2a Đối với hàm phân thức: tìm tiệm cận 2b Đối với hàm đa thức: Xét tính lồi lõm, điểm uốn.. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ Cho hàm số y=fx có đồ thị C.. Lập phương trình tiếp tuyến của C tại điểm
Trang 1Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
I Hàm số mũ
• y=a x ; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞
1
−∞
y +∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
y=3 x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -3 -1 1 2
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
x
y= 3
II Hàm số lgarit
• y=log a x, ĐK:
≠
<
>
1 0
0
a
x
; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
x 0 0 +∞ x 0 0 +∞
1
−∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3)
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -9 -8 -6 -4 -2 1 3
x y
y=x
y=3 x
y=log3x
f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x y
x
y 3
x y
3
log
= y=x
III Các công thức
1 Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a n a m =a n+m; n m
m
n a a
a = − ;( n
a
1
=a−m ; a0=1; a− 1=
a
1 );
(a n)m =a nm ; (ab) n =a n b n; m n
n b
a b
a
=
n
m
a
2 Công thức logarit : logab=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
Trang 2Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009 loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga 2
1
x
x
= logax1−logax2;
x
aloga x = ; logaxα=αlogax;
x
a 1 log
log
α
α = ;(logaa x =x); logax= a x
b
b
log
log
;(logab= a
b
log
1 ) logba.log a x=log b x; alog
b =xlog
b
IV Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1 Phương trình mũ−logarit
a Phương trình mũ :
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x)
+ 0<a≠1: a f(x) =b ⇔
( )
=
>
b x
f
b
a
log
0
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2± 3), (7± 4 3),… Nếu trong một phương trình có chứa
{a 2x ;b 2x ;axbx} ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x
Phương pháp logarit hóa: af(x) =b g(x)⇔ f(x).logc a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c≠1
b P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
+logaf(x)=g(x)⇔
( ) ( )
=
≠
<
x g
a x f
a 1
0
+logaf(x)= log a g(x)⇔ ( ) [ ( ) ]
( ) ( )
=
>
>
≠
<
x g x f
x g x
f
a
0 0
1 0
Đặt ẩn phụ
2 Bất phương trình mũ−logarit
a Bất phương trình mũ :
af(x) >a g(x) ⇔
>
−
−
>
0 1
0
x g x f a
a
; af(x)≥a g(x) ⇔
≥
−
−
>
0 1
0
x g x f a
a
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x);
a f(x)≥a g(x) ⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)<g(x);
a f(x)≥a g(x) ⇔ f(x)≤g(x).
b Bất phương trình logarit :
logaf(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ]
>
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,0
1 0
x g x f a
x g x f
a
; logaf(x)≥logag(x)⇔ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ]
≥
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,0
1 0
x g x f a
x g x f
a
Đặt biệt:
Trang 3Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( )
( )
>
>
0
x g
x g x
f
;
+ Nếu 0<a<1 thì: loga f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( )
( )
>
<
0
x f
x g x
f
*
* *
ĐẠO HÀM
I Quy tắc tính đạo hàm
w v u w
v
u
' '
' '
' ' ' '
2 1 2
±
±
=
±
±
' '.
'
' '
w v u w v u w v u w v u
v u v u v u
u k u k
+ +
=
+
=
=
' ' '
2 '
2 '
.
' 1
; ' '.
x u
y
v
v v
v
v u v u v u
=
−
=
−
=
II Công thức tính đạo hàm
( )
( )
x
x
α.x
'
x
k
α
α
2
1
'
1
1
0
'
2
'
1
=
−
=
=
=
u
u
u u
u α.u '
2
' '
' 1
'
2 '
1
=
−
=
x x
x x
x
x x
x x
2 2
2 2
cot 1 sin
1 '
cot
tan 1 cos
1 ' tan
sin ' cos
cos ' sin
+
−
=
−
=
+
=
=
−
=
u
u u
u u
u
u u
u u u
u u u
2 2
2 2
cot 1 '.
sin
' '
cot
tan 1 '.
cos
' ' tan
sin '.
' cos
cos '.
' sin
+
−
=
−
=
+
=
=
−
=
=
( )
( )a a a
e
e
x
x
x
x
ln
'
'
=
( )' ln '
' '
u a a a
u e e
u u
u u
=
x x
a
ln
1 ' log
1 ' ln
=
u u
u u
a
ln
' ' log
' ' ln
=
=
d cx
bc ad y d cx
b ax y
+
−
=
⇒ +
+
2 2
' '
' ' ' 2 ' ' '
c a bb x ab x
aa y b
x a
c bx ax y
+
− + +
=
⇒ +
+ +
III Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Dạng toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0;y0) Khi
đó phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y−y0 =y' ( )x0 (x−x0 ) (*)
IV Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp 2: y’’=(y’)’
Đạo hàm cấp 3: y’’’=(y’’)’
Đạo hàm cấp 4: y(4)=(y’’’)’
………
Đạo hàm cấp n: y (n) =(y (n− 1))’
*
* *
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Các dạng toán thường gặp về ứng dụng của đạo hàm:
1 Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b):
f(x) đồng biến ⇔ f'(x)≥ 0 f(x) nghịch biến ⇔ f'(x)≤ 0
x a b x a b y' + y' −
y y
(xem lại các bài toán xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai trong chương trình lớp 10)
Trang 4Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
2 Quy tắc tìm CĐ, CT:
Quy tắc I: 1) Tìm f'(x)
2) Tìm các điểm tới hạn (điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định) 3) Xét dấu đạo hàm
4) Từ bảng biến thiên suy ra cực trị
x a x0 b x a x0 b y' + 0 − y' − 0 +
y CĐ y CT
Quy tắc II: 1) Tính f'(x), giải phương trình f'(x)=0 tìm các nghiệm xi (i=1;2;…)
2) Tính f''(xi)
3) f''(xi)>0⇒ xi là điểm CT; f''(xi)<0⇒ xi là điểm CĐ
3 Tính lồi, lõm, điểm uốn:
x a x0 b y'' − 0 +
(C) lồi Điểm uốn lõm
U(x0;y0)
4 Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)
a Tìm GTLN,GTNN trên một khoảng: lập bảng biến thiên trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó để kết luận Nếu trên khoảng (a; b) hàm số đơn trị thì GTLN hoặc GTNN trùng với giá trị cực trị của
hàm số
b Tìm GTLN,GTNN trên một đoạn [a; b]:
1)Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …, xn của f(x) trên đoạn [a;b]
2) Tính f(a), f(x1), f(x2), …,f(xn), f(b) 3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
a b
a b
M =max f x m= f x .
*
* *
TIỆM CẬN
1 Định nghĩa:
(d) là tiệm cận của (C)
( ) ( )
0 lim =
⇔
∈ ∞→ C M
2 Cách xác định tiệm cận
0
x x d x
f
x x
=
⇒
∞
=
b Tiệm cận ngang: lim f( )x y0 ( )d :y y0
∞
c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=λx+µ trong đó:
( ) [f( )x x]
x
x
f
x
∞
→
∞
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
n
mx
b
ax
y
+
+
=
+TXĐ: D= R\
−
m n
+TCĐ: y ( )d x m n
m
n
x
−
=
⇒
∞
=
−
→
: lim
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)
n mx
A x
n mx
c bx ax y
+ + +
= +
+ +
+TXĐ: D= R\
−
m n
m
n x d y
m
n x
−
=
⇒
∞
=
−
→
: lim
(x0 là nghiệm của
phương trình y’’=0)
6
4
2
-2
-4
-6
y
x
(d) (C)
h y ( ) = 0
g x ( ) = 0
f x ( ) = 1.7 x
H M
Trang 5Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
m
a y d m
a y
∞
lim
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
y
m a
y=
m n
x −
I
+TCX: lim = 0
+
∞
→ mx n
A
x ⇒ TCX: y=λx+µ
f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=x/2+1/2 x(t)=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
y
µ
λ +
=x y
m n
x −
I
KHẢO SÁT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUA N ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Tìm tập xác định D
2) Xét sự biến thiên:
Tính y’.
Giải phương trình: y’=0 ⇒ nghiệm xi thay vào hàm số⇒yi (i=1,2,3…)
Tính giới hạn
2a) Đối với hàm phân thức: tìm
tiệm cận
2b) Đối với hàm đa thức: Xét tính lồi lõm, điểm uốn
Tính y’’
Giải phương trình: y’’=0 ⇒ nghiệm xi thay vào hàm số⇒yi (i=1,2,3…)
Lập bảng xét dấu y’’_kết luận lồi, lõm, điểm uốn.
Lập bảng biến thiên_kết luận CĐ, CT, chiều biến thiên
3) Vẽ đồ thị:
Cho điểm đặc biệt
Biểu diễn theo thứ tự: tiệm cận (nếu có); các điểm cực trị; điểm uốn; điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ
ĐỌC THÊM:
Bảng tóm tắt khảo sát bốn hàm số cơ bản
1 Hàm đa thức bậc ba y=ax3+bx2+cx+d (a≠0)
1/ TXĐ: D=
2/ Đạo hàm y'=3ax2+2bx+c; y''=6ax+2b.
Đồ thị luôn có một tâm đối xứng trùng với điểm uốn U.
y’=0 có hai nghiệm phân biệt y’=0 có nghiệm kép y’=0 vô nghiệm
a>0
Trang 6Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
f(x)=x^3-3x^2+2
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
x
y f(x)=x^3-3x^2+3x-1
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
x
y f(x)=x^3-3x^2+3.5x-1.5
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
x y
a<0
f(x)=-x^3+3x^2-2
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
x
y f(x)=-x^3+3x^2-3x+1
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
x
y f(x)=-x^3+3x^2-3.5x+1.5
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
x y
2 Hàm đa thức (hàm trùng phương) y=ax4+bx2+c (a≠0)
1/ TXĐ: D=
2/ Đạo hàm y'=4ax3+2bx=2x(2ax2+b); y''=12ax2+2b Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
y’=0 có ba nghiệm y’=0 có một nghiệm a>0
f(x)=x^4-3x^2+1
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-13 -11 -9 -7 -5 -3 -1
1
x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-13 -11 -9 -7 -5 -3 -1
1
x y
a<0
f(x)=-x^4+3x^2-1
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-13 -11 -9 -7 -5 -3 -1
1
x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-13 -11 -9 -7 -5 -3 -1
1
x y
3 Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
n mx
b ax y
+
+
+TXĐ: D= \
−
m
n
; ' ( )2 ( )2
n mx
D n
mx
bm an y
+
= +
−
=
+TCĐ: y ( )d x m n
m
n
x
−
=
⇒
∞
=
−
→
:
m
a y d m
a y
∞
lim
Trang 7Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
f(x)=x/(x+1)
f(x)=1
x(t)=-1 , y(t)=t
T ?p h?p 1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
y
m a
y=
m n
x −
I
f(x)=x/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
y
m a
y=
m n
x −
I
4 Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ) ( )
n mx
A x
n mx
c bx ax y
+ + +
= +
+ +
+TXĐ: D= \
−
m n
m
n x d y
m
n
x
−
=
⇒
∞
=
−
→
:
+
∞
→ mx n
A
x ⇒ TCX: y=λx+µ
am>0 y'=0 có hai nghiệm phân biệt
Các giới hạn:
+∞
=
−∞
=
−
=
⇒
∞
=
⇒
+∞
=
−∞
=
+∞
→
−∞
→
−
→
−
→
−
y y
m
n x TCĐ y
y y
x x
m
n x
m
n x m
n x
lim
; lim
*
: lim
lim
; lim
*
f(x)=x^2/(2(x-1))
f(x)=x/2+1/2
x(t )=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
y
µ
λ +
=x y
m n
x −
I
y'=0 vô nghiệm
Các giới hạn:
+∞
=
−∞
=
−
=
⇒
∞
=
⇒
+∞
=
−∞
=
+∞
→
−∞
→
−
→
−
→
−
y y
m
n x TCĐ y
y y
x x
m
n x
m
n x m
n x
lim
; lim
*
: lim
lim
; lim
*
f(x)=(x+1)/2-1/(2(x-1)) f(x)=x /2+1/2 x(t )=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x y
µ
λ +
=x y
m n
x −
I
am'<0 y'=0 có hai nghiệm phân biệt
Các giới hạn:
−∞
= +∞
=
−
=
⇒
∞
=
⇒
−∞
= +∞
=
+∞
→
−∞
→
−
→
−
→
−
y y
m
n x TCĐ y
y y
x x
m
n x
m
n x m
n x
lim
; lim
*
: lim
lim
; lim
*
y'=0 vô nghiệm
Các giới hạn:
−∞
= +∞
=
−
=
⇒
∞
=
⇒
−∞
= +∞
=
+∞
→
−∞
→
−
→
−
→
−
y y
m
n x TCĐ y
y y
x x
m
n x
m
n x m
n x
lim
; lim
*
: lim
lim
; lim
*
Trang 8Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
f(x)=-x^2/(2(x-1))
f(x)=-x/2-1/2
x(t)=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
x y
µ
λ +
=x y
m n
x −
I
f(x)=-(x+1)/2+1/(2(x-1)) f(x)=-x/2-1/2 x(t)=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
x
y
µ
λ +
=x y
m n
x −
I
Các bảng xét dấu thường gặp:
II MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUA N ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)
f’(x0)_hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;y0)∈(C) là:
y−y0=f’(x0)(x−x0)
Điều kiện để đường thẳng y=kx+b tiếp xúc với (C): ( )
( )
=
+
=
k x f
b kx x
f
'
1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
a Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;y0)∈(C).
b Lập phương trình tiếp tuyến của (C) khi biết hệ số góc k.
c Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ;y A):
+Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k: y=k(x−x A)+yA (d).
f(x)=-x^3-3x^2+3 y=2.25x+3.5
T ?p h?p 1
x y
(C)
M(x0;y0 )
Trang 9f(x)=-x^3+3x^2-1 f(x)=-x+2
T ?p h?p 1 x(t)=-1 , y(t )=t
y
x3
x2
nghieäm x1
giao ñieåm A
B
C
O
+Giải phương trình ( ) ( )
( )
=
+
−
=
k x f
y x x k x
' ⇒k rồi thay vào (d) ta được phương trình tiếp tuyến.
2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị
(C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) =g(x) (1) Số giao điểm của (C1)
và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)
(1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm chung
(1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x1 ⇔ (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1)
(1) có nghiệm kép x0 ⇔ (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0)
*
* *
TÍCH PHÂN−ỨNG DỤNG
1 Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp
C x
∫
1
1
≠ +
+
α
α
αdx x C
x
=
x
dx
C e
dx
∫
ln + < ≠
=
a
a
dx
a
x x
C x
C x
C x dx
cos
1
2
C x dx
x = − +
sin
1
2
a b ax
1
≠ +
+
+
=
α
α
a dx b ax
ln 1
≠ +
+
= +
a b ax dx
C e
a dx
e ax+b = ax+b +
a dx b
a dx b
ax+ = − + +
(ax b)dx=a (ax+b)+C +
cos
1 2
(ax b)dx= −a (ax+b)+C +
sin
1 2
C u
∫
1
1
≠ +
+
α
α
αdu u C u
=
u du
C e du
∫
ln + < ≠
=
a
a dx a
u u
C u
C u
C u du
cos
1
2
C u du
u = − +
sin
1
2
2 Tích phân
a Tính chất
a Công thức: f( )x dx F( )x b a F( )b F( )a
b
a
−
=
=
∫ ; trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).
b.Tính chất:
Trang 10Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
a
dx
x
a
b
b
a
dx x f dx
x f
b
a
b
a
dx x f k dx
x
b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x
f
b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx
x
∫b
a
dx
x
f
• f(x)≥g(x) trên đoạn [a;b]⇒∫ ( ) ≥∫ ( )
b
a
b
a
dx x g dx x f
• m≤f(x)≤M trên đoạn [a;b]⇒ m(b− a)≤∫b ( )
a
dx x
f ≤M(b−a)
• t biến thiên trên đoạn [a;b]⇒G(t)=∫t ( )
a
dx x
f là một nguyên hàm của f(t) và G(a)=0.
b Các phương pháp tính
i Phương pháp đổi biến số Đổi biến loại 1
∗ĐẶt x=u(t)⇒dx=u’(t)dt
∗Đổi cận: a=u(α),b=u(β)
Khi đó: ∫ ( ) =∫ [ ( ) ] ( )
β α
dt t u t u f dx x
f
b
a
Chú ý: Phương pháp đổi biến loại 1 thường áp
dụng cho các tích phân có dạng sau:
∫Rx2n, a2 −x2 dx :đặt x=asint (hoặc
x=acost); (n∈N).
∫Rx2n, x2 −a2 dx : đặt x=a/sint (hoặc
x=a/cost)
+
x a
k a x
x
2 2 2 2
2 , , : đặt x=atant
(hoặc x=acott).
Đổi biến loại 2
∗ĐẶt t=v(x)⇒dt=v’(x)dx
∗Đổi cận: x=a⇒t=v(a), x=b⇒t=v(b)
( )
( )
( )
( )t dt f dx x v x v f
b v
a v
b
ii Phương pháp tích phân từng phần
∫
b
a
b a b
a
vdu uv
udv
Chú ý: Nếu tích chứa tích của p(x) với hàm logarit trong đó p(x)≠1/x ta đặt u=logarit, dv=p(x)dx;
các dạng khác đặt ngược lại
c Tích phân hàm phân thức
Trang 11Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 − 2009
( ) ( )
∫b
a
dx x q
x p
• Nếu def p(x)>defq(x) thì chia đa thức trước khi lấy tích phân.
• Các dạng khác thông thường ta dùng phương pháp đổi biến số hoặc phân tích thành tích các phân thức tối giản
Chú ý:
( )
( ) ( )( ( ) )( )
( )
( )
C b
x
B a
x
A b
x a x
x p x
q
x
p
c bx ax
C Bx m
x
A c bx ax m x
x p x
q
x
p
c x
C b x
B a x
A c x b x a x
x p x
q
x
p
−
+
−
+
−
=
−
−
=
+ +
+ +
−
= + +
−
=
−
+
−
+
−
=
−
−
−
=
2 2
2 2
3 Ứng dụng tích phân
a Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và
hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:
( ) ( )
=
b
a
dx x g x f S
Chú ý:
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức: = ∫[ ( )]
b
a
dx x f
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy
được tính bởi công thức: = ∫[ ( )]
d
c
dy y
Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x),y=g(x) quay quanh Ox (f(x)≥g(x),
∀x∈[a;b]) đơực tính bởi công thức: = ∫ {[ ( )] −[ ( )] }
b
a
dx x g x f
*
* *
SỐ PHỨC
(z=a+bi; i2=−1)
I Định nghĩa
Trong toán học, trường số phức, ký hiệu là C Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề
Gọi R là trường số thực Ký hiệu C là tập hợp các cặp (a; b) với a, b∈R
Trong C, định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:
(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) (a;b)*(c;d)=(ac− bd;ad+bc)
x
y
O
f(x) g(x) b a
x
y
O
f(x)
b a
y
d
O
