Đường chính thức và đường trắc địa trên mặt trong e3

Lời nói đầu Đờng trắc địa và đờng chính khúc là các đờng cơ bản của mặt S trong E3, hiện nay đang đợc rất nhiều các nhà toán học quan tâm, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lí và

Mục lục

Trang

Lời nói đầu………1

Đ1.Mặt trong E3……… 3

Đ2.Đờng chính khúc trên mặt trong E3……… 9

Đ3.Đờng trắc địa trên mặt trong E3……….17

Đ4.Mối liên hệ giữa đờng chính khúc và đờng trắc địa trên mặt trong E3………26

Kết luận……… 30

Tài liệu tham khảo……… 31

Lời nói đầu

Đờng trắc địa và đờng chính khúc là các đờng cơ bản của mặt S trong E3, hiện nay

đang đợc rất nhiều các nhà toán học quan tâm, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật

lí và trong thực tiễn cuộc sống Lí thuyết đờng cũng đợc trình bày nhiều trong các sách giáo trình hình học vi phân nên mặc dù đây là một đề tài không còn mới nhng bổ ích cho tác giả trong quá trình học tập và bớc đầu làm quen với việc nghiên cứu

Khóa luận trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và chỉ ra một số ví dụ về đờng chính khúc, đờng trắc địa trên các mặt trong không gian Ơclit E3

Khóa luận đợc trình bày trong bốn mục sau:

Đ1 Mặt trong E3

Đ2 Đờng chính khúc trên mặt trong E3

Đ3 Đờng trắc địa trên mặt trong E3

Đ4 Mối liên hệ giữa đờng chính khúc và đờng trắc địa trên mặt trong E3

ở Đ1, trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của mặt trong E3 nh mảnh hình học, ánh xạ Weigarten trên mặt trong E3… tạo thuận lợi cho việc trình bày các mục tiếptheo

ở Đ2, trình bày định nghĩa, một số tính chất của đờng chính khúc trên mặt trong E3

và đờng chính khúc trên một số mặt quen thuộc

ở Đ3, trình bày về độ cong trắc địa, đờng trắc địa, một số tính chất cơ bản của nó trên mặt trong E3 và một số ví dụ về đờng trắc địa trên các mặt quen thuộc

ở Đ4, trình bày về mối liên hệ giữa đờng chính khúc và đờng trắc địa trên mặt

Tôi xin gửi đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành nhất, cảm ơn thầy trong thời gian qua đã tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán, bạn bè và ngời thân đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này

Vinh tháng 4.2009

Tác giả

Đ1.mặt trong E3

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của mặt trong không gian Ơclit E3 ( E3 với mục tiêu trực chuẩn {O,e1 ,e2 ,e3} )

Thờng kí hiệu r là ánh xạ khả vi :U →E3, trong đó U là tập mở trong IR2

Nh chúng ta đã biết ( xem Đ1, Đ2, chơng 3, “ Hình học vi phân ”- Đoàn Quỳnh )

• Cho tập mở U ⊂ IR2, ánh xạ r:U →E3, (u,v)  r(u,v) đợc gọi là mảnh tham số trong E3

• Với điểm (u0,v0) ∈U , cung tham số u  r(u,v0) đợc gọi là đờng toạ độ u hay

0

v

v= của mảnh r đi qua điểm (u0,v0) Cung tham số v  r(u0,v) đợc gọi là

đ-ờng toạ độ v hay u =u0 của mảnh r đi qua điểm (u0,v0)

• Các trờng véctơ dọc các cung '

u

r , '

v

r đợc gọi là các trờng véctơ tiếp xúc dọc r

• Điểm (u0,v0)gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r nếu tại điểm đó r là một dìm ( tức là { ( , ), ' ( 0, 0)}

0 0

• Điểm (u0,v0) đợc gọi là điểm kì dị nếu { ( , ), ' ( 0, 0)}

0 0

• Mặt S đợc gọi là định hớng nếu trên S có trờng véctơ pháp tuyến đơn vị n

Trong suốt khoá luận này, chúng ta luôn giả thiết mặt S là mặt định hớng

Bây giờ ta xét cung chính quy trong E3 xác định bởi ρ :J →E3 , u ρ (u)(J là một khoảng trong IR) và một hàm véctơ A:J →E3, u A(u) , A(u) ≠ 0 với ∀u∈J

1.1 Định nghĩa :

a) Giả sử tập mở U ⊂IR2 gồm các (u,v) mà u∈J và với ∀u∈J , tập {v∈IR/(u,v) ∈U}

là một khoảng trong IR thì mảnh trong E3 xác định bởi r:U →E3 ,r(u,v) = ρ (u) +v A(u)

đợc gọi là mảnh mặt kẻ với đờng chuẩn là cung ρ(u) Các đờng toạ độ u =u0 đợc gọi

là các đờng thẳng sinh của mặt kẻ

b) Mặt khả triển là một mặt kẻ mà các tiếp diện của nó dọc theo một đờng thẳng sinh trùng nhau

u= , N(u0,v) có các hớng khác nhau tuỳ theo v Theo định nghĩa mặt khả triển

điều này vô lí ( vì các pháp tuyến không trùng nhau dẫn đến các tiếp diện không trùng nhau) Vậy α , β cộng tuyến và phơng của N(u0,v) cũng chính là phơng của α không

đổi

Suy ra tiếp diện của mặt không đổi khi các điểm thay đổi

Mặt khác, α , β cộng tuyến tức ρ ' (u0) ∧A(u0) và v A' (u0) ∧A(u0) cộng tuyến

0 ) ( )) ( ) ( (

0 0 0

'

0

' 0 0

'

u A u A u

u A u A u

đợc gọi là ánh xạ Weingarten tại p

Chú ý rằng cung ρ :J →S, ρ ' (t0) = α và ρ (t0) = p thì h p( α ) là véctơ tiếp xúc với S tại

) , ( ) , (

'

'

v u R v u r

v u R v u r

v v

u u

=

=

⇒{R , u R v} là cơ sở trong T p S , do đó ta chỉ cần chứng minh :

h p(R u)R v =h p(R v)R u

Ta có :

du

r n D n D R

h

u

R u

p

) ( )

R

⇒

Do (n  r)r v' = 0

( ) v' ( ) uv'' 0 ( )r v' (n r)r uv''

du

r n D r

r n r du

r n D

⇒

⇔h p(R u)R v = (nr)r uv''

Chứng minh tơng tự ta cũng có h p(R v)R u = (nr)r uv''

⇒h p(R u)R v =h p(R v)R u

Vậy ta có điều phải chứng minh

Với mỗi giá trị riêng h p đợc gọi là một độ cong chính tại p của M, mỗi véctơ riêng của h p xác định đợc gọi là phơng chính tại p của S Định thức của tự đồng cấu h p gọi

là độ cong Gauss tại p của M;

2

gọi là độ cong trung bình tại p của S

1.3.3 Nhận xét :

h p luôn có hai giá trị riêng thực

Thật vậy, giả sử {e1, e2} là cơ sở trực chuẩn trong T p S

2 1 1

) (

) (

de ce e h

be ae e h

b e e h

p

p

1 2

2 1

) (

) (

Độ cong Gauss tại p là K(p) =k1k2, độ cong trung bình tại p là

2 )

K = ,H(p) =k Điểm p nh thế gọi là điểm rốn của S

Khi k = 0, p đợc gọi là điểm dẹt

Khi k ≠ 0, p đợc gọi là điểm cầu

h

IR S T S T II



, ( ), ( )

,

Giả sử r: (u,v)  r(u,v)là tham số hoá địa phơng của S ; {r u' ,r v'} là cơ sở của T p S

và trờng véctơ pháp tuyến đơn vị : ' '

' '

v u

v u

r r

r r r n

r n

Do (n  r).r u' = 0 nên ( ).r u' + (n r).r uu'' = 0

du

r n D

Víi α = cos ϕ e1 + sin ϕ e2, ta cã :

.

).

( )

(

) ( )

α α

αα

= (cos ϕ h p(e1) + sin ϕ h p(e2))(cos ϕ e1+ sin ϕ e2)

= (k1 cos ϕ e1+k2 sin ϕ e2)(cos ϕ e1 + sin ϕ e2)

ϕ 2 ϕ

2 2

= Vậy ta có công thức Euler

song song với ρ '

Thật vậy, xét tại điểm p bất kì xác định bởi p = ρ(t) và α = ρ ' (t), α ∈T p S, α ≠ 0

Khi đó, Γ là đờng chính khúc khi và chỉ khi h p( α ) =kα

Ta nhận thấy rằng định nghĩa trên không phụ thuộc việc đổi tham số của đờng

Thật vậy, giả sử ρ :J →S,t ρ (t) xác định một đờng chính khúc và r:I →J,u r(u)

cũng là tham số hoá của đờng Khi đó tồn tại vi phôi λ :I →S,u λ (u) sao cho r= ρ  λ

Ta có : r' (u) =[ρ ( λ (u))]' = λ ' (u) ρ ' ( λ (u)) (1)

( ) ( ) ' (u)

du

n D du

r n

n D

song song với ρ ' ( λ (u)) λ ' (u) hay

du

r n

1) Mọi đờng trên mặt phẳng đều là đờng chính khúc

Thật vậy, S là mặt phẳng nên trờng véctơ pháp tuyến là trờng véctơ song song

0 )

Tức là, phơng tiếp xúc tại mọi điểm của S đều là phơng chính

Vậy mọi đờng trên mặt phẳng đều là đờng chính khúc

2) Mọi đờng trên mặt cầu đều là đờng chính khúc

Thật vậy, giả sử S là mặt cầu bán kính R, n là trờng véctơ pháp tuyến của S hớng ra ngoài

Với α ∈T p S; α ≠ 0 , α = ρ ' (t0)với ρ :J →S,t ρ (t) thì :

R

n R

O n

' '

) ( )





Do đó: α ρ α

R R

k1 = 2 = −1 , suy ra trên mặt cầu mọi phơng

Tức, phơng của α là phơng chính hay trên S mọi phơng là phơng chính

Vậy nếu mọi điểm của S là điểm rốn thì mọi đờng trên S là đờng chính khúc

2.4 Hệ quả

i)Mọi đờng trên S là đờng chính khúc nếu 2 ( ) ( )

p K p

H = ,∀p∈S , trong đó H , K

theo thứ tự là độ cong trung bình và độ cong Gauss của S

ii)Mọi đờng trên mặt S là đờng chính khúc nếu tại mọi điểm trên S độ cong pháp dạng bằng một trong các độ cong chính

Chứng minh:i)Giả sử k1, k2 là các độ cong chính tại p của M bất kì trên S

Ta có : 1 2 ; ( ) 1 2

2 )

) ( )

2 1

2 2 1

2 1

2 2 2 1

2 1

0 ) (

4

2

k k

k k

k k k k k k

⇔

Tức M là điểm rốn, hay mọi điểm trên S là điểm rốn

Vậy theo mệnh đề 2.3, mọi đờng trên S đều là đờng chính khúc

ii)Theo công thức Euler, độ cong pháp dạng của S theo phơng α tại p :

Suy ra mọi điểm trên S là điểm rốn

Theo mệnh đề 2.3, mọi đờng trên S đều là đờng chính khúc

vu

r dv rnD

r du

rnD

r dv

rnD r du rnD

rr M

ashu bchu r

r

r r r n

v u

v u

2 2 2 2 '

Điều kiện cần : Giả sử cung chính quy Γ trên mặt S trong E3 là đờng chính khúc của

S Ta phải chứng minh mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt dọc cung đó là mặt khả triển

Giả sử Γ xác định bởi tham số hoá ρ :u ρ (u)

Điều kiện đủ: Giả sử mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt dọc cung chính quy Γ

là mặt khả triển Ta chứng minh Γ là đờng chính khúc

)(

du

n D n n

2.8 Phơng trình vi phân của họ các đờng chính khúc trong tham số hoá địa phơng

Giả sử r:U →S, (u,v)  r(u,v) là một tham số hoá địa phơng của mặt S trong E3 thì phơng trình vi phân của họ các đờng chính khúc trong tham số hoá địa phơng r là :

+

+ +

+

Gdv Fdu

=

−

G N

du

F E

M L

u b n r akr bkr r

( ) ( ) (

)

(

) ( ) (

' ' ' ' '

' '

'

' ' '

' '

'.

' '

v v v u v

v v

u

u v u

u u

v u

u

r bkr r akr r

r n b r r

n

a

r r bk r akr r

r n b r r

)

(

bkG akF bN

aM

bkF akE bM

)

(

bG aF k bN

aM

bF aE k bM

aL

Để ý rằng aE+bF,aF+bG không đồng thời triệt tiêu, khi đó để tồn tại k thì :

+

+ +

+

bG aF

bN

aM bF

a

F E

+

Gdv Fdu

Ndv

Mdu Fdv

=

−

G N

du

F E

M L

' ' 2 2 2 2 2 2 2

'

cos sin

) , cos , sin (

v b

v u b u b v

u b

u b

v u b u b r

r

r r r n

v u

v u

+

−

−

= + +

u u bv u u bv r r n

2 2 2 2

) (

v b

b v

b

u b

u b r r n

+

= +

222

b

du v b

dv v b

b

2 2

dv v b

du

2 2

u = ± + + + (trong đó c0là hằng số)

Vậy trên mặt đinh ốc đứng, đờng chính khúc đợc xác định bởi phơng trình :

0 2 2

r uv'' = ( 0 , 0 , 0 )

r vv'' = ( 0 , 0 , 0 )

u b

u a

u a u b r

r

r r r n

v u

v u

2 2 2 2 '

'

' '

cos sin

) 0 , sin , cos (

u a

ab r

r

n

2 2 2 2 ''

cos sin

+ +

−

dv a

du u b

u a

ab

0 u)du cos b u sin

u u

(u0, v0 là các hằng số ) Vậy trên mặt trụ Eliptic các đờng toạ độ là các đờng chính khúc

Đ3 Đờng trắc địa trên mặt trong E3

Trong mục này ta giả thiết rằng S ⊂E3 là một mặt đợc định hớng bởi trờng véctơ pháp tuyến n và đợc cho bởi tham số hóa

( ( ) ( )) ( )

( )

t t n t t

Hàm số k g không phụ thuộc tham số hóa đã chọn của đờng cong Γ

Chứng minh:Thật vậy, trong tham số hóa tơng đơng với tham số hóa ρ:

Do λ ,> 0 nên k g=

3 ,

( ( ) ( )) ( ) ( )

3.4 Nhận xét

i) Khi đổi hớng của cung Γ thì độ cong trắc địa của nó đổi dấu

ii)Tại điểm không song chính quy của cung Γ, độ cong trắc địa của nó triệt tiêu

Thật vậy, từ (1) ta dễ thấy khi Γ đổi hớng, λ ,<0

⇒ ±

3 ,

⇒ k g 3

0 '

0 0

'' 0 '

) (

) ( )) ( ) ( (

t

t n t t

ρ

ρ ρ

Vậy ii) đợc chứng minh

3.5 Định nghĩa

Đờng cong song chính quy Γ trên S đợc gọi là đờng trắc địa của S nếu độ cong trắc

địa triệt tiêu tại mọi điểm của Γ

Cung tham số ρ : J→S, ta ρ(t) là cung trắc địa của S nếu và chỉ nếu ρ ,, ( )t và

i) Giả sử Γ là đờng cong song chính quy trên S Khi đó Γ là đờng trắc địa trên S khi

và chỉ khi trờng véctơ pháp tuyến chính N thẳng góc S dọc Γ

ii) Giả sử hai mặt S và S tiếp xúc nhau dọc ’ Γ thì Γ là đờng trắc địa trên S khi và chỉ khi Γ là đờng trắc địa trên S’

iii) Nếu ρ: t ρ(t) là cung trắc địa trên S thì ρ , ( )t là hàm hằng

Chứng minh:

i) Giả sử Γ xác định bởi tham số hóa : ρ: t  ρ(t) ( ∀ t∈J )

Γ là đờng trắc địa trên S khi và chỉ khi k g (t) = 0 , ∀t∈J

⇔ ( ( ) ρ , t ∧ ρ ,, ( ))t n°ρ ( ) 0t =

⇔ k t T( )( ∧N n) °ρ ( ) 0t = ⇔ (T∧N n)( °ρ ) 0 = ⇒T ∧N ⊥ (n ρ )

( ( ) ( )) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

Vì S tiếp xúc với S’ dọc Γ nên trờng véctơ pháp tuyến đơn vị n của S’

song song với n hay nuuur°ρ ( )t = ±nuuur° ρ ( )t

Γ l đà ờng trắc địa trên S nên k g (t) = 0

3 ,

( ( ) ( )) ( ) ( )

x y

x y

ρ ρ

 =



⇒  =



( ) 0 ( ) cos

sin (cos ) (sin )

Chứng minh: Giả sử ρ:s ρ (s) là tham số hóa tự nhiên của Γ

{T N B, , } là trờng mục tiêu Frênê của Γ

Mặt kẻ tạo bởi các trùng pháp tuyến của Γ đợc xác định bởi :

uur uur uur

=( ( ) ρ , s −v N s ( )) τ uur ∧B sur( ) ( ( ) = T sur −v N s ( )) τ uur ∧B sur( )

⇒ruur uur,s ∧r s,v( ,0) =T sur( ) ∧B sur( ) =uurN s( )

Hay : n r suur° ( ,0) // ( )N suur

Do nuuur°ρ ( ,0)s =nuuur°ρ ( )s nên n ρ(s) cùng phơng với N (s) (1)

Giả sử ρ :I →S là một cung trắc địa trên S, r= ρ λ  :J →S là cung tham số hóa

t-ơng đt-ơng với ρ trên S Khi đó r là cung trắc địa khi và chỉ khi vi phôi đổi tham số λ

⇔uur uuuur ⇔uur uuuuuuuur 

⇔ ρ λ λuur,, ( ).( ) , 2 + ρ λ λuur, ( ) ,, // nuuuur ρ λ ( ) (1)

Do λ là cung trắc địa nên ρ λuur,, ( ) //nuuuur ρ λ ( )

F r r= = E r r= và G r r= ,v ,v chỉ phụ thuộc vào u , tức là E'v =G'v = 0

3.12 Phơng trình cung trắc địa trong tham số hóa Clero

Xét đờng cong Γ ⊂S có tham số hóa ρ = ( )t r u t v t( ( ), ( )) và S có tham số hóa Clero

1 '' ( ' ' 2 ' ' ' ' ' ) 0 2

u E u E u v G v E

v G v G u v E u G

⇔

1 '' ( ' ' ' ' ) 0 2

1 '' 2 ' ' ' 0 2

u

u E u G v E

v G u v G

b) Hãy xét xem cung Γ đợc cho bởi r(u0,v)có là cung trắc địa không ?

⇒ Γ đợc cho bởi t  ρ (t) = ((ct+d) cosu0, (ct+d) sinu0,bu0)

Vậy với u =u0, Γ đợc cho bởi r(u0,v) là đờng trắc địa

Bài toán 3.13.2 : Giả sử S là mặt cầu đợc cho bởi

(u,v)  r(u,v) = (cosvcosu, sinvcosu, sinu)

Tìm các đờng trắc địa trên S với

2 2

, 2

0<u< π −π <v<π với u =u0 .Xét xem Γ đợc cho bởi r(u0,v) có là đờng trắc địa không?

Giải:

Từ : r(u,v) = (cosvcosu, sinvcosu, sinu)

Ta có : r u' = ( − cosvsinu, − sinvsinu, cosu)

r v' = ( − sinvcosu, cosvcosu, 0 )

⇒E=r u' r u' = cos 2v sin 2u+ sin 2v sin 2u+ cos 2u= 1

F =r u' r v' = sinu cosu sinv cosv− sinu cosu sinv cosv+ 0 = 0

G=r v' r v' = sin 2v cos 2u+ cos 2v cos 2u= cos 2u

Do u=u0 =const nên u' = 0 ,u'' = 0 ,G u' = 0 ,E u' = 0

Từ (1) ta có 0 cos '' 0

0 2

Vậy Γ đợc cho bởi tham số hoá :

t ρ (t) = (cos(at+b) cosu0, sin(at+b) cosu0, sinu0)

Do đó đờng trắc địa trên mặt cầu S là đờng tròn lớn

Đ4.Mối liên hệ giữa đờng chính khúc và đờng trắc

Trong mục này ta giả thiết S là một mặt định hớng bởi trờng véctơ pháp tuyến đơn vị

n trong E3 và Γ là một đờng song chính quy định hớng xác định bởi :

ρ :J t →ρS(t) ( J là khoảng (a,b) ⊂IR )

4.1 Định nghĩa :

Gọi T là trờng véctơ tiếp xúc đơn vị doc Γ, n là trờng véctơ pháp tuyến đơn vị của

S, Z = n ρ, xây dựng trờng véctơ Y =Z T∧ thì đợc một trờng mục tiêu trực chuẩn dọc Γ là {T Y Z, , } gọi là trờng mục tiêu Darboux dọc Γ

4.2 Mệnh đề

Ta có công thức :

' ' '

Trong trờng mục tiêu Darboux ta luôn có :

trắc địa của S khi và chỉ khi độ cong trắc địa của nó bằng 0 ; ρ là đờng chính khúc của S khi và chỉ khi độ xoắn trắc địa của nó bằng 0

Chứng minh:

Theo mệnh đề 4.2 ta có :

' ' '

DY

pT rZ ds

DZ

qT rY ds

q Z ds DZ

Từ đó : k g= 0 ⇔Y DT

ds = 0 ⇔ (( ) ∧ ) = 0

ds

DT T

n ρ

Mà T vuông góc với DT ds nên DT

ds song song với n ρ hay ρ '' song song với n ρ

Vậy Γ là cung trắc địa

τg= 0 ⇔ Y DZ

ds = 0 ⇔ ( ∧ ) = 0

ds

DZ T Z

Xét đờng cong Γ xác định bởi tham số hoá :

ρ :I t → Sρ(t) =(tcosat,tsinat,abt)