Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 9.
Trang 1Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 1
CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 12
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MP
VÉCTƠ
Cho 2 vectơ a ( a1; a2), b ( b1; b2)
2 2
1 1
b a
b a b
a
a b ( a1 b1; a2 b2)
k a ( ka1; ka2)
2
2 1
1 //
b
a b
a b
a b a1b1 a2b2
a b a1b1 a2b2 0
a a12 a22
2
2 1
2 2
2 1
2 2 1 1 )
,
cos(
b b a a
b a b a b
a
Cho 3 điểm A(xA;yA) , B(xB;yB) ,
M(xM;yM)
Ta có:
AB ( xB xA; yB yA)
AB ( xB xA)2 ( yB yA)2
M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ 1
M:
k
ky y y
k
kx x x
B A M
B A M
1 1
M là trung điểm của đoạn AB
M:
2
2
B A M
B A M
y y y
x x x
3 điểm A, B, C thẳng hàng AB // AC
Cho 3 điểm A(xA;yA) , B(xB;yB) ,
C(xC ;yC)
G là trọng tâm của ABC
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KG
Cho 2 vectơ a ( a1; a2; a3), b ( b1; b2; b3)
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a b
a
a b ( a1 b1; a2 b2; a3 b3)
k a ( ka1; ka2; ka3)
3
3 2
2 1
1 //
b
a b
a b
a b
a b a1b1 a2b2 a3 b3
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
a a12 a22 a32
3
2 2
2 1
2 3
2 2
2 1
3 3 2 2 1 1 )
, cos(
b b b a a a
b a b a b a b
a
Cho 3 điểm A(xA;yA;zA) , B(xB;yB;zB) , M(xM;yM;zM)
Ta có:
AB ( xB xA; yB yA; zB zA)
AB ( xB xA)2 ( yB yA)2 ( zB zA)2
M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ 1
M:
k B kz A z M z
k B ky A y M y
k B kx A x M x
1 1 1
M là trung điểm của đoạn AB
M:
2 2 2
B z A z M z
B y A y M y
B x A x M x
G:
3
3
C B A G
C B A G
y y y y
x x x x
H là trực tâm của ABC
AC BH
BC AH
0
0
AC BH BC AH
Trang 2Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 2
I là tâm của đường ngoại tiếp ABC
2 2
2 2
IC
IA
IB
IA
Diện tích ABC
A C A B
A C A B ABC
y y y y
x x x x S
1
ĐƯỜNG THẲNG
PT tổng quát của đường thẳng ():
A(x-xo) + B(y-yo) = 0
Hay: Ax + By + C = 0
VTPT n ( B A ; ) > VTCP a ( B ; A )
Khoảng cách từ điểm M0(xo;yo) đến
đường thẳng (): Ax + By + C = 0
2 2 0 0
0, )
(
B A
C By Ax M
d
PT tham số của đường thẳng (d):
t a y
y
t a x
x
2 0
1 0
tR
Với M0(xo;yo)(d) , VTCP a ( a1; a2)
vị trí tương đối của 2 đường thẳng
(d1) : A1x + B1y + C1 = 0
(d2) : A2x + B2y + C2 = 0
2 2
1 1
B A
B A
2
2
1
1
C
B
C
B
2 2
1 1
A C
A C
DY
* D 0 (d1) cắt (d2)
* D = 0 , Dx0 hoặc Dy0 (d1) song
song (d2)
* D = Dx = Dy = 0 (d1) trùng với (d2)
Góc giưã 2 đường (d1) và (d2)
2
2 2
2 1
2 1
2 1 2 1 cos
B A B A
B B A A
ĐƯỜNG TRÒN (C)
Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2=R2
Tâm I(a;b) bán kính R
Tiếp tuyến với (c) tại điểm M0(xo;yo)(c)
Tích có hướng
Cho 3 vectơ a ( a1; a2; a3), b ( b1; b2; b3),
c ( c1; c2; c3)
2 1
2 1
; 1 3
1 3
; 2 2
3 2 ,
b b
a a b b
a a b b
a a b
a
a , b c 0 a , , b c đồng phẳng
S ABC AB,AC
2
1
VABCD. B'C'D' AB , AD AA
VABCD AB , AC AD
6
1
MẶT PHẲNG
PT tổng quát của mặt phẳng ():
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 Hay Ax + By + Cz +D = 0 VTPT n ( A ; B ; C )
Khoảng cách từ điểm M0(xo;yo) đến mp()
2 2 2
0 0 0
0, ( )
(
C B A
D Cz By Ax M
d
Vị trí tương đối của 2 mp (): A1x + B1y + C1z +D1 = 0 (): A2x + B2y + C2z +D2 = 0 +
2
1 2
1 2
1
C
C B
B A
A
() cắt ()
+
2
1 2
1 2
1 2
1
D
D C
C B
B A
A
() song song với ()
+
2
1 2
1 2
1 2
1
D
D C
C B
B A
A
() trùng với ()
ĐƯỜNG THẲNG
PT tham số của đường thẳng (d) :
t a z z
t a y y
t a x x
o o
o
3 2
1
VTCP a ( a1; a2; a3)
PT tổng quát của đường thẳng (d) :
0 D z C
y B
x A
0 D z C
y B
x A
2 2 2 2
1 1 1 1
PT tổng quát của đường thẳng (d)
a
z z a
y y a
x
2
0 1
MẶT CẦU (S) Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
Tâm I(a;b;c) bán kính R (xo - a)(x - a)+(yo - b)(y - b)=R2
Dạng 2 : x2+y2+2Ax +2By+C = 0 ( ĐK: A2+B2-C > 0) Tiếp tuyến với (c) tại điểm M0(xo;yo)(c)
xox + yoy + A(xo+x) + B(yo +y) + C = 0 Tâm I(-A;-B) bán kính R A2 B2 C
ELIP
Phương trình (E): 2 1
2 2
2
b
y a
x ( a > b )
với c2 = a2 – b2
Trang 3Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 3
+ Toạ độ các đỉnh:
A1(-a;0) , A2(a;0) , B1(0;-b) , B2(0;b)
+ Tiêu điểm: F1(-c;0) , F2(c;0)
+Tâm sai :
a
c
e
+Tiêu cự: F1F2= 2c
+ ĐDTL: A1A2= 2a
+ ĐDTN: B1B2= 2b
+ Bán kính qua tiêu điểm:
M(x;y)(E):
M
M
x a
c a MF
x a
c a MF
2 1
Đường chuẩn
1:
e
a
x
2:
e
a
x
Phương trình tiếp tuyến tại M0(xo;yo)(E)
2 2 1
b
y y a
x
xo o
ĐK để đường thẳng (): Ax + By + C = 0
tiếp xúc với (E) : a2A2 + b2B2 = C2
Phương trình (H): 2 1
2 2
2
b
y a
x
với c2 = a2 + b2
+ Toạ độ các đỉnh:
A1(-a;0) , A2(a;0)
+ Tiêu điểm: F1(-c;0) , F2(c;0)
+Tâm sai :
a
c
e
+Tiêu cự: F1F2= 2c
+ ĐDTT: A1A2= 2a
+ ĐDTA: B1B2= 2b
+ Bán kính qua tiêu điểm:
Dạng 2 : x2+y2+z2+2Ax +2By+2Cz+D = 0
( ĐK: A2+B2+C2-D > 0)
Tâm I(-A;-B;-C) bán kính
R A2 B2 C2 D
ELIP
Phương trình (E): 2 1
2 2
2
b
y a
x
( a < b ) với c2 = b2 – a2
+ Toạ độ các đỉnh:
A1(-a;0) , A2(a;0) , B1(0;-b) , B2(0;b)
+ Tiêu điểm: F1(0;-c) , F2(0;c)
+Tâm sai :
b
c
e
+Tiêu cự : F1F2= 2c + ĐDTL : B1B2= 2b + ĐDTN: A1A2= 2a + Bán kính qua tiêu điểm:
M(x;y)(E):
M
M
y b
c b MF
y b
c b MF
2 1
Đường chuẩn 1:
e
b
y
2:
e
b
y
Phương trình tiếp tuyến tại M0(xo;yo)(E)
2 2 1
b
y y a
x
xo o
ĐK để đường thẳng (): Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) : a2A2 + b2B2 = C2
Phương trình (H): 2 1
2 2
2
a
x b
y
với c2 = a2 + b2
+ Toạ độ các đỉnh:
B1(0;-B) , B2(0;B) + Tiêu điểm: F1(0;-c) , F2(0;c) +Tâm sai:
b
c
e
+Tiêu cự: F1F2= 2c + ĐDTT: B1B2= 2b + ĐDTA: A1A2= 2a + Bán kính qua tiêu điểm:
M(x;y)nhánh phải :
M
M
x a
c a MF
x a
c a MF
2 1
M(x;y)nhánh trái :
M
M
x a
c a MF
x a
c a MF
2 1
Đường chuẩn 1:
e
a
y
2:
e
a
y
phương trình 2 đường tiệm cận x
a
b
y
Phương trình tiếp tuyến tại M0(xo;yo)(H)
Trang 4Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 4
2 2 1
b
y y a
x
xo o
ĐK để đường thẳng (): Ax + By + C = 0
tiếp xúc với (H) : a2A2 - b2B2 = C2
PARABOL
Phương trình y2 =2px
(x 0)
Trục đối xứng Ox
Tiêu điểm ; 0 )
2 ( p
F
Bán kính qua tiêu điểm
2
p M x
FM
Đường chuẩn
2 : x p
Phương trình tiếp tuyến tại yoy=p(xo+x)
điểm Mo(xo;yo) (P)
ĐK để (P) tiếp xúc với đường B2p =2AC
thẳng (): Ax + By + C = 0
M(x;y)nhánh trên:
M
M
y a
c b MF
y a
c b MF
2 1
M(x;y)nhánh dưới :
M
M
y a
c b MF
y a
c b MF
2 1
Đường chuẩn
1:
e
b
x
2:
e
b
x
phương trình 2 đường tiệm cận x
a
b
y
Phương trình tiếp tuyến tại M0(xo;yo)(H)
2 2 1
a
x x b
y
yo o
ĐK để đường thẳng (): Ax + By + C = 0
tiếp xúc với (H) : a2A2 - b2B2 = -C2
y2 =-2px x2 =2py x2 =-2py (x 0) (y 0) (y 0)
Ox Oy Oy
) 0
; 2
F )
2
; 0
F
) 2
; 0
2
p M x
FM
2
p M y
FM
2
p M y
FM
2 : x p
2 : y p
2 : y p
yoy=-p(xo+x) xox=p(yo+y) xox=-p(yo+y)
B2p =-2AC A2p =2BC A2p =-2BC
(c)’=0 (với c là một hằng số) (x)’=1
x
x
2
1 )' ( (x>0) ; '
2
1 )'
u
u (u>0)
(u1 u2 un)’=u1’ u2’………… un’ (uv)’=u’v+uv’
2
,
' '
v
uv v u v
, ' 1
v
v
v
( với v0) (x)’=x-1 ; (u)’=u-1.u’
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx (tgx)’=
x
2 cos
1
(ĐK:x k , k Z
)
(cotgx)’=
x
2 sin
1
(ĐK:x k , k Z) (sinu)’=cosu.u’
Trang 5Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 5
(cosu)’=-sinu.u’
(tgu)’= '
cos
1
u (ĐK:u 2 k , k Z
)
(cotgu)’= '
sin
1
u
(ĐK:u k , k Z )
(ex)’=ex
(eu)’=eu.u ‘
(ax)’=ax.lna ( với 0 <a1 )
(au)’=au.lna.u ’ ( với 0 < a1 )
(lnx)’=
x
1
(với x>0)
(lnu)’=
u
1
.u ‘ (với u>0)
(logax)’=
a
x ln
1
(với x>0, 0<a1)
(logau)’=
a
u ln
1
.u ‘ (với u>0, 0<a1)
) (
'
d cx
bc ad y d
cx
b
ax
y
2 1 1
1 1 1
2 1 1
1
2
) (
'
b x a
c a bb x ab x aa y b
x
a
c bx
ax
y
NGUYÊN HÀM
dx x C
x C
x
dx
ln
a
dx b
ax
dx
ln
1 ) (
C
x dx
x
1
1
C n
a
b ax dx b
ax
n n
) 1 (
) ( )
(
1
n≠-1 exdx ex C
a dx
eax b 1 ax b
a
a dx
a
x x
ln
sin xdx cos x C
cos xdx sin x C
a dx b
sin(
a dx b
cos(
dx tgx C
x
dx
2 cos
x
dx
cot sin2
a x
a x a a x
dx
ln 2
1 2 2
b a b x a x
dx
ln ln
(
1 ) )(
(
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
b
a dx x f
b
a
dx x f x f
S 2( ) 1( )
( y=f1 (x) ; y=f2(x) ; x=a ; x=b )
b
a dx y
b
a dy x
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 Đổi biến:
Dạng 1: Tính
b
a dx x
f ( )
+ Đặt t=u(x) dt= ? + Đổi cận
b x
a x
) (
) ( 2
1
b u t
a u t
b
a
t
t
dt t u t u f dx x f
1 2
) ( ' )]
( [ )
(
2 Tích phân từng phần:
b
a
b
a
b
uv udv
Phương pháp:
Đặt: u=? du=?
dv=? V=?
Pn n ! (Hoán vị n ptử)
Trang 6Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 6
)!
(
!
k
n
n
Ak
n
(Chỉnh hợp chập k của n ptử)
Cn k ( n n k ! )! k !
Cn k Cn nk
; 1 11
k
C
n
k
k k n k n
b
a
0 )
0!=1 ; 1!=1 ; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1
Dạng 2: Tính
b
a dx x
f ( ) + Đặt x=(t) dx= ?
+ Đổi cận
b x
a x
)
) 2
1
t t
b
a
t
t dt t g dx x f
1 2
) ( )
(
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2
2 cos 1
2
2 cos 1
x
x x
cos
1
x x
sin
1 cot
2
1 cos
2
1 sin
2
1 cos
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tgb tga 1
tgb tga ) b a ( tg
tgb tga
tgb tga b
a tg
1 ) (
Bang giá trị đặc biệt:
Góc
GTLG
00
0
300
6
450
4
600
3
900
2
1800
2 3
3600
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
Chú ý:
1/Một số cách đặt trong tích phân từng phần
DẠNG1:
b
a
x
dx x
x
e x P
) cos(
) sin(
) (
x x
e x
) cos(
) sin(
DẠNG2:
b
a
x
x e
) cos(
) sin(
Đặt u=ex+ , dv = dx
x
x
) cos(
) sin(
Trang 7Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 7
b
a
dx x
x
P ( ) ln( ) Đặt u=ln(x+) , dv=P(x)
( Trong P(x) là một đa thức )
2/Một số cách đặt trong tích phân đổi biến dạng 1
Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có các dạng sau:
Sinx.dx Đặt t= cosx dt=? ,
x
dx
2 cos Đặt t= tgx dt=?
Cosx.dx Đặt t= sinx dt=? ,
x
dx
2 sin Đặt t= cotgx dt=?
x
dx
Đặt t= lnx dt=?
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG:
Cho 2 đường thẳng
3 2
1 : ) (
a
z z a
y y a
x x
và
3 2
' '
' '
' : ) ' (
a
z z a
y y a
x x
*/ Đường thẳng (d) và (d’) đồng phẳng : a , a ' MMo 0
(d) cắt (d’) a , a ' MMo 0 và
3
3 2
2 1
1
' ' '
:
a
a a
a a
a
(d) song song (d’)
3
3 2
2 1
1
' ' '
:
a
a a
a a
a
o o o o o
a y
y
a x
x
a
'
(d) trùng với (d’)
3
3 2
2 1
1
' ' '
:
a
a a
a a
a
o o o o o
a y
y
a x
x
a
'
*/ Đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau : a , a ' MMo 0
Cho đường thẳng (d):
3 2
1 : ) (
a
z z a
y y a
x x
và mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D=0 (d) cắt () AaBbCc0
(d) song song ()
0
0
D Cz By Ax
Cc Bb Aa
o o o
(d) nằm trên mp()
0
0
D Cz By Ax
Cc Bb Aa
o o o
(d)()
3 2
C a
B a
A
Trang 8Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 8
Khoảng cách từ điểm M(x;y;z) đến đường thẳng ()
Cho đường thẳng
3 2
1 : ) (
a
z z a
y y a
x
a
a M M M
d ( , ( )) 0 , M0(x0;y0;z0)() , VTCP )
;
;
( a1 a2 a3
a
Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau :
3 2
1 : ) (
a
z z a
y y a
x
3 2
' '
' '
' : ) ' (
a
z z a
y y a
x
khoảng cách được tính:
, '
'
' , ) ' ,
a a
M M a a
GÓC:
Góc của 2 đường thẳng:
3 2
1 : ) (
a
z z a
y y a
x
3 2
' '
' '
' : ) ' (
a
z z a
y y a
x
2 3
2 2
2 1
2 3
2 2
2 1
' 3 3
' 2 2
' 1 1
' ' '
cos
a a a a a a
a a a a a a
Góc giữa đường thẳng:
3 2
1 : ) (
a
z z a
y y a
x
3
2 2
2 1 2 2 2
3 2 1 sin
a a a C B A
Ca Ba Aa
Góc giữa 2 mặt phẳng : (): A1x + B1y + C1z +D1 = 0 và (): A2x + B2y + C2z +D2 = 0
2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 cos
C B A C B A
C C B B A A
( Mong các thầy cô đồng nghiệp đóng góp ý kiến cho tài liệu được hoàn chỉnh hơn ! )
Trang 9Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 9