Về một số định lý điểm trùng nhau bộ đôi vè điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ trong không gian g mêtric

Năm 2006, T.G.Bhaskar và V.Lakshmikantham đã giới thiệukhái niệm về điểm trùng nhau bộ đôi của ánh xạF : X → X và ánh xạg : X → Xvà nghiên cứu lý điểm bất động trong không gian mêtric th

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Nguyễn Văn Mộng

Về một số định lý điểm trùng nhau bộ đôi

và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ

Luận văn Thạc sỹ Toán học

Nghệ An - 2016

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Nguyễn Văn Mộng

Về một số định lý điểm trùng nhau bộ đôi

và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ

Luận Văn Thạc Sỹ Toán HọcChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân

Nghệ An - 2016

Mục Lục

Trang

Chương 1 Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ

1.1 Các khái niệm cơ bản . 11.2 Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạtrong không gianG-mêtric . 7Chương 2 Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ

2.1 Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ đơn

điệu trộn trong không gian G-mêtric thứ tự bộ phận . 132.2 Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ

g-đơn điệu trộn trong không gianG-mêtric thứ tự bộ phận . 27

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những kết quả hữu ích nhất và đơn giản nhất trong lý thuyết

điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co Banach được đưa ra năm 1922 và nó đãtrở thành một công cụ mạnh trong Giải tích Nguyên lý này đã được mở rộngtheo các hướng khác nhau trong các không gian khác nhau bởi các nhà toán họctrong những năm gần đây Việc nghiên cứu điểm bất động chung của các ánhxạ thỏa mãn một số điều kiện co nào đó đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiềunhà toán học, vì lý thuyết điểm bất động đóng một vai trò quan trọng trong toánhọc và khoa học ứng dụng và nó trở nên cần thiết để xem xét các mở rộng khácnhau của mêtric và không gian mêtric nhằm mở rộng phạm vi ứng dụng của nó.Trong hướng này, không gian mêtric nón, không gian mêtric mờ, không gianmêtric riêng, không gian tựa-mêtric và không gianb-mêtric có thể được đưa ranhư là các ví dụ chính Các ứng dụng của những phương pháp tiếp cận khácnhau đến các mêtric và các không gian mêtric cho ta thấy rằng lý thuyết điểmbất động không chỉ quan trọng đối với các ngành của toán học chính thống, màcòn cho nhiều các phân ngành của khoa học ứng dụng

Năm 2006, Z.Mustafa và B.Sims đã giới thiệu một khái niệm về không gianmêtric suy rộng, được gọi là một không gian G-mêtric Z.Mustafa, B.Sims vànhững người khác đã nghiên cứu các định lý điểm bất động của các ánh xạ thỏamãn các điều kiện co khác nhau Năm 2009, M.Abbas và B.E.Rhoades đã thu

được một số định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ không giao hoán màkhông cần tính liên tục, thỏa mãn các điều kiện co khác nhau trong việc xâydựng các không gian mêtric suy rộng Mặt khác, lý thuyết điểm bất động đãnhận được nhiều sự chú ý trong không gian mêtric thứ tự Kết quả đầu tiêntheo hướng này đã được đưa ra bởi A.Ran và M.Reurings năm 2004 và họ đã

đưa ra các ứng dụng trong phương trình ma trận Sau đó, J.Nieto và R.López,năm 2007 đã mở rộng các kết quả này cho các ánh xạ không giảm và ứng dụng nó

để thu được nghiệm duy nhất cho các phương trình vi phân bậc 1 với điều kiện

biên tuần hoàn Năm 2006, T.G.Bhaskar và V.Lakshmikantham đã giới thiệukhái niệm về điểm trùng nhau bộ đôi của ánh xạF : X → X và ánh xạg : X → X

và nghiên cứu lý điểm bất động trong không gian mêtric thứ tự bộ phận Năm

2010, S.Sedghi và cộng sự đã chứng minh một định lý điểm bất động chung chocác ánh xạ co trong không gian mêtric mờ đầy đủ Gần đây, B.S.Choudhury vàP.Maity đã nghiên cứu các điều kiện cần cho sự tồn tại điểm bất động bộ đôitrong không gian G-mêtric thứ tự bộ phận và họ cũng đã thu được nhiều kếtquả thú vị

Trên cơ sở các tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Văn

Ân chúng tôi đã chọn thực hiện đề tài nghiên cứu "Về một số định lý điểmtrùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ trong khônggianG-mêtric"

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các không gianG-mêtric, dãyG-hội

tụ, dãy G-Cauchy, không gian G-mêtric đầy đủ, ánh xạ có tính chất đơn điệutrộn, ánh xạ có tính chất g-đơn điệu trộn, điểm trùng nhau bộ đôi, điểm bất

động bộ đôi, các định lý điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ trên các khônggianG-mêtric

- Phạm vi nghiên cứu là các tính chất và mối quan hệ giữa các đối tượngtrên; các định lý điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn, các

định lý về điểm trùng nhau bộ đôi, các định lý điểm bất động bộ đôi của ánhxạ có tính chấtg-đơn điệu trộn và một số ví dụ minh họa cho các kết quả đó

3 Phương pháp nghiên cứu

- Dùng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích, tôpô, giải tích hàm

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu các tài liệu

và sử dụng một số kỹ thuật chứng minh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra

- Dựa vào các tài liệu tham khảo, bằng các phương pháp nghiên cứu phântích tổng hợp, so sánh , khái quát hoá để trình bày một cách hệ thống các kiếnthức liên quan đến các định lý về điểm trùng nhau bộ đôi, các định lý điểm bất

động bộ đôi của ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn, các định lý điểm bất động

bộ đôi của ánh xạ có tính chấtg-đơn điệu trộn.

4 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này nhằm trình bày một cách hệ thống các kết quả

về các tính chất của không gianG-mêtric và trình bày một số kết quả về điểmtrùng nhau bộ đôi, một số định lý điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chất

đơn điệu trộn, một số định lý điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chấtg-đơn

điệu trộn trong không gianG-mêtric và cho các ví dụ minh họa

5 Nội dung nghiên cứu

- Nghiên cứu các định lý về điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạ trongkhông gianG-mêtric

- Nghiên cứu các định lý điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chất đơn

điệu trộn trong không gianG-mêtric Các ví dụ minh họa

- Nghiên cứu các định lý điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chất

g-đơn điệu trộn trong không gianG-mêtric Các ví dụ minh họa

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 2 chương

Chương 1 với nhan đề Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôicủa các ánh xạ trong không gianG-mêtric Mục 1 nhằm giới thiệu một số kiếnthức làm cơ sở cho việc trình bày của luận văn Mục 2 nhằm trình bày một số

định lý điểm trùng nhau bộ đôi, một số định lý điểm bất động bộ đôi của các

ánh xạ trên các không gianG-mêtric và các ví dụ minh hoạ

Chương 2 với nhan đề Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôicủa các ánh xạ trong không gian G-mêtric thứ tự bộ phận Mục 1 nhằm trìnhbày một số định lý về điểm trùng nhau bộ đôi, một số định lý điểm bất động bộ

đôi của ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trong không gianG-mêtric đầy đủ vàcác ví dụ minh hoạ Mục 2 nhằm trình bày một số định lý về điểm trùng nhau

bộ đôi, một số định lý điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chấtg-đơn điệutrộn trên không gianG-mêtric đầy đủ và các ví dụ minh hoạ

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướngdẫn tận tình chu đáo của thầy PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả xin bày tỏ sự biết

ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,Phòng đào tạo Sau đại học, quý thầy cô ở Bộ môn Giải Tích khoa Toán Trường

Đại học Vinh, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tây Ninh, Ban Giám Hiệu TrườngTHPT Bình Thạnh, tỉnh Tây Ninh đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Nhân đây tác giả xin cám

ơn các bạn học viên cao học Giải Tích khoá 22 tại Trường Đại học Sài Gòn Cuốicùng tác giả xin gởi lời cám ơn đến Ba mẹ, các anh em trong gia đình đã tạo điềukiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong quá trình học tập

Mặc dù đã tích cực đầu tư và có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, thực hiện

đề tài, song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn đọc để luận văn được hoànthiện

Vinh, ngày 20 tháng 8 năm 2016

Nguyễn Văn Mộng

chương 1

Điểm trùng nhau bộ đôi và

điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ

trong không gian G-mêtric

Phần này chúng tôi giới thiệu qua một số kiến thức làm cơ sở cho việc trìnhbày của luận văn Nội dung gồm: Các khái niệm về không gianG-mêtric, dãy

G-hội tụ, dãy G-Cauchy, không gian G-mêtric đầy đủ, ánh xạ có tính chất đơn

điệu trộn, ánh xạ có tính chất g-đơn điệu trộn, điểm trùng nhau bộ đôi, điểmbất động bộ đôi, các định lý điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ trên các khônggianG-mêtric và một số tính chất của chúng cần dùng cho các trình bày về sau

1.1.1 Định nghĩa ([7]) ChoX là một tập khác rỗng vàG : X ì X ì X → R +làmột hàm thỏa mãn các điều sau

(G1)G(x, y, z) = 0nếu x = y = z,

(G2)0 < G(x, x, y)với mọix, y ∈ X với x 6= y,

(G3)G(x, x, y) ≤ G(x, y, z), với mọix, y, z ∈ X vớiz 6= y,

(G4)G(x, y, z) = G(x, z, y) = G(y, z, x) = ,(đối xứng ở cả 3 biến),

(G5)G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z),với mọix, y, z, a ∈ X, (bất đẳng thức tamgiác)

Khi đó, hàm Gđược gọi là một mêtric suy rộng, hay gọn hơn là một G-mêtrictrênX, và cặp(X, G) được gọi là một không gianG-mêtric

Dễ thấy rằng mỗiG-mêtric trênX cảm sinh ra một mêtricd GtrênXchobởi

dG(x, y) = G(x, y, y) + G(y, x, x)

với mọix, y ∈ X

1.1.2 Mệnh đề ([7]) Cho(X, G) là một không gianG-mêtric Khi đó, với mọi

1.1.3 Định nghĩa ([7]) Cho (X, G) là một không gianG-mêtric và {x n } là mộtdãy các điểm của X Điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn} nếu

lim

n,m→∞ G(x, xn, xm) = 0 Lúc đó ta nói rằng dãy {xn}là G-hội tụ vềx

Như vậy, xn → xtrong không gian G-mêtric (X, G) nếu với mọi ε > 0, tồntạik ∈ N sao cho G(x, xn, xm) < εvới mọim, n ≥ k

1.1.4 Mệnh đề ([7]) Cho(X, G)là không gianG-mêtric Khi đó, với dãy{x n } ⊆

X và điểm x ∈ X, các khẳng định sau đây là tương đương

(1) Dãy {xn} làG-hội tụ vềx;

(2) G(xn, xn, x) → 0, khi n → ∞;

(3) G(xn, x, x) → 0, khin → ∞;

(4) G(xm, xn, x) → 0, khim, n → ∞

1.1.5 Định nghĩa ([7]) Cho (X, G) là một không gian G-mêtric Dãy {xn} ⊆ X

được gọi là G-Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên N ∈ N sao cho

G(xn, xm, xl) < εvới mọin, m, l ≥ N, nghĩa là G(xn, xm, xl) → 0khin, m, l → ∞

1.1.6 Định nghĩa ([7]) Không gianG-mêtric(X, G)được gọi làG-đầy đủ (hoặckhông gian G-mêtric đầy đủ) nếu mỗi dãy G-Cauchy trong (X, G) là G-hội tụtrong(X, G).

1.1.7 Mệnh đề ([7]) Cho (X, G) là một không gian G-mêtric Khi đó, cáckhẳng định sau là tương đương

G0(f (a), f (x), f (y)) < ε

ánh xạf : (X, G) → (X0, G0)được gọi là G-liên tục trênX khi và chỉ khi nó

làG-liên tục tại mọi điểma ∈ X

1.1.9 Định nghĩa ([7]) Cho (X, G) là một không gian G-mêtric ánh xạ F :

X ì X → X được gọi là liên tục nếu với bất kỳ hai dãy{xn}và{yn} làG-hội tụ

đếnxvày, tương ứng, ta có{F (x n , y n )}là G-hội tụ đến F (x, y)

1.1.10 Định nghĩa ([7]) Cho (X, G) là một không gian G-mêtric ánh xạ F :

X ì X ì X → X được gọi là liên tục nếu với bất kỳ ba dãy{xn},{yn}và {zn}là

G-hội tụ đến x,yvàz tương ứng, ta có{F (xn, yn, zn)}là G-hội tụ đến F (x, y, z)

1.1.11 Mệnh đề ([7]) Cho (X, G) là một không gian G-mêtric Khi đó, hàm

G(x, y, z)liên tục đồng thời theo tất cả 3 biến của nó

1.1.12 Ví dụ ([7]) Cho(X, d)là một không gian mêtric thông thường Xét hàm

Gs : X ì X ì X → R + cho bởi công thứcGs(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z), vớimọix, y, z ∈ X Khi đó,(X, Gs)là một không gian G-mêtric

1.1.13 Ví dụ ([7]) ChoX = {a, b} Xác địnhG : X ì X ì X → R + trênX ì X ì X

cho bởi

G(a, a, a) = G(b, b, b) = 0, G(a, a, b) = G(a, b, b) = 2,

và mở rộngG trênX ì X ì X bằng cách sử dụng tính đối xứng trong các biến.Khi đó, rõ ràng(X, G)là một không gian G-mêtric

1.1.14 Ví dụ ([7]) Cho(X, d)là một không gian mêtric Xét các hàmG : X ì X ì

X → [0; +∞), được xác định bởi các công thức

G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)},

hoặc

G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z),

với mọix, y, z ∈ X Khi đó,Glà G-mêtric trên X

1.1.15 Định nghĩa ([2]) Phần tử (x, y) ∈ X ì X được gọi là điểm bất động bộ

đôi của ánh xạF : X ì X → X nếu F (x, y) = xvàF (y, x) = y

1.1.16 Định nghĩa ([6]) Phần tử(x, y) ∈ X ì X được gọi là điểm trùng nhau bộ

đôi của các ánh xạF : X ì X → X vàg : X → X nếu F (x, y) = gxvàF (y, x) = gy

1.1.17 Định nghĩa ([6]) ChoX là một tập hợp khác rỗng Ta nói rằng các ánhxạF : X ì X → X vàg : X → X là giao hoán nếu gF (x, y) = F (gx, gy), với mọi

nếu y1, y2 ∈ X, y1 4 y 2 thì F (x, y1) < F (x, y 2 ) (1.2)

1.1.19 Định nghĩa ([2]) Cho(X, 4)là một tập hợp thứ tự bộ phận,F : X ì X →

X vàg : X → X ánh xạF được gọi là có tính chất g-đơn điệu trộn nếuF (x, y)

là đơn điệug-không giảm đối vớixvà là đơn điệug-không tăng đối vớiy, nghĩa

là, với bất kỳx, y ∈ X,

nếu g(x 1 ) 4 g(x 2 )thìF (x 1 , y) 4 F (x 2 , y),vớix 1 , x 2 ∈ X, (1.3)

và

nếug(y1) 4 g(y 2 )thì F (x, y2) 4 F (x, y 1 ),với y1, y2 ∈ X (1.4)

Rõ ràng Định nghĩa 1.1.15 là trường hợp đặc biệt của Định nghĩa 1.1.16 khi

g là ánh xạ đồng nhất

1.1.20 Định nghĩa ([5]) Cho(X, 4)là một tập hợp thứ tự bộ phận,(X, G)là mộtkhông gianG-mêtric vàg : X → X là một ánh xạ Không gianG-mêtric thứ tự bộphận(X, G, 4)được gọi là đầy đủg-thứ tự nếu với mỗi dãyG-hội tụ{xn} ∞

n=0 ⊂ X,các điều kiện dưới đây thỏa mãn

(OC1) Nếu {xn}là một dãy không tăng trong X sao cho{xn} → x ∗, thìgx∗ 4

-1.1.21 Định lý ([7]) Giả sử (X, G, 4) là không gian G-mêtric thứ tự bộ phận,

F : X ì X → X và g : X → X là các ánh xạ sao cho F có tính chất g-đơn điệutrộn và giả sử tồn tại x0, y0 ∈ X sao cho gx0 4 F (x 0 , y0) và F (y0, x0) 4 gy 0 Giả

sử rằng tồn tại sốk ∈ [0,12)sao cho với mọi x, y, u, v, w, z ∈ X điều kiện sau đâythỏa mãn

G(F (x, y), F (u, v), F (w, z)) ≤ k[G(gx, gu, gw) + G(gy, gv, gz)], (1.5)

với mọi gw 4 gu 4 gxvà gy 4 gv 4 gz, trong đó hoặcgu 6= gz hoặc gv 6= gw Hơnnữa, giả thiết rằng các điều kiện sau đây thỏa mãn

(i) F (X ì X) ⊂ g(X)

(ii) g(X)là G-đầy đủ

(iii) g làG-liên tục và giao hoán vớiF

Khi đó,F và g có điểm trùng nhau bộ đôi, nghĩa là tồn tại (x, y) ∈ X ì X saochogx = F (x, y) và gy = F (y, x) Nếugu = gz và gv = gw, thì F và g có điểm bất

động chung, nghĩa là tồn tạiX ∈ X sao cho gx = F (x, x) = x

Nhận xét.([5]) Nếu trong định lý trên ta thay thế điều kiện (ii) bởi giả thiết

X là không gian đầy đủg-thứ tự, thì kết luận của định lý vẫn còn đúng

1.1.22 Định nghĩa ([5]) Cho (X, G) là một không gian G-mêtric Các ánh xạ

F : X ì X → X và g : X → X được gọi là G-tương thích nếu với mọi x, y ∈ X

và với mọi cặp dãy{x n } và{y n }trong X sao cho lim

1.1.23 Định nghĩa ([7]) Không gianG-mêtric (X, G) được gọi là đối xứng nếu

G(x, y, y) = G(y, x, x)với mọix, y ∈ X

1.2 Điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của

Phần này chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm trùng nhau bộ đôi,

điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ trên các không gianG-mêtric và một số ví

dụ minh hoạ

1.2.1 Bổ đề ([8]) Cho(X, G)là một không gianG-mêtric Giả sửF : X ìX → X

vàg : X → X là hai ánh xạ sao cho

G(F (x, y), F (u, v), F (z, w)) ≤ k[G(gx, gu, gz) + G(gy, gv, gw)] (1.6)

với mọix, y, z, u, v, w ∈ X Giả sử rằng(x, y)là một điểm trùng nhau bộ đôi củacác ánh xạF và g Nếu k ∈ 0, 1

2

, thì ta có

F (x, y) = gx = gy = F (y, x).

Chứng minh Vì(x, y)là một điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạ F và

g, ta cógx = F (x, y)và gy = F (y, x) Giả sửgx 6= gy Khi đó, nhờ điều kiện (1.6),

ta nhận được

G(gx, gy, gy) = G(F (x, y), F (y, x), F (y, x))

≤ k[G(gx, gy, gy) + G(gy, gx, gx)].

Cũng nhờ điều kiện (1.6), ta có

G(gy, gx, gx) = G(F (y, x), F (x, y), F (x, y))

≤ k[G(gy, gx, gx) + G(gx, gy, gy)].

Do đó, cộng vế với vế các bất đẳng thức này ta thu được

G(gx, gy, gy) + G(gy, gx, gx) ≤ 2k[G(gx, gy, gy) + G(gy, gx, gx)].

Vì2k < 1, nên ta có

G(gx, gy, gy) + G(gy, gx, gx) < G(gx, gy, gy) + G(gy, gx, gx),

điều này là một mâu thuẫn Vì thế, ta cógx = gy, và vì thế ta nhận được

F (x, y) = gx = gy = F (y, x) 

1.2.2 Định lý ([8]) Cho(X, G)là một không gianG-mêtric Giả sửF : X ì X →

X và g : X → X là hai ánh xạ sao cho

G(F (x, y), F (u, v), F (z, w)) ≤ k[G(gx, gu, gz) + G(gy, gv, gw)] (1.7)

với mọix, y, z, u, v, w ∈ X Giả sử rằng F và g là các ánh xạ thỏa mãn các điềukiện sau

(1) F (X ì X) ⊆ g(X),

(2) g(X)làG-đầy đủ, và

(3) g là G-liên tục và giao hoán với F

Nếuk ∈ (0,12),thì có duy nhất phần tử x ∈ X sao cho gx = F (x, x) = x

Chứng minh Giả sửx 0 , y 0 ∈ X VìF (X ìX) ⊆ g(X),ta có thể chọnx 1 , y 1 ∈ X

sao chogx1 = F (x0, y0)vàgy1 = F (y0, x0) Lại vìF (X ì X) ⊆ g(X), ta có thể chọn

x2, y2 ∈ X sao cho gx2 = F (x1, y1) và gy2 = F (y1, x1) Tiếp tục quá trình này,

ta có thể xây dựng hai dãy (xn) và (yn) trong X sao cho gxn+1 = F (xn, yn) và

gyn+1 = F (yn, xn) Với mỗin ∈ N, nhờ điều kiện (1.7) ta có

G-hội tụ về gx và dãy(ggyn)là G-hội tụ vềgy Do đó, vìg vàF giao hoán, ta có

ggxn+1= g(F (xn, yn)) = F (gxn, gyn)vàggyn+1= g(F (yn, xn)) = F (gyn, gxn) Vì thế, tacó

G(ggx n+1 , F (x, y), F (x, y)) = G(F (gx n , gy n ), F (x, y), F (x, y))

≤ k[G(ggxn, gx, gx) + G(ggyn, gy, gy)].

Chon → ∞ và sử dụng tính chấtGliên tục theo các biến của nó, ta được

G(gx, F (x, y), F (x, y)) ≤ k[G(gx, gx, gx) + G(gy, gy, gy)] = 0.

Vì thế,gx = F (x, y) Tương tự, ta có thể chứng minh được rằnggy = F (y, x) Nhờ

Bổ đề 1.2.1,(x, y)là điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạF vàg Vì vậy, ta có

≤ k[G(gxn, gx, gx) + G(gyn, gy, gy)],

bằng cách chon → ∞ và sử dụng tính chất hàmGliên tục theo các biến của nó,

ta được

G(x, gx, gx) ≤ k[G(x, gx, gx) + G(y, gy, gy)].

Tương tự, ta có thể chứng minh rằng

G(y, gy, gy) ≤ k[G(x, gx, gx) + G(y, gy, gy)].

Do đó, cộng vế với vế 2 bất đẳng thức này ta có

G(x, gx, gx) + G(y, gy, gy) ≤ 2k[G(x, gx, gx) + G(y, gy, gy)].

Vì 2k < 1, bất đẳng thức cuối cùng xảy ra khi và chỉ khi G(x, gx, gx) = 0 và

G(y, gy, gy) = 0.Vì thếx = gxvày = gy Do đó ta được

Vì2k < 1, ta đượcG(x, z, z) < G(x, z, z), điều này mâu thuẫn vì G(x, z, z) > 0 Do

1.2.3 Hệ quả ([8]) Cho(X, G)là một không gianG-mêtric Giả sửF : X ì X →

X và g : X → X là hai ánh xạ sao cho

G(F (x, y), F (u, v), F (u, v)) ≤ k[G(gx, gu, gu) + G(gy, gv, gv)] (1.9)

với mọix, y, u, v ∈ X Giả sử rằngF và g là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiệndưới đây

(1) F (X ì X) ⊆ g(X),

(2) g(X)làG-đầy đủ, và

(3) g là G-liên tục và giao hoán với F

Nếuk ∈ 0,12
, thì có duy nhất phần tử x ∈ X sao cho gx = F (x, x) = x

Chứng minh Trong Định lý 1.2.2, bằng cách lấyz = uvàv = w ta có được

1.2.4 Hệ quả ([8]) Cho (X, G) là một không gianG-mêtric đầy đủ Giả sử

F : X ì X → X là một ánh xạ sao cho

G(F (x, y), F (u, v), F (u, v)) ≤ k[G(x, u, u) + G(y, v, v)] (1.10)

với mọix, y, u, v ∈ X Nếu k ∈ [0,12), thì có duy nhất một phần tử x ∈ X sao cho

1.2.6 VÝ dô ChoX = [−1, 1] Ký hiÖu G : X × X × X → R + lµ hµm cho bëi

chương 2

Điểm trùng nhau bộ đôi và

điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ trong

không gian G-mêtric thứ tự bộ phận

thứ tự bộ phận

Phần này chúng tôi trình bày một số định lý về điểm trùng nhau bộ đôi, một

số định lý điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trongkhông gianG-mêtric đầy đủ và giới thiệu một số hệ quả và các ví dụ minh hoạ

Giả sử Θ là ký hiệu lớp các hàm θ : [0, ∞) ì [0, ∞) → [0, 1) thỏa mãn điềukiện dưới đây:

Với bất kỳ hai dãy {tn}và{sn}các dãy số thực không âm, ta có

r ∈ [0, 1) nếu s = 0, t = 0,

ở đâyk, l ∈ (0, 1)

Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính

2.1.1 Định lý ([1]) Cho (X, 4) là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận sao cho tồntại một G-mêtric đầy đủ trên X và F : X ì X → X là một ánh xạ liên tục cótính chất đơn điệu trộn Giả sử rằng tồn tạiθ ∈ Θ sao cho

G(F (x, y), F (u, v), F (w, z)) + G(F (y, x), F (v, u), F (z, w))

≤ θ(G(x, u, w), G(y, v, z))[G(x, u, w) + G(y, v, z)] (2.1)

với mọix, y, z, u, v, w ∈ X mà x < u < wvà y 4 v 4 z ở đây hoặcu 6= whoặc v 6= z.Nếu tồn tạix0, y0 ∈ X sao cho

x0 4 F (x 0 , y0)và y0 < F (y 0 , x0),

thìF có một điểm bất động bộ đôi

Chứng minh VìF (X ì X) ⊆ X nên chúng ta có thể xây dựng hai dãy {xn}

và{yn} trongX sao cho

F (y, xn) < F (y, x n+1 )vàF (x, yn+1) < F (x, y n ), với mọix, y ∈ X (2.6)

Nếu ta lấyy = yn vàx = xn trong(2.5), thì ta thu được

xn+1 = F (xn, yn) 4 F (x n+1 , yn)vàF (yn+1, xn) 4 F (y n , xn) = yn+1 (2.7)

Nếu ta lấyy = yn+1 vàx = xn+1 trong(2.6), thì

thì G(xk+1, xk+1, xk) = G(yk+1, yk+1, yk) = 0 kéo theoxk = xk+1 và yk = yk+1 Vì thế,

xk= F (xk, yk)vàyk = F (yk, xk), nghĩa là,(xk, yk)là một điểm bất động bộ đôi của

Vì vậy, dãy {Gn+1 := G(xn+1, xn+1, xn) + G(yn+1, yn+1, yn)} là đơn điệu giảm Khi

đó,Gn → gkhin → ∞với g ≥ 0nào đó Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằngg = 0.Giả sử ngược lạig > 0, khi đó nhờ(2.12), ta thu được

G(x n+1 , x n+1 , x n ) + G(y n+1 , y n+1 , y n )

G(xn, xn, xn−1) + G(yn, yn, yn−1) ≤ θ(G(xn, xn, xn−1), G(yn, yn, yn−1)) < 1.