Về đồ thị cayley của các nhóm đơn hoàn toàn

Tính liên thông mạnh trong đồ thị Cayley của một nửa nhóm đơn hoàn toàn... Trong chương này chúng tôi trình bày về các đồ thị Cayley nửa nhóm, điềukiện cần và đủ đối với đồ thị Cayley củ

BÙI THỊ THANH THỦY

VỀ ĐỒ THỊ CAYLEY CỦA CÁC NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2017

BÙI THỊ THANH THỦY

VỀ ĐỒ THỊ CAYLEY CỦA CÁC NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An - 2017

MỤC LỤC

1.1 Các quan hệ Grin trên nửa nhóm 4

1.2 Nửa nhóm đơn 6

1.3 Nửa nhóm đơn hoàn toàn 8

1.4 Định lý Rixơ 9

Chương 2 Đồ thị Cayley của các nửa nhóm đơn hoàn toàn 12 2.1 Đồ thị Cayley của một nửa nhóm 12

2.2 Đồ thị Cayley của một nửa nhóm đơn hoàn toàn 14

2.3 Tính liên thông mạnh trong đồ thị Cayley của một nửa nhóm đơn hoàn toàn 19

Giả sử S là một nửa nhóm và A là một tập con của S Đồ thị Cayley

Cay(S, A) củaS liên kết với Ađược xác định bởi một đồ thị với các đỉnh là tậphợpS và các cạnh là tập hợp E(Cay(S, A))gồm các cặp có thứ tự (x, y), trong

đó x 6= y và sx = y với sA nào đó Đồ thị Cayley Cay(S, A) của nửa nhóm

là sự tổng quát hóa của đồ thị Cayley của các nhóm Trong thời gian gần đây,các kết quả về đồ thị Cayley của các nửa nhóm đã xuất hiện trong các côngtrình của nhiều tác giả Chẳng hạn, năm 2003, A V Kelarev và C E Praeger

đã đặc trưng được cấu trúc đồ thị Cayley với các đỉnh bắc cầu của nửa nhómtuần hoàn Năm 2010, D Yang và X Gao đã tìm được một số tính chất tổ hợpcủa đồ thị Cayley của nửa nhóm vô hạn Năm 2007, S H Fan và Y.S Zeng đãđưa ra một mô tả đầy đủ về đồ thị Cayley với các đỉnh bắc cầu của băng Năm

2006, S Panna, N Chiangmai, U Knaur và Sr Arwon đã đặc trưng được cấutrúc đồ thị Cayley của các nửa nhóm Cliffort

Dựa trên công trình On the Cayley graphs of completely simple semigroupscủa các tác giả Y Luo, Y Hao and G.T Clarke đăng trên tạp chí SemigroupForum (xem[5]), chúng tôi bước đầu tìm hiểu Đồ thị Cayley của các nửa nhóm

đơn hoàn toàn.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương.Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các quan hệ Grin trên nửa nhóm, cácnửa nhóm tự do đơn và nửa nhóm đơn hoàn toàn để làm cơ sở cho việc trìnhbày chương 2

Chương 2 Đồ thị Cayley của các nửa nhóm đơn hoàn toàn

Trong chương này chúng tôi trình bày về các đồ thị Cayley nửa nhóm, điềukiện cần và đủ đối với đồ thị Cayley của nửa nhóm để nửa nhóm ấy là nửanhóm đơn hoàn toàn, tính liên thông mạnh trong đồ thị Cley của nửa nhómđơn hoàn toàn

Luận văn được hoàn thành vào tháng 7 năm 2017 tại Trường Đại học Vinhdưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chuđáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học và nghiên cứu Cũng nhân dịpnày tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học,các thầy cô giáo trong khoa Toán và tổ Đại số đã giúp đỡ trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPTQuỳnh Lưu 2, các đồng nghiệp trong tổ Toán, các anh, các chị và các bạn tronglớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ động viên tôitrong quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo vàcác bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 7 năm 2017

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các kết quả trong chương này đã được trình bày chi tiết trong [1]

1.1 Các quan hệ Grin trên nửa nhóm

1.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ

L,R,F trên S như sau:

Với mỗi a ∈ S, các L − lớp, R− lớp, F − lớp, H − lớp, D− lớp chứa a

được ký hiệu tương ứng bởi La, Ra, Ja, Ha, Da

1.1.2 Chú ý Giả sử S là một nửa nhóm và ε(S) là dàn các tương đương trên

S Thế thì L , R, F , H , D thuộc ε(S), hơn nữa H = L ∧ R, D = L ∨ R

và D ⊆ F.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm

i) Một phần tử e ∈ S được gọi là một lũy đẳng nếu e2 = e Tập hợp tất cảcác lũy đẳng của S được ký hiệu bởi E(S), Es hay E

ii) Một phần tử a ∈ S được gọi là một phần tử chính quy nếu có phần tử

x ∈ S sao cho axa = a

iii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S

đều là phần tử chính quy

iv) Một D− lớp D của S được gọi là D− lớp chính quy nếu mọi phần tửcủa D đều là phần tử chính quy

1.1.4 Định lý (Định lý 2.11) i) Nếu D− lớp D của một của nửa nhóm S

chứa phần tử chính quy thì mỗi phần tử thuộc D là phần tử chính quy

ii) Nếu D chính quy thì mỗi L − lớp và mỗi R− lớp chứa trong D đều chứalũy đẳng

1.1.5 Định lý Grin ( Định lý 2.16) Giả sử H là một H − lớp của nửa nhóm

S Thế thì các khẳng định sau tương đương:

i) H chứa lũy đẳng;

ii) Tồn tại x, y ∈ H sao cho xy ∈ H;

iii) H là một nhóm con của S

1.1.6 Định lý Mile - Cliphớt (Định lý 2.17) Giả sử a, b là hai phần tử củanửa nhóm S thì ab ∈ Ra∩ Lb và khi và chỉ khi Rb ∩ La chứa lũy đẳng Khi đó

aHb = Hab = HaHb = Hab = Ra∩ Lb

1.1.7 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S

i) Phần tử b ∈ S được gọi là một phần tử ngược của a nếu aba = a, bab = b.ii) Nửa nhóm S gọi là nửa nhóm ngược nếu mọi phần tử của S đều là cóphần tử ngược duy nhất

1.1.8 Định lý (Định lý 2.18) Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S.i) Mỗi phần tử ngược với a nằm trong Da.

ii) H − lớp Hb chứa phần tử ngược với a khi và chỉ khi cả hai H − lớp Ra∩ Lb

và Rb ∩ La chứa lũy đẳng

iii) Một H − lớp không chứa quá một phần tử ngược với a

1.1.9 Hệ quả (Hệ quả 2.19) S là một nửa nhóm ngược khi và chỉ khi mỗi

L − lớp và mỗi R− lớp của S chỉ chứa một lũy đẳng

1.1.10 Định lý (Định lý 2.20) Giả sử e, f là các lũy đẳng D− tương đươngthuộc cùng một nửa nhóm ; a là một phần tử cố định thuộc Re ∩ Lf và a0 làphần tử ngược của a ∈ Re ∩ Lf Khi đó các ánh xạ x 7→ a0xa, y 7→ aya0 là cácđẳng cấu ngược nhau từ He lên Hf và từ Hf lên He

1.2.3 Định lý (Định lý 2.29) Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử không 0

sao cho S6= 0 Khi đó S là nửa nhóm 0− đơn nếu và chỉ nếu SaS = S đối vớimỗi a 6= 0 thuộc S

1.2.4 Hệ quả Nửa nhóm S là một nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu SaS = S

đối với mỗi a thuộc S.

1.2.5 Định nghĩa Một nửa nhóm S chứa phần tử không 0 được gọi là nửanhóm 0− đơn trái (phải) nếu thỏa mãn hai điều kiện:

(1) S chỉ có hai iđêan trái (phải) là {0} và S;

(1) M 6= {0};

(2) 0 là iđêan hai phía (trái, phải) duy nhất của S được chứa thực sự trong

M

1.2.8.Định lý (Định lý 2.29) Giả sử M là một iđêan hai phía (trái, phải) 0−

tối tiểu của nửa nhóm S chứa phần tử không 0 Khi đó hoặc M2= 0 hoặc M làmột nửa nhóm 0− đơn tiểu của S

1.2.9 Định lý (Định lý 2.33) Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử không 0

và M là một iđêan 0− tối tiểu của nó chứa ít nhất một trái 0− tối tiểu của S.Khi đó M là hợp của tất cả các iđêan 0− tối tiểu của S chứa trong M

1.2.10 Định lý (Định lý 2.34) Giả sử M là một iđêan hai phía (trái, phải)

0− tối tiểu của nửa nhóm S sao cho M26= {0} Giả thiết rằng M chứa ít nhấtmột trái 0− tối tiểu của S Khi đó mỗi iđêan của M cũng là iđêan trái của S

1.3 Nửa nhóm đơn hoàn toàn.

Trong mục 1.8[1] đã chứng minh kết quả sau: Giả sử S là một nửa nhóm và

E là tập hợp các lũy đẳng của S Thế thì quan hệ ≤ trên E cho bởi e ≤ f

⇔ ef=f e=e là một quan hệ thứ tự trên E ( và được gọi là quan hệ thứ tự tựnhiên trên E)

Nếu S là một nửa nhóm với phần tử không 0 thì 0∈E và 0 là lũy đẳng nhỏnhất duy nhất của S Do đó ta đưa vào khái niệm: lũy đẳng f ∈S được gọi làlũy đẳng nguyên thủy của S nếu f 6= 0 và từ e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f.1.3.1 Định nghĩa i) Một nửa nhómS chứa phần tử không 0 được gọi là nửanhóm 0− đơn hoàn toàn nếuS là nửa nhóm 0− đơn và S chứa lũy đẳng nguyênthủy

ii) Một nửa nhóm S không chứa phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm đơnhoàn toàn nếu S là nửa nhóm đơn và S chứa lũy đẳng nguyên thủy

Các kết quả nói về các nửa nhóm nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn nhưng từ đócũng suy ra được các kết quả tương ứng của nửa nhóm đơn hoàn toàn

1.3.2 Định lý (Định lý 2.48) Giả sử S là một nửa nhóm 0− đơn Khi đó S làmột nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn nếu và chỉ nếu S chứa ít nhất một một iđêantrái 0− tối tiểu và một iđêan phải 0− tối tiểu

1.3.3 Hệ quả (Hệ quả 2.49) Mỗi nửa nhóm 0− đơn tuần hoàn là hợp của cácmột iđêan trái (phải) 0− tối tiểu của nó

1.3.4 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm song đơn nếu nóchỉ gồm hai D− lớp là {0} và S − {0}

1.3.5 Định lý (Định lý 2.51) Một nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn là 0− songđơn và chính quy

1.3.6 Định lý (Định lý 2.52) Giả sử S là một nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn

i) Nếu a ∈ S, a2 6= 0 thì a2 ∈ Ha và Ha là một nhóm;

ii) Nếu a, b ∈ S, ab 6= 0 thì ab ∈ Ra∩ Lb;

iii) Nếu a, b ∈ S thì HaHb = 0 hoặc; trong cả hai trường hợp HaHb = Hab.1.3.7 Định lý (Định lý 2.53) Nửa nhóm bixiclic B = ha, b|ab = 1i là mộtnửa nhóm ngược song đơn chứa đơn vị e Các lũy đẳng của nó là các phần tử

en = bnan, n = 0, 1, , thỏa mãn điều kiện e = e0  e1  e2  Do đó B

không chứa lũy đẳng nguyên thủy nên không phải là nửa nhóm hoàn toàn.1.3.8 Định lý ( Định lý 2.54) Nếu e là lũy đẳng khác không tùy ý của mộtnửa nhóm 0− đơn S không phải là nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn, thế thì S chứamột nửa nhóm con bixiclic nhận e làm đơn vị

1.3.9 Định lý ( Định lý 2.55) Một nửa nhóm 0− đơn S là nửa nhóm 0− đơnhoàn toàn khi và chỉ khi một lũy thừa nào đó của mỗi phần tử thuộc S nằmtrong một nhóm con của S

1.3.10 Hệ quả ( Hệ quả 2.56) Một nửa nhóm 0− đơn tuần hoàn là một nửanhóm 0− hoàn toàn Đặc biệt, mọi nửa nhóm 0− đơn hữu hạn là nửa nhóm 0−

hoàn toàn

1.3.11 Ví dụ Giả sử S = N × N Trên S xác định phép toán cho bởi

(m, n)(p, q) = (m, q) Khi đó S là nửa nhóm đơn hoàn toàn ( Chú ý trang139[1])

1.4 Định lý Rixơ

1.4.1 Nửa nhóm ma trận Rixơ Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn

vị là e và I, Λ là hai tập hợp khác rỗng Giả sử P = (Pλi) là một I × Λ− matrận Rixơ với các thành phần trong nhóm với phần tử không G0 = G ∪ {0}

( xem mục 3.1[1]) Giả thiết rằng P chính quy theo nghĩa không có hàng nàohay cột nào của P gồm toàn phần tử 0, nghĩa là: (∀i ∈ I)(∃λ ∈ Λ) pλi 6= 0 và

(∀λ ∈ Λ)(∃i ∈ I)pλi 6= 0.

Giả sử S=(I × G × Λ) ∪ {0}, ta định nghĩa một phép toán trên S cho bởi

(i, a, λ)(j, b, µ) = (i, apλjb, µ) nếu pλj 6= 0(i, a, λ)(j, b, µ) = 0 nếu pλj = 0(i, a, λ)0 = 0(i, a, λ) = 00 = 0

Thế thì S là nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn

Nửa nhóm S được xây dựng như trên được gọi là nửa nhóm I × Λ− ma trậnRixơ trên nhóm với phần tử không G0 và được ký hiệu bởi µ0[G; I, Λ; P ] (xemmục 3.1[1] hay mục 3.2[4])

Thật ra ta có:

1.4.2 Định lý Rixơ (Định lý 3.2.3[4]) Giả sử G0 = G ∪ {0} là một nhómvới phần tử không và I, Λ là hai tập hợp khác rỗng, P = (pλi) là một I × Λ−

ma trận Rixơ với các thành phần trong G0 Giả thiết rằng P chính quy Giả sử

S = (I × G × Λ) ∪ {0} và định nghĩa phép nhân trên S như trên Thế thì S làmột nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn

Đảo lại, mỗi nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn Đẳng cấu với một nửa nhóm đượcxây dựng như vậy

1.4.3 Chú ý Từ các kết quả trên ta thu được các kết quả tương ứng về cácnửa nhóm đơn hoàn toàn

Giả sử S là một nửa nhóm không chứa phần tử không, E là tập hợp các lũyđẳng củaS và ≤ là thứ tự bộ phận tự nhiên trênE xác định bởi e ≤ f ⇔ ef =

f e = e Lũy đẳng e ∈ E được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu f ≤ e ⇒ f = e

đối với mọi f ∈ E Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn hoàn toàn nếu S lànửa nhóm đơn và S chứa lũy đẳng nguyên thủy

Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị là e và I, Λ là hai tập hợp khác

rỗng Giả sử P = (pλi) là một I × Λ− ma trận Rixơ với các thành phần trong

G Thế thì nửa nhóm ma trận Rixơ µ[G; I, Λ; P ] trên G với ma trận đệm P

bao gồm các bộ ba (i, a, λ) trong đó i ∈ I, λ ∈ Λ, a ∈ G và phép toán nhântrên µ[G; I, Λ; P ] cho bởi (i, a, λ)(j, b, µ) = (i, apλib, µ)

Từ định lý Rixơ suy ra các nửa nhóm ma trận Rixơ trên một nhóm là cácnửa nhóm đơn hoàn toàn và mỗi nửa nhóm đơn hoàn toàn đẳng cấu với mộtnửa nhóm ma trận Rixơ µ[G; I, Λ; P ] trên một nhóm G thích hợp nào đó.1.4.4 Ký hiệu Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] ,i ∈ I λ ∈ Λ Ta đặt

S∗λ = {(i, g, λ)|g ∈ G, i ∈ I}, Si∗ = {(i, g, λ)|g ∈ G, λ ∈ Λ}

E(S) = {(i, p−1µi, µ) ∈ S|i ∈ I, µ ∈ Λ}

1.4.6 Bổ đề Giả sửS = µ[G; I, Λ; P ] là nửa nhóm đơn hoàn toàn và u, v ∈ S.Nếu vu = u thì v ∈ E(S)

Chứng minh Giả sửu = (i, g, λ), v = (j, h, µ) Thế thìvu = (j, h, µ)(i, g, λ) =(j, hpµig, λ) = u

Từ đó i = j, h = p−1µi Suy ra v = (i, p−1µi, µ) là lũy đẳng của S theo Bổ đề1.4.5.2

CHƯƠNG 2

ĐỒ THỊ CAYLEY CỦA CÁC NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN

2.1 Đồ thị Cayley của một nửa nhóm

2.1.1 Đồ thị Một đồ thị là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nógọi là các đỉnh, cùng với một tập hợp các cặp đỉnh không định hướng được gọi

là các cạnh

Giả sử Γ là một đồ thị, tập hợp tất cả các đỉnh của Γ được ký hiệu là V (Γ).Nếu hai đỉnh v1, v2 tạo thành một cạnh của đồ thị Γ thì ta nói rằng chúng làhai đỉnh kề nhau

Một đồ thị Γ0 được gọi là đồ thị con của Γ nếu tất cả các đỉnh và tất cả cáccạnh của Γ0 đều là đỉnh và cạnh của Γ

Một đỉnh của Γ được gọi là ở đầu mút nếu nó thuộc và chỉ thuộc một cạnh.Một đường đi của Γ là một dãy (y0, y1, , yn) các đỉnh yj, j = 0, 1, 2, , n

của Γ sao cho yi−1, yi là hai đỉnh kề nhau với mọi i = 0, 1, , n − 1 Đường đi

(y0, y1, , yn) có độ dài n, và chúng ta gọi nó là (y0, yn)− đường

Một quỹ đạo là một đường mà trong nó tất cả các đỉnh đều phân biệt.Một đồ thị được gọi là liên thông nếu mỗi cặp đỉnh của nó được nối liền bởimột cạnh

Một (α, α)− đường được gọi là đóng

Một xích là một đường đóng với các đỉnh phân biệt và có ít nhất ba đỉnh.2.1.2 Cây Một cây là một đồ thị liên thông và không có xích

Trong một cây T, đối với hai đỉnh α, β ∈ V (T ) tồn tại một quỹ đạo duynhất (α, β) được ký hiệu bởi Π(α, β).

Một cây với các đỉnh đôi một phân biệt được gọi là cây có gốc

Ta nói rằng đường W trương đồ thị Γ nếu tất cả các đỉnh của Γ xuất hiệntrong số các đỉnh của W

2.1.3 Đồ thị định hướng Cho đồ thị Γ Một cạnh với hai đỉnh α, β ∈ Γ gọi

là được định hướng nếu chúng ta xét cạnh cùng với cặp đỉnh (α, β) như mộtcặp đỉnh có định hướng, nghĩa là phân biệt thứ tự của hai đỉnh trong chúng.Trong trường hợp này, ta sẽ viết α → β và ký hiệu cạnh ấy là αβ Nếu α 6= β

thì αβ 6= βα

2.1.4 Định nghĩa Cho hai đồ thị Γ và Γ0 với các tập đỉnh tương ứng là V (T )

và V (T0) Một đẳng cấu từ Γ lên Γ0 là một song ánh từ V (T ) lên V (T0) bảotoàn tính kề và hướng của các cạnh Ký hiệu Γ ∼= Γ0

2.1.5 Đồ thị đầy đủ Một đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu

nó chứa tất cả các cạnh nối giữa tất cả các cặp đỉnh phân biệt của V, nghĩa là

E = {(x, y) ∈ V × V |x 6= y}

Chú ý rằng, nói chung E ⊆ {(x, y)|x, y ∈ V }

Một cạnh của đồ thị gọi là được dán nhãn nếu có một ký hiệu liên kết vớinó

2.1.6 Chú ý Từ đây về sau, các đồ thị được xét là các đồ thị đã được địnhhướng, không có nút (hai đỉnh trùng nhau) và không có cạnh bội (các cạnhtrùng nhau) Các đồ thị như vậy được ký hiệu bởi D và tập hợp các cạnh địnhhướng của D được ký hiệu bởi E(D)

Bây giờ ta nêu lên đồ thị Cayley của các nửa nhóm

2.1.7 Đồ thị Cayley của một nửa nhóm Giả sửS là một nửa nhóm vàAlàmột tập con củaS Đồ thị Cayley Cay(S,A) của S liên kết với A được xác định

bởi một đồ thị với các đỉnh là tập hợp S và các cạnh là tập hợp E(Cay(S, A))

gồm các cặp có thứ tự (x, y), trong đó x 6= y và sx = y với s ∈ A nào đó.2.2 Đồ thị Cayley của một nửa nhóm đơn hoàn toànTrong tiết này, chúng ta sẽ khảo sát đồ thị Cayley của một nửa nhóm đơnhoàn toàn Chúng ta bắt đầu với kết quả sau:

2.2.1 Bổ đề Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] là nửa nhóm đơn hoàn toàn với A

là tập con khác rỗng của S Giả sử (i, a, λ), (j, b, µ) là hai phần tử phân biệtcủa S Thế thì ((i, a, λ), (j, b, µ)) ∈ E(Cay(S, A)) nếu và chỉ nếu λ = µ và

(j, ba−1p−1θi , θ) ∈ A với θ ∈ Λ nào đó

Chứng minh Để cho((i, a, λ), (j, b, µ)) ∈ E(Cay(S, A)), phải tồn tại(l, g, θ) ∈

A sao cho (i, a, λ)(j, b, µ) = (j, gpθia, λ) = (j, b, µ) ⇔ λ = µ và gpθia = b, g =

ba−1p−1θi 2

Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] là nửa nhóm đơn hoàn toàn và A là tập con khácrỗng của S Theo Bổ đề 2.2.1, nếu hai phần tử của S liên kề trong đồ thị

Cay(S, A) thì chúng L − tương đương Đối với λ ∈ Λ tùy ý, chúng ta ký hiệu

Tλ là đồ thị con của đồ thị Cay(S, A) được cảm sinh bởi S∗λ, và sẽ nói rằng

Tλ là một thành phần của Cay(S, A) Rõ ràng đối với hai phần tử phân biệt

λ, µ ∈ Λ ta có V (Tλ) ∩ V (Tµ) = ∅ Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa

hai thành phần của Cay(S, A)

2.2.2 Mệnh đề Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] là nửa nhóm đơn hoàn toàn và A

là tập con khác rỗng của S Đối với λ, µ ∈ Λ ta có Tλ ∼= T

µ; và nếu λ 6= µ thìkhông tồn tại e ∈ E(Cay(S, A)) sao cho e có các điểm mút trong Tλ và Tµ.Chứng minh Xác định ánh xạ ϕ : Tλ → Tµ cho bởi ϕ((i, g, λ)) = (i.g.µ)

đối với (i, g, λ) ∈ V (Tλ) tùy ý Thế thì ϕ là song ánh Chúng ta chứng tỏ ϕ

là một đồng cấu Giả sử ((i, g, λ), (j, h, λ)) ∈ E(Tλ) Theo Bổ đề 2.2.1 ta có