Năm 1978, Herstein [16] đưa ra giả thuyết: "Giả sử G là nhóm con á chuẩn tắc của vành chia D. Nếu G căn trên tâm F của D thì G nằm trong F''. Cũng trong [16]
Herstein đã chứng minh được rằng, nếu G là nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn củaD thì G nằm trong F. Từ đó tới nay đã có một số kết quả ra đời xung quanh giả thuyết này, nhưng cho tới nay vẫn còn chưa có được câu trả lời cho trường hợp tổng quát. Tiết này trình bày một số kết quả của chúng tôi liên quan tới giả thuyết Herstein.
Để đi vào các kết quả chính của mục này, trước hết xin nhắc lại kết quả dưới đây của B. X. Hải và L. K. Huỳnh.
Định lý 2.3.1 [7]. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F và S là nhóm con á chuaồn taộc cuỷa D∗. Neỏu S caờn treõn F thỡ S naốm trong F.
Định lý nói trên chứng tỏ Giả thuyết Herstein là đúng cho lớp vành chia hữu hạn chiều trên tâm. Trong định lý dưới đây chúng tôi chỉ ra rằng giả thuyết này vẫn còn đúng cho lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm.
Định lý 2.3.2. Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâmF vàGlà nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G căn trên F thì G nằm trong F.
Chứng minh. . Lấya, blà hai phần tử bất kỳ của G. Từ giả thiết, ta có [F(a, b) :F] =n <∞.
Do G á chuẩn tắc trong D∗ nên N =G∩F(a, b)là á chuẩn tắc trong F(a, b). Hơn nữa N căn trên tâm của F(a, b)bởi F ⊆Z(F(a, b)). Theo Định lý 2.3.1, ta có
N ⊆Z(F(a, b)).
Đặc biệt a và bgiao hoán với nhau. Vậy G là nhóm giao hoán. Theo Hệ quả 2.1.10 thì G⊆F.
Hệ quả 2.3.3. Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu SF∗/F∗ hữu hạn địa phương thìS nằm trong tâm.
Chứng minh. Lấy x∈ SF∗. Khi đó nhóm con x.F∗
của SF∗/F∗ là nhóm hữu hạn.
trong F∗. Suy ra S naèm trong F.
Phần tiếp theo trong tiết này là những kết quả nghiên cứu của chúng tôi xoay quanh giả thuyết của Herstein. Những kết quả này nhằm cung cấp một số thông tin cần thiết mà chúng tôi hy vọng có thể giúp ích trong việc tìm câu trả lới dứt khoát cho một giả thuyết đã tồn tại lâu như vậy. Trước tiên ta chứng minh định lý sau:
Định lý 2.3.4.Cho D là vành chia tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Khi đó với mọi phần tử a∈N, nhóm Galois của mở rộngF(a)/F là tầm thường.
Chứng minh. Giả sử tồn tại a ∈N sao cho Gal F(a)/F
6= 1. Do giả thiếta căn trên F nên [F(a) :F]<∞. Suy ra, nhóm Gal F(a)/F
là hữu hạn. Lấy 16=σ ∈Gal F(a)/F
.
Khi đó σt= 1 với một số nguyên dương t nào đó. Mặt khác theo Định lý 1.3.23, σ thác triển thành một tự đẳng cấu trong của D. Suy ra tồn tại x∈D∗, sao cho
σ(a) =x−1ax.
Vậy
a=σt(a) =x−taxt. tức là a giao hoán với xt. Đặt
D1 =CD(xt)vàZ1 =Z CD(xt) .
Ta có a vàxđều nằm trong D1. Hơn nữa,F(xt) nằm trongZ1 nên a vàx đều căn trên Z1. Do σ(a)là phần tử trong F(a) nên
σ(a) = Xm
i=0
αkak (αk ∈F, m∈N).
Suy ra
ax=x Xm
i=0
αkak = Xm
i=0
αkxak (∗)
32
Từ đẳng thức (∗) vàa, x căn trên Z1 ta có vành chia D2 :=Z1(a, x) là hữu hạn chiều trên tâm Z(D2). Do N á chuẩn tắc trong D∗ nên tồn tại dãy chuẩn tắc
N =NnCNn−1 C . . .CN1 =D∗ Với k = 1, . . . , n đặt Hi =Ni ∩D2. Dễ dàng kiểm được
Hn CHn−1 C. . .CH1 =D∗2.
Theo Định lý 2.3.1, Hn nằm trong Z(D2). Đặc biệt a nằm trong Z(D2)bởi a∈N ∩D2 =Hn.
Suy ra a giao hoán với x, dẫn đến σ = 1, điều này vô lý với giả thiết σ6= 1. Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5. Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F, N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F và a là phần tử nằm trongN. Nếu a là phần tử xoắn thì a nằm trong F.
Chứng minh. Giả sử a không nằm trong F. Gọi t là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho at= 1. Suy ra a là nghiệm của phương tìnhxt = 1. Do đó trường F(a) là mở rộng chuẩn tắc, hữu hạn trên F. Vậy nhóm Gal F(a)/F
là không tầm thường. Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3.4. Suy ra hệ quả được chứng minh.
Một kết quả cổ điển của Jacobson là `` ChoD là vành chia chứa một trường con hữu hạn F. Nếu D đại số trên F thì D giao hoán". Hệ quả sau chính là sự tổng quát của định lý này.
Hệ quả 2.3.6. Cho D là vành chia và N là nhóm con á chuẩn tắc của D. Nếu N đại số trên một trường con hữu hạn F nào đó của D thì N nằm trong tâm của D.
Chứng minh. Lấy a ∈ N, thì a là phần tử đại số trên F. Do giả thiết F hữu hạn nên F(a) cũng hữu hạn. Suy ra a là phần tử xoắn dẫn tới N là một nhóm xoắn. Theo Hệ quả 2.3.5 thì N nằm trong tâm của D.
Hệ quả 2.3.7. Cho D là vành chia tâm F vàN là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Giả sử a vàb−1ab là hai phần tử nằm trong N. Nếu a giao hoán vớib−1ab thì
Vậy α là phần tử xoắn. Theo Hệ quả 2.3.5, ta có α∈F. Suy ra a6=b−1ab=αa∈F(a).
Vậy đẳng cấu ϕ : F(a) −→ F(a) cho bởi ϕ(x) = b−1xb (∀x ∈ F(a)) là không tầm thường, dẫn tới Gal F(a)/F
6= 1.Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3.4 . Do đó hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 2.3.8. Cho D là vành chia tâm F. Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc củaD∗ căn F và a∈N Nếu a giao hoán vớib−1ab thì a giao hoán với b.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Hệ quả 2.3.7.
Định lý 2.3.9. Cho D là vành chia tâm F, N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ và a là một phần tử nằm trong N. Khi đó, nếu a2 ∈F thì a ∈F.
Chứng minh. Giả sử a không nằm trong Z(N). Lấyb∈N, sao cho 16=x=a−1b−1ab∈N.
Từ a2 ∈F,ta có
a2 =b−1a2b= (b−1ab)2 = (ax)2 =axax Suy ra
a =xax⇒x−1 =axa−1.
Nếu x=x−1 thì x2 = 1 dẫn tới x= 1 hoặc x=−1. Nhưng x6= 1 suy ra x=−1. Vậy b−1ab=−a6=a.
Do đó đẳng cấu ψ :F(a) −→F(a)cho bởi ψ(c) = b−1c b là không tầm thường dẫn tới Gal F(a)/F
6= 1,điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3.4. Vậyx−1 6=xtức làx6=axa−1. Lập luận tương tự, ta có Gal F(x)/F
6= 1 cũng là điều mâu thuẫn. Vậya ∈Z(N). Mặt
34
khác Z(N) là nhóm con giao hoán á chuẩn tắc của D∗. Theo Hệ quả 2.1.10 thì Z(N) nằm trong F, dẫn tới a∈F.
Để bắt đầu với định lý tiếp theo, ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.10. Cho D là vành chia tâm F có đặc trưng p >0và a là phần tử nằm trong D \F. Nếu tồn tại số nguyên dương n sao choapn ∈F thì tồn tạib∈D∗ sao cho
aba−1 = 1 +b.
Chứng minh. XétD như là không gian véctơ trên F. Định nghĩa ψ:D −→ D
x 7−→ ax−xa.
Hiển nhiên ψ là ánh xạ tuyến tính trênF. Hơn nữa∀x∈D.
ψpn =apnx−xapn = 0.
Vậy ψpn = 0. Chọn số tự nhiên t sao cho ψt 6= 0 và ψt+1 = 0. Lấy x là phần tử thỏa mãn ψt(x)6= 0. Đặt
b=ψt−1(x)ψt(x)−1a.
Khi đó
ψ(b) = aψt−1(x)ψt(x)−1a−aψt−1(x)ψt(x)−1a2
= [(aψt−1(x)ψt(x)−1a)ψt(x)−1 −ψt−1(x)ψt(x)−1(aψt(x)−ψt(x)a)ψt(x)−1]a
= [ψ(ψt−1(x)).ψt(x)−1−ψt−1(x)ψt(x)−1ψt+1(x)ψt(x)−1]a
= (1−0).a
= a tức là
ab−ba=a⇒aba−1 = 1 +b.
Định lý 2.3.11. Cho D là vành chia với tâm F có đặc trưngp >0 và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Nếu a ∈N và apt ∈F với một số tự nhiên t nào đó thì a∈F.
Chứng minh. Xét trường hợp t = 1. Giả sử ta có ap ∈ F nhưng a /∈ F. Theo Bổ đề 2.3.10 tồn tại b∈D∗ sao cho
aba−1 = 1 +b.
k=0
Dễ thấy a vàb giao hoán vớic nên chúng đều nằm trong D1. Hơn nữa, ap ∈F ⊆F1 và
p−1Y
k=0
(k+b)−c= 0.
Do đó a và b đại số trên F1. Hơn nữa từ mối quan hệ aba−1 = 1 +b ta có F1(a, b) là vành chia hữu hạn chiều trên tâm của nó. Đặt
N1 =N∩F1(a, b).
Khi đó N1 là á chuẩn tắc trong F1(a, b)∗ vàa ∈ N. Theo Định lý 2.3.1, N1 nằm trong Z F1(a, b)
.Đặt biệt agiao hoán với b. Điều này mâu thuẫn với quan hệ aba−1= 1 +b.
Vậy a nằm trong F.
Trong trường hợp t >1, dùng quy nạp và chứng minh tương tự như trên ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.3.12. Cho D là vành chia tâm F có CharD =p > 0và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Nếu a ∈N và k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ak ∈ F thì p không là ước của k.
Chứng minh. Nếu a ∈ F thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử a không nằm trong F và p là ước của k. Khi đó
k=prs; (s, p) = 1; s < k.
Suy ra
ak =apr.s = (as)pr ∈F
Theo Định lý 2.3.11 thì as ∈F. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của k. Suy ra p không là ước của k.
Hệ quả 2.3.13. Cho D là vành chia tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Khi mọi phần tử của N đều tách được trên F.
Chứng minh. Lấya ∈F. Nếu CharD = 0thì hiển nhiênatách được trênF. Xét trường
36
hợp CharD =p >0. Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ak ∈F. Theo Hệ quả 2.3.12 thì k không là ước của p. Suy ra a tách được trên F.
Định lý 2.3.14. Cho D là vành chia tâm F và N là nhóm con chuẩn tắc củaD∗ căn trên F. Khi đó với mọi a ∈ N, đa thức tối tiểu của a trên F có dạng xt−NF(a)/F(a). Hơn nữa, t là số lẻ.
Chứng minh. Nếu N là nhóm con chuẩn tắc căn trên F thì N.F∗ cũng là nhóm con chuẩn tắc căn trên F. Do đó không mất tính tổng quát ta có thể xem F∗ nằm trong N. Lấy a ∈N, gọi
f(x) =xt−trF(a)/F(a)xn−1+ã ã ã+ (1)nNF(a)/F(a) (1) là đa thức tối tiểu của a trên F. Theo Định lý 1.3.6, tồn tạig1, . . . , gt∈D∗ sao cho
f(x) = (x−ag1)(x−ag2). . .(x−agt) (2) Cân bằng hệ số của (1) và(2), ta nhận được.
NF(a)/F(a) =ag1ag2. . . agt Đơn thuần tính toán ta có.
ag1ag2. . . agt =at[a, g1]at−1[a, g2]at−2. . .[a, gt].
Đặt
da= [a, g1]at−1[a, g2]at−2. . .[a, gt].
Khi đó
NF(a)/F(a) =atda (3)
=⇒ da=NF(a)/F(a)a−t ∈N ∩F(a) Tác động NF(a)/F lên hai vế của(3), ta có.
NF(a)/F[NF(a)/F(a)] =NF(a)/F(atda)
=⇒ NF(a)/F(a)t
=NF(a)/F(a)t.NF(a)/F(da)
=⇒ NF(a)/F(da) = 1.
Gọi k là số nguyên nhỏ nhất sao cho ak ∈F. Khi đó NF(a)/F(a)k =atkdka
=⇒ dka =a−tkNF(a)/F(a)k ∈F
xt−NF(a)/F(a)d−1a = 0 (4) nhận alà nghiệm. Do tính duy nhất của đa thức tối tiểu ta códa = 1 vàxt−NF(a)/F(a) chính là đa thức tối tiểu của a. Bây giờ nếu t là số chẵn thì t= 2r (r∈N). Khi đó
at = (ar)2 =NF(a)/F(a)∈F.
Theo Định lý 2.3.9 thì ar ∈F. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của t. Suy ra t là soá leû.
Hệ quả 2.3.15. Cho D là vành chia tâm F và N là nhóm con chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Khi đó
∀a∈N \F, ∀α∈F∗, α+a /∈N.
Chứng minh. Giả sử tồn tại a∈N \F vàα∈F∗ sao cho a+α∈N.
Do F(a) =F(a+α), ta có bậc của đa thức tối tiểu của a trên F bằng bậc của đa thức tối tiểu của a+α trên F. Ta ký hiệu bậc của đa thức tối tiểu của a trên F làk.
Theo Định lý 2.3.14, ta có
ak−NF(a)/F(a) = 0và(a+α)k −NF(a)/F(a+α) = 0.
Suy ra
(a+α)k −NF(a)/F(a+α)−ak+NF(a)/F(a)
= kαak−1+βk−2ak−2+ã ã ã+β0 = 0 Ở đây βj ∈F (j = 0, k−2). Vậy a là nghiệm của đa thức
kαxk−1+βk−2xk−2+ã ã ã+β0 = 0 (5)
38
Đa thức trong (5) có bậc nhỏ hơn k. Điều này chỉ xảy ra khi CharD = p > 0 và p là ước của k. Nhưng theo Hệ quả 2.3.12 thì p không thể là ước của k. Điều mâu thuẫn này cho ta điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.3.16. Cho D là vành chia với tâm F, N là nhóm con chuẩn tắc của D∗ căn trên F và a, b là hai phần tử của N. Nếu a+b∈N thì tồn tạiα∈F sao choa =αb.
Chứng minh. Nếu a ∈ F thì b∈ F bởi Hệ quả 2.3.15. Trong trường hợp này ta chọn α =ab−1. Xét trường hợp a∈N \F.Ta có
a+b= (ab−1+ 1)b∈N =⇒(ab−1+ 1)∈N.
Áp dụng Hệ quả 2.3.15 thì ab−1 ∈F. Lấyα=ab−1 ta có điều cần chứng minh.
Định lý 2.3.17. Cho D là vành chia tâm F và N là nhóm con chuẩn tắc củaD∗ căn trên F. Nếu a∈ N mà a3 ∈F thì a∈F.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể xem F∗ ⊆ N. Nếu a2 ∈F thì theo Định lý 2.3.10 thì a∈F. Giả sử a /∈F, a2 ∈/ F vàa3 ∈F. Theo Định lý 2.3.14 đa thức tối tiểu của a trên F có dạng
f(x) =x3−α ∈F[x].
Theo Định lý 1.3.16, tồn tại d1, d2 ∈D∗ sao cho
x3−α= (x−ad1)(x−ad2)(x−a) Suy ra
a+ad1 +ad2 = 0 =⇒ad1 +a=−ad2 ∈N.
theo Hệ quả 2.3.16 , tồn tại β ∈F sao cho a =βad1. Suy ra a giao hoán với ad1. Theo Hệ quả 2.3.8 a giao hoán với d1. Tương tự, a giao hoán với d2 suy ra 3a = 0. Vậy CharD = 3. Áp dụng Định lý 2.3.11 ta có a ∈ F. Đây là điều mâu thuẫn, vậy định lý được chứng minh.
Từ định lý này nối kết với Định lý 2.3.9 ta có
Hệ quả 2.3.18. Cho D là vành chia tâm F và N là nhóm con chuẩn tắc củaD∗ căn trên F. Nếu a∈ N mà a2n.3k ∈F (n, k ∈N) thì a thuộc F.
kết quả cổ điển ``Nhóm con nhân hữu hạn của một vành chia có đặc trưng nguyên tố thì giao hoán". Năm 1978, trong [16] Herstein đã chứng minh rằng``Nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn của nhóm nhân trong vành chia thì nằm trong tâm của vành chia".
Tiết này chủ yếu trình bày hai định lý chính của chúng tôi liên quan tới tính chất hữu hạn của nhóm nhân trong vành chia. Để phục vụ cho việc trình bày, xin được nêu ra một kết quả của Mahdavi-Hezavehi, M. G Madmudi và S. Ysamin.
Định lý 2.4.1[[18], Định lý 1]. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâmF và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu N là nhóm hữu hạn sinh thì N nằm trongF.
Hai định lý tiếp theo của chúng tôi là tổng quát hóa của định lý Wedderburn. Trước tiên ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.2. ChoD là một vành chia tâmF vàL làF-đại số con của D. nếu Lđại số trên F thì L là vành chia.
Chứng minh. Lấyx∈L\F. Khi đó xlà phần tử đại số trên F. Suy ra F(x) :F
<[L:F]<∞. Do đó tồn tại số nguyên dương n sao cho tập hợp
1, x, xα, . . . , xn
là phụ thuộc tuyến tính trên F. Vậy tồn tại α1, α2, . . . , αn nằm trong F sao cho 1 =α1x+ααx2+ã ã ã+αnxn
=⇒ 1 =x(α1+α2x+ã ã ã+αnxn−1) Suy ra x khả nghịch và do đóL là vành chia.
Định lý 2.4.3. Cho D là vành chia với tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G hữu hạn địa phương thìG nằm trongF.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng D không giao hoán. Do
40 giả thiết G á chuẩn tắc, tồn tại dãy chuẩn tắc
G=G0 CG1 CG2 C. . .CGn=D∗
Giả sử G không giao hoán. Lấy a, b là hai phần tử trong G sao cho ab6= ba. Gọi H là nhóm con sinh bởi hai phần tử a vàb, theo giả thiếtH là nhóm hữu hạn. Đặt
K = X
hh
αixi:αi ∈F, xi ∈H
Dễ thấyF ⊆K vàK là một đại số con hữu hạn chiều trên F của D. Theo Bổ đề 2.4.2, K là vành chia con của D chứa F. Hơn nữa, do F nằm trong Z(K)nên
[K :Z(K)]<[K :F]<∞. Với i= 0, n đặt Ni =Gi ∩K. Khi đó
N0 CN1 CN2 C. . .CNn =K∗
Vậy N0 á chuẩn tắc trong K∗ và hữu hạn địa phương, theo Hệ quả 2.3.3, N0 nằm trong Z(K). Suy ra N0 giao hoán. Dễ thấy
H = a, b
⊆G∩K∗ =N0
suy ra a vàbgiao hoán với nhau. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. VậyG phải giao hoán. Áp dụng Hệ quả 2.1.10, ta có G nằm trong F.
Hệ quả 2.4.4. Cho D là một vành chia. NếuD∗ hữu hạn đia phương thì D giao hoán.
Ở hệ quả tiếp theo ta nhận lại được một kết quả đã có trước của Herstein trong [16]
Hệ quả 2.4.5. Cho D là một vành chia và G là nhóm con hữu hạn của D∗. Nếu G á chuaồn taộc trong D∗ thỡ G naốm trong taõm cuỷaD.
Định lý tiếp theo là thay tính hữu hạn địa phương bằng tínhF C−nhóm thì kết quả nhận được cũng tương tự như trong Định lý 2.4.3.
Định lý 2.4.6. Cho D là vành chia với tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G là FC-nhóm thì G nằm trong F.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.11 ta có G0 = [G.G]là nhóm xoắn. Trước tiên nhận xét rằng, với mọi x∈G0 nhóm con
H =
g−1xg : g ∈G0
Hơn nữa ta còn có thể biểu diễn y dưới dạng
y=xi1xi2. . . xik i1 ≤i2 ≤. . .≤xik
(1)
Thật vậy nếu (1) không tồn tại, ta lọc ra các biểu diễn của y có chiều dài k các từ nhỏ nhất tính theo thứ tự từ điển. Trong các biểu diễn này ta chọn ra một biểu diễn mịn nhaỏt theo ủũnh nghúa
y =xi1xi2. . . xik i1 ≤i2≤. . .≤ij > ij+1 (2) và nếu t≤j thì không tồn tạir nào sao cho .
it−1< ir < it. Mặt khác
xijxij+1 =xij+1x−1j+1xijxij+1 =xij+1xis (3) thế (3)vào(2), ta nhận được một biểu diễn củaycó cùng chiều dài k nhưng mâu thuẫn với tính mịn nhất của cách chọn. Vậy (1) được chứng tỏ.
Gọi n =|xi| với chú ý rằng cácxj(j = 1, t)đều có cùng cấp. Khi đó
|H| ≤ |x1||x2|. . .|xt|=nt.
Suy ra H hữu hạn. Do định nghĩa nên H chuẩn tắc trong G0, kéo theo H là á chuẩn tắc trong D∗. Theo Hệ quả 2.4.5, ta có H nằm trong F. Suy ra x ∈F, dẫn tới G0 nằm trong F và vì vậy G là nhóm giải được. Theo Định lý 2.2.1 Gnằm trong F.
Hệ quả 2.4.7. Cho D là vành chia. Nếu D∗ là FC-nhóm thì D giao hoán.
42
Chửụng 3