Lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trường q(√− 3)

LỜI CẢM ƠNKhóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Đại số với đề tài " Lý thuyết đồng dưtrong vành các số nguyên đại số của trườngQ√ −3 " là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng của bản th

Mục lục

1 TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI

1.1 TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI 6

1.1.1 Các định nghĩa 6

1.1.2 Các tính chất 7

1.2 VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI K=Q(√ d) 12

1.2.1 Định nghĩa 12

1.2.2 Các tính chất 12

1.2.3 Xác định phần tử cụ thể củaZA 16

1.3 NHÓM NHÂN CÁC ƯỚC ĐƠN VỊ CỦA VÀNHZA 20

1.3.1 Định nghĩa 20

1.3.2 Các tính chất 20

1.3.3 Xác định nhóm nhân UAtrong trườngK=Q(√ d)là trường đại số bậc hai ảo 22

2 LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG Q(√ −3) 26 2.1 ĐỒNG DƯ THỨC 26

2.1.1 Định nghĩa 26

2.1.2 Một số tính chất của đồng dư thức 27

2.1.3 Mệnh đề 28

2.2 CÁC LỚP THẶNG DƯ - HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ - HỆ THẶNG DƯ THU GỌN 30

2.2.1 Định nghĩa 30

2.2.2 Ước chung lớn nhất của một lớp thặng dư với modun 30

2.2.3 Vành các lớp thặng dư 31

2.2.4 Hệ thặng dư đầy đủ modun µ 32

2.2.5 Một số tính chất 34

2.2.6 Chú ý 36

2.2.7 Hệ thặng dư thu gọn modun µ 37

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Đại số với đề tài " Lý thuyết đồng dưtrong vành các số nguyên đại số của trườngQ(√

−3) " là kết quả của quá trình

cố gắng không ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên của các Thầy

Cô, bạn bè và người thân

Qua trang viết này, tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Cô giáo

- Ths.Nguyễn Thị Hải đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cũng như cungcấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên quý báu của các Thầy Cô,bạn bè, các bạn sinh viên lớp K55 Đại học Sư phạm Toán đã giúp đỡ tôi trongquá trình học tập và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp

Sơn La, tháng 05 năm 2018

Đinh Thị Thu Uyên

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN

Lý thuyết đồng dư là một nội dung rất quan trọng của lý thuyết số Nó là mộtcông cụ để giải quyết nhiều bài toán số học và một số bài toán trong các lĩnh vựckhác Trong chương trình phổ thông và đại học, cao đẳng, chúng ta chỉ được tìmhiểu lý thuyết đồng dư trên vành các số nguyênZ Trong khi đó, lý thuyết đồng

dư có thể khái quát lên các miền nguyên

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về nội dung kể trên, tôi chọn

" Lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trườngQ(√

−3) " đểnghiên cứu vì những kiến thức này được ít tài liệu đề cập tới, một số tài liệu chỉnói sơ qua, không chi tiết hoặc trình bày bằng tiếng Anh

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Khóa luận tìm hiểu về lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại sốcủa trườngQ(√

−3)

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Trường đại số bậc hai và vành các phần tử nguyên đại số của nó

Nghiên cứu về lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trườngđại sốQ(√

−3)

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Các định nghĩa, tính chất của vành các phần tử nguyên của trường đại số bậchai và lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trườngQ(√

−3)

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

Dịch trọn vẹn một chương tiếng anh trong tài liệu [4]

6 CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Từ mục đích và nhiêm vụ nghiên cứu đặt ra, bố cục của khóa luận được sắpxếp như sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu thamkhảo, nội dung của khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1:Trường đại số bậc hai và vành các phần tử nguyên của nó

Trong chương này tôi nghiên cứu về trường đại số bậc hai và các đặc trưngcủa nó Sau đó nghiên cứu vành các phần tử nguyên đại số của trường đại sốbậc hai tương ứng Cuối cùng nghiên cứu nhóm nhân các ước của đơn vị đồngthời xác định nhóm nhân các ước của đơn vị trong trường đại số bậc hai ảo

Chương 2:Lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của

trườngQ(√

−3).Chương này là nội dung cơ bản của khóa luận, tôi trình bày về đồng dư thức

và các lớp thặng dư, hệ thặng dư đầy đủ, hệ thặng dư thu gọn và đặc trưng củanó

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN

Khóa luận trình bày được một số vấn đề cơ bản về lý thuyết đồng dư trongvành các số nguyên đại số của trườngQ(√

−3) mà ở các tài liệu chỉ nói sơ qua,không chi tiết hoặc trình bày bằng tiếng Anh

Chương 1

TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI

VÀ VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN CỦA NÓ

1.1 TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI 1.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1 (Số đại số bậc hai)

Số phức α được gọi là số đại số bậc hai nếu α là nghiệm của đa thức bậc

hai trongQ[x]và không là nghiệm của bất cứ đa thức nào bậc nhỏ hơn haitrongQ[x]

Định nghĩa 1.2 (Trường đại số bậc hai)

Giả sử α là một số bậc hai Khi đó tập hợp:

Q(α) = {a+bα với a,b∈Q}

là một trường con của trường số phứcC Các phần tử của Q(α)đều là những sốđại số có bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai

TrườngQ(α)gọi là trường đại số bậc hai

Vì trường A các số đại số là một trường con của trường số phứcC và

Q(α) ⊂ AnênQ(α)là trường con của trường A các số đại số

Hơn nữa Kerϕ=< f(x) > Thật vậy:

Giả sử g(x) ∈Q[x] thì ta có: q(x) ∈Q[x] và r(x) = a0+a1x∈ Q[x] sao cho

Mệnh đề 1.4

Giả sử α là một số đại số bậc hai Khi đó mọi phần tử của K=Q(α) có thểbiểu diễn duy nhất dưới dạng a+bαvới a, b∈Q Từ đó suy ra rằng K=Q(α)làkhông gian vectơ hai chiều trênQ.

Chứng minh.

Từ định nghĩa trường đại số bậc hai ta suy ra các phần tử của K = Q(α)(trường con bé nhất của trường đại số phức C chứa trường số hữu tỉ Q và α)

đều biểu diễn được dưới dạng a+bαvới a, b∈Q.

Giả sử x = a+bα = a0 +b0α là hai cách biểu diễn của phần tử x ∈ K với

Giả sửK là một trường con của trường số phức C và là một mở rộng bậc hai

của trường số hữu tỉQ và α∈K\Q Khi đó ta có:

Định lý 1.6

Giả sửK là một trường con của trường số phức C Khi đó K là trường đại số

bậc hai khi và chỉ khi

K=Q(α)

với α là nghiệm của đa thức x2−d, d là số nguyên hữu tỉ khác 1 và không cónhân tử bình phương

Chứng minh.

Điều kiện cần: Giả sử K là một trường đại số bậc hai Khi đó ắt có phần tử

θ∈K\Q sao cho θ là nghiệm của đa thức x2+ px+q, nghĩa là θ2+pθ+q=0suy raθ+ p

Nghĩa là α là nghiệm đa thức x2−d∈Z[x]

Nói cách khácK=Q(α), ở đó α là nghiệm của đa thức x2−dvới d là một sốnguyên hữu tỉ khác 1 và không có nhân tử bình phương khác 1

Điều kiện đủ: Giả sửK=Q(α), trong đó α là nghiệm của đa thức x2−dvới d là một số nguyên hữu tỉ khác 1 và không có nhân tử bình phương khác 1

Ta phải chứng minhK là một trường đại số bậc hai.

Ta thấy x2−dlà một đa thức bất khả quy Thật vậy:

Giả sử ngược lại x2 −d (∗) không phải là đa thức bất khả quy trong Q[x]

Khi đó do bậc của(∗)bằng 2 nên(∗)phải có nghiệm hữu tỉ, chẳng hạn nghiệm

đó là r

s với r, s∈Z,s>0,(r, s) =1

Từ đó suy ra r2=ds2 Do(r, s) =1 nên ta có d r2 Mà d6=1 nên suy ra r 6=1,mâu thuẫn với giả thiết là d không có nhân tử bình phương khác 1

Vậy x2 −dlà đa thức bất khả quy trongQ[x]và là đa thức tối tiểu của α.

Do đó bậc của α bằng 2, nghĩa làK=Q(α)là một trường đại số bậc hai

⇔δ(α1) =δ(α2)

= (a1−b1√d)(a2−b2√d)

=δ(α1)δ(α2)

Vậy δ là đồng cấu Chứng tỏ δ là tự đồng cấu.

Phần tử δ(α) =a−b√dchính là phần tử liên hợp của phần tử a+b√d

1.2 VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI K = Q ( √

d )

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.8

Giả sửK=Q(√

d)là một trường đại số bậc hai và α∈K Số α được gọi là

số nguyên củaK nếu đa thức tối tiểu của nó có các hệ số thuộc Z.

Tập hợp các số nguyên của trường đại số bậc haiK=Q(√

d)lập thành mộtvành, ta gọi là vành các số nguyên đại số trênK và ký hiệu là ZA

Giả sử α∈K Khi đó α là số nguyên đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức

với hệ số nguyên hữu tỉ mà hệ số bậc cao nhất bằng 1

Chứng minh.

Giả sử ta có

F(x) =xn +a1xn−1+ · · · +an ∈Z[x].sao cho F(α) =0 Ta sẽ đi chứng minh đa thức tối tiểu của α thuộcZ[x]

Bậc của α bằng 1 hoặc bằng 2 nên ắt có đa thức F(x) =b0x2 +b1x+b2 hoặc

f(x) =b0x+b1 thuộcZ[x] là đa thức nguyên bản sao cho f(α) =0 và f(x)bấtkhả quy trong Q[x] Vì F(x) và f(x) có chung nghiệm α và f(x) bất khả quytrongQ[x]nên f(x)chia hết F(x)trongQ[x]

Giả sử ta có

F(x) = p

q f(x)g(x)với g(x)là một đa thức nguyên bản; p, q∈Z, pq6=0 Khi đó ta có

qF(x) = p f(x)g(x).Nhưng tích f(x)g(x)và F(x)là những đa thức nguyên bản nên p=q

Từ đó ta có F(x) = f(x)g(x) Lại vì hệ số bậc cao nhất của F(x)là 1 nên ta cũng

có b0 =1 và f(x)là đa thức tối tiểu của α.

Hơn nữaZA∩Q⊂Z Thật vậy:

Giả sử α∈ZA∩Q thì ta có α=a+b√dvới a, b∈Q Khi đó b=0 vì nếu b6=0thì√d= α−a

d) thì N(α) = a2 −db2 được gọi là chuẩn của α và

Tr(α) =2a được gọi là vết của α.

Với hai khái niệm chuẩn và vết của một phần tử thuộcK, Mệnh đề 1.12 được

phát biểu như sau:

suy ra q2 |dp2 Vì(p2, q2) =1 nên d q2 do đó d chứa nhân tử bình phương một

số nguyên khác 1, điều này trái với giả thiết

2

= u2 −dv2

4 ∈Z.

Vậy ta có 2a∈Z và a2 −db2 ∈Z nên α∈ZA 

ZA=

(

a+b1+

√d

2 với a, b∈Z

)

dư 1 môđun 4

∗Trường hợp d≡2 (mod 4) hoặc d≡3 (mod 4):

Giả sử α=a+b√d∈ ZA, theo chứng minh của Định lý 1.15 ta có:

Điều này trái với lưu ý trên.

Vậy v=2b≡0(mod 2)nghĩa là b= v

2 ∈Z.

Từ v ≡ 0 (mod 2) ⇒ v2 ≡ 0 (mod 4), kết hợp với u2 ≡ dv2 (mod 4) ta được

u2 ≡0 (mod 4) Do đó u=2a≡0 (mod 2), nghĩa là a= u

2 ∈Z.

Như vậy, nếu α=a+b√d∈ZAthì a, b∈Z.

Đảo lại, với α=a+b√dsao cho a∈Z,b∈Z thì rõ ràng:

do đó v≡0 (mod 2)

Nếu u=2a≡0 (mod 2) nghĩa là a= u

2 ∈Z thì ta cũng có v=2b≡0 (mod 2)nghĩa là b= v

2 ∈Z.

Từ đó α=a+b√d=a−b+2a1+

√d

Định lý 1.15 ta có u2 −db2 ≡0 (mod 4) và d≡1 (mod 4) suy ra v2 ≡1 (mod 4)

do đó v≡1 (mod 2)

Vậy nếu u=2a≡1 (mod 2) nghĩa là u=2a0+1 với a0 ∈Z thì cũng có

v=2b≡1 (mod 2) nghĩa là v=2b0 +1 với b0 ∈Z Từ đó ta có:

α=a+b√d= u

2 +

v2

√

d= 2a0 +1

2 +

2b0 +12

√d

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu α=ZA thì ta có:

α=n+m1+

√d

2 với m, n∈Z

Ngược lại, nếu α=n+m1+

√d

2 với m, n∈ Z thì

α= 2n+m

2 +

m2

2 với m, n∈Z

)

1.17.2.Với d= −3≡1 (mod 4) khi đó ta có:

a, b∈Z,ξ = 1+√

−32)

1.3 NHÓM NHÂN CÁC ƯỚC ĐƠN VỊ CỦA VÀNH ZA

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.18

ChoK=Q(√

d)là trường đại số bậc hai vàZAlà vành số nguyên của nó

Ta gọi số đại số bậc hai ε khác 0 củaK là một ước của đơn vị của ZAnếu như

cả ε và ε−1 đều là những số nguyên đại số Nghĩa là

ε ∈ZAvà ε−1 ∈ZA.Tập hợp các ước của đơn vị củaZA kí hiệu là UA

Mệnh đề 1.20

Nếu ε là một ước đơn vị thì liên hợp δ(e)của nó cũng là một ước đơn vị

Chứng minh.

Trước hết ta nhận xét rằng nếu ε∈ UA mà ε ∈ Q thì ε∈ Z ( Vì ZA∩Q=Z

theo tính chất 1.11 ) nên ε= ±1 nên δ(ε) = ε0

Giả sử ε∈ UA và ε có bậc là 2 Và giả sử ϕ(x) = x2+a1x+a0 ∈Z[x] là đa

thức tối tiểu của ε.

Vì ϕ(x) là đa thức tối tiểu của ε hay ϕ(x) là đa thức có bậc nhỏ nhất nhận ε là

nghiệm nên từ f(ε) =0 ta suy ra f(x) · · ·ϕ(x), nghĩa là có q(x) ∈Q[x]sao cho

Nếu ε có bậc bằng 2 và ϕ(x) =x2+a1x+a0 ∈Z[x]là đa thức tối tiểu của nó

của đơn vị nên ta có εε0 = a0 lại là một ước của đơn vị trong Z do đó εε0 = ±1nghĩa là N(ε) = ±1

Ngược lại, giả sử ε∈ZA va N(ε) = ±1 Khi đó ta có:

N(ε) =εδ(ε) = ±1Suy ra ε

0

= ±δ(ε) ∈ZA

Kết hợp với giả thiết ε∈ZAta được ε∈UA

Như vậy, nếu ε∈ZAthì

Trong trường hợp này

Trường hợp 2:

d≡1(mod4) ⇔d0 ≡3(mod4).Trong trường hợp này

√d; (u, v∈Z)

∗Các trường hợp còn lại thì UA= {±1}

Cho µ=a+bξ ∈ZA là một số nguyên khác không Ta nói số nguyên α đồng

dư với số nguyên β theo modun µ nếu hiệu α−β chia hết cho µ.

Khi α và β đồng dư với nhau theo modun µ ta viết:





trong đó µ=a+bξ∈ZA và d= (a, b)

Chứng minh.

∗Trước hết ta chứng minh nhận xét sau:

Giả sử α∈ZA Khi ấy αµ∈Z⇔ α= p

∗Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 2.10 :

Giả sử m≡n(mod µ) suy ra tồn tại α∈ZA sao cho m=n+αµ do đó

N(µ)d

Vì q\dnên pd

q ∈Z do đó ta có m≡n

mod N(µ)

d



Đảo lại, giả sử m≡n mod N(µ)

d suy ra tồn tại c∈Z sao cho

2.2 CÁC LỚP THẶNG DƯ - HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ

- HỆ THẶNG DƯ THU GỌN

Giả sử 0 6= µ ∈ ZA Do quan hệ đồng dư modun µ là một quan hệ tương

đương trênZA trên tậpZA được chia thành các lớp đồng dư theo modun µ và

các lớp này rời nhau từng đôi một

Tập hợp tất cả các lớp tương đương đó được gọi là tập thương của tập ZA

trên quan hệ đồng dư theo modun µ.

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.11

Cho 06= µ ∈ ZA Ta gọi tập thương của tập ZA trên quan hệ đồng dư theo

modun µ là tập các lớp thặng dư modun µ và ký hiệu làZµ

A.Mỗi phần tử củaZµ

Ađược gọi là một lớp thặng dư modun µ.

Định nghĩa 2.13

Ta gọi ước chung lớn nhất của một lớp X(mod µ)với modun µ là ước chung lớn nhất của mỗi thặng dư của X với mmodun µ

∗Ký hiệu:(X, µ) = (α , µ) = (α , µ)với α∈ X

∗Nếu(X, µ) ∈UA thì X được gọi là một lớp thặng dư nguyên tố với modun.

2.2.3 Vành các lớp thặng dư

Định lý 2.14

Tập lớp Zµ

A các lớp thặng đư modun µ là một vành giao hoán, có đơn vị với

hai phép toán trongZµ

A được xác định như sau:

Asao cho X·Y=1 hay α·β=1 suy ra αβ=1

vậy αβ≡1(mod µ)do đó(αβ , µ) = (1, µ) ∈UA

Vậy X là lớp nguyên tố với modun µ.

Ngược lại, giả sử X=α là lớp nguyên tố với modun µ, khi đó

(α , µ) ∈UA⇒ ∃β , γ∈ZA sao cho αβ+µγ=1 Vậy αβ≡1(mod µ)hay

2.2.4 Hệ thặng dư đầy đủ modun µ

Định nghĩa 2.16

Tập hợp các số nguyên thuộc ZA lấy ra ở tất cả các lớp thặng dư modun

µ , mỗi lớp lấy một và chỉ một số được gọi là hệ thặng dư đầy đủ modun µ

(hệ TDĐĐ (mod µ))

∗Từ định nghĩa suy ra:

Hệ H gồm các số nguyên thuộcZA là một hệ TDĐĐ (mod µ) khi và chỉ khi

các điều kiện sau thỏa mãn:

(xưx0)bư (yưy0)a = (a2ưab+b2)t (II.1)(xưx0)(bưa) ư (yưy0)b = (a2ưab+b2)u

do đó(xưx0)(a2ưab+b2) = (a2ưab+b2)(tbưua)nên

xưx0 =tbưua d

Vì d= (a, b)và|x−x0| <dnên suy ra x=x0 Với x=x0 hệ(I I.1)cho ta:

d nên suy ra y=y0.Vậy∀α , β∈ H mà α≡β(mod µ)thì α=β

∗Giả sử γ=m+nξ ∈ZA là một số nguyên tùy ý

Ta chứng minh rằng tồn tại α=x+yξ ∈ H sao cho γ≡α(mod µ)

Từ đó ta có

n−y=af0+ a

dt

+b

d



Ta thấy luôn tồn tại duy nhất y0 ∈Z với 0≤y0≤ N(µ)

d −1 sao cho

y0≡n−a f0−be0 +b f0

mod N(µ)

d



Giả sử H là một hệ gồm N(µ) số nguyên thuộc ZA đôi một không đồng dư

với nhau theo modun µ.

Ta thấy các phần tử của H thuộc các lớp khác nhau theo modun µ.

Hơn nữa, theo Định lý 2.17 tập Zµ

A có N(µ) phần tử nên theo nguyên lýĐirichlê ta có các phần tử của H đại diện đủ cho các lớp củaZµ

Chứng minh.

Rõ ràng H gồm N(µ) · N(η) = N(µ·η) số nguyên thuộc ZA đôi một không

đồng dư với nhau theo modun µη.

Thật vậy, nếu α+µβ≡α0 +µβ0(mod µη)với α, α0 ∈ Kvà β, β0 ∈Lthì

∗Điều kiện cần: Hiển nhiên

∗Điều kiện đủ: Giả sử∀α∈ZAđều biểu diễn được duy nhất dưới dạng

điều này mâu thuẫn với giả thiết về tính duy nhất của dạng biểu diễn.

Như vậy từ γ1 6=γ2 ta suy ra γ1 không đồng dư γ2 theo modun µ

với γ1, γ2 ∈ H

Từ giả thiết ta có ∀α∈ ZA thì α= βµ+γ với γ∈ H Nghĩa là tồn tại γ∈ H

Tính chất 2.21.

Giả sử 0 6= µ ∈ ZA và H là một hệ TDĐĐ (mod µ) Khi đó nếu η ∈ Z∗

A và(µ , η) =1 thì tập K = {ηα+γ|α∈ H}trong đó γ ∈ZAcố định cũng là một hệ

2.2.7 Hệ thặng dư thu gọn modun µ

Định nghĩa 2.24

Tập các số nguyên thuộc ZA lấy ra ở tất cả các lớp thặng dư modun µ và nguyên tố với µ, mỗi lớp một và chỉ một số được gọi là một hệ thặng dư thu gọn modun µ (hệ TDTG ( mod µ )).

∗Từ định nghĩa suy ra:

Hệ K gồm những số nguyên thuộc ZA là một hệ TDTG (mod µ) khi và chỉ

khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

với µ1µ2

∗Với ∀µ2α+µ1β ; µ2α

0

+µ1β0 ∈ Ksao cho:

∗ Giả sử γ∈ZA với (γ , µ1µ2) =1 ta sẽ chứng minh rằng tồn tại µ2α+µ1β∈K

sao cho µ2α+µ1β(mod µ1µ2) Thật vậy:

∗Nếu 3= {−1, 0, 1}thì H = {x+yξ |x, y∈ {−1, 0, 1}}.Thực hiện tương tự như trên, ta được

H= {0,−1, 1,−1−ξ,−1+ξ,−ξ, 1−ξ, 1+ξ}

KẾT LUẬN

Bước đầu khóa luận đã nêu được một cách rõ ràng các định nghĩa, tính chất

và xác định được cụ thể vành các số nguyên đại số của trường đại số bậc hai

Q(√

d) Trên cơ sở đó khóa luận đã trình bày một cách chi tiết về lý thuyết đồng

dư trong vành các số nguyên đại số của trườngQ(√

−3).Trong khuôn khổ của một khóa luận, cho nên còn một số vấn đề có thể đặt

ra nghiên cứu mà tôi chưa đề cập tới được, chẳng hạn như hệ thặng dư đầy đủ

nhỏ nhất, hệ thặng dư đầy đủ có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất theo modun µ,

Hi vọng rằng những vấn đề được trình bày trong khóa luận cũng như vấn đềđặt ra ở trên sẽ nhận được sự quan tâm từ phía các thầy cô giáo và các bạn sinhviên trong khoa

và xác định cụ thể vành số nguyên đại số trường đại số bậc hai

Q(√

d) Trên sở khóa luận trình bày cách chi tiết lý thuyết đồng. .. vàZAlà vành số nguyên

Ta gọi số đại số bậc hai ε khác của< /i>K ước đơn vị ZAnếu

cả ε ε−1 số nguyên đại số Nghĩa

ε... đồng

dư vành số nguyên đại số trường< b>Q(√

? ?3) .Trong khuôn khổ khóa luận, cịn số vấn đề đặt

ra nghiên cứu mà tơi chưa đề cập tới được, chẳng hạn hệ thặng dư đầy đủ

nhỏ