Về các nhóm con trong vành chia

Một trong những hướng nghiên cứu đó là thaytính chất hữu hạn bằng tính chất giải được của nhóm nhân.Chẳng hạn như sử dụng các tính chất của dãy tâm tăng, không khó khăn lắm có thể chứng

ngoại trừ việc nó có thể không giao hoán Chính điều này đãlàm nên sự khác biệt đáng kể giữa vành chia và trường Nếunhư cấu trúc của trường đã được nghiên cứu rất kỹ và đã đạtđược những kết quả khá hoàn hảo thì đến nay vẫn còn nhiềuđiều về cấu trúc vành chia chưa được biết đến Thời gian gầnđây có nhiều công trình nghiên cứu xoay quanh các nhóm connhân á chuẩn tắc và các nhóm con nhân tối đại của vành chiađã được công bố ( [1]-[2]-[3]-[5]-[6]-[7]-[8]-[10]- ) Điều nàycho thấy tính thời sự của vấn đề vừa nêu Mục tiêu của chúngtôi trong luận án này là nhằm trình bày các nghiên cứu vềnhóm con nhân á chuẩn tắc và nhóm con nhân tối đại củavành chia.

Cho G là một nhóm Ta nói G là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) địa phương nếu với mọi tập con hữu hạn

S của G, nhóm con sinh bởi S là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) Hiển nhiên nếu G là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) thì G là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) địa phương Nếu với mọi phần tử x của G số phần tử liên hợp của x trong G là hữu hạn thì ta nói G là một

1

F C−nhóm Một nhóm con N của G được gọi là á chuẩn tắc (subnormal) trong G nếu tồn tại một dãy các nhóm con

N0 = N, N1 , , Nk = G của G sao cho Ni chuẩn tắc trong

Ni+1 với mọi i ∈ 0, k − 1 := {0, 1, 2, , k − 1}.

Cho D là vành chia Ký hiệu D∗ là nhóm nhân của D và Z(D) là tâm của D Trong luận án ta qui ước khi nói tới nhóm con của vành chia D thì ta hiểu đó chính là nhóm con của nhóm nhân D∗ của D Vành chia D được gọi là hữu hạn chiều trên tâm nếu D là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên Z(D) D được gọi là hữu hạn chiều địa phương trên tâm nếu với mọi tập con hữu hạn S trong D, vành chia sinh bởi

S trên Z(D) là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên Z(D) Nếu mọi phần tử của D∗ đều đại số trên Z(D) thì ta nói D là vành chia đại số trên tâm Một phần tử x ∈ D∗ được gọi

là căn trên tâm Z(D) nếu tồn tại số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x sao cho xn(x) ∈ Z(D) Một tập hợp ∅ 6= S ⊆ D được gọi là căn trên tâm nếu mọi phần tử của nó đều căn trên Z(D) Giả sử p1 < p2 < là một dãy các số nguyên tố Ta

biết rằng với mỗi n tồn tại một Q-đại số An số chiều p2

n với

Z(An) = Q Khi đó, Dn= A1N

Q .N

QAnlà vành chia với

tâm là Q Xem Dn như vành con của Dn+1 = DnN

2

Định lý Wedderburn Mọi vành chia hữu hạn đều là trường.

Các kết quả nhận được có một điểm chung là tìm cáchthay tính chất hữu hạn trong Định lý Wedderburn bằng mộttính chất khác mà vẫn làm cho vành chia giao hoán Nói cáchkhác chúng là những sự tổng quát hóa khác nhau của Định lýWedderburn Một trong những hướng nghiên cứu đó là thaytính chất hữu hạn bằng tính chất giải được của nhóm nhân.Chẳng hạn như sử dụng các tính chất của dãy tâm tăng, không

khó khăn lắm có thể chứng minh được: Nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm lũy linh thì vành chia giao hoán L.K.Hua

mở rộng kết quả này bằng cách thay tính lũy linh bằng tínhgiải được (xem [9]) trong định lý sau đây:

Định lý A Nếu nhóm nhân của vành chia D giải được thì D

là trường.

Tuy nhiên chứng minh kết quả của Hua không phải là việcdễ dàng Sau đó, một cách hoàn toàn độc lập với nhau, H.Cartan, R Brauer và L.K Hua đã chứng minh được một định lýrất nổi tiếng mà bây giờ ta quen gọi là Định lý Cartan-Brauer-

3

Định lý Cartan-Brauer-Hua Cho K là vành chia con thực sự

của một vành chia không giao hoán D Nếu K∗ chuẩn tắc trong D∗ thì K nằm trong Z(D).

Điều này cho thấy mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tínhgiao hoán của một nhóm con trong vành chia Từ các kết quảnày, một cách tự nhiên ta có thể đặt câu hỏi: Nếu nhóm nhân

trong vành chia thỏa tính chất A làm cho vành chia giao hoán

thì một nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia thỏa tính chất

Acó nằêm trong tâm của vành chia hay không? Trong hướngnghiên cứu này xin được nhắc đến một kết quả của Stuth:

Định lý B (Stuth) Trong một vành chia D, mọi nhóm con á

chuẩn tắc giải được của D∗ đều nằm trong Z(D).

Tiếp tục hướng nghiên cứu này, trong luận án chúng tôi đãchứng minh được:

Định lý 1 Trong một vành chia D, mọi nhóm con á chuẩn

tắc lũy linh địa phương của D∗ đều nằm trong Z(D).

Khi thêm giả thiết D là vành chia đại số trên tâm chúng

tôi nhận được kết quả sau:

Định lý 2 Trong một vành chia D đại số trên tâm, mọi nhóm

con á chuẩn tắc giải được địa phương của D∗ đều nằm trong Z(D)".

Việc khảo sát tính chất căn trong vành chia cũng đượcnghiên cứu rất nhiều Ví dụ, có thể nêu ra một kết quả sau của

4

thuyết do L.N.Herstein [5] nêu ra từ năm 1978:

Giả thuyết 1 (Herstein) Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của

D∗ và G căn trên Z(D) thì G nằm trong Z(D).

Cũng trong [5] Herstein đã chứng minh được rằng giả

thuyết trên là đúng nếu G là nhóm con hữu hạn á chuẩn tắc trong D∗.Tuy nhiên cho tới hiện nay cũng chưa có câu trảlời cho trường hợp tổng quát Năm 2004, trong [3], B.X Hải và

L.K Huỳnh dựa vào tính hữu hạn tâm của vành chia D để xét

D∗ như là nhóm tuyến tính trên trường Z(D) và sử dụng các

phương pháp nghiên cứu đối với nhóm tuyến tính trên trườngđã chứng minh được rằng giả thuyết của Herstein đúng đối vớilớp vành chia hữu hạn chiều trên tâm

Định lý D Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm và giả

sử G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Nếu G căn trên tâm Z(D) của D thì G nằm trong Z(D).

Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi chứng minh đượcGiả thuyết Herstein vẫn còn đúng đối với lớp vành chia hữu

5

hạn chiều địa phương trên tâm.

Định lý 3 Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương

trên tâm và giả sử G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Nếu

G căn trên tâm Z(D) của D thì G nằm trong Z(D).

Ngoài ra, trong khi khảo sát Giả thuyết Herstein chúng tôiđã tìm ra một kết quả sau:

Định lý 4 Cho D là vành chia với tâm F và giả sử N là nhóm

con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F Khi đó với mọi phần tử

a ∈ N, nhóm Galois của mở rộng F (a)/F là tầm thường.

Sử dụng Định lý 4 chúng tôi chứng minh được một số cáckết quả sau:

Hệ quả 1. Cho D là vành chia với tâm F và giả sử N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F Nếu a là phần tử xoắn trong N thì a nằm trong F

Hệ quả 2 Cho D là vành chia và N là nhóm con á chuẩn tắc

của D Nếu N đại số trên một trường con hữu hạn F nào đó của D thì N nằm trong tâm của D.

Hệ quả 3 Cho D là vành chia tâm F Giả sử N là nhóm

con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F và a, b−1ab là hai phần tử nằm trong N Nếu a giao hoán với b−1ab thì a giao hoán với b.

Hệ quả 4 Cho D là vành chia với tâm F, N là nhóm con á

chuẩn tắc của D∗ và a là một phần tử nằm trong N Khi đó, nếu a2 ∈ F thì a ∈ F

6

Định lý 5 Cho D là vành chia có đặc trưng p > 0 Nếu a là

phần tử nằm trong nhóm con á chuẩn tắc căn trên tâm của vành chia D mà ap n

∈ Z(D) thì a ∈ Z(D).

Định lý 5 có các hệ quả sau đây:

Hệ quả 5 Cho D là vành chia đặc trưng p > 0 với tâm F và

giả sử N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F Nếu

a ∈ N và k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ak ∈ F thì

p không là ước của k.

Hệ quả 6 Cho D là vành chia với tâm F và giả sử N là nhóm

con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F Khi đó mọi phần tử của

N đều tách được trên F

Ngoài ra, dùng khái niệm chuẩn của một phần tử đại sốtrên tâm chúng tôi mô tả được đa thức tối tiểu của một phần

tử a ∈ D nằm trong nhóm con chuẩn tắc căn trên Z(D) có dạng xt− NF (a)/F(a).

Định lý 6 Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm

con chuẩn tắc căn trên F của D∗ Khi đó, với mọi a ∈ N, đa thức tối tiểu của a trên F có dạng xt− NF (a)/F(a)

7

Dựa vào Định lý 6 chúng tôi chứng minh được:

Định lý 7 Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm

con chuẩn tắc căn trên F của D∗ Nếu a ∈ N thỏa a3 ∈ F thì a ∈ F

Nối kết các kết quả trên, chúng tôi có được kết quả sau:

Hệ quả 7 Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm

con chuẩn tắc căn trên F của D∗ Nếu a ∈ N mà a2n.3k ∈

F (n, k ∈ N) thì a ∈ F

Một hướng nghiên cứu khác về vành chia là việc tổng quáthóa Định lý Wedderburn dưới hình thức của một nhóm con áchuẩn tắc bằng cách khai thác tính chất hữu hạn Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi và S.Yasamin đã tìm ra được kết quả:

Định lý F Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn chiều

trên tâm F và giả sử N là nhóm con hữu hạn sinh á chuẩn tắc của D∗ không nằm trong F và P là trường nguyên tố của

F Khi đó F hữu hạn sinh trên P

Với tính chất này cùng với việc sử dụng tính chất của matrận phụ hợp (Adjoint matrix), Mahdavi-Hezavehi, M.G Mad-mudi và S.Yasamin đã chứng minh được:

Định lý G Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F và

N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Nếu N là nhóm con hữu hạn sinh thì N nằm trong F

Tiếp tục với hướng nghiên cứu này, chúng tôi tổng quáthóa Định lý Wedderburn qua các kết quả:

8

tâm (có thể tham khảo một số công trình trong 10 năm trởlại đây [1]-[2]-[7]-[4]-[10] để thấy điều đó ) Mặc dù có rấtnhiều nghiên cứu về nhóm con tối đại của vành chia nhưngcho tới hiện nay câu hỏi về sự tồn tại các nhóm con tối đạitrong một vành chia tổng quát vẫn chưa tìm được câu trả lời.Trong khi đó đối với trường câu trả lời là phủ định Chẳng hạnnhư trong trường số phức C không tồn tại nhóm con tối đại.

Về vai trò của các nhóm con tối đại trong vành chia, sự tồntại của chúng có thể ảnh hưởng tới tính chất của toàn vànhchia Chẳng hạn, trong [1], các tác giả đã chứng minh được:

Định lý H Nếu một vành chia không giao hoán D, thỏa mãn

điều kiện ∞ > [D : Z(D)] 6= p2, trong đó p bằng CharD thì

D không chứa nhóm con tối đại căn trên tâm

Cũng trong [1], các tác giả đã nêu lên các giả thuyết sau:

Giả thuyết 2 Nếu vành chia D không giao hoán thì D không

chứa các nhóm con tối đại giải được.

Giả thuyết 3 Nếu vành chia D không giao hoán thì D không

9

chứa các nhóm con tối đại lũy linh.

Giả thuyết 4 Nếu vành chia D không giao hoán thì D không

chứa các nhóm con tối đại aben.

Trong [2], các tác giả đã đưa ra ví dụ về một một vành chiakhông giao hoán hữu hạn chiều trên tâm chứa một nhóm contối đại giải được Điều này phủ định Giả thuyết 2, nhưng chotới hiện nay các giả thuyết 3 và 4 vẫn còn đang bỏ ngỏ Trên

cơ sở nghiên cứu các giả thuyết này, một câu hỏi được nảy sinh

là: Những nhóm con tối đại nào có thể xuất hiện như là nhóm nhân của trường con tối đại Trong [1], các tác giả đã chứng

minh được:

Định lý I Nếu M là nhóm con tối đại lũy linh của vành chia

D không giao hoán chứa một phần tử đại số trên tâm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D

Tiếp tục nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi đạt được kếtquả:

Định lý 10 Nếu M là nhóm con tối đại lũy linh địa phương

của một vành chia không giao hoán đại số trên tâm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D.

Để chứng minh kết quả này chúng tôi đã sử dụng một sốkỹ thuật trong chứng minh Định lý I và lợi dụng tính lũy linhđịa phương để tạo thành những nhóm con hữu hạn địa phương,chúng tôi đã xét hai trường hợp riêng biệt khi đặc trưng vànhchia bằng 0 và đặc trưng vành chia là số nguyên tố Cả hai

10

Tính hữu hạn của nhóm con nhân trong vành chia liênquan chặt chẽ với tính giao hoán của nó Đối với nhóm con tốiđại trong vành chia điều này càng được thể hiện rõ nét Trên

cơ sở này chúng tôi đã chứng minh được hai kết qủa sau:

Định lý 11 Nếu M là nhóm con tối đại hữu hạn địa phương

của vành chia D không giao hoán thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D.

Định lý 12 Nếu M là nhóm con tối đại của vành chia D

không giao hoán và M là F C-nhóm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D.

Chúng tôi đã sử dụng những kỹ thuật của lý thuyết trườngGalois kết hợp với các kỹ thuật chuẩn rút gọn để đạt được haikết quả trên

11

dẫn khoa học.

A Một số nhóm con nằm trong tâm của vành chia:

1 Nhóm con á chuẩn tắc lũy linh địa phương của vành chia nằm trong tâm vành chia Điều này mở rộng một kết quả cổ điển nói rằng ``nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm lũy linh thì vành chia giao hoán."

2 Đối với những vành chia đại số trên tâm thì kết quả nhận

được dưới dạng sau: Mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương của vành chia đại số trên tâm đều nằm trong tâm của vành chia.

3 Mọi nhóm con á chuẩn tắc căn trên tâm của vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm đều nằm trong tâm vành chia Điều này chứng tỏ Giả thuyết Herstein đúng đối với lớp

những vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm

4 Mọi nhóm con á chuẩn tắc đại số trên trường con hữu hạn của vành chia đều nằm trong tâm vành chia Điều này tổng quát hóa một định lý của Jacobson nói rằng ``nếu một vành chia là đại số trên một trường con hữu hạn của nó thì

13

nó sẽ giao hoán".

5 Mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn địa phương của vành chia đều nằm trong tâm vành chia Điều này là mở rộng của Định lý Wedderburn nói rằng ``mọi vành chia hữu hạn đều là trường".

6 Mọi nhóm con á chuẩn tắc thỏa mãn tính F C−nhóm của vành chia đều nằm trong tâm vành chia Điều này là một

mở rộng khác cũng của Định lý Wedderburn nói trên

B Các kết quả về nhóm con tối đại:

1 Mọi nhóm con tối đại lũy linh địa phương trong vành chia không giao hoán đại số trên tâm đều là nhóm nhân của một trường con tối đại nào đó trong vành chia.

2 Mọi nhóm con tối đại hữu hạn địa phương trong vành chia không giao hoán đều là nhóm nhân của một trường con tối đại nào đó trong vành chia.

3 Mọi nhóm con tối đại thỏa mãn tính F C-nhóm trong vành chia không giao hoán đều là nhóm nhân của một trường con tối đại nào đó trong vành chia.

II Một vài kết luận và khả năng phát triển

Luận án trình bày một số kết quả mới về các tính chất củacác nhóm con nhân trong vành chia Những kết quả này là sựtổng quát hóa một số kết quả trước kia của các tác giả khác nhưWedderburn, Herstein, Jacobson, Hua, Stuth, Các kết quả này

14

vậy đối với một kết quả cổ điển của Hua :``Nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm giải được thì vành chia giao hoán" Kết quả này đã được Stuth mở rộng như sau: Mọi nhóm con á chuẩn tắc của vành chia nếu giải được sẽ nằm trong tâm" Trong luận án chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu vành chia là đại số trên tâm thì mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương đều nằm trong tâm Nếu trong khẳng định vừa rồi bỏ

đi được điều kiện ``đại số trên tâm" thì sẽ nhận được một kếtquả tổng quát hơn kết quả của Stuth Ngoài ra một vấn đề thựcsự đáng quan tâm đó là liệu có tồn tại một vành chia khônggiao hoán nào không chứa nhóm con tối đại hay không? Nhắclại rằng đối với trường thì câu trả lời là khẳng định vì ta dễdàng chứng minh được trường các số phức không chứa nhómcon tối đại Tuy nhiên đối với vành chia không giao hoán thìcho đến nay người ta vẫn chưa tìm ra được một ví dụ nào nhưvậy

15

[2] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On subnormal and Maximal Subgroups in Division Rings, Southeast Asian Bulletin

[2] Akbari, S., Ebrabimian, R., Momenaee Kermani, H and

Salehi Golsefidy,A., Maximal Subgroups of GLn (D), J

[6] Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi and S.Yasamin ,

Finitety generated subnormal subgroups of GLn(D) are central, J Algebra 225 (2000) 517-512.

19

[7] Mahdavi-Hezavehi, Free subgroups in Maximal subgroup

of GL1(D), J Algebra 24, (2000) 720-730.

[8] Roozbeh-Hazrat, On the central series of the multiplicative Groups, Proc America Math Soc (1997).

[9] T.Y Lam, The First Course in Noncommutative Rings,

Gruaduate Text in Mathematics, Vol.13 , Springer-Verlag(1996)

[10] Suprunenko, D.A, Soluble Subgroups of the Multiplicative Group of a Field, English Transl., Amer Math Soc.Transl.

46(2), (1995) 153-161

20

2.1 Định lý Cartan-Brauer-Hua và các định lý mở rộng liên quan 212.2 Các định lý giao hoán liên quan tính giải được của nhóm con á chuẩn

tắc trong vành chia 252.3 Về giả thuyết của Herstein 302.4 Tính chất hữu hạn của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia 39

3.1 Tính lũy linh của nhóm con tối đại trong vành chia 423.2 Tính hữu hạn của nhóm con tối đại trong vành chia 52

2

Danh Mục Các Ký Hiệu

N, Z, Q, R, C - tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức

H ≤ G - H là nhóm con của G.

H C G - H là nhóm con chuẩn tắc của G.

H ⊆ G -H là tập con của G.

H * G - H không nằm trong G.

H G - H là tập con thực sự của G.

|X| - số phần tử của X.

|a| - cấp của phần tử a.

Mn(R) - vành các ma trận vuông cấp n trên R.

GLn(R) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên R.

G1 ∼ = G2 - G1 đẳng cấu với G2

ker f - nhân của đồng cấu f.

imf - ảnh của đồng cấu f.

[G : H] - chỉ số của H trong G.

[K : F ] - số chiều của không gian vectơ K trên F

xy = y−1xy - phần tử liên hợp của x bởi y.

G0 = [G, G] - nhóm con giao hoán tử của G.

Aut(G) - nhóm các tự đẳng cấu của G.

G(i) - nhóm con hoán tử bậc i của G.

γi(G) - nhóm tâm giảm bậc i của G.

Zi(G) - Nhóm tâm tăng bậc i của G.

F [S] - vành con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D

F (S) - vành chia con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D.

U (R) - nhóm các phần tử khả nghịch của vành R

R∗ = R \ {0} - tập các phần tử khác 0 của vành R.

Char(R) - đặc trưng của vành R.

EndF(R) - tập tất cả các F -tự đồng cấu của R.

R[X] - vành các đa thức với biến X lấy hệ số trong R.

deg(f ) - bậc của đa thức f.

MỞ ĐẦU

Đề tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu về các tính chất của các nhóm controng nhóm nhân của một vành chia Về mặt cấu trúc, vành chia có hầu hết các tínhchất của trường, ngoại trừ việc nó có thể không giao hoán Chính điều này đã làm nênsự khác biệt đáng kể giữa vành chia và trường Nếu như cấu trúc của trường đã đượcnghiên cứu rất kỹ và đã đạt được những kết quả hoàn hảo thì đến nay vẫn còn nhiềuđiều về cấu trúc vành chia chưa được biết đến Thời gian gần đây có nhiều công trìnhnghiên cứu xoay quanh các nhóm con á chuẩn tắc và các nhóm con tối đại của vành chiađã được công bố ( [4]-[5]-[7]-[16]-[18]-[19]-[24]-[26]- ) Điều này cho thấy tính thời sựcủa vấn đề vừa nêu Mục tiêu của chúng tôi trong luận án này là nhằm trình bày cácnghiên cứu về tính giao hoán của nhóm con á chuẩn tắc và nhóm con tối đại của vànhchia

Cho D là vành chia Ký hiệu D∗

:= D\{0} và Z(D) là tâm của D.D được gọi là hữu

hạn chiều trên tâm nếu D là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên Z(D) D được gọi là hữu hạn chiều địa phương trên tâm nếu với mọi tập con hữu hạn S trong D, vành chia

sinh bởi S trên Z(D) là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên Z(D) Nếu mọi phần tử của D∗ đại số trên Z(D) thì D được gọi là đại số trên tâm Một phần tử x ∈ D∗ được

gọi là căn trên tâm Z(D) nếu tồn tại số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x sao cho

xn(x)∈ Z(D) Một tập hợp ∅ 6= S ∈ D được gọi là căn trên tâm nếu mọi phần tử của nó căn trên Z(D).

Một số kết quả cổ điển nghiên cứu về vành chia bắt nguồn từ Định lý Wedderburn:

Mọi vành chia hữu hạn đều là trường Các kết quả này có một điểm chung là tìm cách

thay tính chất hữu hạn trong Định lý Wedderburn bằng một tính chất khác mà vẫn làm

cho vành chia giao hoán Chẳng hạn như `` Nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm

lũy linh thì vành chia giao hoán" Một số kết quả khác theo dạng này của Kaplansky,

mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được của D đều nằm trong Z(D)" Tiếp tục với hướng

đi này chúng tôi đã chứng minh được các kết quả sau: ``Trong một vành chia D, mọi

nhóm con á chuẩn tắc lũy linh địa phương của D∗ đều nằm trong Z(D)" và ``Trong một vành chia D đại số trên tâm, mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương của

D∗ đều nằm trong Z(D)".

Việc khảo sát tính chất căn trong vành chia cũng được nghiên cứu rất nhiều Kaplansky

([27], Định lý 15.5) đã chứng minh rằng: ``Nếu D∗ căn trên Z(D) thì D giao hoán".

Rõ ràng kết quả này là một sự tổng quát hóa khá hay của Định lý Wedderburn về các

vành chia hữu hạn Năm 1978, L.N.Herstein [16] nêu giả thuyết: ``Nếu G là nhóm con á

chuẩn tắc của D∗ và G căn trên Z(D) thì G nằm trong Z(D)." Herstein đã chứng minh

được rằng giả thuyết này đúng nếu G là nhóm con hữu hạn á chuẩn tắc trong D∗

. Tuynhiên cũng chưa có câu trả lời cho trường hợp tổng quát Năm 2004, trong [7], B.X Hảivà L.K Huỳnh đã chứng minh được rằng giả thuyết của Herstein đúng đối với lớp vànhchia hữu hạn chiều trên tâm Trong luận án này chúng tôi chứng minh được giả thuyếtnày vẫn còn đúng trong lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm Cũng trong

hướng nghiên cứu này, một kết quả của Jacobson là: `` Nếu vành chia D đại số trên

trường con hữu hạn của nó thì D giao hoán" được chúng tôi tổng quát hóa thành kết

quả: ``Nếu một nhóm con á chuẩn tắc G của một vành chia D đại số trên một trường

con hữu hạn của D thì G nằm trong Z(D)." Ngoài ra chúng tôi mô tả được đa thức tối

tiểu của một phần tử a ∈ D nằm trong nhóm con chuẩn tắc căn trên Z(D) có dạng

xt− NF (a)/F(a) và nếu a3

∈ Z(D) thì a ∈ Z(D) Đối với vành chia có đặc trưng p > 0, chúng tôi cũng chứng minh được: ``Nếu a là phần tử nằm trong nhóm con á chuẩn tắc

căn trên tâm của vành chia D mà ap n

∈ Z(D) thì a ∈ Z(D).".

Một hướng nghiên cứu mới về vành chia là việc tổng quát hóa Định lý Wedderburndưới hình thức của một nhóm con á chuẩn tắc bằng cách khai thác tính chất hữu hạn.Trong [18] Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi và S.Yasamin đã chứng minh được rằng:

``Trong vành chia D hữu hạn chiều trên tâm, mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D∗ đều nằm trong Z(D)" Trong luận án này chúng tôi tổng quát hóa Định lý

Wedderburn dưới hai hình thức:

i) Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ và G hữu hạn địa phương thì G nằm trong Z(D).

ii) Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ và G là F C−nhóm thì G nằm trong Z(D)

Ởû đây nhóm G được gọi là một F C−nhóm nếu với mọi phần tử bất kỳ trong G, số phần tử liên hợp của nó trong G là hữu hạn.

Việc nghiên cứu những nhóm con tối đại trong vành chia vẫn đang là vấn đề thờisự trong lý thuyết nhóm tuyến tính trên vành chia và được nhiều nhà toán học trên thếgiới quan tâm (có thể tham khảo một số công trình trong 10 năm trở lại đây [4]-[5]-[19]-[13]-[26] để thấy điều đó ) Mặc dù có rất nhiều nghiên cứu về nhóm con tối đại của

vành chia nhưng cho tới hiện nay, câu hỏi: Có tồn tại nhóm con tối đại trong một vành

chia tổng quát hay không? vẫn chưa tìm được câu trả lời Trong khi đó đối với trường

câu trả lời là phủ định Chẳng hạn như trong trường số phức C không tồn tại nhóm contối đại

Trên cơ sở nghiên cứu nhóm con tối đại, một câu hỏi đã được nảy sinh ra là: Những

nhóm con tối đại nào có thể xuất hiện như là nhóm nhân của trường con tối đại Trong

[4], các tác giả đã chứng minh được rằng: ``Nếu M là nhóm con tối đại lũy linh của

vành chia D chứa một phần tử đại số trên tâm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D" Tiếp tục với vấn đề này, chúng tôi đã chứng minh được rằng: `` Nếu

M là nhóm con tối đại lũy linh địa phương của một vành chia đại số trên tâm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D" Trong vành chia Quaternion H, nhóm

con C∗∪C∗j

chính là nhóm con tối đại giải được của H∗ Điều này cho thấy kết quảcủa chúng tôi không thể mở rộng cho nhóm con tối đại giải được trong vành chia.Tính hữu hạn của nhóm con nhân trong vành chia liên quan chặt chẽ với tính giaohoán của nó Đối với nhóm con tối đại trong vành chia điều này càng được thể hiện rõnét Trên cơ sở này chúng tôi đã chứng minh được hai kết qủa sau:

- Nếu M là nhóm con tối đại hữu hạn địa phương của vành chia D thì M là nhóm

nhân của một trường con tối đại của D.

- Nếu M là nhóm con tối đại của vành chia D và M là F C-nhóm thì M là nhóm

nhân của một trường con tối đại của D.

Nội dung chính của luận án được chia làm ba chương Chương 1 nêu các khái niệm

chúng Chương 2 giới thiệu các kết quả nghiên cứu về những định lý giao hoán củanhóm con á chuẩn tắc trong vành chia và các kết quả đạt được gần đây xoay quanh giả

thuyết của Herstein Chương 3, luận án trình bày các vấn đề liên quan đến câu hỏi: Khi

nào nhóm con tối đại trong vành chia trở thành nhóm nhân của một trường con tối đại?

Nhằm giới thiệu một khung cảnh chung của đề tài nghiên cứu, trong từng mục chúngtôi đã liệt kê các kết quả của những tác giả khác đan xen với sự trình bày các kết quảcủa chúng tôi Điều này theo thiển ý của chúng tôi có thể giúp người đọc cảm nhận dễdàng hơn những vấn đề nghiên cứu mà chúng tôi trình bày trong luận án Tuy nhiên,

ở mọi nơi chúng tôi đều chỉ rõ kết quả nào thuộc về ai và người đọc có thể dễ dàng đốichiếu qua danh mục các tài liệu tham khảo của luận án

Phần kết luận của luận án nêu tóm tắt các kết quả mà luận án đã thu được và đềxuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo

tử nghịch đảo Tập các phần tử nghịch đảo của vành R được ký hiệu là U(R) Như vậy

R là vành chia nếu và chỉ nếu R∗ = U (R) Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên vành

R được ký hiệu là Mn(R) và ký hiệu GLn(R) thay cho U Mn(R)

Nếu R là vành chia và G là nhóm con nhân của R∗ thì ta qui ước nói G là nhóm con của vành chia R Nếu

R là một trường thì một nhóm con của GLn(R) được gọi là nhóm tuyến tính, còn nếu

R là vành chia thì nhóm con của GLn(R) được gọi là nhóm tuyến tính trên vành chia Nếu G là một nhóm thì Z(G) được ký hiệu là tâm của G Nếu R là vành thì tập hợp

Cho G là một nhóm nhân với phần tử đơn vị 1 Nhóm con H của G được gọi là

nhóm con thực sự của G nếu H 6= G Nếu X là tập con khác rỗng của G thì ký hiệu

Xx ⊆ X.

Hiển nhiên

XH

= h−1xh : h ∈ H, x ∈ X

là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X và được chuẩn hóa bởi H XG

gọi là nhóm con

NG(H) = g ∈ G : g Hg = H

được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G Rõ ràng

H C NG(H) ≤ G.

nhóm con G1, G2, , Gn của G sao cho

H = G1 C G2 C C Gn = G thì ta nói H là nhóm con á chuẩn tắc (subnormal) của G Với x, y là hai phần tử trong

thể thấy rằng nếu G/H là nhóm giao hoán thì G0

≤ H Nếu x ∈ G thì số phần tử liên hợp với x trong G ký hiệu là xG và số phần tử của xG đúng bằng chỉ số của CG(x)trong

G Với H ≤ G, ta ký hiệu [G : H] là chỉ số của H trong G.

Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một nhóm, đặt

G(0)= G, G(i+1)= [G(i), G(i)], ∀i ≥ 0.

i) G(i) được gọi là nhóm con hoán tử bậc i của G và dãy các nhóm con

G = G(0)≥ G(1) ≥ G(2)≥

được gọi là dãy dẫn xuất của G.

ii) Nếu tồn tại n ∈ N sao cho G(n)

= 1 thì G được gọi là nhóm giải được và số nguyên dương r nhỏ nhất sao cho G(r)

= 1 được gọi là bậc giải được của G.

iii) Nếu với mọi tập con S hữu hạn khác rỗng của G, nhóm con S

là nhóm giải

được thì G được gọi là nhóm giải được địa phương.

Ta có G(i) chuẩn tắc trong G với mọi i ≥ 1 Nếu G là nhóm giải được và H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H và G/H là những nhóm giải được của G Hiển nhiên nếu G

là nhóm giải được thì nó là nhóm giải được địa phương

Định nghĩa 1.1.2 Cho G là một nhóm

i) Họ các nhóm con γi(G) của G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

γ1(G) = G; γi+1 = [γi, G] với mọi i ≥ 0 các nhóm γi(G) xác định ở trên được gọi là dãy tâm giảm của G.

ii) Họ các nhóm con Zi(G) của G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

các nhóm Zi(G) xác định ở trên được gọi là dãy tâm tăng của G.

iii) Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho Zn(G) = G hoặc γn+1(G) = 1 thì G được gọi là nhóm lũy linh Số n nhỏ nhất thỏa điều kiện trên được gọi là lớp lũy linh của G iv) Nếu mọi tập con S hữu hạn khác rỗng của G, nhóm S

là nhóm lũy linh thì ta

nói G là nhóm lũy linh địa phương.

Từ định nghĩa 1.1.2, ta có các kết quả sau (xem [1])

Định lý 1.1.3 Cho G là một nhóm và H là nhóm con của G.

i) γi(G) C G và Zi(G) C G với mọi i.

ii) Zn(G) = G ⇐⇒ γn+1(G) = 1.

iii) Nếu G là nhóm lũy linh thì nhóm con và nhóm thương của G là những nhóm lũy linh.

iv) Nếu G là nhóm lũy linh thì G là nhóm giải được.

v) Nếu G là nhóm lũy linh thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G.

vi) Nếu G/Z(G) là nhóm lũy linh thì G là nhóm lũy linh.

vii) Nếu G là nhóm lũy linh và H là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G

Định lý 1.1.5 [[23] Định lý 12.2.2, trang 364] Cho G là một nhóm Nếu G thỏa mãn

điều kiện chuẩn hóa thì G là nhóm lũy linh địa phương

Định lý 1.1.6 [[30] Định lý 15.1.3, trang 443] Cho G là một nhóm Nếu G/Z(G) là

hữu hạn thì G0

là nhóm hữu hạn.

Định lý 1.1.7 [[20], Định lý 13.2.2, trang 83] Cho G là một nhóm và H là nhóm con

của G có chỉ số hữu hạn Khi đó H chứa một nhóm con N chuẩn tắc trong G sao cho

[G : H] là ước số của [G : N] và [G : N] là ước của [G : H]!

Định lý 1.1.8 [[30], Định lý 3.3.5, trang 53] Cho G là một nhóm và H là nhóm con của

G có chỉ số hữu hạn Khi đó

Nếu G là một nhóm hữu hạn thì ta có định lý sau.

Định lý 1.1.9 [[1], Định lý 7.1, trang 37] Cho G là một nhóm có |G| = pmk với p nguyên tố và (p, k) = 1 Khi đó với mọi 1 ≤ r ≤ m, tồn tại trong G một nhóm con có cấp pr.

Định nghĩa 1.1.10 Cho G là một nhóm G được gọi là một F C−nhóm nếu với mọi

x ∈ G , số phần tử của xG là hữu hạn

Từ định nghĩa này ta có kết quả sau:

Định lý 1.1.11 [[23], Định lý 14.5.9, trang 443] Nếu G là FC-nhóm thì [G, G] là nhóm

xoắn.

Định lý 1.1.12 [[23], Định lý 14.3.1, trang 429] Cho G là một nhóm và N là nhóm

con chuẩn tắc của G Nếu N và G/N cùng hữu hạn địa phương thì G là nhóm hữu hạn địa phương.

1.2 Trường

Nếu K là trường con của trường F thì ta viết K ⊆ F và gọi F là mở rộng trên K.

Ta dùng ký hiệu F/K để chỉ F là mở rộng của K và nói K là trường cơ sở của mở rộng Nếu F/K là mở rộng trường thì có thể xem F là một không gian vectơ trên K, ký hiệu [F : K] được dùng để chỉ số chiều không gian vectơ này Ta gọi [F : K] là bậc của mở

rộng F/K.

Định nghĩa 1.2.1 Cho F/K là mở rộng trường.

i) Phần tử a ∈ F được gọi là đại số trên K nếu tồn tại đa thức f(x) ∈ K[x] có bậc lớn hơn 0 và nhận a làm nghiệm Nói cách khác, a ∈ F là đại số trên K nếu tồn tại những phần tử α0, α1, , αn ∈ K(n > 0), không phải tất cả đều bằng 0 sao cho

α0+ α1a + · · · + αnan= 0

ii) Giả sử a ∈ F là phần tử đại số trên K Gọi p(x) là đa thức nằm trong K[x] có bậc nhỏ nhất nhận a là nghiệm Nếu p(x) có hệ số của bậc cao nhất là 1 thì p(x) được xác định duy nhất và ta gọi nó là đa thức tối tiểu của phần tử a trên K Ký hiệu

p(x) = min(K, a).

Định nghĩa 1.2.2 Cho F/K là mở rộng trường và S là tập con khác rỗng của F

i) Ký hiệu K[S] là giao của tất cả các vành con của F chứa K và S và gọi nó là vành

con của F sinh bởi S trên K.

ii) Ký hiệu K(S) là giao của tất cả các trường con của F chứa K và S và gọi nó là

trường con của F sinh bởi S trên K Nếu |S| = 1 thì K(S) được gọi là mở rộng đơn

của K Nếu S là tập hữu hạn thì ta nói K(S) là mở rộng hữu hạn sinh.

Định nghĩa 1.2.3 Cho mở rộng trường F/K.

i) F được gọi là mở rộng hữu hạn trên K nếu [F : K] < ∞.

ii) F được gọi là hữu hạn địa phương trên K nếu mọi tập con S hữu hạn của F , trường K(S) hữu hạn trên K.

iii) F được gọi là đại số trên K nếu với mọi a ∈ F , a là phần tử đại số trên F

Có thể thấy rằng:

F hữu hạn trên K =⇒ F hữu hạn địa phương trên K =⇒ F đại số trên K Nếu a là phần tử đại số trên K và n = [K(a) : K] thì 

1, a, a2, , an−1

là một cơ sở

ii) Đa thức bất khả quy f trên trường K được gọi là tách được trên K nếu f không có nghiệm bội trong trường phân rã của nó Nếu mọi a ∈ F , min(K, a) tách được trên

K thì ta nói F là mở rộng tách được trên K.

iii) Phần tử a ∈ F được gọi là thuần túy không tách được trên K nếu tồn tại số tự nhiên r sao cho ap r

∈ K , trong đó p = CharK Nếu mọi phần tử a ∈ F là thuần tuý không tách được trên K thì F được gọi là thuần túy không tách được trên K.

iv) Một tự đẳng cấu σ của F được gọi là K−tự đẳng cấu nếu σ(a) = a với mọi

a ∈ K Ta gọi nhóm tất cả các K−tự đẳng cấu của F là nhóm Galois của mở rộng F trên K và ký hiệu là Gal(F/K) Ta ký hiệu

thì F được gọi là mở rộng Galois trên K

Định lý 1.2.5 [[2], Định lý 3.15, trang 72] Cho mở rộng hữu hạn L/K Khi đó L/K là

mở rôïng Galois nếu và chỉ nếu L/K là mở rộng chuẩn tắc và tách được.

Định lý 1.2.6 (Burnside) [[27], Định lý 9.9', trang 154] cho K là một trường và G là

nhóm con của GLn(K) Khi đó G là nhóm xoắn nếu và chỉ nếu G là nhóm hữu hạn địa phương.

Định lý 1.2.7 [[13], Định lý 1] Cho K là trường có đặc trưng 0 Nếu G là nhóm con

của GLn(K) thì hoặc G chứa một nhóm con tự do không giao hoán hoặc G chứa một nhóm con giải được có chỉ số hữu hạn.

Định nghĩa 1.2.8 Cho F/K là mở rộng hữu hạn bậc n Với mỗi a ∈ F , ánh xạ

La : F → F cho bởi La(b) = ab (∀b ∈ F ) là K−ánh xạ tuyến tính trên F Cố định một

cơ sở β của K trên F Đặt [La]là ma trận biểu diễn của La trong cơ sở β Định nghĩa i) NF /K(a) = det [La]

là chuẩn của a trên K.

ii) T rF /K(a) = T r [La]

là vết của a trên K.

Mệnh đề 1.2.9 [[21], Bổ đề 8.5, trang 80] Cho mở rộng trường F/K với [F : K] = n <

∞ Khi đó

i) Với mọi a ∈ F , NF /K(a) và T rF /K(a) là những phần tử nằm trong K.

ii) Ánh xạ T rK/F : F → K là K-ánh xạ tuyến tính.

iii) Nếu a ∈ K thì T rF /K(a) = na.

iv) Nếu a, b ∈ F thì NF /K(a.b) = NF /K(a).NF /K(b).

v) nếu a ∈ K thì NF /K(a) = an.

Mệnh đề 1.2.10 [[21], Mệnh đề 8.6, trang 80] Cho F/K là mở rộng trường với [F :

K] = n < ∞ Nếu a ∈ F và p(x) = xm+ αm−1xm−1+ · · · + α1x + α0 là đa thức tối tiểu của a trên K thì ta có

NK/F(a) = (−1)mαn/m0 và T rK/F(a) = − n

m αm−1.

Định nghĩa 1.2.11 Cho R là một vành và S là tập con khác rỗng của R.

i) Phần tử a ∈ R được gọi là căn trên S nếu tồn tại số nguyên dương n(a) sao cho

an(a) ∈ S.

ii) Tập con A của R được gọi là căn trên S nếu mọi a ∈ A, a căn trên S.

iii) Phần tử a ∈ R được gọi là lũy đơn (unipotent) nếu tồn tại số nguyên dương n(a) sao cho (a − 1)n(a) = 0 Nhóm con của U(R) được gọi là lũy đơn nếu mọi phần tử củanó đều là lũy đơn

Mệnh đề 1.2.12 [[27], Mệnh đề 15.13, trang 258] Cho K là trường con thực sự của F

Nếu F căn trên K thì hoặc F là thuần túy không tách được trên K hoặc F đại số trên trường con P nguyên tố Hơn nữa CharK = p > 0.

Định lý 1.2.13 [[14], trang 146] Cho F là một trường và G là nhóm con của GLn(F ) Nếu G giải được thì G chứa một nhóm con chuẩn tắc H có chỉ số hữu hạn với H0

là nhóm lũy đơn.

số đơn tâm Trường K được gọi là trường chẻ ra của đại số đơn tâm R nếu tồn tại một

đẳng cấu từ R NZ(R)K vào Mn(K) với một số nguyên dương n nào đó.

Định nghĩa 1.3.1 Cho A là một đại số đơn tâm và E là trường chẻ ra của A Gọi f là

đẳng cấu đi từ AN

Z(A)E vào Mn(E).

i) Với a ∈ A, chuẩn rút gọn của a trên Z(A) được định nghĩa là

N rA/Z(A)(a) = det f (a ⊗ 1)

Định lý 1.3.2 [[22], trang 146] Cho A là đại số đơn tâm, K là tâm của A và a, b là hai

phần tử trong A Khi đó.

i) NrA/K(a) và T rdA/K(a) là những phần tử của K.

ii) NrA/K(a.b) = N rA/K(a).N rA/K(b).

iii) Nếu a ∈ K thì NrA/K(a) = ar r2 = [A : K]

iv) T rdA/K(a + b) = T rdA/K(a) + T rdA/K(b)

v) Nếu a ∈ K thì T rdA/K(a) = ra r2 = [A : K]

.

Định nghĩa 1.3.3 Cho D là vành chia , F là một trường con của D và S là một tập con

khác rỗng của D.

i) Ký hiệu F [S] là giao tất cả các vành con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là vành

con của D sinh ra bởi S trên F

ii) Ký hiệu F (S) là giao tất cả các vành chia con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là

vành chia con của D sinh ra bởi S trên F

Định nghĩa 1.3.4 Cho D là vành chia tâm F

i) D được gọi là hữu hạn chiều trên tâm nếu [D : F ] < ∞.

iii) D được gọi là đại số trên tâm nếu mọi a ∈ D, a là phần tử đại số trên F

Trong ([27], trang 221) có trình bày một ví dụ về vành chia hữu hạn chiều địa phươngtrên tâm nhưng không hữu hạn chiều trên tâm

Định nghĩa 1.3.5 Cho D là vành chia tâm F và G là nhóm con của D∗

i) G được gọi là bất khả quy nếu F (G) = D.

ii) G được gọi là bất khả quy tuyệt đối nếu F [G] = D.

iii) Với K là vành chia con của D Nếu K∗ là nhóm con chuẩn tắc của D∗ thì ta nói

K chuẩn tắc trong D.

Dưới đây là các kết quả căn bản để sử dụng trong những chương sau của luận án

Định lý 1.3.6 (Wedderburn) [[30], Định lý 14.13, trang 427] Mọi vành chia hữu hạn

đều là một trường.

Mệnh đề 1.3.7 [[27], Hệ quả 13.2, trang 215] Cho D là vành chia và K là vành con

hữu hạn của D Khi đó K là một trường.

Định lý 1.3.8 (Jacobson) [[27], Định lý 13.11, trang 219] Cho D là vành chia và F là

trường con hữu hạn của D Nếu D đại số trên F thì D là trường.

Định lý 1.3.9 (Kaplansky) [[27], Định lý 15.15 trang 253] Cho D là vành chia tâm F

Nếu D căn trên F thì D giao hoán.

Định lý 1.3.10 (Hua) [[27], trang 223] Cho D là vành chia Nếu D∗ là nhóm giải được thì D giao hoán.

Định lý 1.3.11 (Faith) [[27], trang 223] Cho D là vành chia và K là vành chia con của

D∗ Nếu 

D∗ : ND ∗(K∗)

< ∞ thì D giao hoán.

Mệnh đề 1.3.12 [12, Bổ đề 3.1.12, trang 12] Cho D là vành chia có đặc trưng khác 0

và G là nhóm con của D∗ Nếu G là nhóm hữu hạn thì G là nhóm cyclic.

Bổ đề 1.3.13 (Herstein) [[27], Định lý 138, trang 217] Cho D là vành chia có đặc trưng

p > 0 và a ∈ D \ F Nếu a là phần tử xoắn thì tồn tại y ∈ D∗ sao cho yay−1

= ai 6= a

Định lý 1.3.15 (Về tâm hóa tử kép/ Double Centralizer Theorem) [[27], trang 254] Cho

D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F và K là vành chia con của D chứa F Khi đó

CD CD(K)

= K và [D : F ] = [K : F ][CD(K) : F ].

Mệnh đề 1.3.16 [[27], Mệnh đề 15.7 trang 254] Cho D là vành chia và K là trường

con của D Khi đó K là trường con tối đại của D khi và chỉ khi CD(K) = K

Định lý 1.3.17 (Định lý Wedderburn về sự phân tích nhân tử) [[17], trang 253] Cho

D là vành chia tâm F và a ∈ D \ F là phần tử đại số trên F Nếu f(x) ∈ F [x] là đa thức tối tiểu của a trên F có bậc là m thì tồn tại a1, a2, , am là các phần tử liên hợp của a trong D∗ sao cho

f (x) = (x − a1)(x − a2) (x − am).

Hơn nữa ta có thể chọn a1 = a

Định lý 1.3.18 [[11], trang 365-370] Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm và G

là nhóm con giải được của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán có chỉ số hữu hạn.

Định lý 1.3.19 [[29], Hệ quả 1.5] Cho D là vành chia và G là nhóm con bất khả quy

tuyệt đối giải được địa phương của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán H sao cho G/H là hữu hạn địa phương.

Định lý 1.3.20 [[25], Định lý 2.5.4, trang 74] Cho D là vành chia có đặc trưng 0 và G

là nhóm con hữu hạn địa phương của GLn(D) Nếu G là nhóm giải được địa phương thì G là nhóm giải được.

Định lý 1.3.21 [[14], Định lý 2.5.2, trang 73] Cho D là vành chia có đặc trưng 0 và

G là nhóm con của GLn(D) Nếu G lũy linh địa phương thì G đẳng cấu với một nhóm con của GL2n(C) Đặc biệt G chứa một nhóm con giao hoán chuẩn tắc có chỉ số là ước

số của (2n)!.

Định lý 1.3.22 [[25], Định lý 5.7.11, trang 215] Cho D là vành chia và G là nhóm con

bất khả quy tuyệt đối của D và H là nhóm con chuẩn tắc lũy linh địa phương của G Khi đó tồn tại nhóm con N nằm trong tâm H sao cho H/N là nhóm hữu hạn địa phương và G/CG(H) là nhóm xoắn.

Định lý 1.3.23 [[12], Hệ quả 2, trang 162] Cho D là vành chia tâm F, K là vành chia

con của D chứa F và hữu hạn chiều trên F Khi đó mọi đơn cấu ϕ đi từ K vào D cố định các phần tử của F đều thác triển thành một tự đẳng cấu trong ϕ trên D sao cho ϕ|K= ϕ