Phương trình vi phân và phương trình tích phân volterra trong không gian banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN XUÂN NGHĨA

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2013

Mục lục

1.1 Đại cương về không gian Banach và lý thuyết toán tử 5

1.2 Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach 12

1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tác động trên không gian Banach 18

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH 21 2.1 Phương trình tích phân Volterra và Định lý Bielecki 21

2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 25

2.3 Một số ví dụ minh họa 28

3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BA-NACH 35 3.1 Phương trình vi phân với vế phải liên tục 35

3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát 35

3.1.2 Phương trình vi phân autonomous và non-autonomous 36

3.2 Phương trình vi phân với vế phải không liên tục 45

3.2.1 Phương trình vi phân autonomous 46

3.2.2 Phương trình vi phân non-autonomous 50

3.3 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân 55

3.3.1 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình thuần nhất 55 3.3.2 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình không thuần nhất 72

KẾT LUẬN 79

Tài liệu tham khảo 80

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân trong toán học được xuất hiện từ đời sống thực tiễncũng như trên cơ sở phát triển của các khoa học khác nhau, bao gồm cả khoahọc tự nhiên và khoa học xã hội Một phương trình vi phân là một kết quả củaviệc mô tả (bằng toán học) các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trìnhsinh trưởng và phát triển của các loài sinh vật

Một ví dụ điển hình cho phương trình vi phân đó là định luật II Newton vềchuyển động của một vật thể,

m.dx

trong đó hằng số mlà khối lượng của vật thể, x(t) là vận tốc của vật thể tại thờiđiểm t, dxdt(t) = a(t) là gia tốc tại thời điểm t của vật thể và F (t) là lực hỗn hợptác động vào vật thể tại thời điểm t

phương trình (1), với f (t, x) = m1F (t, x), được viết lại thành

dx

tốc x(t) tại thời điểm t bất kỳ của vật thể

Giả sử chúng ta yêu cầu thêm một điều kiện cho trước về vận tốc tại thờiđiểm ban đầu

MỞ ĐẦU

Các kết quả thu được của lý thuyết phương trình vi phân trong không gianthực cũng đã rất nhiều, nhưng không phải là tổng quát Vậy nên để có kết quảtổng quát, người ta cần nghiên cứu phương trình vi phân trong các không giantổng quát hơn Một trong số đó là không gian Banach Lý thuyết phương trình

vi phân trong không gian Banach được bắt nguồn từ công trình nghiên cứu của

là một toán tử không liên tục trong không gian Banach, các kết quả thu đượcdựa trên ngôn ngữ của nửa nhóm toán tử Năm 1953 Kato đã nghiên cứu thành

Yosida, Phillips và Kato đã đặt nền móng cho lý thuyết phương trình vi phânvới toán tử không liên tục Nó đã trở thành một lĩnh vực toán học độc lập, thú

vị và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới

Luận văn

"Phương trình vi phân và phương trình tích phân

Volterra trong không gian Banach"

được chia thành ba chương:

Chương 1 Những kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm cung cấp cơ

sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm khái niệm về không gian Banach vàcác kết quả liên quan Sau đó là định nghĩa đạo hàm và tích phân của hàm nhậngiá trị trong không gian Banach Tiếp theo là khái niệm mới và quan trọng, nửanhóm toán tử, nó được sử dụng suốt về sau Các kết quả của chương này chủyếu được trích từ [1], [9] và [10]

Chương 2 Phương trình tích phân Volterra trong không gian nach Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phân Volterraloại II, chỉ đưa ra một phương pháp giải là phương pháp xấp xỉ liên tiếp và một

Ba-số ví dụ minh họa Định lý Bielecki được chứng minh rất "nhẹ nhàng" và nó

để áp dụng vào chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình viphân ở chương sau Các kết quả chủ yếu được trích từ [4], [10] và [12]

Chương 3 Phương trình vi phân trong không gian Banach Chươngnày trình bày các dạng phương trình vi phân bao gồm thuần nhất, không thuầnnhất, autonomous, non-autonomous và đưa ra công thức nghiệm tương ứng.Cuối cùng là ứng dụng các công thức nghiệm đó vào nghiên cứu tính ổn định

mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân Các kết quả chủ yếu được trích

từ [6], [8] và [10]

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắccủa GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũngnhư giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốnbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tinhọc, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng nhưcác thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, đã có công lao dạy dỗtôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình

Hà nội, tháng 09 năm 2013Tác giả luận vănNguyễn Xuân Nghĩa

Chương 1

NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Đại cương về không gian Banach và lý thuyết toán tử

Trước tiên chúng ta đưa ra những sự kiện cơ bản nhất về không gian metric

Khái niệm không gian metric

• d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (tính xác định dương);

• d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈X (tính đối xứng);

• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈X (bất đẳng thức tam giác)

Tôpô trong không gian metric

giới hạn của dãy {xn}.

∀ε > 0 ∃n 0 = n 0 (ε) : ∀m, n > n 0 =⇒ d (x m , x n ) < ε.

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hoặc tương đương

∀ε > 0 ∃n0 = n0(ε) : ∀n > n0 =⇒ d (xn+p, xn) < ε, ∀p = 1, 2,

Định nghĩa 1.3 Không gian metric đầy đủ là một không gian metric X mà

Định nghĩa 1.4 Cho(X, d) là một không gian metric, điểmx 0 ∈X và sốr > 0.

B(x 0 , r) := {x ∈X: d(x, x 0 ) < r};

B[x0, r] := {x ∈X: d(x, x0) ≤ r};

(iii) Lân cận của điểm x 0 là một tập U (x 0 ) chứa hình cầu mở nào đó tâm x 0;

(iv) Giao tùy ý các tập đóng là một tập đóng

của x sao cho U (x) ⊂ A;

đều có giao U (x) ∩ A 6= ∅;

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Để phát biểu được Định lý, trước tiên chúng ta cần vài khái niệm sau

dưới dạng hợp của một số đếm được những tập không đâu trù mật

phạm trù thứ hai

Mệnh đề 1.1 Mỗi tập đóng không phải là tập không đâu trù mật đều chứa mộthình cầu mở

Định lý 1.1 (Định lý Baire về phạm trù) Mọi không gian metric đủ đều

là tập thuộc phạm trù thứ hai trong chính nó

Khái niệm không gian Banach và Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.7 Không gian (tuyến tính) định chuẩn là một không gian tuyến

đề sau:

• ||x|| ≥ 0, ∀x ∈X và ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0 (tính xác định dương);

• ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈X, ∀λ ∈F (tính thuần nhất dương);

• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈X (bất đẳng thức tam giác)

không gian định chuẩn khi đó được ký hiệu là (X, || · ||) Nếu chuẩn|| · || đã rõ, thì

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

F=C ta nói (X, || · ||) là không gian tuyến tính định chuẩn phức

metric với khoảng cách được xác định bởi

d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈X.

Do đó tất cả các tính chất của không gian metric đều đúng cho không gian tuyếntính định chuẩn

giới hạn của dãy {x n }.

Trong suốt luận văn này khi không nhấn mạnh gì thêm thì ta luôn ngầm hiểu

X là không gian Banach trên trường số thực hoặc phức

||T (x) − T (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈X.

Chúng ta có Định lý quan trọng sau đây được Banach đưa ra năm 1922

Định lý 1.2 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho X là một không gian Banach Nếu

T (x) = x

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(ii) Nguyên lý ánh xạ co được phát biểu mạnh hơn là: mọi ánh xạ co trongkhông gian metric đủ đều có điểm bất động duy nhất

Lý thuyết toán tử tuyến tính trong không gian Banach

tử tuyến tính nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn:

• A(x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ DA;

• A(λx) = λAx, ∀x ∈ DA, ∀λ ∈ F

con RA := A(DA) của Y được gọi là miền giá trị của A.

A : DA ⊂X−→Y là toán tử tuyến tính khi và chỉ khi

A(λx + µy) = λAx + µAy, ∀x, y ∈ DA, ∀λ, µ ∈ F

tồn tại một hằng số K > 0 sao cho

||Ax|| ≤ K||x||, ∀x ∈X.

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

thực không âm, được ký hiệu và xác định bởi

L (X;Y) := {A :X−→Y A là toán tử tuyến tính liên tục };

L (X) :=L (X;X) = {A : X−→X A là toán tử tuyến tính liên tục }.

(ii) Không gian liên hợp của X là không gian

X∗ :=L (X;R) = {A : X−→R A là phiếm hàm tuyến tính liên tục }.

A∗:Y∗ −→X∗ xác định bởi

A∗ϕ(x) = ϕ(Ax), ∀ϕ ∈Y∗.

Tính chất 1.5 Đối với hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y, ta có

(iii) Toán tử A∗ là toán tử tuyến tính liên tục và ||A∗|| = ||A||.

Các Định lý cơ bản

Định lý 1.3 (Định lý Hahn-Banach) Cho G là một không gian con củakhông gian tuyến tính định chuẩn X Khi đó, mọi phiếm hàm tuyến tính liên tụctrong G đều có thể thác triển bảo chuẩn lên toàn bộ X, nghĩa là

∀f ∈G∗ ∃F ∈X∗ : F |G = f, ||F ||X = ||f ||G.

Nhận xét 1.4 Nếu không gian con G trù mật trong X thì thác triển trên làduy nhất

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hệ quả 1.1 Cho G là một không gian con đóng của không gian tuyến tính định

liên tục f ∈X∗ sao cho

||f || = 1, f |G= 0 và f (x0) = d(x0,G) > 0.

Hệ quả 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó, với mọi

||f || = 1 và f (x0) = ||x0||.

Ta có Định lý sau cũng thường gọi là Nguyên lý bị chặn đều Nó nói về mốiliên hệ giữa tính bị chặn điểm và tính bị chặn đều của một họ toán tử

Định lý 1.4 (Định lý Banach-Steinhaus) Cho X là không gian Banach và

Y cũng là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

đóng nếu từ các điều kiện

Định lý 1.5 (Định lý đồ thị đóng) Mọi toán tử đóng đưa không gian Banach

X vào không gian Banach Y đều là toán tử tuyến tính liên tục

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.2 Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không

gian Banach

Định nghĩa đạo hàm và các tính chất cơ bản

Giả sử (X, || · ||) là một không gian Banach, [a, b] , −∞ < a < b < +∞, là một

giới hạn (nếu tồn tại)

Tại t = a (t = b), chúng ta hiểu giới hạn (1.1) là giới hạn bên phải (bên trái)

Khi hàm x(·) khả vi tại mọi t ∈ [a, b], thì ta nói hàm x(·) khả vi trên đoạn [a, b]

Bây giờ là các ví dụ minh họa Nó còn được sử dụng về sau

Ví dụ 1.1 (Đạo hàm của hàm vector) Cho hàm vector

≤

vuut

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Z t s

K(t, τ )K2(τ, s)dτ

≤

Z t s

... data-page="22">

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

VOLTERRA TRONG KHƠNG

GIAN BANACH< /h2>

2.1 Phương trình tích phân Volterra Định lý Bielecki... nhâncủa tốn tử V

(ii) Phương trình ta xét phương trình tích phân Volterra loại II .Phương trình tích phân Volterra loại I phương trình có dạng

Z t a

K(t,... class="page_container" data-page="24">

Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN< /small>

(ii) Phương trình tích phân Volterra (2.3) ln có nghiệm nhấtx ∈ CX[a,