Tính chính và tính ơclit của vành các phần tử nguyên đại số của trường q(√d)

LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN Tập hợp số nguyên Z là tập hợp các số đại số bậc nhất, đó là vành con của trường các số đại số bậc nhất Q.. Trong chương trình Đại số - Số học dạy ở các trườngĐại họ

Mục lục

1.1 MỘT SỐ VÀNH TRONG SỐ HỌC:

VÀNH GAOXƠ, VÀNH ƠCLÍT VÀ VÀNH CHÍNH 6

1.1.1 VÀNH GAOXƠ (VÀNH NHÂN TỬ HÓA) 6

1.1.2 VÀNH CHÍNH 8

1.1.3 VÀNH ƠCLIT 11

1.2 VÀNH A CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNGQ√d 13

1.2.1 Định nghĩa 13

1.2.2 Các tính chất 13

1.2.3 Định nghĩa vết và chuẩn của α 15

1.2.4 Xác định cụ thể phần tử của A 17

2 TÍNH CHÍNH VÀ TÍNH ƠCLÍT CỦA VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG Q√dVỚI d=2; 5; 10; 13; 15; 17 21 2.1 Trường hợp d=2 21

2.2 Trường hợp d=10 22

2.3 Trường hợp d=15 23

2.4 Trường hợp d=5 24

2.5 Trường hợp d=13 25

2.6 Trường hợp d=17 26

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, những người luôn động viên,giúp đỡ tôi trong suốt khóa học và khi tôi làm khóa luận này.

Sơn La, tháng 05 năm 2018

Sổm Kẹo Xay Nhạ Vông

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN

Tập hợp số nguyên Z là tập hợp các số đại số bậc nhất, đó là vành con

của trường các số đại số bậc nhất Q Nhóm nhân các ước đơn vị trong vành

số nguyên Z là {−1; 1} Trong chương trình Đại số - Số học dạy ở các trườngĐại học và Cao đẳng sư phạm chúng ta đã nghiên cứu một cách có hệ thống cáctính chất số học trong vành số nguyênZ Nhiều vấn đề của toán học dẫn tới việc

nghiên cứu các vành số nguyên đại số của các trường đại số bậc hai, bậc ba Vấn đề đặt ra là trong vành các số nguyên đại số bậc hai, bậc ba, hệ thống cáctính chất số học đã được nghiên cứu trong vành số nguyênZ có còn đúng nữa

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu về vành các phần tử nguyên đại số của trường đại số bậc hai, tínhchính và tính Ơclit của nó

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Hệ thống được một số kiến thức cơ bản của vành Gaoxơ (vành nhân tử), vànhchính, vành Ơlit và tìm hiểu tính chính, tính Ơclit của vành các phần tử nguyênđại số của trường đại số bậc hai

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Dịch một chương tiếng Anh trong tài liệu [3]

Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

6 CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Từ mục đích và nhiêm vụ nghiên cứu đặt ra, bố cục của khóa luận được sắpxếp như sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu thamkhảo, nội dung của khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1:Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bày một số nội dung cơ bản của vành Gaoxơ,vành chính, vành Ơclit Sau đó, nghiên cứu về vành các phần tử nguyên đại sốcủa trường đại số bậc hai

Chương 2:Tính chính và tính Ơclit của vành các phần tử nguyên đại số củatrườngQ√dvới d=2; 5; 10; 13; 15; 17

Chương này là nội dung cơ bản của khóa luận, tôi trình bày tính chính và tínhƠclit của vành các phần tử nguyên đại số của trường đại số bậc hai với nhữngtrường hợp cụ thể d=2; 5; 10; 13; 15; 17

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN

Khóa luận đã dịch được trọn vẹn một chương trong tài liệu [3] Từ đó, trìnhbày được cụ thể tính chính, tính Ơclit của vành các phần tử nguyên đại số củatrường đại số bậc hai ứng với d=2; 5; 10; 13; 15; 17

Một miền nguyên vẹn G gọi là một vành Gaoxơ hay vành nhân tử hóa nếu

và chỉ nếu mỗi phần tử khác không và khác ước của đơn vị của nó đều phân tíchđược thành một tích những phần tử bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhấtnếu không kể đến thứ tự và các nhân tử là ước của đơn vị

VậyZ√−3không phải là vành Gaoxơ

Như vậy, độ dài của a bằng độ dài của b cộng với độ dài của c.

Từ đó suy ra mọi dãy ước thực sự a1, a2, , an−1, an, đều phải dừng lại saumột số hữu hạn bước (vì dãy các độ dài tương ứng bắt buộc phải dừng lại saumột số hữu hạn bước)

Thật vậy, I là một ideal củaZ.

Nếu I = {0}thì I là ideal sinh bởi 0

Nếu I 6= {0}thì khi đó, tồn tại một số nguyên khác không a ∈ I

Vì a∈ I và I là một nhóm con của nhóm cộngZ nên−a∈ I

Trong hai số khác không a và−abao giờ cũng có số dương

Vì trong mọi tập hợp số nguyên dương bao giờ cũng tồn tại một phần tử bé nhấtnên trong tập hợp các số nguyên dương của I, tồn tại số bé nhất mà ta gọi là m.Giả sử x là một phần tử bất kỳ của I Chia x cho m ta được:

x=mq+r với 0≤r<m

Vì x và m thuộc I nên qm và r=x−mqcũng thuộc I

Ta đã có m là số nguyên dương bé nhất của H nên bắt buộc ta phải có r=0,tức là x=mq

Vậy I ⊆ mZ và vì dĩ nhiên mZ⊆ I nên ta có I = mZ (với m là số nguyên

dương bé nhất của I) Hay I=mZ là ideal sinh bởi m.

Khi đó, ta có dãy các ideal:(a1) ⊂ (a2) ⊂ ⊂ (an) ⊂

Xét tập hợp A= ∪(ai), i=1, , n, Ta có A là một nhóm con của nhómcộng C

Mặt khác, lấy x∈Cvà a∈ A, ta có a∈ (an)với một n nào đó, do đó ax

và xa∈ (an) ⊆ A Vậy A là một ideal của C

Nhưng C là vành chính nên có b∈Csao cho A= (b)

Hiển nhiên ai ∈ (b)với mọi i=1, 2, 3, , n,

Vậy b\ai với mọi i=1, 2, 3, , n,

Mặt khác, b∈ Anên b∈ (ak)với một k nào đó, do đó ak\b

Vậy ak\ai với mọi i=1, 2, 3, , n,

Từ đó, suy ra ak\ak+1 Nhưng ak+ 1\ak nên ak∼ ak+1, tức là ak+ 1 khôngphải là ước thực sự của ak

Điều này mâu thuẫn với giả thiết về dãy a1, a2, , an,

Mệnh đề 1.9 :

Mọi vành chính đều thỏa mãn điều kiện có ƯCLN

Chứng minh. :

Thật vậy, giả sử a và b là hai phần tử của C Gọi I là tập hợp các phần tử của

Ccó dạng ax+bytrong đó x, y∈ C Khi đó I là một ideal của C

Mặt khác, C là vành chính nên I phải là ideal chính, sinh ra bởi phần tử dchẳng hạn: I=ax+by|x, y∈C

=dC

Ta sẽ chứng minh d là ƯCLN của a và b.

Vì a=a·1+b·0=da0 với a0 ∈C

b=a·0+b·1=db0 với b0∈ C

Nên d\avà d\bhay d là ước chung của a và b

Ta cũng có d thuộc I nên d có dạng d=ax0+by0 với x0, y0∈ C

Mặt khác, nếu t\avà t\bthì ta có a =ta” và b=tb” với a”, b”∈C

Khi đó, ta có: d=ax0+by0 =t(a”x0 +b”y0)suy ra t\d

Theo mệnh đề 1.8, ta có: d là một ước chung lớn nhất của a và b

Nhưng I =J nên d cũng sinh ra J và do đó d cũng là một ước chung lớn nhấtcủa b và r

Vậy d= (a, b) = (b, r)

1.1.3 VÀNH ƠCLIT

Định nghĩa 1.12 :

Một miền nguyên vẹn E gọi là một Ơclit nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ g

từ tập E∗các phần tử khác không của E tới tậpN các số tự nhiên

g : E∗−→N

a7−→g(a)

Sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) g(ab) ≥g(a),∀a, b∈ E∗

ii) Với hai phần tử a và b6=0 của E tồn tại hai phần tử q và r của E sao cho ta có

a=bq+rvới r=0 hoặc g(r) <g(b)(phép chia với dư)

Thật vậy, giả sử b là một phần tử bật kỳ của I

Ta có: b=aq+rvới r=0 hoặc g(r) <g(a)

Vì r=b−aq∈ I nên theo định nghĩa của a, ta không thể có g(r) < g(a)

Do đó r=0 và b=aq Tức là I ⊆aE

Mặt khác, rõ ràng aE⊆ I nên ta có: I =aE

Hệ quả 1.14 :

Mọi vành Ơclit đều thỏa mãn điều kiên dãy dừng những ước thực sự, thỏamãn điều kiện có ƯCLN và đều là vành Gaoxơ

i Nếu α là số nguyên của K thì liên hợp của nó cũng là số nguyên của K.

2i Kí hiệuAlà tập hợp các số nguyên của trường đại số K ta có:

A=K∩ A

1.2.2 Các tính chất

Tính chất 1.17. :

Giả sử α∈K, α là số nguyên đại số nếu nó là một nghiệm của đa thức với hệ

số nguyên hữu tỉ mà hệ số bậc cao nhất bằng 1

Chứng minh. :

Giả sử F(x) = xn +a1xn−1 + +an ∈ Z[x] sao cho F(α) = 0 Ta sẽ chứng

mimh đa thức tối tiểu của α∈Z[x]

Bậc của α bằng 1 hoặc bằng 2 nên ắt có đa thức f(x) =b0x2 +b1x+b2 hoặc

f(x) = b0x+b1 thuộc Z[x] là đa thức nguyên bản mà f(α) = 0, dĩ nhiên có

đa thức như thế và f(x) bất khả quy trongQ[x] Bởi vì F(x) và f(x) có chung

nghiệm α và f(x)bất khả quy trongQ[x]nên f(x) rF(x)trongQ[x]

Giả sử F(x) = f(x) · p

q ·g(x) với g(x) là một đa thức nguyên bản, p, q∈ Z;

pq6=0 Khi ấy, qF(x) = p f(x) ·g(x) Nhưng tích f(x) ·g(x)và F(x)là những đathức nguyên bản nên p=qvà ta có F(x) = f(x) ·g(x) Lại vì hệ số bậc cao nhấtcủa F(x)là 1 nên ta cũng có b0=1 và f(x)là đa thức tối tiểu của α.

Vậy α là số nguyên đại số.

nhưng α là nghiệm của đa thức x−avà x−alà đa thức tối tiểu của α, thêm nữa

đa thức tối tiểu là duy nhất nên do α∈ Aphải có x−a∈Z[x]

Nếu α /∈Q thì đa thức f(x) ∈Z[x]suy ra 2a∈Z và a2 −db2 ∈Z.

Điều kiện đủ: Giả sử α=a+b√d∈K=Q(√

d)và 2a∈Z, a2−db2∈Z

ta chứng minh α∈ A

Do 2a∈ Z và a2−db2 ∈ Z nên f(x) = x2−2ax+a2 −db2 ∈ Z[x] Ta nhậnthấy f(x) có hệ số của hạng tử bậc cao nhất bằng 1 và f(x)nhận α làm nghiệm.

1.2.3 Định nghĩa vết và chuẩn của α

Với α=a+b√d∈Q√dthì N(α) =a2−b2dđược gọi là chuẩn của α

và Tr(α) =2a được gọi là vết của α.

α∈ A⇔Tr(α) ∈Z và N(α) ∈Z

q>1,(q, p) =1, thế thì dv2 =d p

2

q2

!suy ra q2 |dp2 và do (p2, q2) =1nên d q2do đó d chứa nhân tử bình phương một số nguyên khác 1, điều này tráivới giả thiết

* Trường hợp d≡2(mod4)hoặc d≡3(mod4)

GIả sử α=a+b√d∈ A, theo chứng minh trên 2a=u∈Z,2b=v∈ Z

và u2−dv2 ≡0(mod4)

Nếu v=2b≡1(mod2)thì v2 ≡1(mod4) Trong khi đó, u2 ≡dv2(mod4)

và d≡2(mod4)hoặc d≡3(mod4)suy ra u2≡2(mod4)hoặc u2 ≡3(mod4),trái với lưu ý trên Vậy, v=2b≡0(mod2)nghĩa là b= v

2 ∈Z.

Từ v≡0(mod2)suy ra v2 ≡0(mod4), kết hợp với u2 ≡dv2(mod4)

ta được u2 ≡0(mod4) Do đó, u =2a≡0(mod2)nghĩa là a= u

2 ∈Z.

Như vậy, nếu α=a+b√d∈ Athì a ∈Z,b∈Z.

Đảo lại, với α=a+b√d|a∈Z,b∈Z thì rõ ràng u =2a∈Z,v=2b∈Z

và u2−dv2 =4(a2−b2d) ≡0(mod4)nên α =a+b√d∈ A.

Vậy d≡2(mod4)hoặc d≡3(mod4)thì ta có:

A= {a+b√d|a, b∈Z}

* Trường hợp d≡1(mod4):

Giả sử α=a+b√d∈ Athì:

2a=u∈Z,2b=v∈Z và u2−dv2 ≡0(mod4)

Nếu u=2a≡0(mod2)thì u2 ≡0(mod4)nên u2−dv2≡0(mod4)

và d≡1(mod4)suy ra v2 ≡0(mod4)do đó v≡0(mod2)

Vậy u=2a≡0(mod2)nghĩa là a= u

2 ∈Z thì cũng có v=2b≡0(mod2)nghĩa là b= v

2 ∈Z.

Từ đó, α=a+b√d=a−b+2b1+

√d

2 =n+m

1+√

d2với n=a−b∈Z,m =2b∈Z.

Nếu u=2a≡1(mod2)thì u2 ≡1(mod4)nên từ u2−dv2 ≡0(mod4)

và d≡1(mod4), suy ra v2 ≡1(mod4), do đó v ≡1(mod2)

Vậy u=2a≡1(mod2)nghĩa là u=2a0+1 với a0 ∈Z thì cũng

có v=2b≡1(mod2)nghĩa là v=2b0+1, b0 ∈Z Từ đó

α=a+b√d= u

2 +

v2

√

d= 2a0 +1

2b0+12

√d

=a0−b0+ (2b0+1)1+

√d

2 =n+m

1+√

d2với n=a0−b0 ∈Z,m=2b0+1∈Z.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

Nếu α∈ Athì α=n+m1+

√d

2 ở đó, n, m∈Z.

Ngược lại, nếu α=n+m1+

√d

2 ở đó, n, m∈Z

thì α= 2n+m

m2

n, m∈Z







N rb



N(r)N(b)

= δ(r)

δ(b) <1.

Vậy|N(α−β) |<1

⇐ Giả sử ∀α ∈ Q√d,∃β ∈ A sao cho | N(α− β) |< 1 ta chứng minh ánh

sao cho α=µβ+γ và δ( γ) <δ(β)nếu γ6=0

Thật vậy: theo giả thiết với α

β ∈ A ∃µ∈ A∗sao cho

N α

β −µ

! ... 2

TÍNH CHÍNH VÀ TÍNH ƠCLÍT CỦA VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN

2.2 Trường hợp... <δ(β)

Vậy δ ánh xạ Ơclít A với δ vành Ơclít.

·Ký hiệu: δ=| N |và gọi hàm trị tuyệt đối chuẩn

a, b∈Z



... d=10≡2(mod4)nên A=na+b√10|a, b∈Zo

Giả sử A vành Ta có 2\10 nên ∃m, n ∈Z

sao cho|m2 −10n2 |=2 (2.2.1)