Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân và phương trình vi tích phân

Em xin khẳng định kết quả của đề tài“Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình viphân và phương trình vi tích phân” là kết quả của việc nghiên cứu,học tập và nỗ lực của bản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số:

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - Năm 2017

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Ngô Quốc Tuấn

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong khi thựchiện đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã được ghitrong phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết quả của đề tài

“Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình viphân và phương trình vi tích phân” là kết quả của việc nghiên cứu,học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các

Mục lục

1.1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 3

1.2 Số gần đúng 5

1.3 Sai số 6

1.4 Tổ hợp lồi 6

1.5 Khái niệm về phương trình vi phân 7

1.5.1 Khái niệm phương trình vi phân thường 7

1.5.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n 8 2 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI 11 2.1 Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân 11

2.2 Phương pháp giải 14

2.3 Ví dụ 15

2.4 Bài tập áp dụng 23

VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LOẠI 2 24 3.1 Giới thiệu về phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra 24

3.2 Phương pháp giải 25

3.3 Ví dụ 27

3.4 Bài tập áp dụng 44

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và đượcnhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong đó phương trình vi phân,phương trình vi - tích phân đóng vai trò quan trọng Các kết quả củalĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, sinh họccũng như trong ngành nghiên cứu các mô hình kinh tế, quân sự, tìnhbáo và một số ngành khác

Chúng ta biết rằng, chỉ có một số ít các phương trình vi phân, phươngtrình vi - tích phân là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đóphần lớn các phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân nảy sinh

từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do vậy,một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phươngtrình vi phân, phương trình vi - tích phân Xuất phát từ nhu cầu đó,các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng chúng.Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu : “Ứng dụngphương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trinh vi phân và phươngtrình vi – tích phân” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phongphú kiến thức của mình và ứng dụng giải toán đại học

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Giới thiệu khái quát về các kiến thức cơ bản, nghiên cứu phương pháp

3 Phương pháp nghiên cứu

+Phương pháp nghiên cứu lí luận

+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

4 Nội dung chính

Luận văn gồm ba chương

Chương 1 " Kiến thức chuẩn bị." Chương này nhắc lại một số kiếnthức về chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, số gần đúng, sai số, tổ hợp lồi, kháiniệm về phương trình vi phân

Chương 2 "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phânphi tuyến cấp hai." Mục đích của chương này là giới thiệu về phươngpháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai, vàmột số ví dụ áp dụng

Chương 3 "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tíchphân tuyến tính Volterra loại 2." Mục đích của chương này là giới thiệu

về phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân tuyếntính Volterra loại 2, và một số ví dụ áp dụng

Khóa luận được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt

kê trong phần Tài liệu tham khảo Đóng góp của em thể hiện ở chỗ, ápdụng phương pháp nhiễu đồng luân giải các phương trình, tìm được ví

dụ minh họa cho các phương trình đó

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm, chuỗilũy thừa, số gần đúng, sai số, tổ hợp lồi, khái niệm về phương trình viphân

1.1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

Giả sử A là một miền hội tụ của chuỗi hàm (1.1), khi đó với x ∈ Achuỗi

Định nghĩa 2 Chuỗi Taylor

Cho tập hợp mở U ⊂ R Giả sử hàm f : U → R khả vi đến cấp n trongmột lân cận nào đó của x0 ∈ U và f(n)(x) liên tục tại x0 Khi đó với x

ở trong lân cận nói trên của x0 ta có

f (x) = f (x0) + f

0(x0)1! (x − x0) + +

f(n)(x0)n! (x − x0)

f(n)(0)n! x

n +

được gọi là chuỗi khai triển Mac – Laurin của hàm f (x)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản

1)ex = 1 + x + x

2

2! +

x33! +

x44! + =

∞

X

n=0

xnn!;2)e−x = 1 − x + x

2

2! +

x44! + =

∞

X

n=0

(−1)n2n! x

∞

X

n=0

(−1)n(2n + 1)!x

2n+1;

1.2 Số gần đúng

Định nghĩa 3 Ta nói rằng a là số gần đúng của số a∗ nếu a không saikhác a∗ nhiều Hiệu số ∆ = a∗ − a là sai số thức sự của a, nếu ∆ > 0thì a là giá trị gần đúng thiếu, nếu ∆ < 0 thì a là giá trị gần đúng thừacủa a∗

Nói chung, vì a∗ không biết nên cũng không biết ∆ Tuy nhiên có thểthấy, tồn tại ∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Nếu có hai điểm x0, x00 ∈ Rn thì điểm x = αx0 + (1 − α) x00, (0 ≤ α ≤ 1)

là tổ hợp lồi của hai điểm x0, x00 Vậy tập tất cả các tổ hợp lồi của haiđiểm x0, x00 chính là đoạn thẳng nối hai điểm đó

1.5 Khái niệm về phương trình vi phân

1.5.1 Khái niệm phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân là một phương trình chứa biến độc lập x, hàm cầntìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó

Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàmcần tìm được gọi là một phương trình vi phân

Phương trình vi phân thường có dạng

Định nghĩa 5 Phương trình vi phân thường cấp n

Phương trình vi phân thường cấp n có dạng

Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng

y = y (x, c1, c2, , cn) trong đó c1, c2, , cn là các hằng số tùy ý, mỗigiá trị của hằng số đều cho một nghiệm

Trong bài toán Cauchy cần tìm nghiệm riêng thỏa mãn n điều kiện banđầu:

y (x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y(n−1)0 , (1.7)trong đó x0, y0, y00, , y0(n−1) là các giá trị cho trước

1.5.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp nXét bài toán (1.6 –1.7):







y(n) = f (x, y, y0, , y(n−1))y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y0(n−1)Trước khi sử dụng các phương pháp giải gần đúng, ta cần biết bài toántrên có tồn tại nghiệm hay không và tính duy nhất của nghiệm, vì nếuthiếu điều kiện duy nhất thì ta không xác định được đâu là nghiệm cần

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

tìm

Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f (x, u1, u2, , un) thỏa mãn điều kiệnLipschitz theo biến u1, u2, , un nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho vớihai điểm (x, u1, u2, , un) ∈ G, (x, u1, u2, , un) ∈ G bất kỳ ta có bấtđẳng thức:

Nếu f (x, u1, u2, , un) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 thì tồn tại

ít nhất một nghiệm y = y (x, c1, c2, , cn) của phương trình (1.6) thỏamãn điều kiện (1.7) tức là y = y (x, c1, c2, , cn) là nghiệm của bài toán(1.6 – 1.7)

Định lý duy nhất nghiệm

Xét bài toán (1.6 – 1.7)

Nếu hàm f (x, u1, u2, , un) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và hàm

f (x, u1, u2, , un) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1, u2, , un tức là

trong đó N là hằng số (gọi là hằng Lipschitz) thì nghiệm của bài toán(1.6 –1.7) xác định là duy nhất.

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Nội dung chính của Chương 1 nêu một số kiến thức về

1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI

Chương này trình bày về phương pháp nhiễu đồng luân, phươngtrình vi phân phi tuyến cấp hai, và một số ví dụ áp dụng

2.1 Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng

luân

Phương pháp nhiễu đồng luân là một trong những phương pháp quantrọng để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán phi tuyến của phương trình viphân trong ngành toán học Để minh họa, ta xét phương trình vi phânphi tuyến sau:

với điều kiên biên có dạng:

ở đó A là một toán tử vi phân tổng quát, B là một toán tử biên, f (r)

là một hàm đã biết và Γ là biên của miền xác định Ω Nói chúng, toán

tử A có thể được chia thành hai phần là L và N , ở đó L là tuyến tính

và N là phi tuyến Phương trình (2.1) do đó được viết lại như sau:

Bằng phương pháp đồng luân, ta dựng một đồng luân

H (v, p) : Ω × [0, 1] → Rthỏa mãn:

H (v, p) = (1 − p) [L (v) − L (u0)] + p [A (v) − f (r)] = 0, (2.4)

H (v, p) = L (v) − L (u0) + pL (u0) + p [N (v) − f (r)] = 0, (2.5)trong đó

v(r, p) : Ω × [0, 1] → R,

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng, u0 là một xấp xỉ ban đầu củaphương trình (2.1), thỏa mãn điều kiện biên (2.2) Rõ ràng, từ phươngtrình (2.4),(2.5) ta có:

H (v, 0) = L (v) − L (u0) = 0, (2.6)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

H (v, 1) = A (v) − f (r) = 0 (2.7)

Theo phương pháp nhiễu đồng luân, đầu tiên chúng ta sử dụng tham sốnhúng p như một tham số nhỏ, và giả định rằng nghiệm của các phươngtrình (2.4) và (2.5) có thể được viết như là một chuỗi lũy thừa của p nhưsau:

v = v0 + pv1 + p2v2 + , (2.8)Khi p = 1, u là nghiệm gần đúng của phương trình (2.3), ta có:

u = lim

p→1v = v0 + v1 + v2 + (2.9)

Sự kết hợp của các phương pháp nhiễu và phương pháp đông luân đượcgọi là phương pháp nhiễu đồng luân Phương pháp này đã loại bỏ nhữnghạn chế của phương pháp nhiễu truyền thống, trong khi vẫn giữ đượcnhững ưu điểm của phương pháp Dãy (2.9) là hội tụ hầu hết trong cáctrường hợp Tuy nhiên, tốc độ hội tụ phụ thuộc vào toán tử phi tuyếnA(v)

2.2 Phương pháp giải

Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp nhiễu đồng luân để giải phươngtrình vi phân phi tuyến cấp hai dạng

mu00 + ω2u + εf (u, u0, u00) = 0, (2.10)

trong đó m và ω2 là hằng số, f là hàm ba biến phi tuyến

Với nghiệm u(x) Bằng cách này chúng ta có thể xây dựng đồng luân

H (v, p) bởi

H(u, 0) = mu00 + ω2u,H(u, 1) = mu00 + ω2u + εf (u, u0, u00)

trong đó mu00+ ω2u là toán tử vi phân tuyến tính đối với u

Thông thường chúng ta chọn đồng luân lồi được xác định như sau

H(u, p) = (1 − p)(mu00 + ω2u) + p[mu00 + ω2u + εf (u, u0, u00)], (2.11)

và liên tục tìm ra đường cong ẩn được xác định từ điểm khởi đầu H(v0, 0)đến H(u, 1)

Khi tham số p tăng dần đều từ 0 đến 1 Bài toán tuyến tính đơn giản

mu00 + ω2u = 0 được biến đổi liên tục thành bài toán gốc

mu00 + ω2u + εf (u, u0, u00) = 0 Tham số p ∈ [0; 1] có thể xem là mộttham số mở rộng

Phương pháp nhiễu đồng luân sử dụng tham số đồng luân p là một tham

số mở rộng để có được

up = v0 + pv1 + p2v2 + (2.12)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Khi p → 1, nghiệm u trở thành nghiệm gần đúng của (2.11), tức là

u = lim

p→1up = v0 + v1 + v2 + (2.13)Dãy (2.13) hội tụ hầu hết trong các trường hợp, và sự hội tụ phụ thuộcvào toán tử H(u, 1) = mu00 + ω2u + εf (u, u0, u00)

trong đó ω là tham số được chọn một cách thích hợp

Từ phương trình (2.15), có thể lập một đồng luân sau

u00 + ω2u + p[ − ω2u + εu3] = 0, p ∈ [0, 1], (2.16)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số đồng luân

Khi p = 0, phương trình (2.16) trở thành phương trình vi phân tuyếntính u00 + ω2u = 0, có nghiệm tổng quát u = C1cos ωt + C2sin ωt,

Khi p = 1, phương trình (2.16) trở thành bài toán ban đầu Lúc nàytham số đồng luân p được sử dụng để tìm nghiệm u(t).Giả sử nghiệm códạng

up = v0 + pv1 + p2v2 + , (2.17)Thay (2.17) vào (2.16):

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Thay (2.20) vào (2.19), ta nhận được:

Suy ra

v0 = a cos

√3ε

2 at = 0, v1(0) = 0, v

0

1(0) = 0 (2.25)Giải (2.25) ta thu được

v1 = − a

24cos

√3ε

2 at +

a

24cos

3√3ε

Vì vậy nghiệm gần đúng của phương trình (2.14) là:

uapp(t) = v0 + v1

Ví dụ 2 Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán Cauchysau

Khi p = 1, phương trình (2.29) trở thành bài toán ban đầu Lúc này tham

số đồng luân p được sử dụng để tìm các nghiệm u(t).Giả sử nghiệm códạng

up = v0 + pv1 + p2v2 + , (2.30)Thay (2.30) vào (2.29):

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Ví dụ 3 Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán Cauchysau

u00 + ε(u2 − 1)u0 + u3 = 0, u(0) = a, u0(0) = 0 (2.37)

Phương trình (2.37) có thể được viết lại dưới dạng

u00 + ω2u − ω2u + ε(u2 − 1)u0 + u3 = 0, u(0) = a, u0(0) = 0, (2.38)

trong đó ω là tham số được chọn một cách thích hợp

Từ phương trình (2.38), có thể lập một đồng luân sau

u00 + ω2u + p[u3 − ω2u + ε(u2 − 1)u0] = 0, p ∈ [0, 1], (2.39)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số đồng luân

Khi p = 0, phương trình (2.39) trở thành phương trình vi phân tuyếntính u00 + ω2u = 0, có nghiệm tổng quát u = C1cos ωt + C2sin ωt,

(C1, C2 là các hằng số bất kì)

Khi p = 1, phương trình (2.39) trở thành bài toán ban đầu Lúc này tham

số đồng luân p được sử dụng để tìm các nghiệm u(t).Giả sử nghiệm códạng

up = v0 + pv1 + p2v2 + , (2.40)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Loại bỏ số hạng thứ ba, ta thu được:

Vì vậy nghiệm gần đúng của phương trình (2.37) là:

uapp(t) = a cos

√3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

3.u00+ ε(u2 + 2u02 − 1)u0 = 0, u(0) = a, u0(0) = 0

4.u00+ ε[(u2 − 1)u0− u3] = 0, u(0) = 0, u0(0) = a

5.u00+ ε(u2 − 1)(u2 − 6)u0 + u = 0, u(0) = a, u0(0) = 0

6.u00+ ε(5

2u

03 + u02) + 3u3 = 0, u(0) = 0, u0(0) = a

Kết luận Chương 2

Nội dung chính của Chương 2 nêu một số kiến thức về

1 Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân

2 Phương pháp giải

3 Ví dụ

4 Bài tập áp dụng

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LOẠI 2

Chương này trình bày về phương pháp nhiễu đồng luân giải phươngtrình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2, và các ví dụ áp dụng

3.1 Giới thiệu về phương trình vi - tích phân tuyến

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Với

u(n)(x) = d

nu

dxn.Phương trình (3.1) kết hợp giữa toán tử vi phân và toán tử tích phân,trong đó u(0), u0(0), , u(n−1)(0) là các điều kiện ban đầu cho trước,K(x, t) là hạch

trong đó hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm giá trị thực, và u(n)(x)

là đạo hàm cấp n của hàm u(x)

Với nghiệm u(x) Bằng cách này chúng ta có thể xây dựng đồng luân

H (v, p) bởi

H(u, 0) = F (u),H(u, 1) = L(u)

trong đó F (u) là một toán tử với nghiệm v0, mà có thể dễ dàng có được.Trong phương pháp nhiễu đồng luân, ta định nghĩa

v0(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an−1xn−1,

phụ thuộc vào bậc của phép lấy vi phân

Thông thường chúng ta chọn đồng luân lồi bởi

H(u, p) = (1 − p)F (u) + pL(u), (3.4)

và liên tục tìm ra đường cong ẩn được xác định từ điểm khởi đầu H(v0, 0)đến H(u, 1)

Khi tham số p tăng dần đều từ 0 đến 1 Bài toán tầm thường F (u) = 0được biến đổi liên tục thành bài toán gốc L(u) = 0 Tham số p ∈ [0; 1]

có thể xem là một tham số mở rộng

Phương pháp nhiễu đồng luân sử dụng tham số đồng luân p là một tham

số mở rộng Giả sử

up = v0 + pv1 + p2v2 + (3.5)Khi p → 1, nghiệm u trở thành nghiệm gần đúng của (3.3), tức là

u = lim

p→1up = v0 + v1 + v2 + (3.6)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Dãy (3.6) hội tụ hầu hết trong các trường hợp, và sự hội tụ phụ thuộcvào L(u)

3.3 Ví dụ

Phương pháp nhiễu đồng luân nêu trên để giải phương trình vi – tíchphân Volterra được minh họa bằng các ví dụ sau Phương trình đượcchọn là phương trình bậc 1,2,3,4 Các phương trình bậc cao hơn có thểđược xử lí tương tự như vậy

Ví dụ 4 Xét phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp 1với nghiệm chính xác u(x) = ex