HÌNH HỌC: PHÉP DỜI HÌNH Phép biến hình: Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy.. Tí
Trang 1TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC
CẦN NHỚ MÔN TOÁN
I/ ĐẠI SỐ:
1 Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai
2
2
b
a
1
0 / ( ) 0,
0 0 / ( ) 0,
0
0
0 2
0
0 2
0 /
( ) 0 ( ) 0 /
( ) 0 /
a
a
S
S
f
af
af
h x
( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 /
( ) 0
af x
af af
af
0 ( ) 0
0 2
0 2
af
S S
2 Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
*
*
* 0
* 0
*
*
*
0
*
0 0
*
*
a b
a c
b c
c
ac bc
a b c
ac bc
a b
a b
a c b d
c d
a b
ac bd
c d
a b
n N
Bất đẳng thức chức giá trị tuyệt đối:
0
( , )
Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không
âm):
* 2
a b
ab
dấu “=” xảy ra khi a = b
3
a b c
abc
dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Trang 2Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số
thực):
*ab cd (a c b)( d )
Dấu “=” xảy ra khi ad= bc
2 2 2 2 2 2
*a b a b c b a a a b b b
Dấu “=” xảy ra khi 1 2 3
a
b b b
3 Cấp số cộng:
a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
1
u u d
b/Số hạng thứ n: u n u1(n1)d
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
S u u u n d
4 Cấp số nhân:
a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
1
u u q
b/Số hạng thứ n: 1
1 n n
u u q
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
1
1 ( 1) 1
n n
q
q
1
n n
u
q
5 Phương trình, bất phương trình chứa giá
trị tuyệt đối:
*
0
*
*
*
*
B
A B
A B
6 Phương trình , bất phương trình chứa căn thức:
2
2
2
0 ( 0)
*
0
*
0
*
0
0 0
*
0
A B B
A B
A B A
A B A
A B B A
A B
B
A B
7 Phương trình, bất phương trình logarit:
*log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)
f(x)=g(x)
( ) 0
*log ( ) log ( )
( ) 0
a
a
f x
g x
hoctoancapba.com
8 Phương trình , bất phương trình mũ:
( ) ( )
*
1 / ( ), ( ) 0
*
f x g x
f x g x
a
a
f x g x a
Trang 39 Lũy thừa:
*
*
*( )
*
*
1
*
*
k
n m k n m k n m
a
a a
a
a
10 Logarit:0<N1, N2, N và 0a b, 1 ta có:
log
1
2
*log
*log
*
*
1
log
*log
log 1
*log
log
a
a a
M a
M a
N
a a
b a
b
a
b
N
N
N N
a b
a
II LƯỢNG GIÁC:
A.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Hệ thức cơ bản:
2
2
2
2
sin cos cos cot
sin
1 1
cos 1
1 cot
sin
x tgx
x x gx
x
tg x
x
g x
x
2 Cung liên kết: Cung đối:
cos( ) cos sin( ) sin ( )
Cung bù:
sin( ) sin
Cung phụ:
2
2
2
2
Cung hơn kém :
Trang 4Cung hơn kém
2
2
2
2
2
3 Công thức cộng:
sin( ) sin cos sin cos
1
tgx tgy
tg x y
tgxtgy
4 Công thức nhân đôi:
2
2 2
2
sin 2 2sin cos
2 2
1
1 cos 2 cos
2
1 cos 2 sin
2
tgx
tg x
tg x x x
x x
5 Công thức nhân ba:
3 3
3 2 3
3
sin 3 3sin 4sin
cos3 4 cos 3cos
3 3
1 3 3cos cos3 cos
4 3sin sin 3 sin
4
tgx tg x
tg x
tg x
x
x
6 Công thức biểu diễn theo sinx, cosx
theo
2
x
t tg
2 2 2
2
2 sin
1 1 cos
1 2 1
t x t t x t t tgx
t
7 Công thức biến đổi:
a/Tích thành tổng:
1
2 1
2 1
2
b/Tổng thành tích:
sin( ) cos cos sin( ) cos cos sin( )
sin sin sin( )
sin
x y tgx tgy
x y tgx tgy
x y
x y
sin
Đặc biệt:
2
1 sin 2 (sin cos )
II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
Trang 51 Phương trình cơ bản:
2
2
2
2
2
2
2
/ cot cot
x u k
x u k
(k Z )
2 Phương trình bậc n theo một hàm số
lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,
cotgx) ta chuyển về phương trình:
1
1 0 0
Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú
ý điều kiện 1 t 1
3 Phương trình bậc nhất theo sinx và
cosx:
Điều kiện để có nghiệm: a2b2 c2
Cách giải: Chia hai vế cho a2b2 và
sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ
bản
4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với
sinx và cosx:
Cách giải:
*Xét cos 0
2
x x k có là nghiệmkhông?
*Xét cosx 0 chia 2 vế chia cho cos2x
và đặt t= tgx Chú ý:
2 2
1
cos
5 Phương trình dạng:
Cách giải: Đặt
4
sin cos (sin cos )
và giải phương trình bậc hai theo t
III Hệ thức lượng trong tam giác:
1 Định lý cosin:
2 cos
2 cos
2 cos cos
2 cos
2 cos
2
A
bc
B
ac
C
ab
2 Định lý hàm số sin:
2
R
3 Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
2
2
2
a b c
m
m
m
4 Công thức độ dài đường phân giác trong:
2 cos
2
2 cos
2
2 cos
2
a
b
c
A bc l
b c B ac l
a c C ab l
a b
Trang 65 Công thức tính diện tích tam giác:
4
abc
S p r
R
III ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
1. Đạo hàm các hàm số thường gặp:
1
2
2
2
1/( ) '
1
2 /( ) '
2
4 /(sin ) ' cos
5 /(cos ) ' sin
1
6 /( ) '
cos 1
7 /(cot ) '
sin
8 /( ) '
9 /( ) ' ln
1
10 /(ln ) '
1 11/(log ) '
.ln
a
x
x
tgx
x gx
x
x x x
1
2
2
2
12 /( ) ' '
' 13/( ) '
2
14 / '
15 /(sin ) ' '.cos
16 /(cos ) ' '.sin
'
17 /( ) '
cos
'
18 /(cot ) '
sin
19 /( ) ' '
20 /( ) ' ' ln
' 21/(ln ) '
'
22 /(log ) '
.ln
a
u u
u u
u tgu
u u gu
u
u u u u u
2 Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
1
2
( 1) 1
ln
1
dx x C
x
dx
x C
x
dx
C
2
2
ln
cos
cot sin
x
a
dx tgx C x
dx
gx C x
Chú ý: f ax b dx( ) 1F ax b( ) C
a
3 Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng
-Chọn công thức tính diện tích:
( ) ( )
( ) ( )
a
b a b
-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:
2( ) 2( )
a b
V f x g x dx
*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
2( ) 2( )
a b
V f y g y dy
-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm
Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm
IV HÌNH HỌC:
PHÉP DỜI HÌNH
Phép biến hình: Phép biến hình ( trong mặt
phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
Định nghĩa phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến
theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM 'u
Phép tịnh tiến theo vectơ u thường được ký hiệu là T hoặc T u Vectơ u được gọi là vectơ tịnh tiến.
Tính chất của phép tịnh tiến:
Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm
M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì
M’N’ = MN
Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
Trang 7làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính, biến góc thành góc bằng nó
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Trong
mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép
tịnh tiến theo vectơ u
Biết tọa độ của u là (a,b) Giả sử điểm
M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta
có:
'
'
Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép
biến hình không là thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kì
Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường
thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính , biến góc thành góc bằng nó
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đối
xứng qua đường thẳng a là phép phép biến
hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng
với M qua a
Định lý: Phép đối xứng trục là một phép dời
hình
Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta
có:
'
'
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta
có:
' '
Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng
d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H
PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Định nghĩa phép quay: Trong mặt phẳng
cho điểm O cố định và góc lượng giác không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM OM, ') được gọi là phép quay tâm
O góc quay
Định lý: Phép quay là một phép dời hình
Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua
điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua
O, có nghĩa là OM OM ' 0
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a;b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta có:
' 2 ' 2
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là
tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức là Đo (H) = H
HAI HÌNH BẰNG NHAU:
Định lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác
bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’
Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia
Trang 8HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG:
1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
*AB(x B x y A, B y A)
*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA k
MB
(
1
Tọa độ điểm M được xác định bởi:
1
1
M
M
x
k M
y
k
*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác định bởi:
2
2
I
I
x
I
y
*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác định bởi:
3 3
G
G
x
G
y
*Cho tam giác ABC có
1
2
ABC
S a b a b
2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng :
-Phương trình tổng quát: Ax By C 0
Vectơ pháp tuyến n( ; ); A B A2B2 0
-Phương trình tham số: 0
0
t R
Vectơ chỉ phương u( ; )a b và qua điểm M(x0; y0)
-Phương trình chính tắc: x x0 y y0
-Phương trình đoạn chắn: x y 1
a b
qua A( a; 0) ; B(0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
0
Ax By C
A x B y C
' '
A A B B Cos
c/Khoảng cách từ một điểm M x y đến đường ( ; )0 0
thẳng:
M
d
d/Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:
e/Xác định phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so với t t1 2 0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía so với t t1 2 0
3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và
bán kính R
x a 2y b 2 R2
-Dạng 2: Phương trình có dạng
x y ax by c Với điều kiện a2b2 c0là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R a2b2 c
-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với một đường tròn:
M C
P x y ax by c
4/Elip:
-Phương trình chinh tắc Elip (E) x22 y22 1
a b
(a b c ); a b
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) -Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0) -Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b) -Tâm sai : e c 1
a
Trang 9-Phương trình đường chuẩn: x a
e
-Bán kính qua tiêu:
1
2
M
M
-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
( )E
x x y y
-Điều kiện tiếp xúc của
(E):x22 y22 1
a b và : Ax By C 0là:
A a B b C
5/Hypebol:
a/ Phương trình chinh tắc Elip (E) x22 y22 1
a b
c a b
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Tâm sai : e c 1
a
-Phương trình đường chuẩn: x a
e
-Phương trình tiệm cận:y b x
a
-Bán kính qua tiêu:
1
2
M
M
-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
( )E
x x y y
a b
-Điều kiện tiếp xúc của
(E):x22 y22 1
a b và : Ax By C 0là:
A a B b C
6/ Parabol:
-Phương trình chính tắc của Parabol:
2
( ) :P y 2px
-Tiêu điểm: ( ;0)
2
p F
-Phương trình đường chuẩn:
2
p
x
-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ; y0) ( ) P :
y yp x x
-Điều kiện tiếp xúc của (P) và :Ax By C 0
2
2AC B p
II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
1/ Tích có hướng của hai vectơ:
a/Định nghĩa: cho hai vectơ ( ; ; )
( '; '; ')
u v
Các ứng dụng:
- ,u v cùng phương u v, 0
- , ,u v w đồng phẳng u v w, 0
2
ABC
S AB AC
-ABCD là tứ diện AB AC AD m, 0
6
ABCD
b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:
0
Ax By Cz D
Dạng 2:
( , , ), ( ; ; )
-Phương trình mặt phẳng chắn:
1
a b c
(( ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c)) -Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng khác:
Ax By Cz D
A x B y C z D
(Ax By Cz D) ( 'A x B y C z D' ' ') 0
Trong đó 2 2
0
Trang 10-Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt
phẳng:
Ax By Cz D
A x B y C z D
/
/ //
b
c
3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
0
Ax By Cz D
A x B y C z D
b/ Phương trình tham số:
0
0
0
Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là
( ; ; )
u a b c
c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
4/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian:
Giả sử đường thẳng d qua M x y z và có vectơ 0( ; ; )0 0 0
chỉ phương là u( ; ; )a b c và đường thẳng d’ qua
' ( ' ; ' ; ' )
M x y z và có vectơ chỉ phương là
' ( '; '; ')
u a b c
: : : ' : '
u u M M
a b c a b c
5/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian: trong không gian cho :
:
0 /
0 0 /
0
d
Ax By Cz D
aA bB cC
b d
aA bB cC
c d
6/ Các công hức tính khoảng cách:
-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:
( ; ; )
M
M x y z
Ax By Cz D
d
-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong không gian cho điểm
( ; ; ) :
M x y z
d
0 /
M d
M M u d
u
-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
/ '
:
' :
' ' '
u u M M d
u u
7/ Góc : hoctoancapba.com
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:
: ( ; ; ) ' : ' ( ', ', ')
cos
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Trang 11
: ( ; ; )
: ( ; ; )
sin
Aa Bb Cc
- Góc giữa hai mặt phẳng:
cos
AX By Cz D
A x B y C z D
AA BB CC
8/Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R
x a 2y b 2z c 2 R2
Dạng 2: x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0
Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính
R a b c d
III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
-Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường
thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một
mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt
thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm
chung ấy
Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác định bởi 2 đường thẳng cắt
nhau A a b
2/ Một mặt phẳng được xác định bởi một trong các
điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng ( ) ( ABC)
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường
thẳng ( ) ( , ) a A
c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( ) ( , ) a b
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’ ( ) ( , ') a a
Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung 2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng thì d song song với mặt phẳng
3/ Nếu d// , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và cắt theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào song song với đường thẳng này thì cũng song song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao tuyến mới song song nhau
8/ Nếu // thì song song với mọi đường thẳng nằm trong
9/ Nếu chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song với thì //
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song nhau
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau
7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P)