Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ (FULL)

Những kết luận mới của luận án: - Chứng minh Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu đúng khi và chỉ khi hàm mật độ là một hằng số. - Đưa ra một phân loại triệt để các đường có -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ -tuyến tính. - Chỉ ra rằng một đường cong có -vectơ vận tốc hằng và -trắc địa khi và chỉ khi nó là điểm cực tiểu của -phiếm hàm năng lượng. - Phát biểu và chứng minh được định lý kiểu Bernstein cho đồ thị -cực tiểu toàn phần trong không gian

TRẦN LÊ NAM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sựhướng dẫn của PGS TS Đoàn Thế Hiếu và TS Nguyễn DuyBình Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giảcho phép sử dụng và chưa từng được công bố trước đó

Tác giả

Trần Lê Nam

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn đầy trách nhiệm của PGS TS.Đoàn Thế Hiếu và TS Nguyễn Duy Bình Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ânsâu sắc tới các Thầy, người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chuđáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS TS Frank Morgan (Williams College,USA) vì sự giúp đỡ về tài liệu nghiên cứu và thảo luận những bài toán cóliên quan

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:

- Khoa Sư phạm Toán học, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh,

- Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp,

về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ củamột nghiên cứu sinh

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạnthân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

Trần Lê Nam

MỤC LỤC

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10

1.1 Đa tạp với mật độ 10

1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong Rn 13

1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp 16

1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong luận án 17

1.5 Kết luận Chương 1 18

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA TẠP VỚI MẬT ĐỘ 19 2.1 f -độ cong của đường cong phẳng 19

2.2 Định lý Gauss-Bonnet suy rộng 21

2.3 Định lý kiểu Fenchel 22

2.4 Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu 23

2.5 Phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính 32

2.6 Đường f -trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ 44

2.7 Kết luận Chương 2 49

Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ 50 3.1 f -độ cong trung bình của siêu mặt 50

3.2 Hình học định cỡ trên đa tạp với mật độ 55

3.3 Siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss 57

3.4 Siêu mặt trong không gian Gn× R 66

3.5 Mặt 2-chiều trong không gian với mật độ 71

3.6 Kết luận Chương 3 74

Kết luận chung và kiến nghị 75

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

TRONG LUẬN ÁN

BRn Hình cầu tâm O bán kính R trong Rn

Gn Không gian Gauss n-chiều

G Độ cong Gauss

Gf Độ cong Gauss theo mật độ

H Độ cong trung bình

Hf Độ cong trung bình theo mật độ

Hess f Ma trận Hesse của hàm f

kf f -độ cong của đường cong phẳng

n, N Vectơ pháp của đường cong hoặc siêu mặt

SRn−1 Siêu mặt cầu tâm O bán kính R trong Rn

∇XY Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc X

α(t) Tham số hóa của đường cong α

∂R Biên của miền R

|x| Chuẩn của vectơ x

p i Trang thứ i trong tài liệu trích dẫn

 Kết thúc chứng minh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (Mn, g) với một hàm trơn, dương,thường được dùng là e−f ở đó f là một hàm trơn, được sử dụng làm trọng sốcho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n) Trong luận án, chúng tôi dùng các khái niệm

f -thể tích, f -diện tích, f -độ dài, f -độ cong trung bình, f -độ cong, f -trắc địa,siêu mặt f -cực tiểu, siêu mặt f -ổn định lần lượt để chỉ thể tích, diện tích, độdài, độ cong trung bình, độ cong của đường cong phẳng, đường trắc địa, siêumặt cực tiểu, siêu mặt ổn định theo mật độ Đây là một phạm trù mới, có nhiềuứng dụng trong Toán học, Vật lý Đặc biệt, không gian Gauss, tức là Rn với mật

độ 1

(2π) n/2e−|x|2/2, được nhiều nhà xác suất quan tâm Do đó, việc tìm hiểu hìnhhọc vi phân trên đa tạp với mật độ không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ýnghĩa thực tiễn

Nhận thấy vai trò quan trọng của đa tạp với mật độ, giáo sư F Morgan đã

đề ra một dự án "rất quan trọng" là "tổng quát hóa toàn bộ hình học vi phân

cổ điển lên đa tạp với mật độ" Trong dự án đó, ông và các cộng sự đã đạt đượcnhiều kết quả về bài toán đẳng chu, tổng quát một số định lý cổ điển của lýthuyết đường lên mặt phẳng với mật độ Chẳng hạn, C Ivan và các đồng nghiệp

đã mở rộng Định lý Gauss-Bonet (xem [40]); F Morgan đã chứng minh Định lýMyers với mật độ (xem [50]) Họ cũng chứng minh được nghiệm của bài toánđẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f -độcong trung bình hằng (xem [40]) Do đó, việc khảo sát tính chất hình học củasiêu mặt có f -độ cong trung bình hằng, đặc biệt các siêu mặt f -cực tiểu là cầnthiết Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng chỉ ra một số kết quả về lý thuyếtđường không còn đúng khi được gia thêm mật độ Qua đó, chúng ta thấy rằng

có rất nhiều vấn đề về lý thuyết đường trong không gian với mật độ cần đượcnghiên cứu như: Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳngƠclit? Các định lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại cácđường có f -độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các đường

f -trắc địa trên đa tạp với mật độ

Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vực nghiên cứuđang rất thời sự Những năm gần đây, I Corwin và các cộng sự đã cho một số ví

dụ và tính chất về các mặt có f -độ cong trung bình hằng (xem [40]) D T Hieu

và N M Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f -cực tiểu, mặt tịnh tiến f -cực tiểutrong không gian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]) D T Hieu đã áp dụngphương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f -ổn định củamột số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]) T H Colding, W P Minicozzi II và S.

J Kleene đã đưa ra một số tính chất hình học của mặt f -cực tiểu trong khônggian Gauss (xem [18], [45]), Một số định lý cổ điển của hình học vi phân vềsiêu mặt cực tiểu cũng được chứng minh trong không gian với mật độ cụ thểnhư: Định lý Bernstein, Định lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36],[57]), Các kết quả đó cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cựctiểu nói riêng biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ Do đó, việc khảosát các định lý của siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với một số mật độ quenthuộc là rất đáng quan tâm và cần thiết

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là "Một

số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ"

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ

• Phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ;

• Khảo sát tính chất hình học của các đường f -trắc địa cực tiểu;

• Siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với mật độ tích;

• Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực hiện

đề tài Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính Đó là phươngpháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa của các đường cong có

f -độ cong hằng, các mặt f -cực tiểu; phương pháp biến phân để xác định tham

số của các đường f -trắc địa cực tiểu, xác định các biến phân f -diện tích; phươngpháp dùng dạng cỡ để chứng minh các tính chất cực tiểu diện tích; phương phápdùng các ước lượng gradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên

lý cực đại để chứng minh các định lý kiểu Bernstein

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Như chúng ta đã thấy, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực nghiên cứu rất mới

và hấp dẫn Các kết quả mang tính thời sự, có nhiều ứng dụng trong Toán học

và Vật lý Đặc biệt, các tính chất hình học của đường và siêu mặt biến đổi rất

đa dạng khi được gia thêm mật độ Do đó, việc nghiên cứu về lý thuyết đường

và lý thuyết mặt trên các không gian với mật độ là đáng quan tâm và cần thiết.Những kết quả đạt được sẽ góp phần làm phong phú thêm sự hiểu biết về hìnhhọc vi phân của đường và mặt trong không gian với mật độ

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học vànghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô

6 Tổng quan và cấu trúc của luận án

6.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Trên đa tạp với mật độ (Mn, g, e−fdV ), D Barky - M Émery, M Gromov(xem [3], [30]) đề xuất mở rộng độ cong trung bình và độ cong Ricci của mộtsiêu mặt lần lượt là

Hf = H + 1

n − 1

df

dN,

Ricf = Ric + Hessf,

ở đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt Các mở rộng trên đã đượckiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm diện tíchtheo mật độ (xem [40], [47], [49], [50]) Hf, Ricf lần lượt được gọi là độ congtrung bình theo mật độ hay f -độ cong trung bình và độ cong Ricci theo mật độhay f -độ cong Ricci

Khái niệm đa tạp với mật độ đã từng xuất hiện trong Toán học với các têngọi khác nhau như: đa tạp với trọng (weighted manifolds), "không gian của cáckiểu thuần nhất " (space of homogeneous type) (xem [15]), "không gian mêtric-độđo" (metric-measure space) (xem [30]) Năm 2004, V Bayle đã trình bày tổngquan về không gian mêtric-độ đo và khảo sát biến phân thứ hai của phiếm hàm

f -diện tích trong luận án của ông (xem [4]) Một năm sau đó, F Morgan đãgọi tên các lớp đa tạp này là đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem[49]) Trong bài báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai của phiếmhàm f -diện tích, các mở rộng của ước lượng thể tích của Heintze và Karcher,tổng quát bất đẳng thức đẳng chu của Levy và Gromov Ông cũng trình bày chitiết hơn về đa tạp với mật độ, vai trò của mật độ trong chứng minh giả thuyếtPoincaré của Perelman ở cuốn sách Lý thuyết độ đo hình học (p 197-201, [51])

Đa tạp với mật độ là một phạm trù tốt để mở rộng các bài toán về biếnphân trong hình học như: bài toán đẳng chu, siêu mặt f -cực tiểu, f -ổn định Sauđây là một số kết quả về bài toán đẳng chu trên đa tạp với mật độ Năm 1975,

C Borell đã chứng minh một bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Gauss.Ông đã chỉ ra miền đẳng chu trên không gian này là nửa không gian (xem [7]).Một kết quả hết sức bất ngờ Tiếp theo, M Gromov chứng minh được hình cầutâm O là miền đẳng chu trên không gian Rn với mật độ ea|x|2, a > 0, (xem [29])

S G Bobkov và C Houdré tìm ra nghiệm của bài toán đẳng chu trên đườngthẳng với mật độ giảm dần (xem [6]); E A Carlen và C Kerce chứng minhtính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu trên nửa không gian Gauss (xem[10]); C Antonio, F Morgan, A Ros và B Vincent chỉ ra điều kiện cần cho bàitoán đẳng chu tồn tại nghiệm, tính chính quy của miền nghiệm, chứng minhrằng siêu mặt cầu là nghiệm duy nhất của bài toán đẳng chu trong không gian

Rn với mật độ ea|x|2, a > 0, (xem [11], [48], [55])

Đối với bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với các mật độ cụ thể, một nhómsinh viên của trường Williams, dưới sự hướng dẫn của giáo sư F Morgan, đã có

một số kết quả ban đầu như: biên của miền đẳng chu trên mặt phẳng với mật

độ phải có f -độ cong hằng (xem [12], [40]), tính chất nghiệm của bài toán bongbóng đôi trong không gian Gauss (xem [39], [11]), các kết quả về bài toán đẳngchu trong các hình quạt Gauss (xem [11], [26]), không tồn tại nghiệm bài toánđẳng chu trên mặt phẳng với mật độ ex, tính duy nhất nghiệm của bài toánđẳng chu trên mặt phẳng với mật độ rp, p > 0 (xem [12])

Theo hướng mở rộng các định lý cổ điển của hình học vi phân lên không gian

và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như: Định lý Gauss-Bonnetsuy rộng (xem [20], [40]), tính duy nhất của đường trắc địa trên mặt phẳng vớimật độ có độ cong Gauss suy rộng âm (xem [12]), Định lý Myers trên mặt phẳng

và không gian với mật độ (xem [50]), Định lý Liouville trên không gian với mật

độ (xem [8], [36]), Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi giathêm mật độ Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu làkhông đúng (xem [31])

Ngoài các hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết về siêu mặt

f -cực tiểu, siêu mặt có f -độ cong hằng, f -độ cong Gauss hằng trong không gian

và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quan tâm Các tác giả C Ivan,

H Stephanie, Ă Vojislav và Y Xu đã chỉ ra một số mặt có f -độ cong trungbình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của cácmặt có f -độ cong trung bình hằng (xem [40]), J M Espinar và H Rosenberg

đã khảo sát tính chất hình học của các mặt đầy đủ và có f -độ cong trung bìnhhằng (xem [25]), D T Hieu và N M Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f -cựctiểu trong không gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [32]) Tính chất cựctiểu f -diện tích của các siêu mặt f -cực tiểu cũng được một số người làm hìnhhọc quan tâm Chẳng hạn, D T Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ vớimật độ để chứng minh một số đa tạp con là f -cực tiểu diện tích (xem [33]) Bêncạnh đó, các tính chất của siêu mặt f -cực tiểu ổn định cũng được khảo sát bởimột số tác giả (xem [13], [33], [47])

Chúng ta có thể xem các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình

là các trường hợp đặc biệt của các siêu mặt f -cực tiểu trong các không gian vớimật độ Cho M là một đa tạp Riemann khả vi n-chiều trong không gian Rn+1.Một phép nhúng phụ thuộc thời gian

xt = x(., t) : M × [0, T ) −→ Rn+1,

ở đó [0, T ) ⊂ R, là một nghiệm của dòng độ cong trung bình nếu

∂

∂tx(p, t) = −H(p, t)N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T ), (1)với H(p, t), N(p, t) lần lượt là độ cong trung bình và vectơ pháp đơn vị của siêumặt xt(M ) tại xt(p) Trong hệ tọa độ chuẩn tắc, do ∆x = −HN nên phươngtrình trên có thể viết lại dạng

∂

∂tx(p, t) = ∆x. (2)Đây là phương trình truyền nhiệt

Trong không gian Rn+1, xét các nghiệm của dòng độ cong trung bình dạngx(u, t) = λ(t)x0(u), ở đó λ(t) > 0 Khi đó, chúng ta có

Mặt khác, chúng ta xét không gian Rn+1 với mật độ ea|x|2/2 Khi đó, f -độcong trung bình của siêu mặt xác định bởi xt được cho bởi

Hf = H − a hx, Ni (5)

Từ các đẳng thức (4) và (5), chúng ta thấy rằng các siêu mặt f -cực tiểu trongkhông gian Rn+1 với mật độ ea|x|2/2 là các siêu mặt tự co rút nếu a < 0, là cácsiêu mặt tự giãn nở nếu a > 0

Hoàn toàn tương tự, các nghiệm tịnh tiến xt = x0+ ~at, ở đó ~a ∈ Rn+1 làmột vectơ hằng, của dòng độ cong trung bình là các siêu mặt f -cực tiểu trongkhông gian Rn+1 với mật độ log-tuyến tính e~a~x Một số tác giả còn mở rộng việc

nghiên cứu nghiệm tịnh tiến của dòng mở rộng với một lực tác động (with aforcing term) dạng

∂

∂txt = −(H + b).N, b ∈ R

Khi đó, f -độ cong trung bình của xt trên Rn+1 với mật độ log-tuyến tính làmột hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53])

Như vậy, các mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, không gian Rn với mật

độ e|x|2/4 và không gian với mật độ log-tuyến tính là các trường hợp đặc biệt củanghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình Đây là một lĩnh vực nghiêncứu đang rất thời sự Bên cạnh các kết quả về tính lồi, thời gian tồn tại hữuhạn, hội tụ về điểm tròn, tính chính qui, phân loại các các kì dị loại I của dòng

độ cong trung bình (xem [27], [28]), việc phân loại các nghiệm tuyến tính vớivận tốc hằng cũng có một số kết quả ban đầu (xem [38], [41], [42], [43]) Đối vớicác nghiệm tự đồng dạng, N Kapouleas, S J Kleene và N M Møller đã xâydựng thành công một dòng tự co rút không compact (xem [44]) S J Kleene

và N M Møller đã chỉ ra rằng một tự co rút tròn xoay, đầy đủ và nhúng trongkhông gian Rn hoặc là siêu phẳng, siêu mặt cầu, siêu mặt trụ hoặc là tích củađường tròn với một (n − 2)-cầu (xem [45]) Một số tác giả nghiên cứu lĩnh vựcnày cũng đưa ra các đánh giá về tăng trọng thể tích, ước lượng gradient, khảosát tính ổn định và compact của dòng độ cong trung bình (xem [14], [18], [19],[23], [46]) K Ecker và G Huisken đã chứng minh được định lý kiểu Bernsteincho các mặt tự co rút với điều kiện tăng trọng thể tích theo đa thức (xem [23]).Sau đó, điều kiện này được bỏ đi bởi L Wang (xem [57])

6.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần Một số ký hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kếtluận chung và Kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án vàTài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương.Chương 1 được dành để giới thiệu các kiến thức cơ sở của luận án Mục 1.1trình bày các khái niệm cơ bản trên đa tạp với mật độ Mục 1.2 trình bày cácđịnh nghĩa và công thức tính độ cong trung bình của mảnh tham số của siêumặt trong không gian Rn Mục 1.3 trình bày khái niệm và công thức tính độcong trung bình và độ cong Ricci của một đa tạp con định hướng được trong

đa tạp Riemann Mục 1.4 trình bày 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụngtrong luận án

Chương 2 trình bày về lý thuyết đường trên mặt phẳng và đa tạp với mật

độ Mục 2.1 trình bày về khái niệm f -độ cong của đường cong phẳng, biến phânthứ nhất của phiếm hàm f -độ dài Mục 2.2 trình bày về Định lý Gauss-Bonnetsuy rộng Mục 2.3 trình bày về định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng với mật

độ Mục 2.4 trình bày về Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu.Mục 2.5 phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật

độ log-tuyến tính Mục 2.6 trình bày về đường f -trắc địa cực tiểu trong đa tạpvới mật độ Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệquả 2.4.10, Hệ quả 2.4.11, Định lý 2.5.3, và Mệnh đề 2.6.6 Các nội dung chínhcủa Chương 2 được trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52]

Chương 3 trình bày về lý thuyết mặt trong không gian với mật độ Mục 3.1trình bày về khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ nhất và thứ haicủa phiếm hàm f -diện tích Mục 3.2 trình bày về nguyên lý dạng cỡ trên đatạp với mật độ, tính cực tiểu f -diện tích của đồ thị của một hàm khả vi trongkhông gian với mật độ Mục 3.3 trình bày về siêu mặt f -cực tiểu trong khônggian Gauss Mục 3.4 trình bày về siêu mặt f -cực tiểu trong tích của không gianGauss với đường thẳng R Mục 3.5 trình bày về mặt f -cực tiểu trong không gianvới mật độ Các kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.3.2.3, Định lý 3.4.3 vàĐịnh lý 3.4.5.3 Các nội dung chính của Chương 3 đã được trình bày trong bàibáo [35]

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kếtquả cơ bản cần sử dụng trong luận án như: đa tạp với mật độ, đatạp tích với mật độ tích, f -độ dài, f -diện tích, f -thể tích, độ congtrung bình của siêu mặt trong không gian Rn, vectơ độ cong trungbình và độ cong Ricci của đa tạp con trong một đa tạp Riemann.Đồng thời, chúng tôi đưa ra 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sửdụng trong các chứng minh ở Chương 2

1.1 Đa tạp với mật độ

1.1.1 Định nghĩa (xem [40], [49]) Đa tạp với mật độ là một đa tạp mann n-chiều với hàm mật độ trơn dương, thường được dùng là e−f ở đó f làmột hàm trơn, được sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n)

Rie-Ký hiệu dV , dA và d` tương ứng là các phần tử thể tích, diện tích và độ dàiRiemann Khi đó, phần tử f -thể tích n-chiều, f -diện tích (n − 1)-chiều và f -độdài, ký hiệu lần lượt là dVf, dAf và d`f, được cho bởi các đẳng thức

dVf = e−fdV, dAf = e−fdA, và d`f = e−fd` (1.1.1)

Chúng ta để ý rằng định nghĩa trên không tương đương với việc nhân một

hệ số λ vào mê-tríc vì khi đó phần tử f -thể tích n-chiều và phần tử f -diện tích(n − 1)-chiều có số mũ λ khác nhau

Không gian Ơclit Rn với tích vô hướng chính tắc và mật độ e−f được ký hiệu(Rn, e−f) Tương tự, (M, g, e−fdV ) được dùng để chỉ đa tạp Riemann (M, g) vớimật độ e−f

Các ví dụ sau cho thấy đa tạp với mật độ xuất hiện một cách tự nhiên trongToán học và Vật lý

1.1.2 Ví dụ Xét đường cong trên nửa mặt phẳng đóng Ơclit (biên Ox) và mặttròn xoay được sinh ra khi quay nó quanh trục Ox Khi đó, diện tích của mặttương ứng với độ dài của đường cong trên nửa mặt phẳng với mật độ 2πy Do

đó, chúng ta có thể xem nửa mặt phẳng trên với mật độ 2πy là không gianthương của R3 với quan hệ tương đương cùng khoảng cách đến trục Ox.

1.1.3 Ví dụ Trong Vật lý, một đối tượng có thể có mật độ nội tại khác nhautại các điểm Do đó, để xác định khối lượng của nó ta phải tính tích phân theomật độ

1.1.4 Ví dụ Không gian Gauss n-chiều, ký hiệu Gn, là không gian Ơclit Rnvới mật độ Gauss (2π)−n/2e−r2/2, ở đó r là hàm khoảng cách từ gốc tọa độ đếnđiểm đang xét Trong không gian này, mật độ tập trung ở gốc tọa độ và giảmrất nhanh khi di chuyển ra ngoài (Hình 1.1.1) Trên mặt phẳng Gauss, độ dàitheo mật độ hay f -độ dài của trục hoành bằng

`f(Ox) =

Z +∞

−∞

e−x2/22π dx =

1

√2π.

Hình 1.1.1: Mật độ của không gian Gauss tập trung ở gốc tọa độ,

giảm rất nhanh khi di chuyển khỏi gốc tọa độ

Hơn nữa, chúng ta kiểm tra được f -độ dài của một đường cong bất biến quaphép quay quanh tâm O Do đó, các đường thẳng qua gốc tọa độ có f -độ dàibằng 1/√

Z 2π 0

Z R 0

re−r2/2drdθ = 1 − e−R2/2

Mở rộng khái niệm không gian Gauss là khái niệm không gian với mật độ cầu

1.1.5 Định nghĩa ([40]) Không gian Rn với mật độ e−f (r), ở đó r là hàmkhoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đang xét, f là một hàm trơn trên R+, đượcgọi là không gian với mật độ cầu

1.1.6 Ví dụ ([40]) Không gian Rn với mật độ ePni=1 a i x i +b, ai, b ∈ R,

độ exn, phép tịnh tiến theo vectơ ~v = (a1, , an−1, 0), a1, , an−1 ∈ R∗, khônglàm thay đổi f -diện tích và f -thể tích Hơn nữa, sau này chúng ta sẽ thấy phéptịnh tiến theo vectơ ~v cũng không làm thay đổi f -độ cong trung bình

1.1.7 Ví dụ (Định lý giá trị trung bình [2]) Nếu u(x) là một hàm điềuhòa trên B(a, r) ⊂ R2 thì u(a) bằng trung bình của u trên ∂B(a, r) Tức là,

u(x) =

Z

∂B(a,r)

u(ξ)P (x, ξ)dξ (1.1.3)

1.1.8 Ví dụ (Tích của 2 đa tạp với mật độ) Cho 2 đa tạp với mật độ

ở đó dVM1, dAM1 tương ứng là phần tử thể tích và diện tích của M1và dVM2, dAM2

tương ứng là phần tử thể tích và diện tích của M2 Đa tạp M1× M2 với mật độ

e−ϕ được gọi là đa tạp tích với mật độ tích hay tích của 2 đa tạp với mật độ

1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong Rn

1.2.1 Định nghĩa (Definition 3.1.1, [21]) Một mảnh tham số của siêu mặttrơn trong Rn là một ánh xạ khả vi cấp vô hạn r : U −→ Rn từ miền mở U của

Rn−1 vào không gian n-chiều Rn

Một mảnh tham số của siêu mặt được gọi là chính qui nếu n − 1 vectơ

∂x1(u), ,

∂r

∂xn−1(u).

Vectơ pháp đơn vị của Σ tại điểm p được định nghĩa là vectơ pháp đơn

vị N(u) của TpΣ sao cho ∂r

Cho v là một vectơ tiếp xúc của Σ tại r(u0) Chúng ta định nghĩa đạo hàmcủa trường vectơ X theo hướng v, ký hiệu ∇vX, bởi đẳng thức

∇vX = (X ◦ u)0(0), (1.2.1)

ở đó u : [−1, 1] −→ U là một đường cong trong miền tham số U sao chou(0) = u0 và (r ◦ u)0(0) = v.

đó Nghĩa là, ta có ∇vN ∈ TpΣ với mọi vectơ tiếp xúc v của Σ tại điểm p

1.2.4 Định nghĩa (Definition 3.1.9, [21]) Cho Σ là một mảnh tham số củasiêu mặt được xác định bởi r : U −→ Rn trong Rn, p = r(u) ∈ Σ, N là phápvectơ đơn vị của Σ tại p Chúng ta có hai định nghĩa sau:

2 Độ cong trung bình H(p) của Σ tại p được định nghĩa là bởi

H(p) = 1

n − 1tr Sp. (1.2.4)

với κi(p) là các độ cong chính của Σ.

3 Vectơ ~H := HN được gọi là vectơ độ cong trung bình của Σ

Tiếp theo, chúng ta xây dựng công thức xác định độ cong trung bình chomột mảnh tham số của siêu mặt trong hệ tọa độ địa phương

Xét các biểu diễn dạng ma trận của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai đốivới cơ sở {∂ir}

N = 1p1 + |∇u|2(−∇u, 1) (1.2.10)

Suy ra Sii = (−∇∂irN)i = ∂

∂xi

∇up1 + |∇u|2

!với mọi i = 1, , n − 1 Từ đó,

chúng ta có định lý sau

1.2.7 Định lý Độ cong trung bình của đồ thị Gu được cho bởi đẳng thức

H = 1

n − 1div

∇up1 + |∇u|2

! (1.2.11)

1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp

Cho Σ là một đa tạp con k−chiều định hướng có biên hoặc không có biêntrong đa tạp Riemann (Mn, g) với liên thông Levi-Civita ∇ Với mỗi trườngvectơ X trên Σ, chúng ta ký hiệu XT và XN lần lượt là thành phần tiếp xúc vàthành phần pháp của nó

1.3.1 Định nghĩa (Definition 1.1, [17]) 1 Dạng cơ bản thứ hai trên Σ

là một dạng song tuyến tính đối xứng A, nhận giá trị vectơ, được xác địnhbởi đẳng thức

A(X, Y ) = (∇XY )N, ∀X, Y ∈ TxΣ (1.3.1)

2 Vectơ độ cong trung bình ~H tại x được định nghĩa bởi đẳng thức

~

H = 1k

3 Bình phương chuẩn của dạng cơ bản thứ hai tại x được định nghĩa bởi

4 Cho X là một trường vectơ trên siêu mặt Σ, divergence của X tại x ∈ Σ,

ký hiệu là divΣX, được xác định bởi

2 Nếu Σ là một siêu mặt thì chúng ta được

ở đó N là vectơ pháp đơn vị của Σ tại x

1.3.3 Định nghĩa (Definition 4.9.15, [21]) Cho X, Y, Z là 3 trường vectơtrên Σ, độ cong Riemann của chúng được cho bởi

dτdt

2

dt ≥ b − a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi τ là một ánh xạ đồng nhất

1.4.2 Một số tích phân cần sử dụng trong luận án

Với mọi số thực a và |b| < 1, chúng ta có các tích phân sau:

1

(1 + a2x2)(1 + x2)dx =

−12(a2− 1)ln

e2 √

1−b 2 x− 2be√1−b 2 x+ 1dx = bx − 2 arctan

e

√ 1−b 2 x− b

√

1 − b2

!+ c;

4

Z √

1 − b2(e

√ 1−b 2 x− e−

√ 1−b 2 x)

e√1−b 2 x− 2b + e−√1−b 2 x dx = lne

√ 1−b 2 x+ e−

√ 1−b 2 x− 2b+ c;

ở đó hằng số c ∈ R

1.5 Kết luận Chương 1

Trong Chương 1, luận án giới thiệu một số kiến thức cần thiết bao gồm:

- Các khái niệm đa tạp với mật độ, không gian Gauss, đa tạp tích với mật

độ tích, không gian với mật độ cầu và log-tuyến tính, f -độ dài, f -diện tích

và f -thể tích

- Các khái niệm ánh xạ Weingarten, độ cong chính, phương chính, độ congtrung bình của một mảnh tham số của siêu mặt trong không gian Rn.Công thức tính độ cong trung bình trong hệ tọa độ địa phương Công thứctính độ cong trung bình của đồ thị của một hàm trơn

- Các khái niệm độ cong trung bình, độ cong Ricci của một đa tạp conk-chiều trong một đa tạp Riemann

- Giới thiệu 1 bất đẳng thức và 4 tích phân cần sử dụng trong các chứngminh ở Chương 2

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA

TẠP VỚI MẬT ĐỘ

Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lýFenchel, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu, phân loạicác đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính và thiết lập mối quan hệ giữa các đường f -trắc địa cựctiểu với f -phiếm hàm năng lượng Các kết quả chính của Chương 2được viết dựa trên bốn bài báo [5], [31], [34] và [52]

2.1 f -độ cong của đường cong phẳng

2.1.1 Định nghĩa ([40]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−f cho đường tham

số α Độ cong theo mật độ hay f -độ cong, ký hiệu kf, của α được định nghĩabởi công thức

kf = k + df

trong đó k là độ cong của α và n là trường vectơ pháp đơn vị dọc α

Giả sử α : I ⊂ R −→ R2 là đường cong tham số hóa tự nhiên, ε là một sốthực dương Biến phân chuẩn tắc của α theo hàm trơn u được xác định bởi

Tương tự, f -độ cong kf của đường cong trên R2, e−f
cũng thỏa mãn công thứcbiến phân thứ nhất của phiếm hàm f -độ dài qua mệnh đề sau

2.1.2 Mệnh đề (Biến phân thứ nhất [50]) Biến phân thứ nhất của phiếmhàm f -độ dài thỏa mãn

2

+ k2u2

#,

trong đó k là độ cong của α

Từ đẳng thức trên, chúng ta suy ra

dαtds

2

+ o(t3)

Mặt khác, f -độ dài `f của αt được tính bởi

`f =Z

I

e−f ◦αt

... độ cong toàn phần đường cong đơn 2πkhi đường cong phẳng, đóng lồi Tuy nhiên, điều nàykhơng cịn mặt phẳng với mật độ

2.3.3 Ví dụ Trên mặt phẳng R2 với mật độ ex, độ. .. dsf vào đẳng thức trên, (2.1.2).

2.1.3 Bổ đề Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−f (x,y), cho đường tham số α(s) =x(s), y(s)
, với s tham số độ dài cung Khi đó, f -độ. .. ([40]) Độ cong Gauss theo mật độ hay f -độ cong Gausscủa mặt Riemann với mật độ e−f, ký hiệu Gf, cho cơng thức

Gf = G + ∆f, (2.2.1)

ở G độ cong