + X[< Z, Y >] + < [Z, X], Y > - Z[< X, Y >] - < [Y, Z], X > + Y[< Z, X >] + < [X, Y], Z >

+ < Z, [X, Y] > - < X, [Y, Z] > ) -

2

1

(Y[ < X, Z >] + X[ < Y, Z >] – Z[ < Y, Z >]) - 21 ( < X, [Z, Y] > + < Z, [Y, X] > - < Y, [X, Z] >) - < [X, Y], Z

Nh vậy luôn tồn tại và duy nhất Lêvi- Civita trên đa tạp Riemann (M, < , > )

II) Dạng liên kết trên đa tạp Riemann hai chiều

3.8) Định nghĩa Giả sử {U1, U2} là trờng mục tiêu trực chuẩn trên tập mở V

⊂ M, ∇ là liên thông Lêvi – Civita trên đa tạp Riemann hai chiều M, với mọi

X ∈B(M), ta có:∇XUi = ∑

=

2 2

k

k i

đối với trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} trên đa tạp Riemann hai chiều M

3.9 Mệnh đề: Giả sử {U1, U2} và {U’1, U’2} là các trờng mục tiêu trực chuẩn trên tập mở V ⊂ M, j

j C j

i Uj )Chứng minh Ta có

'

ω (X).Ck

j Uk (1)