Về dạng vi phân và phương trình cấu trúc của en

Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của E n trong một trờng mục tiêu trực chuẩn ...25 I.. ứng dụng ...32 Kết luận ...37 Tài liệu tham khảo ...38 Lời nói đầu Dạng liên kết- phơng trình

Trờng đại học vinh

Khoa toán - -

Lời nói đầu 1

Đ1 Dạng vi phân bậc một trong E n 2

1 Dạng vi phân 2

2 Vi phân của hàm số 2

Đ2 Dạng vi phân bậc hai trong E n 12

I Dạng vi phân bậc hai 12

II Tích ngoài của các 1 - dạng 14

III Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc 1 16

IV ánh xạ đối tiếp xúc 20

Đ3 Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của E n trong một trờng mục tiêu trực chuẩn 25

I Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc 25

II ứng dụng 32

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Lời nói đầu

Dạng liên kết- phơng trình cấu trúc trên mặt là một trong các đặc trng mô tả các tính chất hình học nội tại của mặt,đợc nhiều tác giả quan tâm và trình bày trong nhiều tài liệu nh [1], [2],…

Trong luận văn này,chúng tôi trình bày và chứng minh cụ thể các tính chất

về dạng vi phân và phơng trình cấu trúc trong En,ứng dụng của nó để tính độ cong của mặt trong E3

Luận văn đợc chia làm 3 mục:

Đ1.Dạng vi phân bậc một trong E n

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa,tính chất của dạng vi phân bậc 1 trên một tập mở trong En và chỉ ra cách tìm trờng mục tiêu đối ngẫu của tr-ờng mục tiêu

Luận văn đợc thực hiện tại Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, với sự hớng dẫn của thầy giáo , PGS -TS Nguyễn Hữu Quang

Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn của thầy giáo,

PGS-TS Nguyễn Hữu Quang, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán và xin cảm ơn các bạn bè cùng khoa đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh , tháng 4 năm 2006

Sinh viên

Nguyễn Thị Thuý Hằng

Đ1 Dạng vi phân bậc 1 trên tập mở trong En

Ta ký hiệu : U là tập mở trong E n.( E n vơi tôpô tự nhiên)

TpU là không gian các vectơ tiếp xúc của U tại điểm p∈U .

B(U) là tập các trờng vectơ khả vi trên U.

i) Ω1 (U) víi hai phÐp to¸n (1) vµ (3) lËp thµnh mét kh«ng gian vect¬

ii) Ω1 (U) víi hai phÐp to¸n (1) vµ (2) lËp thµnh modun trªn vµnh F (U)

iii) Gi¶ sö X, Y lµ c¸c trêng vÐct¬ kh¶ vi trªn U, ϕ∈F (U), θ∈Ω1 (U)

Vậy θ (ϕX) = ϕθ(X)

1.3 Định nghĩa

Giả sử { }U i i = 1 ,n là trờng mục tiêu trên U , là họ các 1 - dạng vi phân thuộc Ω

1 (U) thoả mãn θi (U j ) = δij khi đó { }θi i=1,n đợc gọi là trờng mục tiêu đối ngẫu của

trờng mục tiêu { }U i i=1,n.

1.4 Mệnh đề

Giả sử { }U i i=1,n và { }U i' i 1,n

= là hai trờng mục tiêu trên tập mở U trong E n

{ }θi i = 1 ,n và { }θi' i = 1 ,n là các trờng mục tiêu đối ngẫu tơng ứng của { }U i i=1,n và

'

'

2 1

'

θ

θ

θ θ

C = (C ij ) n x n là ma trận chuyển từ trờng mục tiêu U sang U' ;

C ij∈F (U) Khi đó θ ' = C -1θ (trong đó C -1 là ma trận nghịch đảo của C)

Chứng minh :

Vì C là ma trận chuyển từ mục tiêu từ U sang U' nên det C ≠ 0 từ đó suy ra

luôn tồn tại C -1

n n

C C C

C C C

C C C C

2 22 21

1 12 11

Theo giả thiết U' = UC Tức là

n

n n

C C

C

C C

C

C C

C

21

222

21

112

=

+ + +

=

+ + +

=

n nn n

n n

n n

n n

U C U

C U C U

U C U

C U C U

U C U

C U C U

.

2 2 1 1 '

2 2

22 1 12

' 2

1 2

21 1 11

' 1

n

n

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

2 1

2 22 21

1 12 11

Ta có (*) tơng đơng với

n n

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

22221

11211

'1

n

θ

θ θ

=

++

=

++

=

⇔

' '

2 2

' 1 1

' 2

' 2 22

' 1 21 2

' 1

' 2 12

' 1 11 1

n nn n

n n

n n

n n

θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ

θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ

θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ

*) α tuyến tính đối với biến thứ nhất

Với mọi λ1 , λ2∈ R, θ1 , θ2∈Ω1 (U), cố định X ∈ B(U)

Ta có : α (λ1θ1 + λ2θ2 , X) = (λ1θ1 + λ2θ2 ) (X)

= (λ1θ1 (X) + λ2θ2 (X))

= λ1α(θ1 ,X) + λ2α(θ2 , X)

Suy ra : α (λ1θ1 + λ2θ2 , X) = λ1α(θ1 ,X) + λ2α(θ2 , X).

*) α tuyến tính đối với biến thứ hai.

Với mọi X, Y ∈ B(U), cố định θ∈Ω1 (U); λ1 , λ2∈ R

x Y X

i

x

Y x

X

1 1

ϕ ϕ

i n

i

x

X x

X x

X

1 1

X

1

)

= ∑i=n ∂ ∂+ ∂

i i

x

X

1

ϕ ψ ψ ϕ

= ϕ =

∂

∂ +

TÝnh X [ϕ]; X [X.Y]; Y[X 2]; (X ^ Y) [ϕ]

*) X [ϕ] = z z

y

y x

x

∂

∂ +

∂

∂ +

1

0

1

x x x

∂

∂ +

∂

E 2[ϕ] =

2 2

1

0

1

0

x x

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ ϕ 0. ϕ 1. ϕ ϕ

0

2 1

p(p 1 , p 2 , ,p… n )  P i với mọi i= 1 ,n Khi đó {dx1,dx2, ,dx n} là trờng

đối mục tiêu của {E1,E2, ,E n} và { }dx i i = 1 ,n là cơ sở của môdun Ω1 (U)

Chứng minh

*) dx i (E j ) = (E j ) [x i] = ij

j

i x

dx

1

) ( 0 ) (

X

1 1

)(

X dx

Chú ý : i) {dx1,dx1, ,dx n} gọi là cơ sở chính tắc của môđun Ω1 (U) vì thế

mọi θ∈Ω1 (U) thì θ = ϕ1 dx 1 + ϕ2 dx 2 + + ϕn dx n (ϕi ∈F (U) và (ϕ1 , ϕ2 , ,…ϕn)

đợc gọi là toạ độ của θ đối với cơ sở {dx1,dx1, ,dx n}

ii) Đặc biệt với ϕ∈F (U),ta có:

∑=1 ∂∂ϕ

= ∑i=n ∂∂ i

i

X dx x

1

) )(

\{0 }, {E1, E2} là trờng mục tiêu tự nhiên trên U( tơng ứng với

mục tiêu trực chuẩn {0 ;e1 ,e2} trong E 2 ) Trọng hệ toạ độ cực (r, ϕ) với tham số

ϕ

sin

cos

r y

2

2 1

1

cos sin

sin

cos

E E

U

E E

U

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Khi đó trờng đối mục tiêu của {U1,U2} là {dr, rdϕ}

x x

y y

r

r x

= cosϕ cosϕ + sinϕ sinϕ = 1 (1)

rdϕ (U 1 ) = rU 1 [ϕ] = r  ∂ 

∂ +

∂

∂

y x

ϕ ϕ ϕ

ϕ sin cos

= [cos sin sin cos ]

r r

rdϕ(U 2 ) = 1 (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có {dr, rdϕ} là trờngđối mục tiêu của {U1,U2} và gọi

là trờng đối mục tiêu toạ độ cực

ii) Giả sử U =R3 \ 0,. Xét toạ độ trụ {r, ϕ ,t} với tham số hoá :

r y

r x

3

3 2

2 1

1

cos sin

sin cos

E E

U

E U

E E

U

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Khi đó trờng đối mục tiêu của {U1 ,U2 ,U3} là {dr,dt,rdϕ}

dr (U 3 ) = U 3[r] = 0 (sử dụng kết quả i)

dt (U 1 ) = U 1[t] =cos sin = 0

∂

∂ +

∂

∂

y

t x

t

ϕ ϕ

v u r y

v u r x

sin

cos sin

cos cos

(Với r ≠ 0, 0< u < 2π, )

2 2

=

3 2

1 3

2 1

2

3 2

1 1

cos sin

sin sin

cos

cos sin

sin cos

sin cos

cos

vE vE

u vE

u U

uE uE

U

vE vE

u vE

u U

Khi đó trờng đối mục tiêu của {U1 ,U2 ,U3} là {dr,rcosvdu,rdv}

x x

2 2

+ +

=

∂

∂

v u r

y z y x

y y

r

cos sin

2 2

+ +

=

∂

∂

v r

z z y x

z z

2 2

+ +

0

dr(U 1 ) = U 1 [r] = =

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

z

r v y

r v u x

r v

n hµm sè ω (U i , U j ) (i<j)

II TÝch ngoµi cña c¸c 1-d¹ng

2.3 §Þnh nghÜa

Giả sử θ1 , θ2∈Ω1 (U) Tính ngoài của θ1 với θ2 , ký hiệu θ1 ^ θ2 là dạng

vi phân bậc hai trên U xác định bởi : với X, Y ∈ B(U),

θ1 ^ θ2 (X, Y) = θ1 (X) θ2 (Y) - θ1 (Y) θ2 (X)

Nhận xét : Định nghĩa trên là phù hợp Thật vậy, ta kiểm tra θ1 ^ θ2 là dạng

vi phân bậc hai trên U

*) θ 1 , θ2∈Ω1 (U) ⇒θ1 , θ2 khả vi

*) Kiểm tra tính song tuyến tính

Ta có : Với ∀ X, Y ∈ B(U), ϕ∈F (U)

θ1 ^ θ2 (X + X' , Y) = θ1 (X + X ') θ2 (Y) - θ1 (Y) θ2 (X + X ')

= (θ1 (X) + θ1 (X ')) θ2 (Y) - θ1 (Y)(θ2 (X) +θ2 (X ') = (θ1 (X)θ2 (Y) - θ 1 (Y)θ2 (X)) + (θ1 (X ')θ2 (Y) - θ1 (Y) θ2 (X'))

⇒θ1 ^ θ2 tuyến tính đối với biến thứ nhất

Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc θ1 ^ θ2 tuyến tính đối với biến thứ

dx =1 là cơ sở của Ω1 (U), f, g ∈F (U) ta có :

i) fdx i ^ gdx j = fgdx i ^ dx j

ii) fdx i ^ (gdx j + hx k) = fgdx i ^ dx j + fhdx i ^ dx k

iii) dx i ^ dx j = - dx j ^ dx i

iv) dx i ^ dx i = 0, ∀i

Ví dụ: Giả sử U = R 3 = 0xyz Trong R 3 cơ sở của Ω1 (R 3 ) là {dx,dy,dz} Cho θ1 = ydx + xzdy , θ1 = ydx + xdy + zdz Tính θ1 ^ θ2 ?

Giải : Ta có:

θ1 ^ θ2 = (ydx + xzdy) ^ (ydx + xdy + zdz)

= y 2 dx ^ dx + xydx ^ dy + yzdx ^ dz + xyzdy ^ dx + x 2 zdy ^ dy + xz 2 dy ^

dz

= xydx ^ dy + yzdx ^ dz - xyzdx ^ dy + xz 2 dy ^ dz

= (xy - xyz ) dx ^ dy+ yz dx ^ dz + xz 2 dy ^ dz

Hay θ1 ^ θ2 = (xy - xyz, yz , xz 2 )

2.4 Mệnh đề : Giả sử { }U i i = 1 ,n là trờng mục tiêu trên U, { }θi i= 1 ,n là

tr-ờng đối mục tiêu tơng ứng Khi đó {θi^ θj}i< j là cơ sở của môđun Ω2 (U)

Chứng minh

*) Hệ { }i j

j i

<

θ

θ ^ độc lập tuyến tính Giả sử { }λij i<j là các số thực thoả mãn ∑

i

i

i E Y E X

1 1

E E Y

E Y X E

E Y

i j

= ∑

<j i

j i j

E, ) ^ ( , )

ω , ∀X, Y ∈ B(U)

= (X 1 Y 2 - X 2 Y 1 ) ϕ12 + (X 1 Y 3 - X 3 Y 1 ) ϕ13 + (X 2 Y 3 - X 3 Y 2 ) ϕ23 = (xz - y 2 )xyz + (x 2 - yz) xy - (yz-z 2 ) (x+y+z)

Ví dụ 2: Giả sử U là tập mở trong R n ; {E1,E2 ,E n} là trờng mục tiêu trên U sinh bởi trờng mục tiêu tự nhiên trong R n {dx1,dx2 dx n} là trờng đối mục

tiêu tơng ứng Khi đó {dx i^dx j}i< jlà cơ sở của Ω2 (U) và

d: Ω i (U) →Ωi+1 (U) (i = 0,1)

i) i = 0 , với ϕ∈Ω 0 (U) = F (U) ta định nghĩa

d : Ω0 (U) →Ω1 (U)

ϕ  dϕ

ii) i = 1, víi mäi θ∈Ω1 (U) víi θ = ∑

i dx d dx

d

' 2

dx

1 1

)^

.()

d

1

))^

1 ,

i j j

dx dx x x dx

dx x x dx

dx x

2 2

∂

∂

∂ +

dx dx x x dx

dx x

2 2

dx dx x x x

(

2 2

= 0

4) Nếu θ = ψdϕ thì dθ = dψ ^ dϕ Thật vậy,

dθ = d(ψdϕ) = dψ ^ dϕ + ϕd(dϕ) (Theo 2)

= dψ ^ dϕ + ϕ.0 (Theo 3) = dψ ^ dϕ

d

1 1

5) dθ (X, Y) = X [θ(Y) ] - Y[θ(X) ] - θ[X,Y], với X, Y ∈ B(U)

Thật vậy, do tuyến tính cả 2 vế nên đơn giản ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đúng với θ = ψdϕ

dθ (X, Y) = d (ψdϕ) (X, Y) = (dψ ^ dϕ) (X, Y) (Theo 4)

= dψ(X) dϕ(Y) - dψ (Y) dϕ(X)

= X[ψ] Y[ϕ] - Y[ψ] X[ϕ] X[θ(Y)] = X [ψdϕ(Y)] = X [ψ Y[ϕ]]

= ψX [Y[ϕ]] + X[ψ] Y [ϕ]Tơng tự Y[θ (X)] = ψ Y[X[ϕ]] + Y[ψ] X.[ϕ]

X[θ(Y)] - Y[θ(X)] = (ψX[Y[ϕ]+ X[ψ]Y[ϕ]) - (ψY[X[ϕ]] + Y[ψ].X[ϕ])

Giả sử U, V là các tập mở trong E n f: U → V là ánh xạ khả vi, khi đó f * :

Ωi (V) →Ωi (U) (i = 0, 1, 2) đợc gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ f ; trong

đó:

X X

= θ (X 1 , X 1 + X 2 , X 1 - X 2 )

= xydx (X 1 , X 1 + X 2 , X 1 - X 2 )

= xy X 1 = u(u+v) X 1

+ +

2 1 2

1

2 1 2

(2

Y Y X

X

uY vY y uX

vX y

Tøc f * giao hoµn víi (to¸n tö) vi ph©n ngoµi

ThËt vËy, víi p ∈ U, α∈ TpU ta cã

Đ3 Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của En

trong một trờng mục tiêu trực chuẩn.

Trong mục này chúng tôi trình bày dang liên kết và phơng trình cấu trúc cấu ờng mục tiêu bất kì trong E n Biểu diễn (ω , j

tr-i ) thông qua (ω j

i ).Từ đó áp dụng vào việc tìm độ cong trung bình và độ cong Gauss của mặt cong trong E3

ω (i = 1,2, n),…

Khi đó j

i

ω là 1- dạng vi phân trên U ;và đợc gọi là các dạng liên kết của

E n trong trờng mục tiêu {U i } trên U

Ngời ta thờng viết tắt công thức đó là : ∑

k j

U

1 1

0 ) ) ( (

)) (

⇔ (X) + j(X) = 0

i i

ω

i i

k j

k

1

1 ) (

(Trong đó C -1 là ma trận nghịch đảo của ma trận i

j

C )

j i

k j

k

1

1 ) (ω

NhËn xÐt : C«ng thøc nµy cho ta c¸ch t×m c¸c d¹ng liªn kÕt cña trêng môc

k

j k

j i

1 ) ( ) (

Thay (2) vào (1) ta đợc θk (E j ) = ∑( − 1 ) ( )

j j k

j k

C

1

1 ) (

Từ đó dθk = j

n j

j k

C ) ^ (

1 1

l i l

l j

k l j

l j

l l

l j l

l i

i

C

1 ,

1

1 ) ^ ( ) (

l k i

j l

i

C

1 ,

1 1

^ ) ( ) (

= - ∑

=

−

n l i

l l i

i

1 ,

1 ) ^ (

l k

C d

j k j

1

^θω

j k

j

1

1)(

ω

Suy ra = ∑n= −

k

k i

j k

ω

k m

l k

j l n

k

k i

j

1 1

1

)(

^)((

m l k

l k

j

C ) ^ ( ) ((

1 ,

1 1

m i

k m

l k

j

C d

1 ,

m i

l m

j

C d

1 ,

1

^ )

= - ∑n= −

m

m i

j

m dC C

j

k dC C

j k

j i

d

1

^ ω ω

3.4 Mệnh đề : Giả sử {U i } i = 1 ,n là {U' i } i 1 ,n là hai trờng mục tiêu trên tập mở U trong E n { }θi i = 1 ,n và { }θ 'i i = 1 ,n là các trờng mục tiêu đối ngẫu tơng ứng của { }U i và { }U ' i C = n

j i

j k n

l k

l i

k l

j k

i

1

1 1

j i

DU

1 1

j i n

j

C d

j i n

)

j

i C U

1 1

'

ω

k j i

j

n k n j

i j n

j

k j

j i

j i

k j

j k

k i

j k

i

1 1

'

) ( )

i j i

^ gọi là phơng trình cấu trúc thức hai

*) Các phơng trình sau đây đợc gọi là phơng trình cơ bản của mặt S trong E

2 1 2 1

^

^

θ ω θ

θ ω

1 θ + ω θ =

ω gọi là phơng trình đối xứng

2 1 3 1

2 1

2

3

2 3

1 2

ω ω

ω

d

d

gọi là phơng trình Beterson - codazzi

3.6 Các ví dụ : Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của một số mặt thờng

gặp

i) Xét trờng mục tiêu toạ độ cực {U 1 , U 2 } của mặt S = E 2 \ 0x + với toạ độ cực (r,ϕ) (r > 0, 0 < ϕ < 2π)

2 1

1

cos sin

sin

cos

E E

U

E E

U

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕϕ

d d

d

d

dC

sin cos

cos sin

d

dd

sin cos

cossin cossin

Vậy ω = ω = ω = −dϕ ω 2 =dϕ

1 1

2 2

2 1

* ) Phơng trình cấu trúc mặt S trong trờng mục tiêu {U 1 , U 2 }

Ta có trờng đối mục tiêu của {U 1 , U 2 } là {θ1 = dr , θ2 = rdϕ} (ở đây sử

dụng kết quả ví dụ 1.1.10 (v) )

− = -dϕ ^ dr = dr ^ dϕ = d(rdϕ)

Dễ dàng thử lại các phơng trình cấu trúc thứ nhất và thứ hai

ii) S là mặt cầu tham số hoá (r, u, v)  (rcosu cosv, rsinu cosv, rsinv) (r ≠ 0, 0 < u, < 2π, −π2 ) Xét trờng mục tiêu {U 1 , U 2 , U 3 } xác định bởi

1 3

3 2

1 2

2 1

1

sin cos

sin cos

cos

cos cos

sin sin

cos

cos sin

vE vE

u vE

u U

vE vE

u uE

u U

UE E

v u v

u u

v u u

u u

sin cos

0

cos sin sin

sin cos

cos cos sin

cos sin

vdv u vdu u vdv

u vdu u udu

vdu u vdu u vdv

u vdu u

du dC

cos sin

0

sin sin cos

cos cos

sin sin

cos sin

sin cos cos

sin cos

cos sin

sin cos

v u v

u u

v u v

u

u C

sin cos

0

cos sin sin

sin cos

cos cos sin

0 sin

cos sin

0

dv vdu

dv vdu

vdu du

VËy 0 , sinvdu, dv, 1 cosvdu

3 2

3 1

2 3

3 2 2 1

−

= -sinvdu ^ acosvdu

= asinvcosv du ^ du

*) ^ 3 ^ 2 cosvdu^acosvdu ( dv)^adv

2 1 3

ω = − = sinvdu ^ dv

3 2 1 2

v u

r r

r r

'

^ '

'

^ '

*) hp là đồng cấu tuyến tính đối xứng.

3.8 Định nghĩa : Giả sử A p là ma trận của ánh xạ tuyến tính h p

Khi đó:

*) Mỗi giá trị riêng của h p gọi là độ cong chính tại p của S Ký hiệu là

K 1 (p) , K 2 (p)

*) Mỗi vectơ riêng của h p đợc gọi là phơng chính tại điểm p

*) Định thức của A p đợc gọi là độ cong Gauss tại p Ký hiệu là K(p)

*) Trung bình cộng các độ cong chính của h p đợc gọi là độ cong trung bình

của S tại p Ký hiệu là H p =

2

) ( )

12 11

a a

12 11

=

−

−

x a a

ax a

⇔x 2 - (a 11 + a 22 )x + a 11 a 22 - a 12 a 21 = 0

Theo định lý viet trong phơng trình bậc 2

22 11 2

2

1

22 11 2

Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình tại p = 

v u

r r

r r

'

^ '

'

^ '

= ( cosu, sinu, 0)

p r

a = 'u = (-a, 0, 0)

p r

b= 'u = ( 0, 0, 1)

p u u p

n a

h p( ) 'u ( sin , cos , 0 )

a' = = − = − − = (1, 0, 0)

p n b

b

a a a

.0 0 '

0

1 '

A

H p

2

1 ) 0 1 ( 2

1 2

1 = − + =−

= 

3.9 Mệnh đề Giả sử {U 1 , U 2 } là trờng mục tiêu trực chuẩn của S, P

∈ S {θ1 , θ2 } là trờng đối mục tiêu của trờng {U 1 , U 2 } Khi đó: 1 ( )

dω = θ1 ^ θ2

( trong đó K(p) là độ cong Gauss của S.

Chứng minh

Víi mäi α∈ TpS, do h p (α) = -Dαn, suy ra

h p (α) = ( ) ( ) 3 ( ) 2( )

2 1

1 3

h(U 2 )= ( ) ( ) 3 ( 2) 2( )

2 1

2 3

Suy ra : K(p) = det(h) = ( ) ( ) ( ) 3 ( 2)

1 1 3 2 2 3 2 1 3

= ^ 3 ( 1, 2)

2 3

MÆt kh¸c : 3

2 3 1 3 2 1 3 1

⇒ ( , ) ^ 3 ( 1, 2)

2 3 1 2 1

MÆt kh¸c, ( ω 2 ^ θ 1 − ω 1 ^ θ 2 )(U ,U ) = ω 2 ^ θ 1 (U ,U ) − ω 1 ^ θ 2 (U ,U )

= ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) 2 ( 1)

2 1 3 2

2 1 1 3 1

1 2 2 3 2

1 1 2

= ( ) ( ) ( ( ) 2 ( 2)

1 1 3 1

1 2 2

Từ (*) và (**) suy ra

2 1 2 1 3 1

3 1

2 0 , ω 0 , ω ω

ii) Tính độ công Gauss và độ cong trung bình của mặt cầu với tham số hoá:

(u, v)  ( acosucosv, asinusinv, asinv), 0 < u < 2π , -π2 <v<π2

Giải :

Theo 3.6 Ta có = − vdu = vdu 2 =dv

3 1

3 1

⇔ d( − sinvdu) =Kacosvdu^adv

⇔ d( − sinv)^du=Ka2 cosvdu^dv

⇔ cosvdu^dv= Ka2 cosvdu^dv

⇔ dv^acosvdu− cosvdu^adv= 2Hacosvdu^adv

⇔ −acosvdu^dv−acosvdu^dv= 2Ha2 cosvdu^dv

⇔ − 2acosvdu^dv = 2Ha2 cosvdu^dv

⇔ H = −a1

Vậy độ cong trung bình H =a1

Kết luận

Trong khoá luận đã trình bày

+ Chứng minh chi tiết các tính chất của 1 - dạng vi phân, 2- dạng vi phân, vi phân ngoài của dạng vi phân bậc 1 và có ví dụ minh hoạ cụ thể rõ ràng

+ Chỉ ra cách tìm trờng mục tiêu đối ngẫu của một trờng mục tiêu bất kỳ

{ }U i i=1,n thông qua cơ sở chính tắc { }dx i i=1,n trên Ω1 (U) (mệnh đề 1.4)

+ Mở rộng thêm công thức tính ω (x,y) khi biết ω(E i , E j ) với i < j (chú ý

của mệnh đề 2.4)

+ Biểu diễn ma trận (U'

) của dạng liên kết của En

trong trờng mục tiêu {

'

i

U } sang ma trận ω =(ωi j) của dạng liên kết của En

trong trờng mục tiêu

}

{U i (Mệnh đề3.4)

+ Chỉ ra cách tìm độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt E3

thông qua dạng liên kết (Mệnh đề 3.9, 3.10)