Về tích LIE các trường vectơ trên đa tạp RIEMANN

Lời nói đầuTích Lie và đại số Lie các trờng vectơ là một trong những khái niệm ờng gặp khi xét các tính chất hình học trên đa tạp.. Các tính chất cơ bản củatích Lie các trờng vectơ đã đợ

Lời nói đầu

Tích Lie và đại số Lie các trờng vectơ là một trong những khái niệm ờng gặp khi xét các tính chất hình học trên đa tạp Các tính chất cơ bản củatích Lie các trờng vectơ đã đợc trình bày trong một số tài liệu chuyên khảo vềhình học vi phân

th-Mục đích của khoá luận này là tập hợp và chứng minh chi tiết một sốtính chất của Lie các trờng vectơ trên một đa tạp Riemann Ngoài ra bài viếtnày cũng đa ra một cách tính đại số Lie của một số nhóm Lie đơn giản

Khoá luận đợc trình bày thành 3 mục:

Đ1 Tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann.

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản

về đa tạp Riemann n - chiều, trình bày khái niệm tích Lie các trờng vectơ trên

đa tạp Riemann, khái niệm liên thông Lêvi-Civita cùng với các ví dụ minh hoạ

Các tính chất cơ bản của Đ1 là: Định lý 1.6

Mệnh đề: 1.7

Đ2 Một số tính chất của tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann

Các tính chất này đợc chúng tôi chứng minh chi tiết

Các tính chất cơ bản của Đ2 Là:Mệnh đề 2.1

Mệnh đề: 2.6

Mệnh đề: 2.9 Mệnh đề:2.11

Đ3 Các trờng vectơ bất biến trái trên nhóm Lie

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về nhóm Lie, đại sốLie, trờng vectơ bất biến trái trên một nhóm Lie và một vài tính chất của trờngvectơ bất biến trái Sau đó chúng tôi trình bày về đại số Lie các trờng vectơ bấtbiến trái

Các tính chất cớ bản của Đ3 là: Mệnh đề 3.3

Mệnh đề 3.4Mệnh đề 3.7Mệnh đề 3.9Mệnh đề 3.11Nhận xét 3.12Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán Trờng Đại họcVinh dới sự hớng dẫn khoa học tận tình của thầy giáo Tiến sỹ Nguyễn HữuQuang Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h-ớng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang Và chúng tôi xin chân thành cảm ơn cácthầy, cô giáo trong khoa và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vàhoàn thành khoá luận này

Vinh, tháng 5 năm 2003

Tác giả.

Đ1 Tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann

Trong khoá luận này chúng ta sử dụng ký hiệu sau:

M là đa tạp khả vi n- chiều, gọi tắt là đa tạp

B(M) = {XX là trờng vectơ khả vi trên M }

F(M) = {ff khả vi trên M }

Tp M = { vv tiếp xúc với M tại p }

I Đa tạp Riemann n - chiều

1.1 Định nghĩa: Một cấu trúc đa tạp Riemann trên đa tạp M là một ánh xạ

g: B(M) x B(M) →F(M); thoả mãn: với mỗi p ∈ M, g xác định một tích vô ớng (dạng song tuyến tính, đối xứng, xác định dơng trên TpM) và g phụ thuộckhả vi vào p.g đợc gọi là metric Riemann, đa tạp M cùng với metric Riemann g

h-đợc gọi là đa tạp Riemann n - chiều và ta ký hiệu là (M,g)

{U ϕ = trên S2 đợc xác định nh sau:

U1 = {(x, y, z) ∈ S2x > 0 }(U1, ϕ1): U~ 1 = {(y, z) ∈ Oyz y2 + z2 < 1}

ϕ1: U1 →U~ 1

( 1 −y2 −z2 , y, z)  (y, z)

ϕ3: U3 →U~ 3

(x, 1 −x2 −z2 , z)  (x, z)

U4 = {(x, y, z) ∈ S2y < 0 }(U4, ϕ4): U~ 4= {(x, z) ∈ Oxz x2 + z2 < 1}

ϕ4: U4 →U~ 4

(x, 1 −x2 −z2 , z)  (x, z)

U5 = {(x, y, z) ∈ S2z > 0 }(U5, ϕ5): U~ 5= {(x,y) ∈ Oxy x2 + y2 < 1}

ϕ5: U5 →U~ 5

(x,y, 1 −x2 −y2 )  (x,y)

U6 = {(x, y, z) ∈ S2z < 0 }(U6, ϕ6): U~ 6= {(x, y) ∈ Oxy x2 + y2 < 1}

+ DÔ thÊy r»ng ϕ1 lµ song ¸nh

+ ϕ1 lµ phÐp chiÕu nªn nã liªn tôc

+ 1

1 −

ϕ : U~ 1 → U1

(y,z)  ( 1 −y2 −z2 , y,z)cũng là phép chiếu nên 1

1 −

ϕ khả vi hay (U1, ϕ1), (U3, ϕ3) phù hợp.Vậy S2 là đa tạp đa chiều

*) Bây giờ ta xét metric Riemann trên S2 nh sau:

Tại mỗi p ∈ S2, có không gian tiếp xúc TpS2 Trên TpS2 có một tích vô hớng cảmsinh bởi tích vô hớng chính tắc g trong R3

Ta đặt g~ = g S2

Khi đó với mỗi X, Y ∈B(S2), ta có:

g

~(Xp,Yp) = g(Xp,Yp ) = Xp Yp ; ∀p ∈ S2

Vì với X,Y bất kỳ khả vi trên S2, hàm số: p  g(Xp,Yp ) = Xp Yp khả vi nên g~

phụ thuộc vào p một cách khả vi, ∀p ∈ S2 Do đó ta có một metric Riemann g~

trên S2

Vì vậy (S2,g~) là một đa tạp Riemann 2 - chiều.

II Tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann

1.3 Định nghĩa: *) Giả sử U là tập con mở của M X,Y ∈ B(U), khi đó có ờng vectơ [X,Y] ∈B(U):

tr-[X,Y][ϕ] = X[Y(ϕ)] - Y[X(ϕ)], với ∀ϕ∈F(U)

Trờng vectơ [X,Y] xác định nh trên đợc gọi là tích Lie các trờng vectơ X,Y trêntập mở U

*) Nếu U≡M, ta có khái niệm tích Lie là các trờng vectơ trên

đa tạp M

1.4 Biểu thức toạ độ của tích Lie

Trên đa tạp M, xét bản đồ địa phơng (U, ϕ), với mỗi điểm x ∈ U, x cótoạ độ là (x1, x2, , xn)

Xét 2 trờng vectơ X,Y bất kỳ ∈B(U)

x

f Y X

1 1

x

f x

Y X

n i

i

f X

x

f x

X Y

1

2

.

Mặt khác do f ∈F(U) nên:

i j j

f x

X Y

x

f x

Yj X

1 1 1

1

.

=

i j i n

j j

n

i j n

f x

X Y x

Y X

⇒ [X,Y] =

i j i n

j i

n

j i n

X Y x

Y X

Công thức (1-1) là biểu thức toạ độ của tích Lie hai trờng vectơ X,Y trên B(U)

* Hệ quả: Từ công thức (1-1) ta suy ra:

Gọi là một liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann M nếu nó thoả mãn

6 điều kiện sau:

Z[ X, Y ] = ∇Z X,Y + < ∇ZY, X> ; ∀X,Y ∈B(M)

*) Chú ý: Nếu ánh xạ ∇ trong định nghĩa 1.5 thoả mãn 4 điều kiện T1, T2, T3,

T4 đợc gọi là liên thông tuyến tính trên đa tạp M

*) Nhận xét: i) Từ định nghĩa liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann ta suy

1.6 Định lý: Trên đa tạp Riemann (M,g) có một và chỉ một liên thông Lêvi

-Civita đợc xác định nh trong định nghĩa 1.5

Chứng minh:

*) Trớc hết ta chứng minh tính duy nhất của ∇

∀ X,Y,Z ∈B(M) Xuất phát từ ∇XY - ∇YY - [X,Y] = 0

Z [<X,Y>] = <∇ZX, Y> + < X, ∇ZY>

⇒ < ∇ZY,X> = <X, ∇ZY> = Z[<X, Y>] - < ∇ZX,Y> Tơng tự ta có: <∇YX, Z> = Y[<Z, X>] - < ∇YZ, X>

<∇XZ, Y> = X[<Y,Z>] - < ∇XY, Z >

Thay vào (1) ta có:

< ∇X Y,Z> = < ∇YX, Z> + <[ X, Y], Z>

= - <∇YZ, X> + Y[<Z, X>] + <[X, Y], Z>

= - < ∇ZY+ [Y, Z], X > + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>

= - <∇ZY, X> - <[Y, Z], X> + Y[<Z, X>] + <[X, Y], Z>

= - (Z[<X, Y>] - <∇Z X, Y>) - <[Y, Z], X > + Y[<Z, X>] + <[X,Y],Z>

= <∇ZX, Y> - Z[<X, Y>] - <[Y,Z], X> + Y[< Z, X>] + <[X, Y], Z>

= < ∇XZ + [Z, X], Y> - Z[<X, Y>] - <[Y, Z], X> + Y< Z, X> } + <[X, Y], Z> = <∇XZ, Y> +<[Z, X ], Y> - Z[<X,Y>] - <[Y,Z], X> + Y[<Z,X>]

+ <[X,Y]Z> = X[<Y, Z> - <∇XY, Z> + <[Z,X], Y> - Z[<X, Y>] - <[Y,Z], X> + Y[<Z,Y>] + <[X, Y], Z>

⇒ <∇XY,Z> = 21(X[<Y,Z>] + Y[<Z, X>] - Z[<X, Y>])

+12 (<[X, Y], Z> + <[Z, X], Y> - <[Y,Z], X>) (2)

Đẳng thức (2) xác định ∇XY không phụ thuộc vào ∇

Do đó ∇ đợc xác định nh trên là duy nhất

*) Ta chỉ ra sự tồn tại của ∇ thoả mãn điều kiện định lý:

Thật vậy: Với mỗi cặp (X,Y) cố định thuộc B(M) x B(M)

Đặt ∇XY = K sao cho K , Z = VP (2)

Xét ánh xạ: B(M)   →ϕ B(M)

Z  K , Z = vp(2)

Rõ ràng ϕ là ánh xạ F(M)- tuyến tính Do đó ta xác định đợc trờng vec tơ ∇XY

∇ đợc xác định nh trên thoả mãn các điều kiện sau:

(T5): ∇XY - ∇YX - [X,Y] = 0 , ∀ X, Y ∈B(M)

Thật vậy: ∀ X, Y ∈B(M) cho trớc, ∀ Z ∈B(M), ta có:

Z Y X X

1(<Y,[Z,X]> + <X,[Y,Z]> - <Z, [X,Y]>)

<∇ZY,X>= 21 (Z[<Y,X>] + Y[<X,Z>] - X [< Z, Y>])

+ 21 (<X,[Z,Y]> + <Y,[X,Z]> - <Z, [Y,X]>)

⇒ <∇ZX , Y> + < ∇ZY, X> = 21 Z[<X,Y>] + 21 Z[<X,Y>]

= Z [<X,Y>]

Hay Z [<X, Y>] = <∇ZX, Y> + < ∇ZY, X>

1.7 Mệnh đề: Tích Lie các trờng vectơ bất biến qua vi phôi.

[f*X, f*Y] = f* [X,Y]

Đ2 Các tính chất cơ bản của tích lie.

Trong mục này chúng ta sử dụng trực tiếp định nghĩa tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann [X,Y][ ϕ] = X[Y[ϕ]] - Y [X[ϕ]], ϕ∈ f(M) Hoặc sửdụng nhận xét : [X,Y] = ∇XY - ∇YX để chứng minh một số tính chất cơ bản củatích Lie

2.1 Mệnh đề: Trên đa tạp Riemann (M,g), với liên thông Lêvi- Civita ∇ xét

ii) [X, Y] = - [Y,X] ; với ∀ X,Y ∈B(M)

iii) [αX + βY,Z] = α [X,Z] + β [Y,Z]; Với ∀α, β∈ R , ∀ X, Y,Z ∈ B(M).iv) [X, αY + β Z] = α[X,Y] + β[X,Z]; Với ∀α, β∈ R , ∀ X, Y,Z ∈ B(M).v) [[X, Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0 ; với ∀ X, Y,Z ∈ B(M)

Từ tính chất ii, iii, iv suy ra [, ] là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng, thoả mãn đồng nhất thức Jacôbi

[[X,Y], Z,] [ϕ] = [X,Y] [Z[ϕ]] - Z[[X,Y][ϕ]].

= X[Y[Z[ϕ]]]-Y[X[Z[ϕ]]] - Z[X[Y[ϕ]]] +Z [Y[X[ϕ]]] (1)[[Y,Z],X][ϕ] = [Y,Z][X[ϕ]] - X[[Y,Z][ϕ]]

= Y[Z[X[ϕ]]] -Z[Y[X[ϕ]]] -X [Y[Z[ϕ]]] +X[Z[Y[ϕ]]] (2)[[Z,X],Y][ϕ] = [Z,X][Y[ϕ]] - Y[[Z,X][ϕ]]

= Z[X[Y[ϕ]]] - X[Z[Y[ϕ]]] - Y[Z[X[ϕ]]] = Y[X[Z[ϕ]]] (3)Cộng từ vế của(1)(2)(3) ta có:

([[X,Y],Z]+ [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y])[ϕ] = 0

Đẳng thức trên đúng với mọi ϕ∈ f(M)

Do đó ta có:

2.2 Hệ quả: ∀ X,Y ∈ B(M), ∀ f,g ∈ f(M) ta có:

[fX, gY] (h) = (fX)[(gY)(h)] - (gY)[(fX) (h)]

Thật vậy:

∀ h ∈ f(M) ta có:

[fX,gY] (h) = (fX)[(gY)(h)] - (gY) [(fX)(h)]

= fX[g.Y(h)] - gY[f.X (h)]

= fgX [Y (h)] + f.Y(h).X(g) -g.f.Y[X(h)] - g.X(h) Y(f)

= f.g(X[Y(h)] -Y[X(h)]) + f.X(g) Y(h) - g.X(h).Y(f)

= (fg.[X,Y] + f.X(g).Y - g.Y(f).X)(h); ∀ h ∈ f(M)

Do đó: [fX,gY] = fg [X,Y] + f.X(g).Y - g.Y(f) X

2.3 Ví dụ: Xét mặt cầu đơn vị S2 trong R3:

S2 = {(x,y,z) ∈ R3x2+ y2+ z2 = 1}

S2 có tham số hoá r đợc xác định nh sau:

r: (u, v) α (cosu cosv, sinu cosv, sinv)

Theo ví dụ 1.2 ta đã chứng minh đợcS2 là đa tạp khả vi

2 1

v u

v u

R R

Y

R R

X

ψ ψ

f u

f u

Giả sử là tập mở trong M.

Ta ký hiệu: Ω 1(U) ={θθ - một dạng khả vi trên U

2.6 Mệnh đề: Khi đó: với ∀θ∈ Ω 1(U) và với mọi X,Y ∈ B(U) ta có:

θ ([X,Y]) = X[θ(Y)] - Y[θ(X)] - dθ(X,Y)

Để chứng minh mệnh đề này ta xét bổ đề sau:

2.7 Bổ đề: Xét bản đồ địa phơng (Uα, ϕα) của M với hệ toạ độ trong (U α, ϕ

i i X

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 2.6

Do tính chất tuyến tính của θ ở hai vế nên ta chỉ cần xét trờng hợp

Tơng tự Y[θ(X)] = Y[ϕ] X[ψ] + ϕ Y[X[ψ]] (3)

θ([X, Y]) = (ϕdψ) ([X, Y])

Từ (2), (3), (4) ta suy ra

X[θ(Y)] - Y[θ(Y)] - θ([X, Y]) = X[ϕ] Y[ψ] + ϕ X[Y[ψ]] - Y[ϕ] X[ψ]

-ϕY[X[ψ]] - ϕ(X[Y[ψ]] - Y[X[ψ]]) = X[ϕ] Y[ψ] - Y[ϕ]X[ψ]

Từ (1): X[ϕ] Y[ψ] - Y[ϕ] X[ψ] = dθ(X, Y)

Vậy θ([X, Y]) = X[θ(Y)] - Y[θ(X)] - dθ(X, Y)

2.8 Định nghĩa: Giả sử trên đa tạp M đã có một liên thông tuyến tính ∇ Khi

đó các trờng tenxơ T kiểu (2,1) và R kiểu (3,1) xác định nh sau theo thứ tự đợcgọi là trờng tenxơ xoắn, trờng tenxơ cong của liên thông tuyến tính ∇:

T(X, Y) = ∇XY - ∇YX - [X, Y]

R(X, Y, Z) = ∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X, Y]Z Với ∀ X, Y, Z ∈ B(M)

2.9 Mệnh đề: Giả sử { }n

i i

X =1 là trờng mục tiêu trên đa tạp M với liên thông

tuyến tính đợc xác định bởi: ∇ =∑

k ij j

R(Xi, Xj, Xs) = k

k

k ijs X R

k sk i j

k js i

r is

k jr

r s j

k r i

Chứng minh:

i) Từ định nghĩa trờng tenxơ xoắn ta có:

T(Xi, Xj) = i [ i , j]

X j

k ji

k

) ( γij k − γk ji −T ij k Xk

Từ đó suy ra: ∑

k

k ij

C = ∑

k

) ( γij k − γk ji −T ij k

j j

i R(Xi, Xj, Xs)

= ∇ (∑ ) − ∇ (∑ ) −∑ )

k ijs

k is X

k js

k js

k js k

k js

X

i

∇ +

k

r ik

k r

k js k

k js

r jk

k r

k is k

k is j

k is

X C s

]

] [ ( )

.

(

r jk

k is

r ik r

k

k js r

r ks r

k is

X [ ]) −∑ .

− γ

− +

k jr

r is

k ir k

r

r js k

k rs k

k is

k sk i j

k js i

r is

k jr

r s j

k r i

r ij

k

Bây giờ ta xét đa tạp Riemann (M,g), với liên thông Lêvi -Civita∇ Gọi R

là trờng tenxơ cong của nó X,Y,Z là các trờng vectơ khả vi bất kỳ trên M

2.10 Mệnh đề: Giả sử [X,Y] = [Y,Z] = [Z,X] = 0 thì ta có:

R(X,Y,Z) + R (Y,Z,X) + R (Z,X,Y) = 0(Đẳng thức này đợc gọi là đồng nhất thực Bianchi)

Thật vậy:

Do [X,Y] = 0 nên ∇XY - ∇YX = 0

hay ∇XY = ∇YX[Y,Z] = 0 nên ∇YZ = ∇ZY

2.11 Mệnh đề: Gọi Z là trờng vectơ khả vi bất kỳ trên tập con U mở trong đa

tạp M Khi đó Z luôn phân tích đợc thành tích Lie của hai trờng vectơ khả vi X,Y trên U, với một trong hai trờng đó là trờng vectơ hằng, nghĩa là các toạ độ của nó là các hàm hằng trên U

Chứng minh:

Trong bản đồ địa phơng (U, ϕ) của M, với toạ độ (x1, , xn)

Cho trớc trờng vectơ Z ∈ B(U):

i

n

i Z i x

Z

∂

∂

=∑

=

.

1

Gọi X,Y là hai trờng vectơ bất kỳ trên B(U)

1

n

i i i

n

i X i x Y Y ∂x

∂

=

∂

∑

=

Để chứng minh mệnh đề 2.11 ta xét xem với điều kiện nào của X,Y thì phơng trình [X,Y] = Z (1) có nghiệm

Viết dới dạng biểu thức toạ độ, phơng trình (1) trở thành:

k

k k k

i

k

i i i

k i i

X Y x

Y X

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

−

∂

∑

Cho k chạy từ 1 đến n, (2) trở thành hệ phơng trình sau:























=

∂

∂

−

−

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂ + +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂

−

−

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂ + +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂

−

−

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂ + +

∂

∂ +

∂

∂

n n

n n n

n n

n n n

n

n

n n

n

n

n n

n

Z x

X Y x

X Y x

X Y x

Y X x

Y X

x

Y

X

Z x

X Y x

X Y x

X Y x

Y X x

Y X

x

Y

X

Z x

X Y x

X Y x

X Y x

Y X x

Y X

x

Y

X

2

2 1

1 2

2 1

1

2 2 2

2 2 1

2 1 2 2

2 2 1

2

1

1 1 2

1 2 1

1 1 1 2

1 2 1

1

1

(3)

Hệ (3) là hệ phơng trình của 2n ẩn (X1, , Xn, Y1, , Yn) nhng chỉ có n phơng trình Do đó chọn n ẩn tự do

Chẳng hạn, chọn X1 = X2 = = Xn = ϕ ( ϕ hàm hằng trên U)

khi đó (3) trở thành:























=

∂

∂ + +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂ + +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂ + +

∂

∂ +

∂

∂

n n

n n

n

n n

Z x

Y x

Y x

Y

Z x

Y x

Y x

Y

Z x

Y x

Y x

Y

2 1

2 2 2

2 1

2

1 1 2

1 1

1

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

(4)

(4) là hệ gồm n phơng trình vi phân tuyên tính cấp 1 với n ẩn Y1,Y2 , Yn

Theo lý thuyết phơng trình vi phân, do Zi là các hàm khả vi liên tục trên

U nên (4) luôn có nghiệm

Nh vậy, (3) luôn có nghiệm và do đó (1) luôn có nghiệm Nghĩa là

∀ Z ∈ B(U) , luôn tồn tại X,Y ∈B(U) sao cho:

Z = [X,Y] ;Trong đó X = (X1, , Xn) với Xi là các hàm hằng trên

§ 3 c¸c trêng vect¬ bÊt biÕn tr¸i trªn nhãm Lie.

Ký hiệu ψ là phép toán nhóm trong G.

Ký hiệu f là ánh xạ đợc xác định

f: G xG → G ;f(x) = (a, x) ; ∀ x ∈ GKhi đó: G   →f G x G   → ϕ G

Thật vậy: Theo mệnh đề 3.2 thì ánh xạ Lp là vi phôi nên Lp*e là một song ánh.

Do đó Lp*e biến một cơ sở thành một cơ sở Vậy ta có {X1(p), , Xn(p)}

là một cơ sở của TpG

Mặc khác Lp*e là ánh xạ khả vi, ∀ p ∈ G Suy ra Xi là các trờng vectơkhả vi

II) Trờng vectơ bết biến trên nhóm Lie.

3.5 Định nghĩa: Cho G là nhóm Lie, X ∈ B(G) đợc gọi là trờng vectơ bất biếntrái của G nếu với bất kỳ a ∈ G ta có:

(La)*X = X

Nghĩa là: (La*)P(Xp) = (La*X) q = Xq

Trong đó q = La(p)

*) Nhận xét: Trờng vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G hoàn toàn đợc xác định

bởi giá trị của nó tại đơn vị e của G

Nghĩa là: X là trờng vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G, nếu biết Xe , khi đó ∀

nên với phần tử đơn vị e của G ta có: La (e) = ae = a

⇒ (la)*e(Xe) = (La* X)La(e) = Xa (do X bất biến trái)

Vậy với a bất kỳ thuộc G, ta luôn có:

3.6 Mệnh đề: Cho G là nhóm Lie, X, Y là các trờng vectơ bất biến trái trên G,

α ∈ R, khi đó: αX, X + Y cũng là các trờng vectơ bất biến trái trên G

Chøng minh:

Gi¶ sö X, Y ∈ B(G) lµ c¸c trêng vect¬ bÊt biÕn tr¸i trªn G

Ta chøng minh X + Y còng lµ trêng vect¬ bÊt biÕn tr¸i trªn G

VËy (X + Y) lµ trêng vect¬ bÊt biÕn tr¸i trªn G

*) X bÊt biÕn tr¸i trªn G, α ∈ R, ta chøng minh αX lµ trêng vect¬ bÊt biÕn tr¸itrªn G

3.7 Mệnh đề: Nếu X, Y là các trờng vectơ bất biến trái trên G thì [X, Y]

cũng là trờng vectơ bất biến trái trên G

Vậy [X,Y] là trờng vectơ bất biến trái trên G

3.8.Định nghĩa Đại số Lie: Một không gian vectơ g trên trờng K gọi là một đại

số Lie trên K nếu trong g có phép toán đại số hai ngôi :