Tiết này trình bày một số định lý của chúng tôi, mô tả mối quan hệ giữa tính hữu hạn và tính giao hoán của một nhóm con tối đại của vành chia.
Định lý 3.2.1. Cho D là một vành chia không giao hoán và giả sử M là nhóm con tối đại của D∗. Nếu M hữu hạn địa phương thì M là nhóm nhân của một trường tối đại cuûa D.
Chứng minh. Giả sử M không giao hoán. Nếu F∗ không nằm trong M thì từ tính tối đại của M, ta có D∗ =F∗M. Suy ra
D0 = (F∗M)0 =M0 ≤M.
Vậy D0 hữu hạn địa phương. Theo Định lý 2.4.3, ta có D0 ⊆Z(D)∗. Suy ra D là nhóm lũy linh. Theo Hệ quả 2.2.4, D là một trường. Điều vô lý này cho ta F∗ ≤ M. Nếu CharD = 0, ta có thể coi Q là trường nguyên tố củaD. Nhưng
(1 + 1) = 2∈Q∗ ⊆F∗ ⊆M
là phần tử có cấp vô hạn và điều này mâu thuẫn với tính hữu hạn địa phương của M. Suy ra CharD =p >0. Lấya, blà hai phần tử của M thì
a, b
là nhóm hữu hạn. Theo Mệnh đề 1.3.12, nhóm
a.b
là nhóm cyclic. Đặt biệt a giao hoán với b. Suy ra M là nhóm giao hoán. Theo Bổ đề 3.1.6, ta có điều cần chứng minh.
Thay tính hữu hạn địa phương trong Định lý 3.2.1 bằng tínhF C-nhóm, ta có kết quả sau:
Định lý 3.2.2. Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F và giả sử M là nhóm con tối đại của D∗. Nếu M là FC-nhóm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại nào đó của D.
Chứng minh. Giả sửM không giao hoán vàF∗ không nằm trongM, lý luận như trong Định lý 3.2.1, ta có D0 nằm trong M. Suy ra D0 làF C−nhóm. Theo Định lý 2.4.6, D0 nằm trong F, dẫn đến D là nhóm lũy linh. Theo Hệ quả 2.2.4, ta có D giao hoán. Điều vô lý này cho ta F∗ nằm trong M và do đó F∗ nằm trong Z(M). Giả sử F∗ Z(M).
Lấy a ∈Z(M)\F, khi đóM ⊆CD∗(a). Từ tính tối đại củaM, ta có M =CD∗(a) hoặc CD∗(a) =D∗.
Theo Định lý 1.1.8, ta có H chuẩn tắc trong M và [M : H] < ∞. ĐặtK =F(H), khi đó M chuẩn hóa K. Suy ra M ≤ND∗(K∗) và từ tính tối đại của M, ta có
D∗ =ND∗ F(H)∗
hoặc M =ND∗(F(H)∗).
Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. D∗ = ND∗ F(H)∗
. Do F(H)∗ chuaồn taộc trong D∗ neõn theo ẹũnh lyự Cartan-Brauer-Hua ta có
D =F(H) hoặc F(H)⊆F.
Giả sử D = F(H). Do H nằm trong CM(x) nên x giao hoán với mọi phần tử của F(H) =D. Suy ra x∈F∗ =Z(M), mâu thuẫn với cách chọn x. Vậy ta có F(H)⊆F. Suy ra H ⊆F. Do đó
[M : F∗]≤[M :H]<∞.
Gọi x1, x2, . . . , xn là tập hợp đầy đủ các phần tử đại diện của các lớp ghép theo F∗ trong M. Đặt N =
x1, x2, . . . , xn
. Khi đó M =N F∗. Lấy x∈D∗ \M, đặt N1 =
N ∪x . Từ M =N.F∗ N1F∗ và tính tối đại của M, ta cóD∗ =N1F∗. Suy ra
[D∗, D∗] = [N1F∗, N1F∗] = [N1, N1].
Vậy N1 là nhóm con chuẩn tắc hữu hạn sinh của D∗. Nếu [D :F]<∞ thì theo Định lý 2.4.1 , N1 nằm trong F. Do đó
D∗ =N1F∗=F∗ và đây là điều vô lý. Suy ra [D :F] =∞. Ta có
M =x1F∗∪x2F∗∪. . .∪x1F∗. Đặt A=n Pn
k=1αkxk : αk ∈F
o. Với mọi i, j ∈ {1,2, . . . , n , tích xixj nằm trong M nên tồn tại chỉ số t sao cho xixj = αtxt (αt ∈ F). Suy ra A là vành con của D và do
54
đó nó cũng là vành chia bởi Bổ đề 2.4.2. Hiển nhiên M nằm trong A∗. Từ tính tối đại của M ta có
M =A∗ hoặcA∗ =D.
Từ định nghĩa của A, ta có [A:F]<∞. Vì vậy A6=D và do đó M ∪ {0} =A là vành chia. Theo Hệ quả 2.4.7, M là nhóm giao hoán. Điều vô lý này lại cho ta M giao hoán trong trường hợp này.
Trường hợp 2. M =ND∗(F(H)∗). Ta có F(H)∗ nằm trong M. Hơn nữa [M :F(H)∗]<[M :H]<∞.
Theo Bổ đề 3.1.5, ta có [D : F]< ∞. Lấy x ∈ M, từ giả thiết M là F C−nhóm ta có [M :CM(x)] =n <∞.Gọi x1, x2, . . . , xn là tập đầy đủ các phần tử đại diện của các lớp ghép theo CM(x) trong M. Đặt
N =CM(x1)∩CM(x2)∩. . .∩CM(xn)∩CM(x).
thỡ [M :N]<∞. Theo ẹũnh lyự 1.1.8,
M :∩x∈Mx−1N x
<∞.Suy ra tồn tại số nguyên dửụng k sao cho
∀y∈M, yk ∈ \
x∈M
x−1N x≤N.
Đặc biệt ta có xk ∈N. Lấy z ∈M, tồn tại chỉ số j và a∈CM(x) sao cho z =xja. Suy ra
xkz =xkxja=xjxka=xjaxk =zxk.
Tức là xk ∈Z(M) =F∗. Điều này cho thấy M căn trên F. Theo Định lý 3.1.1, ta có CharD =p >0 và [D :F] = p2.
ĐặtM1 =D0∩M. Lấyx∈M1, từM căn trên F nên tồn tại số nguyên dươngn(x)sao cho xn(x) =α∈F. Tác động chuẩn rút gọn lên hai phía, nhận được
1 = N rdD/F(x)n(x) =N rdD/F (x)n(x)
=N rdD/F(α) =αp.
Suy ra xpn(x) = 1. Vậy M1 là nhóm xoắn. Bằng cách xét biểu diễn chính quy của D∗ trong GLp2(F), ta có thể coi M1 là nhóm con của GLp2(F). Theo Định lý 1.2.6, M1 là hữu hạn địa phương. Lấy x vàylà hai phần tử trong M, khi đó
x, y
là nhóm hữu hạn và suy ra nó là nhóm cyclic bởi Mệnh đề 1.3.12. Đặc biệt a, b giao hoán với nhau dẫn tới M1 giao hoán. Hiển nhiên [M, M]≤M1 và do đó M là nhóm giải được. Theo Định
F K ⊆M.
Do M căn trên F nên K∗ căn trên F. Theo Mệnh đề 1.2.12, hoặc K là mở rộng thuần túy không tách được trên F hoặc K đại số trên trường nguyên tố hữu hạn P. NhưngK là mở rộng Galois trên F nên K không thể là mở rộng thuần túy không tách được. Suy ra K đại số trên P kéo theo F đại số trên P. Do [D :F]<∞ nên D đại số trên F và do đó D đại số trên P. Vì vậy D giao hoán bởi Định lý 1.3.8. Điều vô lý này cho ta M giao hoán. Theo Bổ đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh.
56
Kết luận của luận án
Dưới đây là một số kết quả cơ bản nhất đã nhận được trong luận án. Tất cả các kết quả này đều mới và đều là thành quả đạt được trong quá trình nghiên cứu chung với người hướng dẫn khoa học.