Định lý Cartan-Brauer-Hua là một trong những định lý quan trọng nhất trong lý thuyết vành chia. Nó đặt nền tảng cho việc khảo sát tính chuẩn tắc của nhóm con nhân trong vành chia. Hầu hết các kết quả nghiên cứu về tính chuẩn tắc của nhóm con trong vành chia đều dựa trên định lý này. Một trong những mở rộng quan trọng của Định lý Cartan-Brauer-Hua là Định lý Stuth. Mục đích của tiết này là giới thiệu Định lý Cartan-Brauer-Hua [27], Định lý Stuth [30] cùng với các hệ quả của chúng và một số mệnh đề dùng cho những tiết sau.
Định lý 2.1.1 (Cartan-Brauer-Hua)[[30], Định lý 14.1.3, trang 427].Cho K là vành chia con của vành chia D. Nếu K∗ chuẩn tắc trongD∗ thì
K ⊆Z(D) hoặc K =D.
Mệnh đề 2.1.2. Cho D là vành chia, P là trường con nguyên tố của D,b∈Z(D)∗\ {1} và x, y là hai phần tử trongD∗ thỏa mãn [x, y] =b. Đặt
x1 = [1 +x, y], xi+1 = [xi, y] (i∈N, i≥1).
Nếu có n ∈N sao choxn= 1 thì tồn tại đa thứcg ∈P(b)[t]\ {0} sao chog(x) = 0.
Chứng minh. Do giả thiết [x, y] =bvàb∈Z(D)∗ \ {1} nên xy=y(bx).
22
Giả sử xky=y(bx)k vớik > 1. Khi đó
xk+1y=xxky= (xy)(bx)k =y(bx)(bx)k =y(bx)k+1. Suy ra, nếu hlà đa thức trên Z(D) thì
h(x).y=yh(bx).
Vậy, nếu h(x)6= 0 thì
y−1h(x)−1 =h(bx)−1y−1
⇐⇒ h(x)−1y=yh(bx)−1 Do đó, nếu f là một hàm phân thức trên Z(D) thì
f(x)y=yf(bx).
Mặc khác, với b∈Z(D)ta có.
x1 = [1 +x, y] = (1 +x)−1(1 +bx) x2 = [x1, y]
= (1 +bx)−1(1 +x)(1 +bx)−1(1 +b2x)
= (1 +x)(1 +bx)−2(1 +b2x)
= Y2 i=0
1 +bix(−1)2−iC2i
Giả sử
xk = Yk i=0
1 +bix(−1)(k−i)Cki
Khi đó
xk+1 =
Yk i=0
1 +bix(−1)(k+1)Cki !−1 Yk i=0
1 +bi+1x(−1)(k−i)Cki!
=
Yk i=0
1 +bix(−1)(k+1−i)Cik! k+1 Y
i=1
1 +bix(−1)(k+1−i)Cki−1!
= (1 +x)(−1)k+1 Yk i=0
1 +bix(−1)(k+1−i) Cki+Cki−1!
1 +bk+1x
=
k+1Y
i=0
1 +bix(−1)(k+1−i)Cik+1
!
Xr j=0
ajxj = 0.
Với các aj ∈P(b). Đặtg(t) =Pr
j=0ajtj, khi đó g(t)∈P(b)[t]là đa thức cần tìm.
Nhận xét 2.1.3. Đa thức g nhận được trong chứng minh Mệnh đề 2.1.2 chỉ phụ thuộc vào bmà không phụ thuộc vào giá trị của x vày.
Mệnh đề 2.1.4 [[30], Định lý 14.3.3, trang 433]. Cho D là vành chia, G là nhóm con không giao hoán của D∗. Nếu G0 = [G, G]⊆Z(D) thì G không là á chuẩn tắc.
Với số nguyên dươngn ∈N, ta xét phát biểu sau.
Pn,D: Cho K là vành chia, H là vành chia con của K, G1, G2, . . . , Gn là nhóm con của K∗ thỏa mãn
G1 ⊆NK∗(H∗)\Z(K) và G1 C G2 C . . .CGn=K∗. Khi đó
H ⊆Z(K) hoặc H =K.
Nếu H là trường con của K thì ta ký hiệu Pn,F thay cho Pn,D.
Định lý 2.1.5 (Stuth) [[30], trang 433-439]. Phát biểu Pn,D đúng với mọi số nguyên dửụng n≥1.
Từ định lý của Stuth, ta có các kết quả sau
Định lý 2.1.6. cho D là một vành chia, H là vành chia con của D và G là nhóm con á chuẩn tắc D∗. Nếu H được chuẩn hóa bởi G thì
H =D hoặc H ⊆Z(D).
24
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lý 2.1.5.
Hệ quả 2.1.7. Cho D là vành chia không giao hoán. Khi đó D∗/Z(D)∗ không chứa nhóm con á chuẩn tắc giao hoán thực sự.
Chứng minh. NếuD giao hoán thì kết quả hiển nhiên. Giả sử D không giao hoán vàH là một nhóm con á chuẩn tắc giao hoán không tầm thường nằm trong D∗/Z(D)∗. Gọi π là toàn cấu chính tắc từ D∗ vào D∗/Z(D)∗. Đặt G=π−1(H). Khi đóG là nhóm con a0 chuẩn tắc không nằm trong tâmD. Do giả thiết H giao hoán nên G0= [G, G]⊆Z(D).
Theo Mệnh đề 2.1.4, Glà giao hoán. Suy ra Gchuẩn hóa trường conZ(D)(G).Áp dụng Định lý 2.1.6 với H là Z(D)(G), ta có
Z(D)(G)⊆Z(D)hoặcZ(D)(G) =D.
Trường hợp đầu xảy ra thì G nằm trong tâm của D, đây là điều vô lý. Còn trường hợp sau xảy ra thì D giao hoán cũng là điều vô lý. Suy ra hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 2.1.8. Cho D là vành chia không giao hoán và G là nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâmD. Khi đó CD(G) =Z(D).
Chứng minh. Hiển nhiênZ(D)⊆CD(G). Để chứng minh bao hàm ngược, chú ý rằng CD(G)6=D bởi Gkhông nằm trong Z(D). Hơn nữa, CD(G)được chuẩn hóa bởi G. Áp duùng ẹũnh lyự 2.1.6, thỡ CD(G)⊆Z(D).
Hệ quả 2.1.9. Cho D là vành chia không giao hoán và G là nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D. Khi đó, với mọi x∈D\Z(D)
D =Z(D)(xG).
Chứng minh. Do x ∈ Z(D)(xG) nên Z(D)(xG) không nằm trong Z(D). Hơn nữa, G chuẩn hoá Z(D)(xG). Áp dụng Định lý 2.1.6 ta có kết quả chứng minh.
Hệ quả 2.1.10. Cho D là vành chia và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G giao hoán thì G nằm trong tâm của D.
Chứng minh. Trường con Z(D)(G) được chuẩn hóa bởi G. Theo Định lý 2.1.6, Z(D)(G)⊆Z(D) hay Z(D)(G) =D.
Trường hợp đầu xảy ra, kết quả là hiển nhiên. Trường hợp sau xảy ra thì D giao hoán.
Do đó G⊆D =Z(D).
là``Nếu D là vành chia có D∗ là nhóm lũy linh thì D giao hoán". Sau đó Hua tổng quát hóa kết quả trên bằng cách thay tính lũy linh bằng tính giải được (xem [27]). Hướng đi này được nhiều người tiếp tục quan tâm và nghiên cứu.
Trong tiết này, chúng tôi trình bày các kết quả của chúng tôi liên quan tới tính giải được của nhóm con á chuẩn tắc. Để tiện trích đẫn, chúng tôi phát biểu lại một kết quả cuûa Stuth.
Định lý 2.2.1 [[30], Định lý 14.4.4, trang 440]. Cho D là một vành chia và G là một nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G là nhóm giải được thì G nằm trong tâm củaD.
Trước khi trình bày các kết quả chính, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. Cho D là vành chia và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Khi đó, nếu x, y∈G,[x, y]6= 1 thì [x, y]∈/ Z(D).
Chứng minh. Từ giả thiết Gá chuẩn tắc trongD∗, tồn tại dãy nhóm conG0, G1, . . . , Gn
cuûa D∗ sao cho
G=G0 CG1 C. . .CGn =D∗ Giả sử x, y là hai phần tử trong G thỏa mãn
16= [x, y] :=b∈Z(D).
Đặt
x1 = [1 +x, y]; xi+1 = [xi, y] (i≥1).
Để ý rằng y∈Gt với mọi t= 0, . . . , n, nên
x1 = (1 +x)−1y−1(1 +x)y∈Gn−1. Giả sử ta đã có xk ∈Gn−k. Khi đó
xk+1 = [xk, y] =x−1k y−1xky∈Gn−k−1.
26
Suy ra xn∈G.Mặt khác, Glà nhóm lũy linh địa phương nên nhóm con xn, y
là nhóm lũy linh. Vậy tồn tại số nguyên dương s sao cho xs = 1. Gọi P là trường nguyên tố của D, theo Mệnh đề 2.1.4 tồn tại đa thức g ∈ P(b)[t] sao cho g(x) = 0. Nếu m ∈ Z thỏa mãn mx6= 0 thì [mx, y] =b.
Do Nhận xét 2.1.3 nên mx cũng là nghiệm của phương trình g(t) = 0. Mặt khác, g chỉ có hữu hạn nghiệm trên trường Z(D)(x). Suy ra đặc trưng của vành chia D là nguyên tố. Gọi
f(t) = Xr
i=0
aiti. là đa thức tối tiểu của x trên P(b). Khi đó
f(x) = Xr
i=0
aixi = 0 và y−1f(x)y = Xr
i=0
aibixi = 0 Trừ hai đẳng thức lại với nhau ta nhận được
a1(b−1) +. . .+ar(br−1)xr−1 = 0.
Do f là đa thức tối tiểu của x và ar 6= 0 nên br−1 = 0. Suy ra trường P(b) là trường hữu hạn và x là phần tử đại số trên P(b). Do đó P(b)(x)là trường hữu hạn. Đặt biệt x là phần tử xoắn. Thay đổi vai trò của x vày trong lập luận trên ta nhận được y cũng là phần tử xoắn. Đặt
K = X
hh
aijxiyj :aij ∈P(b)
.
Rõ ràng K đóng với phép cộng. Hơn nữa, [x, y] =b∈Z(D) vàx, y là hai phần tử xoắn nên K đóng với phép nhân. VậyK là vành con hữu hạn của một vành chia có đặc trưng nguyên tố. Theo Mệnh đề 1.3.7, K là một trường. Đặc biệt x và y giao hoán với nhau.
dẫn tới b= [x, y] = 1. Đây là điều vô lý và do đó [x, y]∈/ Z(D).
Định lý 2.2.3. Cho D là một vành chia và G là một nhóm con á chuẩn tắc củaD∗. Nếu G luừy linh ủũa phửụng thỡ G naốm trong taõm cuỷa D.
Chứng minh. Từ giả thiết Gá chuẩn tắc trongD∗, tồn tại dãy nhóm conG0, G1, . . . , Gn
cuûa D∗ sao cho
G=Gn CGn−1 C. . .CG0 =D∗
Giả sử G không giao hoán. Khi đó, chọn x, y là hai phần tử không giao hoán trong G.
Đặt
H =H0 = x, y
, Hi+1= [Hi, H] (i≥0)
Hs = [a, b] :a Hs−1, b H = 1.
Vậy tồn tại a0 ∈ Hs−1, b0 ∈ H sao cho c = [a0, b0] 6= 1, c giao hoán với x và y. Đặt D1 =CD(c), khi đóxvàynằm trongD1. Suy raH ⊆D1. GọiNi =Gi∩D1, i= 0, . . . , n, ta có
N =N0 CN1 C. . .CNn =D∗1. Hơn nữa, H ⊆ G0∩D1∗
=N0. Suy ra, a0, b0 ∈N0 và16= [a0, b0] =c∈Z D1
. Nhửng điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.2. Suy ra Glà nhóm giao hoán, theo Hệ quả 2.1.10 ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2.4. Cho D là một vành chia. NếuD∗ là lũy linh địa phương thì D giao hoán.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.2.3 vớiG làD∗.
Nếu thay tính giải được bằng tính giải được địa phương của nhóm con á chuẩn tắc thì kết quả vẫn còn đúng, nhưng trong trường hợp này lớp vành chia của chúng ta bị hạn chế xuống là lớp vành chia đại số trên tâm.
Để đi tới kết quả này, trước tiên ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.5. Cho D là vành chia không giao hoán đại số trên tâm F và G là một nhóm con của D∗. Nếu G bất khả quy thì G bất khả quy tuyệt đối.
Chứng minh. Gọi F[G] là vành con của D sinh ra bởi Gtrên F. Khi đó F[G] = X
hh
aigj : ai ∈F, gi ∈G
. Với mọi d∈F[G], gọi
f(x) = Xn
i=0
aixi ∈F[x]
là đa thức tối tiểu của d trên F. Khi đó Xn
i=0
aidi = 0 =⇒d
(−a0)−1 Xn
i=1
aidi−1
= 1.
28 Vậy d khả nghịch với
d−1 = (−a0)−1 Xn
i=1
aidi−1 ∈F[G].
Suy ra F[G] là vành chia và vì vậy nếu Gbất khả quy thì G là bất khả quy tuyệt đối.
Định lý 2.2.6. Cho D là một vành chia đại số trên tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G giải được địa phương thì G nằm trong F.
Chứng minh. Giả sử G không giao hoán. Xét vành chia con F(G)sinh bởi F vàG. Dễ thấy G chuẩn hóa F(G).Theo Định lý 2.1.6, ta có
F(G)⊆F hoặcF(G) =D.
Trường hợp đầu không xảy ra bởi G không nằm trong F. Do đó F(G) = D nghĩa là G bất khả quy. Suy ra, G là bất khả quy tuyệt đối bởi Bổ đề 2.2.5 . Theo Định lý 1.3.19, tồn tại nhóm con giao hoán chuẩn tắc của Gsao cho G/H là hữu hạn địa phương. Hơn nữa, H còn là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ bởi G là á chuẩn tắc trong D∗. Áp dụng Hệ quả 2.1.10, ta có H nằm trong F. Suy ra
H =H ∩F∗ ≤G∩F∗ =Z(G).
DoG/H hữu hạn địa phương nênG/Z(G)cũng hữu hạn địa phương. Giả sử{g1, g2, . . . , gn} là một tập con hữu hạn của G0 = [G, G]. Khi đó với mỗi j = 1, . . . , n, gj có biểu diễn
gj = [a1j, b1j][a2j, b2j]. . .[amj, bmj] (∗) Gọi N là nhóm con sinh bởi tất cả các ark, brk trong sự biểu diễn của tất cả các gj
ở dạng (∗). Khi đó (N Z(G))/Z(G) là nhóm con hữu hạn sinh của G/Z(G). Do đó (N Z(G))/Z(G) là nhóm hữu hạn. Mặt khác
N Z(G)/Z(G)∼=N/N ∩Z(G) và N ∩Z(G)⊆Z(N)
nên N/Z(N) là nhóm hữu hạn. Suy ra N0= [N, N] là nhóm hữu hạn bởi Định lý 1.1.6.
Hơn nữa, từ định nghĩa của N, ta có
g1, g2, . . . , gn
⊆N0. Vậy
g1, g2, . . . , gn
cũng là nhóm hữu hạn. Do đó G0 là nhóm hữu hạn địa phương Tới đây ta xét hai trường hợp.
(1) CharD=p >0. Lấya, b∈G0, khi đó a, b
là nhóm hữu hạn. Hơn nữa, a, b
còn là nhóm cyclic bởi CharD =p > 0 và Mệnh đề 1.3.12. Đặc biệt a và b giao hoán với
lý 1.3.20, G là giải được tức là Ggiải được. Suy ra G giao hoán bởi Định lý 2.2.1. Điều này là vô lý với giả thiết ban đầu của chúng ta.
Suy ra G phải giao hoán. Theo Hệ quả 2.1.10, ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2.7. Cho D là vành chia đại số trên tâm của nó. Nếu D giải được địa phương thì D giao hoán.
Hệ quả 2.2.8. Cho D là vành chia và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa thì G nằm trong tâm của D.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.5, Glà lũy linh địa phương. Áp dụng Định lý 2.2.3 ta có điều cần chứng minh.
30