Các độ cong của mặt trong r3

Biểu diễn độ cong trung bình, độ cong Gauss và độ cong chính của mặt S qua dạng vi phân.. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các khái niệm về độ cong, cáctính chất cơ bản của các độ

Mục lục

Trang

Lời nói đầu: 2

Đ1 Mặt trong R3 4

Đ2 Độ cong chính của mặt trong R3 16

Đ3 Độ cong chính của mặt tròn xoay trong R3 27

Đ4 Biểu diễn độ cong trung bình, độ cong Gauss và độ cong chính của mặt S qua dạng vi phân 34

Kết luận: 38

Tài liệu tham khảo: 39

Lời nói đầu.

Lý thuyết về độ cong đa tạp đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu hình học

vi phân, chẳng hạn [1], [2], [3], [4] … Lý thuyết về độ cong có nhiều ứng dụng trong các ngành vật lý, toán học

Có ba loại độ cong thờng gặp trên mặt, đó là:

- Độ cong chính

- Độ cong Gauss

- Độ cong trung bình

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các khái niệm về độ cong, cáctính chất cơ bản của các độ cong trên mặt S trong R3 và chỉ ra các ví dụ củachúng Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày độ cong chính trên mặt tròn xoay trong

R3 và biểu diễn mối liên hệ giữa độ cong chính, độ cong Gauss và độ cong trungbình qua các dạng vi phân

Luận văn này đợc trình bày trong 4 mục:

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất củamảnh tham số, mảnh hình học trong R3 Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một sốtính chất Tôpô của mặt S trong R3( Mệnh đề 1.8; 1.9; 1.10 )

Trớc tiên, chúng tôi trình bày định nghĩa ánh xạ Weigarten và tính chấtcủa ánh xạ Weigarten ( Mệnh đề 2.2; 2.3; 2.4; Hệ quả 2.4 ) Sau đó dựa trên ánhxạ Weigarten chúng tôi trình bày một số tính chất về độ cong chính ( Mệnh đề2.5; 2.6; 2.7; 2.8 ) và cách xác định các độ cong chính dựa vào độ cong Gauss và

độ cong trung bình Đồng thời, chúng tôi cũng đã đa ra các ví dụ về việc tính độcong của mặt trụ và mặt cầu Cuối cùng, chúng tôi trình bày định nghĩa các dạngcơ bản của mặt S trong R3, nêu ví dụ minh hoạ cách tính độ cong chính, độ congGauss, độ cong trung bình bằng cách sử dụng qua hệ số của các dạng cơ bản đó

và nêu tính chất về mối liên hệ các dạng cơ bản ( Mệnh đề 2.10 )

+ Đ3 độ cong chính của mặt tròn xoay trong R3

Trong mục này, trớc tiên chúng tôi trình bày định nghĩa mặt tròn xoay vàcách viết phơng trình mặt tròn xoay Từ đó, xây dựng công thức tính độ congGauss, độ cong trung bình của nó và sẽ tính đợc độ cong chính của mặt trònxoay trong R3

+ Đ4 Biểu thị độ cong trung bình, độ cong Gauss, và độ

cong trung bình của mặt S qua dạng vi phân

Đầu tiên, chúng tôi trình bày các khái niệm về các dạng liên kết, phơngtrình cấu trúc Sau đó trình bày một số tính chất về mối liên hệ giữa các dạngliên kết, phơng trình cấu trúc với độ cong chính, độ cong Gauss và độ cong trungbình của mặt S trong R3( Mệnh đề 4.2; Định lý 4.3; 4.4 )

Luận văn đợc hoàn hành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo NguyễnHữu Quang và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa toán -

Đại học Vinh, cùng với bạn bè trong lớp Nhân dịp này cho phép tôi đợc bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới: Các thầy giáo, cô giáo Khoa toán - Đại học Vinh đãtruyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho tôi trong suốt hơn 4 năm qua

Cuốicùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè đã động viên tôi trong thời gianqua để tôi hoàn thành khoá luận của mình.

+ Một ánh xạ khả vi r : U→R3 và r gọi là một tham số hoá của mảnh, trong

đó U là tập mở trong R2 , r ( U )đợc gọi là một mảnh tham số trong R3

+ Với mỗi điểm A0(u0,v0) của U, xét đờng cong ГVo đợc xác định bởi tham

số u  r(u,v0) , ( trong đó u thuộc một khoảng JсR nào đó ) , thì ГVo gọi

là đờng toạ độ u qua r (u0, v0)

Tơng tự ta có: đờng cong Гuo đợc xác định bởi tham số v  r(u0, v) gọi là đờngtoạ độ v qua điểm r (uo,vo)

+ Điểm r(u0, vo) gọi là điểm chính qui của mảnh tham số r nếu r dìm ( tức là {r’u( u0, v0 ) , r’v ( u0, v0 ) } độc lập tuyến tính , trong đó r’u( u0, v0 ) ,r’v(u0, v0) thuộc trờng véctơ tiếp xúc dọc r , kí hiệu là Tr ( u 0 , v 0 )R3 )

+ Điểm (u0, v0) không là điểm chính quy nếu {r’u(u0, v0), r’v(u0, v0),} phụthuộc tuyến tính

+ Mảnh tham số r gọi là mảnh chính quy nếu mọi điểm của nó là điểmchính quy

Tại điểm chính quy (u0, vo) của mảnh tham số r, 2 - phẳng trong R3 đi qua r(u0,

v0) với véctơ chỉ phơng < ( ru'u0, v0, rv'u0, v0 > gọi là mặt phẳng tiếp xúc haytiết diện của r tại (uo, vo)

Đờng thẳng qua r(uo, vo) thẳng góc với tiết diện (uo,vo) gọi là pháp tuyếncủa r tại (u0,vo)

Trong R3 ta viết r(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ), trong đó x(u,v), y(u,v) vàz(u,v) là những hàm số trên U, thì phơng trình tiếp xúc của r tại (uo, vo) là :

X- x(uo, vo) Y- y(uo,vo) Z- z(uo,vo) x’u(uo,vo) y’u(uo,vo) z’u(uo,vo) = O x’v(uo,vo) y’v(uo,v0) z’v(uo,vo)

và phơng trình pháp tuyến của r tại (uo,vo) là:

X- x(uo,vo) Y- y(uo,vo) Z- z(uo,vo)

= =y’u(uo,vo) z’u(uo,vo) z’u(uo,vo) x’u(uo,vo ) x’u(uo,vo) y’u(uo,vo) y’v(uo,vo) z’v(uo,vo) z’v(uo,vo) x’v(uo,vo ) x’v(uo,v0) y’v(uo,vo)

r’u/p ^ r’v/p

Kí hiệu : nP =

r’u/P ^ r’v/p

+ Nếu λ là một vi phôi bảo toàn hớng thì r gọi là mảnh định hớng

+ Một mảnh định hớng khi pháp tuyến khác 0 tại mọi điểm

Do đó: Một mảnh song chính quy luôn định hớng đợc

Ví dụ 1: Cho r : R2 → R3

(u,v)  r(u,v) = ( 2u+v, u- v, uv ) là một mảnh tham số Thật vậy : Mỗi hàm toạ độ x = 2u+v , y = u – v, z = uv từ R2 → R có các

đạo hàm riêng theo u và v , tồn tại và liên tục nên x, y, z khả vi Do đó r khả vi Nên r là một mảnh tham số trong R3

Ví dụ 2 : Cho 2 vectơ   ;  thuộc R3 , điểm 0 thuộc R3 và mảnh tham số r :

- ảnh của mảnh tham số r gồm các điểm r(u,v) xác định bởi :

r(u,v) = 0 + u  + v  là một mặt phẳng qua gốc toạ độ và nhận  ,  làmvectơ chỉ phơng

- Đờng toạ độ v = vO ( gồm các điểm r(u,v0) = 0 + v0  + u ) là đờngthẳng qua A = 0 + v0  và nhận  làm vectơ chỉ phơng

- Đờng toạ độ qua u = u0 ( gồm các điểm r(u, v ) = 0 + u0  + v ) là

đờng thẳng qua B = 0 + u0  và nhận  làm vectơ chỉ phơng

+ Trờng hợp 2 : Nếu  =  = 0 thì  ,  phụ thuộc tuyến tính nên{ru'u , v,rv'u , v}phụ thuộc tuyến tính Do đó mọi điểm r( u, v) là điểm kì dị

- ảnh của mảnh tham số r gồm các điểm r( u, v) = 0 + u 0 +v 0 = 0tức có ảnh là r ( R2) = { 0 }

- Đờng toạ độ v = v0 gồm các điểm r(u, v0) = 0 + u.0 +vo.0 = 0 tức chỉ là

điểm 0

Tơng tự : Đờng toạ độ u = uo chỉ gồm điểm 0

+ Trờng hợp 3 :  ,  phụ thuộc tuyến tính và có một vectơ  hoặc

 khác 0 Chẳng hạn ta lấy  ≠ 0 (còn  ≠ 0 ta xét tơng tự )

- Vectơ  ,  phụ thuộc tuyến tính nên mọi điểm r(u, v) là điểm kì dị

- ảnh r( R2) gồm mọi điểm r( u,v) = 0 + u +v 

= 0 + uk  + v 

= 0 + ( uk + v ) 

tức ảnh là đờng thẳng qua 0 và nhận  làm vectơ chỉ phơng

- Đờng toạ độ v = vo gồm các điểm r( u, v0) = 0 + uk  + v0  hay

Với ( u,v )  ( u1, v1) của U thì ta luôn có ( u2 , uv , v2)  ( u1 , u1v1 , v1 ) nên r là

đơn ánh

ánh xạ r : ( u,v )  ( u2 , uv ,v2) liên tục vì có các hàm toạ độ liên tục

ánh xạ r-1 : r( U)  R3  U xác định bởi u =  x

v =  z ; x > 0, z > 0 , liên tục Kết luận : r là một dìm , đồng phôi lên ảnh tức r là mảnh tham số hoá của mảnhhình học r( U) trong IR3

Ngoài ra, ta còn có mảnh hình học này là một bộ phận của mặt nón bậchai xác định bởi điều kiện: y2 = xz với x, y và z > 0

Chú ý : Nếu S là mảnh hình học với tham số hoá r : U  R3 thì mọi tập mở

U*  U , r ( U*) là mảnh hình học với tham số hoá r  U*

VÝ dô : { S = p  R3 : Op = R} lµ mÆt cÇu trong R2 cã t©m lµ 0 vµ b¸nkÝnh R > 0 ThËt vËy :

Nh ta đã biết ( xem [6] ) :Với hàm số khả vi F : U  R, U mở trong R3 ,thì

( x, y,z )  F( x, y,z)tập hợp S gồm các điểm( x, y, z) thuộc U sao cho F( x, y, z) = 0 gọi là mặt xác

định bởi phơng trình dạng ẩn Và điểm F( x0,y0, z0) gọi là điểm kì dị của S

nếu: F( x0, y0, z0) = 0

F’x( x0, y0, z0) = 0F’Y( x0, y0, z0) = 0F’z( x0, y0, z0) = 0

Điểm thuộc S mà không phải là điểm kì dị của S đợc gọi là điểm chính quy.Mặt mà mọi điểm của nó là điểm chính quy gọi là mặt chính quy

Với hai mảnh hình học r :U  R3 , r : U  R3 và ánh xạ :

f = r.r-1

 : U  U* là vi phôi (u,v)  f(u,v) = (u,v)

Nếu u* u*

Jf = u v > 0 , , ;p,

v* v* u v thì ta nói mặt S định hớng

Ta chú ý rằng từ nay trở đi trong luận văn này ta chỉ xét mặt S định hớng

Nhận xét : Một hớng của S trong R3 là việc đặt tơng ứng với mỗi điểm p của Smột hớng của không gian vectơ thực hai chiều TPS sao cho với mọi p0 thuộc S cótham số hoá địa phơng r: U S , p0 thuộc r( U) và mọi ( u,v) thuộc U , T( u,v)rbiến hớng chính tắc của U trong R2 thành hớng Tr ( u,v) S , tức mọi p thuộc r(U) h-ớng TPS xác định bởi cơ sở Ru, Rv  /P , trong đó Ru/ P = r’u / P và

Cụ thể : Xét trờng vectơ pháp tuyến đơn vị trên r( u) :

Ru ^ Rv

nP = / p

║Ru ^ Rv║

Sau đây chúng tôi đi nghiên cứu một số tính chất Tôpô của mặt S trong R3

Mặt khác: S liên thông cung, do đó ta có: S liên thông có tập con S1 khácrỗng vừa đóng, vừa mở trong S Vậy S1 = S

1.8 Mệnh đề:

Một mặt trong R3 liên thông thì liên thông cung

Chứng minh:

Thật vậy, ta lấy bất kỳ điểm A thuộc S, ký hiệu SA là tập các điểm thuộc S

mà nối đợc với A bởi một đờng liên tục tức có một ánh xạ liên tục:

Vì điểm r-1(C) của U nối đợc với mọi điểm trong U nên C nối đợc với mọi

điểm D thuộc r(U)  SB ( 1 )

C nối đợc với D bởi ánh xạ liên tục:

+ Chứng minh SA đóng trong S, tức ta phải chứng minh: Nếu lấy dãy

{Ai} nằm trong SA mà {Ai}dần tới C thuộc S thì C thuộc SA.

Thật vậy: Vì S là mặt trong R3 nên chọn đợc tham số hoá r: U  S của S với u làhình tròn mở trong R2, C thuộc r(U) Vì r đồng phôi và trong U điểm r-1(C) nối đ-

ợc với mọi điểm khác nên trong r(U) điểm C nối đợc với mọi điểm khác

Mặt khác: Vì{Ai}i I hội tụ về C và C thuộc r(U) nên trong r(U) có điểm

Aio nào đó của dãy {Ai} Nh vậy C nối đợc với Aio Ta lại có: Aio nối đợc với A

Do đó C nối đợc với A, tức C thuộc SA Vậy SA đóng trong S

Từ đó ta có: SA vừa đóng, vừa mở trong S Suy ra S liên thông cung

1.9 Mệnh đề: F F F

Giả sử S đợc cho bởi dạng ẩn F(x,y,z) = 0 thì n =

p 

Do đó ρ (t) = ( x(t), y(t), z(t) ) F R

Và ρ’(t) = ( x’(t), y’(t), z’(t) ) 0 Nên vP có toạ độ ( x’(t), y’(t), z’(t) ) /p

F F F

 , , ( x’/p , y’/p, z’/p )

x p y p z p

hay nP vP, TPS 

Đ2 Độ cong chính của mặt trong R3

Trong mục này, ta giả sử S là mặt định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến

+ Định nghĩa ánh xạ hP nh trên là phù hợp bởi vì: nP nP = 1; P S, lấy

đạo hàm theo  hai vế đắng thức tao có: 2nP Dn(p) = 0 Từ đó suy ra :

n  Dn,TPS

Suy ra: Dn TPS

+ Cho cung tham số ρ : J  S , J  R2

t  ρ(t)

Nếu ρ’(t0) =  thì ánh xạ weigarten tại p là: hP() = - (n0ρ)’(t0).

Đầu tiên ta đi chứng minh hP là một đồng cấu tuyến tính Thật vậy: Với

, bất kỳ thuộc TPS, với mọi k,l thuộc R, ta có:

hP ( k + l) = - D k  + l n = - ( k + l)n

= - k Dn - l Dn = k hP() + l hP ()

Để chứng minh tính đối xứng của hP ta chứng minh rằng:

Với mọi , của TPS thì đẳng thức sau đúng với mọi p thuộc S:

Khi đó: Ru(u,v), Rv(u,v) là cơ sở trong TPS

Do vậy ta phải chứng minh: hP ( Ru(p) ) Rv(p) = Ru(p) hP Rv(p)

du T¬ng tù ta cã:

Dr’

u

hP ( Rv(p) ) Ru(p) = (nor) (u,v) (5)

du 2r 2r

u u pT¬ng tù:

Ta thấy AP = A* ( Với A* là ma trận chuyển vị ).

(*)

Ta có: Δ = (+d)2 + 4(b2 - ad) = (a-d)2 + 4b2 ≥ 0

Vậy phơng trình (*) luôn có hai nghiệm thực hay hP có hai giá trị riêng

Nhận xét: Trong phơng trình (*):

+ Nếu Δ > 0 thì hP có hai giá trị riêng phân biệt

+ Nếu Δ = 0 thì hP có một giá trị riêng kép

II Các độ cong của mặt S trong R 3

2.5 Định nghĩa: Mỗi giá trị riêng của tự đồng cấu hP đợc gọi là độ cong chínhcủa mặt S tại p, ký hiệu là K1(p), K2(p)

Chú ý: - K1(p) = K2(p) thì ta gọi p là điêm rốn của S

+ K1(p) = K2(p) = 0 ta nói p là điểm dẹt của S

+ K1(p) = K2(p) ≠ 0 ta nói p là điểm cầu của S

- Mỗi vectơ riêng của tự đồng cấu hP xác định một vectơ riêng đợc gọi làphơng chính của S tại p

- Định thức của tự đồng cấu hP gọi là độ cong Gauss của S tại p, ký hiệu làK(p)

- 1/2 vết AP gọi là độ cong trung bình của S tại p, ký hiệu là H(p)

Khi đó: - λ 0 = 0  λ2 = 0

0 - λ

 λ = K1 = K2 = 0 tức là S gồm toàn điểm dẹt

2.6 Mệnh đề :

Nếu ánh xạ hP có hai giá trị riêng phân biệt thì K(p) = K1K2, 2H(p) = K1 +

K2 và nếu hP có hai giá trị riêng thực trùng nhau K1 = K2 thì K(p) = K1 ,

H(p) = K1.

Chứng minh: - Khi hP có hai giá trị riêng biệt K1,K2 thì:

hP (e1) = K1 e1 , ( Với {e1, e2}là hệ vectơ riêng trực chuẩn của

Với mọi TPS {0}, cung tham số ρ : J  S, J  R

t  ρ (t)

Đặt  = ρ’ (t0), ta có:  

R

' ' n R

0

n     nê n   

Do đó: hP() = - Dn =      

R R

t ' t

'

n   o    o    (1) Gọi { e1, e2}, là cơ sở trực chuẩn của TPS thì từ (1) ta có:

Chứng minh: Do p là điểm rốn của S khi và chỉ khi K1 = K2

Theo thứ tự đó gọi là dạng cơ bản I, dạng cơ bản II và dạng cơ bản III của S tại p

Ta nhận thấy IP,IIP và IIIP là các ánh xạ song tuyến tính trên TPS

Ta thờng dùng ký hiệu: IP(1) = IP()

IIP(1) = IIP() IIIP(1) = IIIP()

Khi p thay đổi, ta ký hiệu IP,IIP và IIIP theo thứ tự đó là I,II và III Trongtham số hoá địa phơng (u,v)  r(u,v) của S, ta ký hiệu các hàm số trên U:

E(u,v) = I ( r’

u (u,v), r’

v (u,v) )F(u,v) = I ( r’

u (u,v), r’

v (u,v) )G(u,v) = I ( r’

v (u,v), r’

v (u,v) )L(u,v) = II ( r’

u (u,v), r’

u (u,v) )M(u,v) = II ( r’

u (u,v), r’

v (u,v) )

N(u,v) = II( r’

v (u,v), r’

v (u,v) ) Các hàm E,F,G đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản I trong tham số hoá

địa phơng r và L,M,N là các hệ số của dạng cơ bản II

Khi đó, ta có :

LN – M2K(p) = (p) ,

EG – F2

EN + GL – 2FM

H(p) = ( p )

2 ( EG – F2) Chứng minh xem [6]

Ví dụ: Mặt cầu xác định bởi số tham hoá địa phơng:

u , r’

v , r’’

uv)( u,v) = 0 ( r’

u , r’

v , r’’

vv)( u,v) = 0Suy ra: ( r’

+ Nếu có hai giá trị riêng thực phân biệt K1 , K2 Gọi {e1 ,e2}, là hai vectơ riêng

đơn vị ứng với hai giá trị riêng K1 , K2 thì {e1 ,e2}, là cơ sở trực chuẩn của TPS.Giả sử ,  thuộc TPS thì :

1 + 22K2

2 + (11 + 22)K1 , K2 ,

IP(,) = 11 + 22

Do đó: IIIP(,) - 2HP.IIP(,) + KP IP (,) = 0 ,  ,  TPS ,

hay : IIIP(,) - 2HP .IIP + KP IP = 0

+ Nếu hP có hai giá trị riêng trùng nhau K1 = K2 thì : hP() = K1

hP() = K1 Suy ra: IIIP - 2HP.IIP + KP IP = 0

3.1 Định nghĩa:

Trong mặt phẳng (P) cho một đờng(ξ)và một đờng thẳng Δ Khi mặtphẳng (P) quay quanh trục Δ thì đờng sẽ vạch nên một mặt đợc gọi là mặt bậchai tròn xoay (Π)

Đờng (ξ) gọi là đờng chuẩn, đờng thẳng Δ gọi là trục của mặt tròn xoay

Z

Ví dụ: Lập phơng trình của mặt elipxoit tròn xoay (E):

Trong hệ trục toạ độ Đecac vuông góc 0xyz, elip(E) nằm trong mặt phẳngtoạ độ 0xz có phơng trình:

x2

z2 F(x,z) = + - 1 = 0 ; a,b > 0

a2 b2

y = 0Nếu quay (E) quanh trục 0z thì (E) có phơng trình:

(u,v)  r(u,v) = 0 +  (u) e( v ) + (u) k ,

trong đó: e( v )= cosv i + sinv f,và {i , f, k} là cơ sở trực chuẩn của R3 ,