Luận văn phương pháp euler giải phương trình vi phân và phương trình vi phân đại số

Mục lụcPhương pháp Euler và Euler cải biên giải phương Giải số phương trình vi phân thường bằng phương pháp Euler Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một Phương pháp Euler cải t

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 •

• • •

NGUYỄN THỊ QUẾ

PHƯƠNG PHÁP EULER GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUÂN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC • • •

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Tạ Duy Phượng (Viện Toán học), người Thầy

đã hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn này Trong suốt thời gian qua Thầy đãkhông quản ngại khó khăn và nhiệt tình chỉ dạy, giúp đỡ để em có thể hoàn thànhLuận văn này

Xin cảm ơn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học nơi tác giả đã hoànthành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thầy cô

Và tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, thông cảm,tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi hoàn thành Luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 20lị Tác

giả

Nguyễn Thị Quế

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong Luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm

20lị Tác giả

Nguyễn Thị Quế

3

Mục lục

Phương pháp Euler và Euler cải biên giải phương

Giải số phương trình vi phân thường bằng phương pháp Euler

Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một

Phương pháp Euler cải tiến (Phương pháp Heun)

Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản

trình, hệ phương trình vi phân thường

Phương pháp đường gấp khúc Euler Phương pháp xốp xỉ tích phân

Phương pháp Euler

Qui tắc cầu phương cơ bản

Định lí tồn tại nghiệm Phép nội suy

1.5

và Euler cải tiến

22

3441

41 41 4 2

4 5

Phương pháp Euler cho hệ phương trình

1 6

1.7 7Ôn định và sai số của phương pháp Euler

Bậc xấp xỉ 1.7.1.

1.7.2.

1.7.3.

1.7.4.

Tính ổn định Tính hội tụ Ước lượng sai số

Phương pháp số giải phương trình vi phân đại số Chương 2.

49

2 1

49 50

Định nghĩa phương trình vi phân đại số

2 1 1

2 1 2 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1

2.1.3 Phương trình vi phân đại số tuyến tính 51

2.2

Một số đặc thù của phương trình vi phân đại số

Phương pháp Euler giải phương trình vi phân đại số

Phụ lục

Tài liệu tham khảo

5260

65

2.3

83 84

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Những phương trình vi phân giải được bằng cầu phương (tìm được công thứcnghiệm hiển) là rất ít Vì vậy phương trình vi phân được phát triển theo haihướng: L Í T H U Y Ế T Đ Ị N H T Í N H

nghiên cứu tính chất nghiệm theo các dữ

liệu đầu vào (vế phải của phương trình, điều kiện ban đầu, điều kiện biên, thamsố, ) và G I Ả I S Ố

(classical methods) giải số phương trình vi phân

Do độ hội tụ thấp nên phương pháp Euler ít được áp dụng hơn so với phươngpháp Runge- Kutta Tuy nhiên, gần đây, s Smale (1981) đã phát hiện ra mốiquan hệ hữu cơ giữa phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến với

phương pháp Euler giải hệ phương trình vi phân Điều này gợi sự quan tâmmới đối với phương pháp Euler.

Có nhiều cách giải thích phương pháp Euler (tiếp tuyến của đường congnghiệm, xấp xỉ đạo hàm, khai triển Taylor, ) Trong [1] đã giải thích phươngpháp Euler như là trường hợp riêng của bài toán X Ấ P X Ỉ T Í C H P H Ẫ N

Cáchtiếp cận này cho phép hiểu thống nhất phương pháp Euler và các cải biên của

nó trong bức tranh chung của các phương pháp giải hệ phương trình vi phânthường.

Do nhu cầu của các bài toán kĩ thuật, công nghệ và kinh tế (hệ rôbôt, hệ hóahọc hoặc vật lí phức tạp, hệ điều khiển và kinh tế, ), bắt đầu từ những năm

1980 trở lại đây, lí thuyết P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N Đ Ạ I S Ố

được quantâm mạnh mẽ Phương pháp Euler cũng đã được sử dụng và cải biên để giải các

hệ phương trình vi phân đại số

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn có mục đích trình bày tổng quan phương pháp Euler và các cải tiếncủa nó giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Ngoài

ra, Luận văn cũng trình bày thực hành tính toán một số ví dụ giải phương trình,

hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Euler trên M A P L E 1 6

và trên máytính điện tử khoa học Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Trình bày tổng quan về phương pháp Euler, Euler cải tiến giảiphương trình, hệ phương trình vi phân thường Các phương pháp này được sosánh và minh họa qua thực hành tính toán trên máy tính V I N A C A L

570ESPLUS và trên chương trình Maple

Có thể coi các quy trình và chương trình trong Luận văn là các chương trìnhmẫu để giải bất kì phương trình vi phân thường nào Điều này đã được chúngtôi thực hiện trên rất nhiều phương trình cụ thể

Chương 2 Trình bày phương pháp Euler giải phương trình vi phân ẩn F ( T ,

<

1 = g ị t , X , y )

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có hai nhiệm vụ:

1) Nghiên cứu phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi phânthường và phương trình vi phân đại số.

2) Thực hành tính toán trên máy giải phương trình, hệ phương trình vi phânthường bằng phương pháp Euler

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình, hệphương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp số giải phươngtrình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số

5 Đóng góp của luận văn

Hy vọng Luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên vàhọc viên cao học về phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình viphân thường và phương trình vi phân đại số

6 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích số, giải tích hàm, giảitích phức, để tiếp cận và giải quyết vấn đề

Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới

Chương 1 Phương pháp Euler và Euler cải biên giải phương trình, hệ phương trình vi

phân thường 1.1 Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản

1.1.1 Phép nội suy

Trong các bài toán thực tế, ta thường chỉ đo được giá trị của hàm số У

1995, 2009 Không có một biểu thức toán học chính xác nào cho phép tính sốdân trong các năm đó Do đó ta cũng không thể tính số dân của các năm khác(thí dụ, 2000, 2010, 2020, ) một cách giải tích Tuy nhiên, sử dụng phép nộisuy, ta có thể tính được (xấp xỉ) số dân trong năm bất kì nào đó

Có thể, công thức toán học của hàm số У

= F ( T

) là đã biết, nhưng khá cồngkềnh, không thuận tiện (tốn thời gian và bộ nhớ) khi tính toán giá trị (chínhxác) của nó tại các điểm cụ thể Dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính đượcgiá trị (gần đúng) của hàm У

= F ( T

) tại bất kỳ điểm nào trong đoạn [ A , B ]

Hơn nữa, phép nội suy còn cho phép ta tính gần đúng đạo hàm, tích phân, củahàm số У

Giả sử không biết công thức giải tích của hàm số Y

= F ( T

) nhưng biết bảnggiá trị của Y

1, , T L )

Có nhiều phương pháp để xác định giá trị của Y

tại Ĩ

Các phương pháp nàyđều có chung một cách giải, đó là: “Tìm một hàm theo các giá trị trong bảngnội suy X Ấ P X Ỉ

hàm F ( T Y \

Hàm xấp xỉ thường được chọn sao cho đơn giản và dễ tính toán Hàm xấp xỉ

có thể là đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác, chuỗi Taylor, chuỗi Fourie,

Nội suy bằng đa thức đại số

Đa thức đại số là những hàm khá thuận tiện trong sử dụng (bất biến đối vớiphép cộng, nhân, lấy tích phân và đạo hàm, , tức là sau các phép toán trên áp

dụng vào đa thức ta được kết quả vẫn là đa thức) Hơn nữa, các hàm liên tụcđều xấp xỉ được (địa phương) bằng đa thức Thật vậy, ta có

Định lý 1.1.1 Giả sử hàm f(t ) liên tục trên đoạn [a, 6] Khiấy với mỗi

e > 0 cho trước tồn tại một đa thức P(t ) sao cho

Định lí nói rằng, đa thức nội suy P ( T

+ + A

N

- I T + A

N

Ý nghĩa hình học của phép nội suy đa thức là:

Xây dựng đường cong đa thức Y = P ( T

đã cho

= Y

N

Đa thức nội suy Lagrange

Đa thức nội suy Lagrange cho phép giải quyết bài toán nội suy mà không cần giải hệ phương trình fll.l.ip Trước tiên ta

N

)

ị=-Ịj (íi - íj) '

Đa thức này được gọi là Đ A T H Ứ C N Ộ I S U Y

(interpolating polynomial) Lagrange

1.1.2 Qui tắc cầu phương cơ bản

^ thì ta có công thức xấp xỉ tích phân

bởi diện tích hình chữ nhật ABMN:

a

-—dt = - -

J u ; J ( a - b ) ( a - b ) 2

¥ *■ 3 ^ 2 ^ 2

a — b

2 (6 - a)

" ầ

2 12 “6

Dotínhchấtđốixứng(hoặctínhtrựctiếp), tacó

ta điđếncôngthứcSim

(1.1.7)

1.2 Bà i t o á n

C a u c h y

c ủ a

p h ư ơ

n g

t r ì n h

v i p h â n

c ấ p

m ô t

.ip-( A ,

B )

làmộthàmvect

ơ cócácthànhphầnkhảviliêntụcthỏamãnphươngtrình(1.2

h (|1.2.1)-(1.2.2)tươngđươngvớiphư

u vềsựtồntạivàduynhấtnghiệmcủaphươngtrìn

h viphân(1.2.1)thỏamãnđiềukiệnbanđầu(1.2.2).Đểchogọntaphát

h líchomộtphươngtrình,tức

là X

€K

Địn

h lý 1.2 1.

(Pỉ car d- Lỉn del ỏĩ) Gi ả sử:

1 f ( t , x

)

l à m ộ

t h à m

l i ê n

t ụ c

t h e o

c ả

h a i b i ế

t r o n g

m i ề n

c h ữ

n h ậ t đ ó n g , g i

ớ i n ộ i D ,

D

= { (t, x) €

M X MỊ

<

x ữ

+ b} D o D

l à m ộ t

m i ề n đ ó n g , g i ớ i n ộ i n ê n t ừ g i ả t h i ế

t n à y s u y r a t ồ n t ạ i m ộ t s ố d ư ơ n g M s

a o c h o

\ f ( t , x )

I

<

M

v ớ i m ọ i ( t , x )

D

2 H à m

f ( t , x

)

t h ỏ a

m ã n

đ i ề u

k i ệ n

L i p s c h i t z

t h e o

b i ế n X t

r o n g D

đ ề u

t h e o

t

,

t ứ c

l à , t ồ n

t ạ i m ộ t h ằ n g

s ố

d ư ơ n g L

s a o c

t r ì n h

( 1 2 1 )

t r o n g k h o ả n g t

0

— H

m i n ( a ,

t

h ỏ a m ã n đ i ề u k i ệ n b a n đ ầ u

( 1 2 2 )

Hơ n nữ a, the o Đị nh lí giá trị tru ng bìn h, với mỗ i cặ p (t,

x i) G

D và (t,

x 2 )

g tỏ f(t,

x )

thỏ a mã n điề u kiệ n Lip sch itz trê n D.

Nh ận xét 1.2 2.

Đị nh lí Pic ard - Lin del ổỷ có tín h chấ t địa ph ươ ng (tồ n tại ng hiệ

m tro ng mộ t lãn cận của

t Q

là kho ản g

[í 0

— H,t

Q + H]) Với mộ t số lớp hà m f(t,

x ),

ta có thể ch ứn g mi nh sự tồn tại ng hiệ m toà n cục của ph ươ ng trìn h

(1.2 1)

Th

í dụ

t phươngtrìnhv

i phânt

đó

hàm

liên

tục

t

[a,

6]

Ta

có

f{t, x)

= P(t

+

Q(t ).

Đặt

L

=max

P ( T

)

Khi

ấy

íe[a,6]

\ f{t,x i)

-

f{t,x 2 )

\ = |

^(í)(zi

- x 2 )\

< L\x

1 - x 2 \

t e

[a,6]vàmọi

f{t, x)

= P{t )x

+

)

thỏamãnđiềukiệnLipschitztrêndảichữnhậ

t vôtận[a,6] X

(—oo,+oo).Sựtồntại

x '

=

p(t)

x + Q(t

)

trêntoànkhoảng(a,6)làhệquảcủaĐịn

h lísau

Địn

h lý 1.2 2.

Gi ả sử

X )

là hà m liê n tục the o hai biế n và thỏ a mẫ n điề u kiệ n Lip sch itz

\ f{t, Xị)

f{t,x

-2 )\ < L\tị-

t 2 \

trê n miề n chữ nhậ

t vô tận

[a,6 ] X (— oo, +oo ) và (t 0 ,

x 0 )

là một điể m tro ng miề n đó Khi ấy bài toá n giá trị ba n đầ u

(1.2 1)- (1.2 2)

có ng hiệ

m duy nh ất trê n kho ản g

( a ,

b).

Chứngminh.Xem,thídụ,[1]

1.3 Phươ ng ph áp Eu ler

1.3.1 Định lí tồn tại ngh iệm

Xétphư

h viphân

x' = f(t,x), t €:

(a,b), ĩễI,

thỏamãnđiềukiệnbanđầu

)làliêntụcnhưngkhô

nglàLipschitz,nghiệmcủabàitoánCauchyvẫntồntạinhưngkhôngduynhất.Vídu1.3.1.

n này

có

vô

số nghiệm: ngo

ài nghiệm

X ( T

) =

0 còn

có một

họ

0c;

1/ „ / , X N I

trong

đó c > 0 bấtkì

( 3 7

Nhậnxétrằng

F ( T

, X

i làhàmLipschitzthe

o X

tron

Ví dụ 1.3.

2.

Xét bài toá n Ca uch y

— =

(sin 2 x(0)

=0

dt

B

ài toánnày

có

ba nghiệm/

\/

msố

F ( T

2 ^).-^khôngphả

i làLipschitzthe

o X

tronglâncậnđiểm(0,0).T

a có

Địn

h lý 1.3 1.

(Ca

uch y- Pe ano ) Giả sứ

hà m

liê n

the o

biế n tro ng miề n đón g, giớ i nội

D :

= {(t, x) :

x ữ

—

b < X

= x(t

)

củ a ph ươ ng trì nh

(1.3 1)

tro ng kh oả ng

—

min (a,

—),

thỏ a mẫ n điề u kiệ n ba n đầ u

(1.3 2).

ở đâ y M

=

ma x

\f(t ,x)

\ ,

h viphân(1.3.1)thỏamãnđiềukiện

Xi

xấpxỉcủangh

X (

T Ị

)tạicácđiểm

T Ị

nhưsau.TheoĐịn

h lí1.3.1,nếu

F ( T

, X

)liêntụctrênđoạn

[ A ,

B ]

thìtồntại

H

=min(a,tron

g đó

M

=max

\ F (

T , X

) \

saochophương

( t,x )e D

(1.3.1)-(1.3.2)cónghiệmtrênkhoảng

X

0

— H

< X

< X

\,ta

[ X

Ữ

bởicácđiểmchia

=

H

Vì

X (

T )

là

X ' (

nêntacó

x(t )

«

x 0

+ f(t 0

, Xo) (t - to)

Suyra

x(tị )

t 0 )

X Ị ,

I =

0,1,tiếptụclàmnhưtrêntacódãytruyhồitínhcácgiátrịgầnđúngcủanghiệm

X ( T

) tạicácđiểm

đ ư

ờ n g

g ấ p

k h

ú c

E u

l e r

Đểchotiện,coi

chọntrước,đườnggấpkhúcEulerchotamộtxấpxỉcủađườngcongnghiệm.Khi

H

thayđổita

H

tiếntới

0 tađượcmộthọcáchàmsốgiớinộiđềuvàliên

{ X

H ( T

) }

cóthểtríc

h ramột

{

T ) }

hộitụđềutớimộthàmliêntục

X

—

X Ị T

)trênkhoảng Ì Q < X < T O +

H

Hàmsố

X

—

X { T

)

h lànghiệmcủaphươngtrìn

h viphân(1.3.1)thỏamãnđiềukiệnbanđầu(1.3.2)trongkhoảng

T

Ữ

— H

+

H

Nhậ n xét 1.3 1.

Cónhiềucác

h đểđiđếncôngthức(1.3.3).

KhaitriểnTaylorcủahàm

X ( T

) tạiđiể

m T

=

ín_

1 tacó:

-1 ) +(Ể<

^-i)2'Bỏđiđạilượngvôcùn

g bébậchaikhi

-đủnhỏvàthay

X ' (

T I

-I )

=

được

X ( T

Ị )

=

X Ị _

I +

T Ị

-1 ),tứclà(ỊĨXãỊ)

có thể nhậ

n đượ

c côn

g thứ

c (1.3.3) nhờcôn

g thứ

c xấp

xỉ đạohà

m nhưsau:Theo địn

h ngh

h điđếnphươngphápEulerthựcchấtcũngchỉlàmột:xấpxỉnghiệmquabiểu

1.3.3 Phươn g phá p

xấp xỉ tích phâ n

Giảsử

X =

X ( T

) lànghiệmcủa

X '

=

F ( T

, X

)thỏamãnđiềukiện

t đủgần

T

Ữ

Tíchphânhaivếcủaphươngtrìnhtrên

từ t

(forwardEul

ermethod).

J

F

(

S

,

X

(

S

) )

i diệntíc

x ( t

+

h )

—

x

( t )

= h f ( t

+

h

,

x ( t

+

h ) ).

i là

G

r

Đ

ể tín

h giá trị

XịỊ

phư ơng phá

p Euỉ

er tiến

sử dụn

g

hệ

số góc của tiếp tuy

ến tại điể

m

tị -1

(tứ

c là giá trị

x*(t i) = còn

phư ơng phấ p Eul er lùi

sử dụn g hệ

số góc tiếp tuy ến tại điể m

tị

(tứ

c là giá trị

x

'{u ) =

f{tiĩ

x

Ph ươ ng phá p Euỉ er ỉùi

i))-sử dụn g thô

ng tin điể m cuố i

nên nói chu ng chí nh xác hơn phư ơng phá p Euỉ er tiến Nh ưng phư ơng

phá p Eul

er tiến là

phư ơng phá p hiể n

(ex plic it met hod ), tức là

Xị

đư ợc tín h thô ng qua

Xị-1

một các h

trự c tiếp , còn ph ươ ng phá p Eul er lùi là

phư ơng phấ p ẩn

(im plic it met hod ): để tín h đư

Xị

ta phả i giải một phư ơng trìn h phi tuy ến, vì vậy phư ơng phá p Eul er lùi khó sử dụn g hơn

h)) + / (í, z(í))]

pez ium met hod , tra pez oid al met hod ) Ph ươ ng phá p hìn h tha ng cũn g

N hư vậy, có thể thấ y, hầu hết các phư ơng phá p Eul er que n thu ộc đều có thể xe m như một trư ờng

hợp đặc biệt của phư ơng phá p xấp xỉ tích phâ n (the o côn g thứ c cầu phư ơng cơ bản ) Điề u này gợi

ơ n g p h á p E u l e r c ả i t i ế n ( P h ư ơ n g p h á p H e u n )

Phư ơng phá p Eul er có thể cải tiến nhờ độ dốc tru ng bìn h tro ng mỗi kho ảng nhằ m tăn g tốc độ chí

nh xác như sau T rướ c tiên , ta sử dụn g tiếp tuyế n của đườ ng con g tại

điể m (í 0j

X

(kí hiệu là

=/i./(ío,

z o)+

z0

Nh ư vậy, với phư ơng trìn

h X'

=

f(t, x)

ta

tìm đượ

c độ dốc xấp xỉ của đườ ng tiếp tuy ến tại t

= tị

là

£’(íi ) =

trị

tru ng bìn h của

° )

phư

ơngtrìnhđườngthẳn

g điqua

( T O

, Y O

)

vớiđộdốc

•^°’

^ —Zí^j

±ĩì2là

z

f{t 0 ,x 0 )+f{t u xl)

® = (í - ío) + ®0-

-Khi

đó,

tạ