Về bao đóng đại số của trường

Do đó, có một câu hỏi tự nhiên đợc đặt ra là có tồn tại hay không mở rộng đại số nhỏ nhất của trờng K đểcho đa thức đó có nghiệm?. Câu hỏi đó đã đợc giải quyết trong trờng hợp K là trờng

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học Vinh

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học Vinh

Mở đầu

Việc giải phơng trình đa thức gắn liền với bài toán mở rộng trờng Một đa

thức có thể vô nghiệm trên một trờng K cho trớc Do đó, có một câu hỏi tự

nhiên đợc đặt ra là có tồn tại hay không mở rộng đại số nhỏ nhất của trờng K đểcho đa thức đó có nghiệm? Câu hỏi đó đã đợc giải quyết trong trờng hợp K là

trờng số thực R và mở rộng đại số nhỏ nhất của R đó chính là trờng số phức C.

Đây chính là nội dung của Định lý cơ bản của Đại số Trờng số phức C đợc gọi

là bao đóng đại số của trờng số thực R Nhờ vậy, có cả một ngành toán học

phức đợc phát triển góp phần giải quyết nhiều các vấn đề của khoa học và kỹthuật

Trong trờng hợp tổng quát, bài toán trên đợc giải quyết nh thế nào?

Để trả lời câu hỏi đó, luận văn này nhằm tìm hiểu về bao đóng đại số của trờng

và các phép nhúng chìm một trờng vào một trờng khác

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và T i liệu tham khảo gồm hai chà ơng

Chơng 1 giới thiệu các kết quả về trờng Mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng

đại số, mở rộng hữu hạn sinh, trờng đóng đại số Nội dung đáng chú ý trong

Ch-ơng 1 là trình bày các kết quả sau đây kèm theo chứng minh chi tiết:

+ Giả sử α là phần tử đại số trên trờng K Thế thì K(α ) = K[α ] và

tiểu Irr(α , K, X ) của α trên K.

+ Mọi mở rộng hữu hạn E của trờng K là hữu hạn sinh.

+ Trờng các số đại số là một trờng đóng đại số.

Chơng 2 giới thiệu các kết quả về bao đóng đại số của trờng với các nộidung chính sau đây:

+ Với mọi trờng K tồn tại trờng đóng đại số L nhận K làm trờng con

+ Mọi trờng đều tồn tại bao đóng đại số.

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS TS Nguyễn ThànhQuang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đếnthầy giáo hớng dẫn đã dành cho tác giả sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêmtúc trong quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê QuốcHán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn T và các thầy cô giáo trongChuyên ngành Đại số v Lý thuyết số, Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại họcà

- Trờng Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả mong muốn nhận đợc sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo, các bạn họcviên và đồng nghiệp

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giả

TRƯƠNG THị KIM

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Mở rộng bậc hữu hạn và mở rộng đại số

1.1.1 Định nghĩa Giả sử F là một trờng Nếu F là trờng con của trờng E, thì ta

nói rằng E là mở rộng của trờng F Ta có thể coi E nh một không gian vectơ

trên F, ta nói rằng E là mở rộng hữu hạn hoặc vô hạn của F tuỳ theo số chiều

của không gian vectơ đó là hữu hạn hay vô hạn

Giả sử F là trờng con của trờng E Phần tử α thuộc E đợc gọi là phần tử

đại số trên F, nếu trong F tồn tại các phần tử α0, ,αn (n ≥ 1) không bằng 0 tấtcả, sao cho

0 + 1α + + αn =0

n

Đối với phần tử đại số α ≠ 0 luôn luôn ta có thể tìm đợc các phần tử a i

trong đẳng thức trên sao cho a0 ≠0 (Bằng cách giản ớc cho một luỹ thừa thíchhợp của α).

Giả sử X là một biến trên F, cũng có thể nói rằng phần tử α là phần tử

đại số trên F, nếu đồng cấu

F[X] E

đồng nhất trên F và chuyển X vào α , có hạt nhân khác không Trong trờng hợp

này hạt nhân đó chính là một iđêan chính, sinh bởi một đa thức p(X) mà đối với

nó ta có thể giả thiết là hệ tử cao nhất bằng 1 Ta có đẳng cấu

F[X]/(p(X)) ≈ F[α ].

Vì F[α ] là một miền nguyên vẹn, nên p(X) là bất khả qui trên F.

Nếu p(X) đợc chuẩn hóa bởi điều kiện là hệ tử cao nhất của nó bằng 1 thìp(X) đợc xác định một cách duy nhất bởi phần tử α và sẽ đợc gọi là đa thức bất

khả qui của phần tử α trên F Đôi khi ta sẽ ký hiệu nó bởi Irr(α,F,X)

Mở rộng E của trờng F đợc gọi là mở rộng đại số trên F, nếu mọi phần

tử thuộc E đều là phần tử đại số trên F

1.1.2 Mệnh đề Mở rộng bậc hữu hạn E của trờng F là mở rộng đại số trên

F

ý Khi đó, các luỹ thừa của α:

1, α , α 2 ,…, α n

phụ thuộc tuyến tính trên F, vì nếu ngợc lại thì số chiều của E trên F là vợt quá

n Do đó, tồn tại một hệ thức tuyến tính không tầm thờng trên F giữa các luỹ

thừa đó Hệ thức đó chứng tỏ rằng α là phần tử đại số trên F □

Ta chú ý rằng mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.1.2 không đúng: Tồn tại các

mở rộng đại số vô hạn Dới đây, ta sẽ thấy rằng trờng con của trờng các số

phức gồm tất cả các số đại số trên Q là một mở rộng bậc vô hạn của Q Nếu E

là mở rộng của trờng F, thì ta sẽ dùng ký hiệu [E : F] để chỉ số chiều của E coi

nh một không gian vectơ trên F Ta sẽ gọi [E : F] là bậc của E trên F

Điều đó có nghĩa là { }x y i j là hệ sinh của E trên K Ta cần chứng tỏ rằng

hệ độc lập tuyến tính Giả sử {cij } là họ các phần tử thuộc K, hầu hết bằng 0,sao cho

vì các phần tử y j độc lập tuyến tính trên F Cuối cùng c ij = 0 với mọi i, vì {x i }

là cơ sở của trờng F trên K, nên mệnh đề đợc chứng minh □

hữu hạn trên F và F hữu hạn trên K.

Nh trong trờng hợp các nhóm, ta sẽ gọi tháp các trờng là chuỗi các mở

rộng

F 1 ⊂ F 2 ⊂…⊂ F n

Điều kiện cần và đủ để tháp hữu hạn là mỗi tầng của nó hữu hạn

Giả sử K là một trờng, E là mở rộng của nó và α ∈ E Ta sẽ ký hiệu K(α

) là trờng con bé nhất trong E chứa K và α Nó gồm tất cảc các phân thức f(α

)/g(α ), trong đó f và g là các đa thức với hệ tử thuộc K và g(α ) ≠ 0

g(X)p(X) + h(X)F(X) = 1.

Từ đó ta đợc h(α )F(α ) = 1, nghĩa là f(α) khả nghịch trong K[α] Thành thử K[

α ] không những là một vành mà là một trờng và vì vậy phải bằng K(α ) Giả sử d

= degp(X), các luỹ thừa 1, α , , α d-1 độc lập tuyến tính trên K Thật vậy, giả sử

a 0 + a 1α + … + a d-1α d-1 = 0,

trong đó a i ∈ K, ngoài ra không phải mọi a i = 0.

g(X) = a 0 + +a d-1 X d-1

Thế thì g ≠ 0 và g(α) = 0 Thành thử g(X) chia hết cho p(X), mâu thuẫn.

Cuối cùng, giả sử f(α) ∈ K[α ], trong đó f(X) ∈ K[X] Khi đó, tồn tại các đa

thức q(X), r(X) ∈ K[X] sao cho degr < d và

f(X) = q(X)p(X) + r(X).

Do đó f(α ) = r(α ) và ta thấy 1, α ,…, α d-1 sinh ra K[α ] nh không gian

vectơ trên K □

Giả sử E, F là các mở rộng của trờng K Nếu E và F đợc chứa trong một trờng L

nào đó, ta ký hiệu EF là trờng con bé nhất của L chứa E và F, và gọi nó là hợp

tử của E và F trong L Nếu không cho trớc các phép nhúng chìm E và F vào

tr-ờng chung L, thì ta không thể xác định hợp tử của chúng.

Giả sử K là trờng con của trờng E, α 1 ,…,α n là các phần tử thuộc E

trong đó f và g là các đa thức của n biến với các hệ tử thuộc K và

g(α1 ,…,αn ) ≠ 0.

Thật vậy, tập tất cả các phân thức đó lập thành một trờng, chứa K và α1 ,…,αn .

Ngợc lại, mọi trờng chứa K và α1 ,…,αn đều phải chứa các phân thức đó.

Chú ý rằng E là tập của cả các trờng con K(α1 ,…,αn ) của nó khi (α1 ,…,αn )

trải qua tất cả các họ con hữu hạn các phần tử thuộc E Có thể định nghĩa hợp

tử của một họ con tuỳ ý các trờng con của trờng L là trờng con bé nhất chứa tất

cả các trờng của họ đó Ta nói E hữu hạn sinh trên K, nếu tồn tại một họ hữu

hạn các phần tử , ,α1 αn thuộc E sao cho

E = K(α1 , ,αn ).

Ta sẽ thấy E là hợp tử của tất cả các trờng con hữu hạn sinh của nó trên K.

1.1.6 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn E của trờng K là hữu hạn sinh.

vectơ trên K Lúc đó hiển nhiên

E = K(α1 ,…,αn ).

Nếu E = K(α1 ,…,αn ) là một trờng hữu hạn sinh và F là một mở rộng của trờng

K sao cho cả F và E đều đợc chứa trong L, thì

EF = F(α1 ,…,αn ).

Và trờng EF là hữu hạn sinh trên F Ta sẽ thờng vẽ nhng hình nh sau:

Các đờng xiên chỉ quan hệ bao hàm giữa các trờng Ta cũng sẽ gọi mởrộng EF của trờng F là sự nâng E tới F.

Giả sử α là phần tử đại số trên trờng K và F là mở rộng của K Giả sử cả

hai trờng K(α ) và F đều đợc chứa trong một trờng L nào đó thế thì α là phần tử

đại số trên F Thật vậy, đa thức bất khả quy của α trên K tất nhiên là có hệ tử

thuộc F và cho ta sự phụ thuộc tuyến tính giữa các luỹ thừa của α trên F.

Giả sử đã cho tháp các trờng

trong đó αi là phần tử đại số trên K với mỗi i = 1,…, n Thế thì E là mở rộng

đại số hữu hạn của trờng K

Chứng minh Theo các chú ý ở trên, E có thể coi là đỉnh của một tháp mà mỗi

tầng đều sinh bởi một phần tử đại số và do đó là hữu hạn theo Mệnh đề 1.1.5 và

Hệ quả của Mệnh đề 1.1.4 ta kết luận rằng E hữu hạn trên K, và theo Mệnh đề

(i) Giả sử K ⊂ F ⊂ E là tháp các trờng Mở rộng F ⊂ E thuộc l khi và

chỉ khi K ⊂ F và F ⊂ E thuộc l

F đợc chứa trong một trờng nào đó thì F ⊂ EF thuộc l

(iii) Nếu K ⊂ F và K ⊂ E thuộc l , trong đó F, E là các trờng con của trờng

nào đó thì K ⊂ EF thuộc l

Các tính chất này đợc minh họa bởi các biểu đồ sau:

9ii

(i) (ii) (iii)

Các biểu đồ cấu trúc này rất có ích khi ta nghiên cứu các mở rộng trờng

Ta chú ý rằng (iii) đợc suy ra một cách hình thức từ hai điều kiện đầu Thật vậy,

EF trên K nh một tháp với các tầng

K ⊂ ⊂F EF

EF

F

KE

1.2.1 Địnhnghĩa Một trờng K gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức có bậc lớn

hơn không đều có ít nhất một nghiệm trong K

Ví dụ Theo định lí cơ bản của đại số học cổ điển, trờng C các số phức là trờng

đóng đại số Do đó trờng số phức C chỉ có một mở rộng duy nhất là chính nó.

1.2.2 Nhận xét Cho K là một trờng Các mệnh đề sau là tơng đơng:

1.2.3 Mệnh đề Cho K : F là mở rộng trờng, trong đó K đóng đại số Kí hiệu

E là trờng con các phần tử đại số của K : F Khi đó E là một bao đóng đại

1.2.4 Mệnh đề Trờng A các số đại số là một trờng đóng đại số.

Chứng minh Xét đa thức bất kỳ khác không

Vì các hệ số của đa thức f(x) ∈ F cho nên mỗi nghiệm tùy ý u của f(x) đều đại

số trên F Do đó mở rộng đơn F(u) của F cũng là bậc mở rộng hữu hạn của Q.Vì vậy phần tử u ∈ F(u) là phần tử đại số trên Q, hay u là một đại số, tức là u

∈ A Vậy, trờng A là một trờng đóng đại số □

1.3 Trờng các số đại số

Trong các mở rộng đại số có bậc hữu hạn của một trờng K, các trờng

nghiệm hay trờng phân rã của đa thức f(x) trên K, đóng vai trò đặc biệt quan

trọng

trờng số hữu tỉ Q Nói khác đi số phức α là số đại số khi và chỉ khi tồn tại một

đa thức khác không với hệ số hữu tỉ f(x) nhận α làm nghiệm, nghĩa là f(α ) =

0.

1.3.2 Định lý Tập hợp A tất cả các số đại số tạo thành một trờng con của ờng C các số phức, và là một mở rộng của trờng các số hữu tỉ Q.

tr-Chứng minh Đặt A = { u ∈ C / u đại số trên Q }.

Ta có Q ⊂A, vì mọi a ∈ Q là nghiệm của đa thức x – a ∈ Q[x] Với

u, v ∈ A, các mở rộng đơn Q(u) và Q(v) của trờng Q đều là hữu hạn trên Q, cho

nên mở rộng phần tử Q (u,v) = Q(u)Q(v) cũng có bậc hữu hạn trên Q Do đó,

các phần tử u – v, uv và 1

v (với v ≠ 0) của trờng Q(u,v) đều đại số trên Q,

nghĩa là đều thuộc A

Vậy, A là một trờng con của trờng số đại số phức C và A chứa trờng Q.

□

1.3.3 Định lý Với mọi số nguyên tố p, tồn tại trờng đóng đại số đặc số p.

của vành Z p [x] là (p-1)p n Vì thế, ta có thể phân Z p [x] thành lớp: lớp các đa thức

bậc nhất f 1 [x] ∈ Z p [x], lớp các đa thức bậc hai f 2 [x] ∈ Z p [x], Từ dãy vô hạn

các lớp đa thức này của vành thức Z p [x], ta định nghĩa một dãy các trờng (Fn),(n ∈ N), bằng quy nạp sau:

• F0 = Z p

• Với n≥ 1 Fn là trờng nghiệm của đa thức f n ∈ F n−1[x].

Nh thế, ta thu đợc một dãy dây chuyền tăng các trờng:

Hợp F đợc trang bị phép cộng và phép nhân: Với bất kỳ a,b ∈ F, tồn tại

một trờng Fn của dãy chuyển trên sao cho a, b ∈ Fn, nên ta có thể định nghĩatổng a + b và tích ab trong F nh là tồng là tích của a và b trong Fn Rõ ràng, Fvới phép cộng và phép nhân nh vậy là một trờng Hơn nữa, vì trờng F chứa trờng

F0 = Zp nh là một trờng con, cho nên trờng F cũng có đặc số p

Để chứng minh F là trờng đóng đại số, ta giả sử

g(x) = a 0 + a 1 x + + a r x r

là một đa thức bất kỳ có bậc r ≥1 của vành đa thức F[x] Khi đó, tất cả các hệ tử

ai của đa thức g(x) sẽ thuộc vào trờng nghiệm Fn nào đó của đa thức có hệ tửthuộc trờng Zp Do đó, các hệ tử ai của g(x) đều là phần tử đại số trên Zp Vậy

mở rộng lặp Z p (a 0 , a 1 , ,a r ) là một mở rộng hữu hạn hay là mở rộng đại số của

Zp Trong trờng nghiệm N của đa thức trên trờng Z p (a 0 , a 1 , ,a r ), đa thức g(x)

phân rã đợc thành các nhân tử tuyến tính:

g(x) = c(x u– 1 )(x u– 2 ) (x u– r ).

Vì mỗi phần tử ui đều đại số trên Zp, nên ui có đa thức bất khả quy cựctiểu q i (x) ∈ Z p [x] Đa thức q = q 1 q 2 q r ∈ Z p [x] nhận các ui (1≤ ≤i r ) làm

nghiệm, do đó q là một bội khác không của g

Đa thức q ∈ Zp[x] phân rã đợc hình thành phân tử tuyến tính trong mộttrờng nghiệm Fm của nó trên một trờng F m−1 nào đó, trong dây chuyền các mởrộng trờng của F0 = Zp đã nói ở trên Do đó, ớc g của q phân rã đợc trong vành

F m [x] ⊂ F[x].

Vì vậy, mọi đa thức dơng trên trờng F đều đợc phân rã thành nhân tửtuyến tính trên F Nói cách khác, F là một trờng đóng đại số có đặc số p, và làmột mở rộng đại số của trờng Zp □

Nhận xét i) Trờng Z p (p - nguyên tố) có mở rộng đóng đại số

ii) Trờng Q có mở rộng đóng đại số là trờng A các đại số

iii) Trờng R có mở rộng đóng đại số là trờng C các số phức.

1.3.4 Mệnh đề Mở rộng hữu hạn tùy ý của trờng các số thực R hoặc chính

là trờng các số thực R hoặc là trờng các số phức C.

Chứng minh Giả sử F là một mở rộng hữu hạn bất kỳ của trờng số thực R, khi

đó F là một mở rộng đại số trên R Do đó, mọi phần tử thuộc F đều là phần tử

đại số trên R Với mỗi phần tử u ∈ F, đa thức cực tiểu q x u( ) của u là đa thứcbất khả quy trên R Vì vậy, q x u( ) là nhị thức bậc nhất hoặc là một tam thức bậchai có biệt số ∆ < 0 Vì u là một nghiệm của đa thức q x u( ), cho nên ta có F ⊆

C Bây giờ, ta xét hai trờng hợp sau đây:

Trờng hợp 1: Đa thức q x u( ) là nhị thức bậc nhất, với mọi u thuộc F.Giả sử q x u( ) = x + b, (b ∈ R) Ta có q u u( ) = u + b = 0, do đó suy ra:

u = - b ∈ R, hay F ⊆ R Vì vậy, trong trờng hợp này ta có F = R

Trờng hợp 2: Tồn tại một phần tử u ∈ F sao cho q x u( ) là tam thức bậchai với biệt số ∆ < 0 Khi đó ta có u = a+bi, b ≠ 0, a, b ∈ R Do đó

C = R(i) = R (a + bi) = R(u) ⊆ F.

Mặt khác F ⊆ C, Vì vậy trong trờng hợp này, ta có F = C

Vậy, ta có N = Q(α, -α, iα, -iα) = Q(α, - iα) = Q(α,i) Do đó

[N : Q] = [ N : Q(α) ][ Q(α) : Q].

Ta có [Q(α) : Q] = 4 vì f(x) = x4 – 2 là đa thức cực tiểu của α trên Q Ta có

bậc [ N : Q(α) ] = 2 bởi vì i có đa thức cực tiểu trên Q(α) là x2 + 1 Vì vậy ta cóbậc

[N : Q] = [ N : Q(α)] [ Q(α) : Q] = 4 x 2 = 8

Có một cơ sở của N trên Q(α) là {1,i} Cơ sở của Q(α) trên Q là

{ 1, α, α 2 , α 3 }.

Vì vậy có một cơ sở của N trên Q là { 1, α, α 2 , α 3 , i, iα, iα 2 , iα 3 }.

Vậy trờng N là một mở rộng bậc 8 của Q do đó N là trờng số đại số bậc

8 của Q

Chơng 2 bao đóng đại số của trờng

Phần này liên quan đến các nghiệm của phơng trình đại số với một haynhiều biến Nếu đã cho một vành con A của vành B và một số hữu hạn các đathức f1 , , f x thuộc A X[ , , 1 X n] thì chúng ta sẽ chú ý tới các bộ gồm n phần tử

là phép nhúng chìm (tức là một đơn cấu) từ F vào L Khi đó σ cảm sinh ra một

đẳng cấu của trờng F với ảnh σ F của nó, mà đôi khi ta cũng kí hiệu Fσ Phép

nhúng chìm τ của trờng E vào L đợc gọi là phép nhúng chìm trên σ , nếu thu

hẹp τ trên F bằng σ Ta cũng nói rằng τ là mở rộng của σ Nếu σ là phép

nhúng chìm đồng nhất, thì ta nói τ là phép nhúng chìm của trờng E trên F.

Các định nghĩa đó thực ra có thể cho ra các phạm trù tổng quát hơn, vì tấtcả chỉ phụ thuộc vào chỗ các biểu đồ sau đây có nghĩa hay không: