1. Nhóm con á chuẩn tắc lũy linh địa phương của vành chia nằm trong tâm vành chia. Điều này mở rộng một kết quả cổ điển nói rằng``nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm lũy linh thì vành chia giao hoán."
2. Đối với những vành chia đại số trên tâm thì kết quả nhận được dưới dạng sau: Mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương của vành chia đại số trên tâm đều nằm trong tâm của vành chia.
3. Mọi nhóm con á chuẩn tắc căn trên tâm của vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm đều nằm trong tâm vành chia. Điều này chứng tỏ Giả thuyết Herstein đúng đối với lớp những vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm.
4. Mọi nhóm con á chuẩn tắc đại số trên trường con hữu hạn của vành chia đều nằm trong tâm vành chia . Điều này tổng quát hóa một định lý của Jacobson nói rằng
``nếu một vành chia là đại số trên một trường con hữu hạn của nó thì nó sẽ giao hoán".
5. Mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn địa phương của vành chia đều nằm trong tâm vành chia . Điều này là mở rộng của Định lý Wedderburn nói rằng ``mọi vành chia hữu hạn đều là trường".
6. Mọi nhóm con á chuẩn tắc thỏa mãn tính F C−nhóm của vành chia đều nằm trong tâm vành chia. Điều này là một mở rộng khác cũng của Định lý Wedderburn nói treân.
là nhóm nhân của một trường con tối đại nào đó trong vành chia.
3. Mọi nhóm con tối đại thỏa mãn tínhF C-nhóm trong vành chia không giao hoán đều là nhóm nhân của một trường con tối đại nào đó trong vành chia.
58
Đề xuất của luận án
Luận án trình bày một số kết quả mới về các tính chất của các nhóm con nhân trong vành chia. Những kết quả này là sự tổng quát hóa một số kết quả trước kia của các tác giả khác như Wedderburn, Herstein, Jacobson, Hua, Stuth,...Các kết quả này có thể được ứng dụng trong Lý thuyết vành và Lý thuyết nhóm tuyến tính trên vành chia. Một số kết quả có khả năng mở rộng hơn nữa cho những lớp vành chia rộng hơn. Chẳng hạn, nói về Giả thuyết Herstein, luận án mới dừng lại trong việc chứng minh giả thuyết này đúng cho lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm. Trong tương lai cần chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết này ít nhất là cho những lớp vành chia rộng hơn, ví dụ cho lớp vành chia đại số trên tâm chẳng hạn. Tương tự như vậy đối với một kết quả cổ điển của Hua :``Nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm giải được thì vành chia giao hoán". Kết quả này đã được Stuth mở rộng như sau: Mọi nhóm con á chuẩn tắc của vành chia nếu giải được sẽ nằm trong tâm". Trong luận án chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu vành chia là đại số trên tâm thì mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương đều nằm trong tâm. Nếu trong khẳng định vừa rồi bỏ đi được điều kiện ``đại số trên tâm" thì sẽ nhận được một kết quả tổng quát hơn kết quả của Stuth. Ngoài ra một vấn đề thực sự đáng quan tâm đó là liệu có tồn tại một vành chia không giao hoán nào không chứa nhóm con tối đại hay không? Nhắc lại rằng đối với trường thì câu trả lời là khẳng định vì ta dễ dàng chứng minh được trường các số phức không chứa nhóm con tối đại. Tuy nhiên đối với vành chia không giao hoán thì cho đến nay người ta vẫn chưa tìm ra được một ví dụ nào như vậy.
Danh mục các công trình của tác giả
[1] Nguyễn Văn Thìn và Bùi Xuân Hải, Về một giả thuyết của Herstein, Tạp chí Phát triển Khoa học và công nghệ/ J. of Science and Technology Development (đã được nhận đăng) (Tạp chí của Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, ISSN: 1859-0128).
[2] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin,On subnormal and Maximal Subgroups in Division Rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2008) 32: 931-937.
[3] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Locally Nilpotent Subgroups of GL1(D), Communications in Algebra, Vol.37 712-718 (2009).
60
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại các hội nghị khoa học và seminar sau đây:
1. The Second International Congress in Algebra and Combinatorics, 6-11 July 2007, Beijing, China.
2. Hội nghị Khoa học lần thứ 6 trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11/2008.
3. Seminar Đại số, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh.