CONG THUC TOAN 12

Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp.. Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đ[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc được gọi là hệ trục toạ độ vuơng gĩc Oxyz trong khơng gian

z

 k

 i O  j y

x

 O ( 0;0;0) gọi là gĩc toạ độ

 Các trục tọa độ:

 Ox : trục hồnh

 Oy : trục tung

 Oz : trục cao

 Các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đơi một

vuơng gĩc với nhau

   i j k, , là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

 i = (1;0;0), j

 = (0;1;0), k = (0;0;1)

 i  j k 1

và i2 j2 k2 1

 ij, jk

, ki

 i j  0, j k . 0

 

, k i . 0

  ,i j  k

,  j k,   i

, k i,   j

  

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

 M Ox  M(x;0;0)

 M Oy  M(0;y;0)

 M Oz M(0;0;z)

 M (Oxy)  M(x;y;0)

 M (Oyz) M(0;y;z)

 M (Oxz) M(x;0;z)

 Tọa độ của điểm:                                                             ( ; ; )

O M x i y j z k M x y z

 Tọa độ của vectở: a a i a j a k   1   2   3   a a a a   ( ; ; )1 2 3

CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.

Cho ax y z1; ;1 1,bx y z2; ;2 2 và số k tuỳ ý, ta cĩ:

1 Tổng hai vectơ là một vectơ.

 a b      x x y y z z1 2; 1 2; 1 2

2 Hiệu hai vectơ là một vectơ.

 a b      x x y y z z1 2; 1 2; 1 2

3 Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.

 k a k x y z.  1; ;1 1  kx ky kz1; 1; 1

4 Độ dài vectơ Bằng hoành2tung2cao2





Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

2

y y y

2

z z z

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC)

Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là:

3

; ; 3

 Hai vectơ a, b không cùng phương   ,   0

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

C B

ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.

Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực hiện các

A

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực

hiện các bước sau:

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.

Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta

thực hiện các bước sau:

 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.

 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên các trục tọa độ.

Chú ý: Thể tích không âm.

Vấn đề 5: Diện tích tam giác.

he äsoá yb

-2

he äsoá zc

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=

 Gọi I trung điểm AB I ; ;  

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:       

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: x y z 2ax-2by-2cz+d=02  2  2  .

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.

BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Cơng Thành 0909077549

Phướng pháp.

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2  2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C, D thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

thế tọa độ điểm D vào pt (*)

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0 0 và cĩ vectơ pháp tuyến

n A;B;C



Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0 0.

 Mặt phẳng (P) cĩ VTPT nA;B;C

 Ptmp (P): A x x  0 B y y  0 C z z  0 0

Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0 0 và song song hoặc chứa giá

của hai vectơ a , b .

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.

P )

Q ) A

P)

Q )

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).

BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành 0909077549

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):

Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).

BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành 0909077549

VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tìm giao điểm của đường thẳng d:

0 0 0

 Gọi H là giao điểm của d và (P)

 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0 0 0

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P)

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).

Phương pháp:

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM”

/

/ /

/

/ /

22

22

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’

VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.

Phương pháp:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với

đường thẳng d

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm

của đoạn thẳng MM’

/

/ /

/ / /

22

22

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp:

Bước 1:

 Xác định điểm M thuộc d và VTCP a  của d.

 Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a'  của d’.



P)

BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành 0909077549

o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.

o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP

Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:

0 0 0

o Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm

o Pt (*) vô nghiệm  d song song với (P)

o Pt(*) có vô số nghiệm t  d nằm trong (P)

0t 0 voâ soá nghieäm 

VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.

1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A  AB AC AB AC AB.AC 0                  

Chú ý: Nếu tam giác ABC vuông tại B   BC     BA BC BA.BC 0                                                        

 Nếu tam giác ABC vuông tại C C   CB  CA CB CA.CB 0                                                           

2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ VUÔNG GÓC với nhau.

 Kết luận d và d’ vuông góc với nhau

3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’.

Phương pháp:

Do d d'   ad  ad'  a ad d'   0 

ta giải pt tìm được tham số.

4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’.

Cần nhớ:

 Hai đường thẳng song song không có điểm

chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc

đường thẳng kia

 Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ

phương cùng phương với nhau

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:

BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành 0909077549

6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

d:

0 0 0

' ' '' ' '' ' '

 Gọi I là giao điểm của d và d’

 Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:

' ' ' (1)' ' ' (2)' ' ' (3)

 Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ (*) vô nghiệm

 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I

8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.

 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a  của d.

 Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a'  của d’.

VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

Cách tính: Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:

 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a  của d.

 Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a'  của d’.

 Chứng minh:

a,a' 0 a,a' MM' 0

VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

 Chọn điểm M thuộc d.

 d d,d'    d M,d'  

VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng d cĩ phương trình tham số:

0 0 0

 Đường thẳng là tập hợp vơ số điểm.

 Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M cĩ tọa độ là: M x  0  at;y0  bt;z0  ct 

VẤN ĐỀ 18: GĨC.

1/ Gĩc giữa hai đường thẳng là gĩc giữa hai vectơ chỉ phương.

VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).

 Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

 Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d d I, P     

.

o TH1: d r   (P) (S)=   (hay (P) và (S) khơng cĩ điểm chung).

o TH2: d r   (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).

o TH3: d r   (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).

 Cách xác định tâm và bán kính đường trịn(C).

- Gọi H là tâm của (C).

Khi đĩ H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I và vuơng gĩc mp(P).

Cần nhớ: MP vuơng gĩc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến.

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến.

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến.

Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuơng gĩc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB.

- Phương trình tổng quát của mp cĩ dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2B2C2 0

- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x ;y ;z )0 0 0 cĩ vectơ pháp tuyến nP A;B;C

một điểm M(x ;y ;z ) thuộc mpmột VTPT n A;B;C

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến.

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến.

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C

0 0 0 HD

Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.

Cần nhớ: Mp(ABC) cĩ VTPT là nABC AB,AC

một điểm M(x ;y ;z ) thuộc đường thẳngmột VTCP a a;b;c

Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ AB .

Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P)

Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’.

Kiến thức khơng được quên:

Vấn đề 2: Các dạng tốn khác.

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số

Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa cĩ pt tham số thì ta viết pt tham số trước.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau:

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuơng gĩc với nhau  a ad d' 0

 

Cần nhớ: Để CM hai đt vuơng gĩc với nhau ta đi chứng minh tích vơ hướng của hai VTCP bằng 0.

Dạng 3 : Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.

Cần nhớ: Hai đt song song khơng cĩ điểm chung:

Ta chứng minh hai VTCP cùng phương

điểm đt này không đt kia

Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và một điểm

thuộc đường thẳng này nhưng khơng thuộc đường thẳng kia

Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d

ba phân số bằng nhau d

ba phân số không bằng nhau d

Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp:

Ta chứng minh a.n 0  và điểm thuộc đt nhưng khơng thuộc mp.

Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vơ hướng của VTCP và VTPT bằng 0 và

điểm thuộc đường thẳng nhưng khơng thuộc mp

Chú ý: Ta khơng cần viết pt mp(Oyz) mà ta chỉ cần VTPT của mp(Oyz).

Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mp:

BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành 0909077549

  Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với nhau.

Vấn đề 4: Các bài toán về tam giác.

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác

Ta chứng minh: AB,AC  không cùng phương.

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

Ta chứng minh: AB,AC  cùng phương.

Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân.

Cần nhớ:

Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp.

Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt.

Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng là bốn đỉnh của một tứ diện).

  Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng  AB,AC AD 0 

  

Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau  a,a' AB 0 

  

Với A thuộc d và B thuộc d’

Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CMa,a' AB 0 

 Nếu thế t=-1 và t’=1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’.

 Ta có thể thế t’=1 vào pt của d’ để tìm tọa độ điểm H.

Cần nhớ: