Tiết này trình bày các kết quả của chúng tôi về tính giao hoán của một nhóm con tối đại lũy linh địa phương, giải được địa phương.
Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi liệt kê các kết quả sau:
Định lý 3.1.1[[4], Định lý 5]. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F có bình phương của Char D khác bậc của D trên F và M là nhóm con tối đại của D∗. Nếu D là vành chia không giao hoán thì M không căn trên F. Hơn nữa, nếu D là vành chia không giao hoán đại số trên tâm và [D:F] = ∞thì D∗ không chứa nhóm con tối đại xoắn.
Định lý 3.1.2[[5], Định lý 4]. Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F và M là nhóm con tối đại lũy linh của D∗. Nếu M chứa một phần tử đại số trên F không nằm
Z(G)⊆ M hoặc [G, G] ⊆M.
Chứng minh. Giả sử Z(G) không nằm trong M. Do tính tối đại của M nên G = Z(G).M. Suy ra
[G, G] = [Z(G)M, Z(G)M] = [M, M]⊆M.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.1.4. Cho G là một nhóm. Nếu G/Z(G) hữu hạn địa phương thì G0 cũng hữu hạn địa phương.
Chứng minh. Trước tiên ta nhận xét rằng
``Nếu H là nhóm con hữu hạn sinh củaG thì H0 := [H, H] là nhóm hữu hạn."
Thật vậy, gọi {x1, x2, . . . , xn} là tập sinh củaH. Khi đó HZ(G) =
x1, x2, . . . , xn
Z(G) =
x1, x2, . . . , xn, Z(G) suy ra
HZ(G)/Z(G) =
x1Z(G), x2Z(G), . . . , xnZ(G) . Do giả thiết của bổ đề nên HZ(G)/Z(G) là nhóm hữu hạn. Mặt khác
HZ(G)/Z(G) ∼=H/ H ∩Z(G) . Suy ra H/ H ∩Z(G)
là nhóm hữu hạn. Hơn nữa H ∩Z(G)⊆Z(H)
Suy ra H/Z(H) là hữu hạn. Theo Định lý 1.1.6, ta có H0 là nhóm hữu hạn.
Bây giờ, giả sử
N =
[a1, b1],[a2, b2], . . . ,[ak, bk] là nhóm con hữu hạn sinh của G0. Đặt
K =
a1, a2, . . . , ak, b1, b2, . . . , bk
44
theo nhận xét trên, ta có K0 = [K, K] là nhóm hữu hạn. Dễ thấy N ⊆ K0 và do đó N cũng là nhóm hữu hạn.
Bổ đề 3.1.5 [[5], Bổ đề 6]. Cho D là vành chia với tâm F
i) Nếu tồn tại trường K và số tự nhiên n ≥ 1 sao cho K là trường con của Mn(D) và [Mn(D) :K]r <∞ thì D hữu hạn chiều trên F.
ii) Nếu tồn tại trường con K của D và nhóm con tối đại M không giao hoán của D∗ sao choK∗ ≤M và [M :K∗]<∞ thì D hữu hạn chiều trênF.
Bổ đề 3.1.6. Cho D là vành chia không giao hoán và M là nhóm con tối đại của D∗. Nếu M giao hoán thì M ∪ {0} là trường con tối đại của D.
Chứng minh. Từ M giao hoán, vành chia F(M) sinh bởi F và M là một trường. Do tính tối đại của M trong D∗, ta có F(M)∗ = M∗. Hiển nhiên F(M) = M ∪ {0} là trường con tối đại của D.
Bổ đề 3.1.7. Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn chiều trên tâm F và M là nhóm con tối đại của D∗. Nếu M là nhóm lũy linh địa phương thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại D∗.
Chứng minh. Từ tính tối đại của M, ta có
D =F(M) hoặc F(M) =M ∪ {0}.
Trường hợp 1. D =F(M). Theo Bổ đề 2.4.2, M là nhóm con bất khả quy tuyệt đối của D. Áp dụng Định lý 1.3.22 với H là M, ta có
M/CM(M) =M/Z(M) là nhóm xoắn. Lấy x ∈ M, khi đó
x
≤ M/Z(M) là nhóm hữu hạn. Suy ra tồn tại số nguyên dương n(x) sao cho xn(x) ∈ Z(M), tức là M căn trên Z(M). Nếu F∗ không naèm trong M thì D∗ = F∗M, suy ra D0 = F∗M0
= M0 nằm trong M. Do đó D0 là nhóm con chuẩn tắc lũy linh địa phương của D. Suy ra D0 giao hoán bởi Định lý 2.2.3 và do đó D∗ giải được, dẫn tới D giao hoán bởi Định lý 2.2.1 và đây là điều vô lý. Vậy F∗ ≤M. Nếu F∗ =M, lấy a∈D∗\M thì D∗ =F(a)∗ bởi M F(a)∗. Suy ra D giao hoán, dẫn tới mâu thuẫn. Do đó, F∗ M.
Từ giả thiết D = F(M), ta có Z(M) = F∗. Vậy M căn trên F∗. Theo Định lý 3.1.4, [D :F] =p2 vàCharD =p > 0. Đặt H =D0 ∩M. Lấyx ∈ H. Từ x căn trênF, tồn
nhóm hữu hạn địa phương. Lấy x và y là hai phần tử nằm trong H. Nhóm con x, y là nhóm hữu hạn. Từ CharD=p >0, theo Mệnh đề 1.3.12,
x, y
là nhóm cyclic. Đặc biệt x giao hoán vớiy. Suy ra H là nhóm giao hoán. Mặt khác
M0 ⊆M ∩D0 =H.
Do đó M0 là nhóm giao hoán, kéo theo M là nhóm giải được. Theo Định lý Suprunenko 1.3.14, tồn tại trường con K của D sao cho
[M :K∗]<∞ và K/F là mở rộng Galois.
Nếu K ⊆ F thì [M : K∗]<[M :F∗]<∞. Gọi {x1, x2, . . . , xn} là tập hợp các phần tử đại diện của lớp ghép F∗ trong M. Đặt
H1 =
x1, x2, . . . , xn
, khi đó M =F∗.H1. Lấy x ∈ D∗ \F. Đặt H =
x1, x2, . . . , xn, x
. Do tính tối đại của M, ta có D∗ =HF∗. Suy ra D0 =H0 ⊆ H. Vậy H chuẩn tắc trong D∗. Theo Định lý 2.4.1, ta có H ⊆F. Suy ra
D∗ =H.F∗ =F∗.
Điều này mâu thuẫn với tính không giao hoán của D. Suy ra F∗ K∗ ⊆M.
Do M căn trên F nên K căn trên F. Theo Mệnh đề 1.2.12 hoặc K là mở rộng thuần túy không tách được trên F hoặc K đại số trên trường nguyên tố P củaF. Từ K là mở rộng Galios trên F nên K không thể là mở rộng thuần túy không tách được trênF. Suy ra K đại số trên trường nguyên tố P.
Lấy a ∈D∗. Do [D :F]<∞ nên a đại số trên F. Suy ra a cũng đại số trên K. Từ K đại số trên P, ta có a đại số trên P. Suy ra D đại số trên P. Hơn nữa P là trường hữu hạn, theo Định lý 1.3.8, ta có D giao hoán. Đây là điều mâu thuẫn.
Trường hợp 2. M =F(M)∗. Ta có F(M)∗ là lũy linh địa phương, suy ra F(M)∗ giao hoán bởi Hệ quả 2.2.4. Dẫn tới M giao hoán và đây là điều mâu thuẫn.
46
Các mâu thuẫn trên cho ta M là nhóm giao hoán. Theo Bổ đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh.
Định lý 3.1.8. Cho D là vành chia không giao hoán đại số trên tâm F và M là nhóm con tối đại của D∗. Nếu M lũy linh địa phương thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D.
Chứng minh. Giả sử M không giao hoán, lập luận như trong chứng minh Bổ đề 3.1.7, ta có F∗ ≤M. Gọi F(M) là vành chia con sinh bởi F và M. Từ tính tối đại của M ta có
M =F(M)∗ hoặc F(M) =D.
Nếu M =F(M)∗ thì F(M)∗ là lũy linh địa phương. Theo Hệ quả 2.2.4, F(M) là trường kéo theo M giao hoán là điều vô lý. Suy raD =F(M). Theo Bổ đề 2.4.2, M là bất khả quy tuyệt đối của D∗. Theo Định lý 1.3.19, tồn tại nhóm conN chuẩn tắc giao hoán của M sao cho M/N hữu hạn địa phương. Gọi F(N) là trường sinh bởi F vàN. Khi đó M chuẩn hóa F(N). Suy ra M ≤ ND∗ F(N)∗
. Do tính tối đại của M nên D∗ =ND∗ F(N)∗
hoặc M =ND∗ F(N)∗ . Neáu D∗ = ND∗ F(N)∗
thì F(N) là trường con chuẩn tắc của D. Từ D không giao hoán và theo định lý Cartan-Brauer-Hua ta có F(N)⊆ F.Suy ra N ⊆F. Vậy
N ⊆F∗ ⊆Z(M).
DoM/N hữu hạn địa phương nênM/Z(M) cũng hữu hạn địa phương. Theo bổ đề 3.1.4 M0 là hữu hạn địa phương. Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. CharD = p > 0. Lấy a, b là hai phần tử nằm trong M0 khi đó a, b
là nhóm hữu hạn. Từ CharD 6= 0, theo Mệnh đề 1.3.12,
a, b
là nhóm cyclic. Đặt biệt a giao hoán với b. Suy ra M0 là nhóm giao hoán. GọiF(M0) là trường con sinh bởiF và M0. Khi đó M chuẩn hoá F(M0) nghĩa là M ≤ ND∗ F(M0)∗
. Do tính tối đại của M ta có
D∗ =ND∗ F(M0)∗
hoặc M =ND∗ F(M0)∗ . NeáuD∗ =ND∗ F(M0)∗
, theo ẹũnh lyự Cartan-Brauer-Hua, thỡF(M0)naốm trongF nghúa là M0 ≤ F∗. Suy ra M là nhóm lũy linh. Theo Định lý 3.1.2, ta có M giao hoán. Điều này là vô lý. Vậy M =ND∗(F(M0)∗). Suy ra F(M0)∗ chuẩn tắc trong M. Do N nằm
đây là điều vô lý. Vậy F(M0) là mở rộng trường thật sự của F. Theo Mệnh đề 1.2.12 hoặc F(M0)/F là mở rộng thuần túy không tách được hoặc F đại số trên trường nguyên tố P hữu hạn. Nhưng M0 là nhóm xoắn nên trường hợp đầu không thể xảy ra. Vậy F đại số trên P.
Lấy tập hữu hạn {a1, a2, . . . , an}nằm trong F∗. Khi đó P(a1, a2, . . . , an)là mở rộng hữu hạn trên P và do đóP(a1, a2, . . . , an) là trường hữu hạn. Đặt biệt
a1, a2, . . . , an
là nhóm hữu hạn. Suy ra F∗ là nhóm hữu hạn địa phương. Bây giờ với M/F∗ vàF∗ cùng hữu hạn địa phương, ta có M cũng hữu hạn địa phương bởi Định lý 1.1.12. Suy ra, nếu a vàblà hai phần tử nằm trong M thì nhóm
a, b
là hữu hạn và do đó a, b
là nhóm giao hoán bởi Mệnh đề 1.3.12, kéo theo M là nhóm giao hoán và đây là điều vô lý.
Trường hợp 2 CharD = 0. Từ M0 hữu hạn địa phương và lũy linh địa phương, theo Định lý 1.3.20, M0 là nhóm giải được kéo theo M là nhóm giải được. Do M tối đại và chuẩn hóa F(M0) nên
ND∗(F(M0)∗) =D∗ hoặc ND∗(F(M0)∗) =M.
Nếu M =ND∗(F(M0)∗)thì F(M0)∗ ≤M.Suy raF(M0)∗ là nhóm giải được. Theo Định lý 2.2.1, F(M0) là trường. Hơn nữa, M/N hữu hạn địa phương và N nằm trong F∗ nên M/F∗ cũng hữu hạn địa phương. Đặc biệt F(M0)∗/F∗ hữu hạn địa phương suy ra F(M0)∗ căn trên F. Theo Mệnh đề 1.2.12 thì CharD = p > 0 tạo ra mâu thuẫn. Vậy ND∗ F(M0)∗
=D∗. Theo ẹũnh lyự Cartan-Brauer-Hua F(M0)∗ ⊆F hoặcF(M0) =D.
Nếu trường hợp đầu xảy ra thìM0 nằm trongF và do đóM là nhóm lũy linh. Theo Định lý 3.1.2, M là nhóm giao hoán tạo nên mâu thuẫn. Vậy D = F(M0). Do Bổ đề 2.2.5 nên M0 là bất khả quy tuyệt đối. Do Định lý 1.3.21, tồn tại nhóm con L chuẩn tắc giao hoán của M0 sao cho [M0 :L] =s <∞.
Gọi {c1, c2, . . . , cs} là tập hợp đầy đủ các phần tử đại diện của nhóm thương M0/L.
Khi đó M0 =Ss
i=1ciL. ĐặtK =F(L) là trường con của D sinh bởi F vàL. Nhận xét
48 raèng
D=F(M0) =F [s
i=1
ciL
=K c1, c2, . . . , cs
.
Thật vậy, theo Bổ đề 2.4.2 F(M0) =F[M0].Do đó với x∈D x=
Xk j=1
ajmj = Xk
j=1
ajcj(x)lj ∈K c1, c2, . . . , cs
,
ở đây aj ∈F, mj ∈M0, cj(x) ∈
c1, c2, . . . , cs và lj ∈L. Hơn nữa, với biểu diễn trên D=c1K+c2K+ã ã ã+csK.
Suy ra [D :K]r <∞. Áp dụng Bổ đề 3.1.5, D hữu hạn chiều trên F. Theo Bổ đề 3.1.7, M là giao hoán dẫn tới điều mâu thuẫn. Vậy
M =ND∗(F(N)∗).
Do đó F(N)∗ chuẩn tắc trong M. Suy ra M/F(N)∗ là nhóm hữu hạn địa phương. Lấy a ∈ F(N)\F. Khi đó với mọi b∈M, ta có bab−1 ∈ F(N). Do đó nếu f(x)∈ F[x] là đa thức tối tiểu của a trên F thì bab−1 là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Suy ra a chỉ có hữu hạn phần tử liên hợp trong M. Nghĩa là
[M :CM(a)]<∞. Đặt N1 =T
x∈M x−1CM(x)x
, theo Định lý 1.1.8 N1 chuẩn tắc trongM và[M :N1]<
∞. Từ tính tối đại của M vàM chuẩn hóa F(N1), ta có
ND∗(F(N1)∗) =D∗ hoặcND∗(F(N1)∗) =M.
Trường hợp đầu xảy ra, theo Định lý Cartan-Brauer-Hua.
F(N1)⊆F hoặcF(N1) =D.
Nếu F(N1) = D thì từ N1 ≤ CM(a) ta có a giao hoán N1, dẫn tới a giao hoán với mọi phần tử của F(N1) =D. Suy ra a ∈F và đây là điều mâu thuẫn. Còn nếu F(N1)≤ F thì N1 ≤ F∗ dẫn tới M/F∗ là nhóm hữu hạn. Gọi {x1, x2, . . . , xn} là tập đầy đủ các phần tử đại diện của lớp ghép F∗ trong M. Đặt
A= Xn
i=1
fixi :fi∈ F
.
A∗ giao hoán điều này là vô lý. VậyM =ND∗(F(N1)∗).
Trong trường hợp này F(N1)∗ nằm trong M. Do phần trên ta đã chứng minh M là nhóm giải được nên F(N1)∗ là nhóm giải được, theo Định lý 2.2.1 thì F(N1) là trường.
Hơn nữa.
[M :F(N1)∗]≤[M :N1]<∞.
Theo Bổ đề 3.1.5 ta có [D :F]<∞.Áp dụng Bổ đề 2.3.4, M là giao hoán và đây là điều maâu thuaãn.
Tất cả các mâu thuẫn trên cho ta M là giao hoán và từ Bổ đề 3.1.6, định lý được chứng minh.
Kết quả này không thể mở rộng bằng cách thay tính lũy linh địa phương bằng tính giải được. Để thấy điều này, ta xét ví dụ sau trong [5].
Ví dụ: Xét Hlà vành chia Quaternion thực. Đặt G=
C∗,1 +j .
Trước tiên ta nhận xét rằng: nếuω, z ∈Cthỏa mãn|ω|=|z|vàz+j ∈Gthìω+j ∈G.
Thật vậy, nếu z = 0 thì nhận xét là hiển nhiên. Giả sử z6= 0. Từ|ω|=|z|, tồn tại phần tử t ∈Csao cho ωz−1 =t(t)−1 vớit là phần tử liên hợp của t trong C. Khi đó
(z+j)t=t(ω+j)∈G.
Suy ra (ω+j)∈ G. Với mọi r >0, đặt ur = 1−r
r+ 1 + r
1−
1−r 1 +r
2 i
Khi đó |ur| = 1. Ta có 1 +j ∈G. Theo nhận xét trên ur+j ∈G. Suy ra
(ur) + (ur+ 1)j =ur−1 +urj+j =ur−1 +jur+j = (1 +j)(ur+j)∈G.
Suy ra
(ur+ 1)(ur) +j ∈G.
50 Mặt khác|(ur)(ur+ 1)|=√
rvới mọir >0, ta suy ra với mọia∈C,a+j ∈G. Bây giờ, mỗi phần tử trong H∗ có dạng x = z1+z2j (z1, z2 ∈ C∗). Nếu z2 = 0 thì x∈ C ⊆ G.
Neáu z2 6= 0 thì theo treân
x=z2−1(z1, z2−1+j)∈G.
Vậy H∗ =G =
C∗,1 +j
. Lấy z0 ∈C, đặt G0 =
C∗, z0+j
. Dùng cách lập luận như trong cách chứng minh H∗ =
C∗,1 +j
, vớiz0+j ∈G0 ta có
√r0 i+j và√
r0+j naèm trong G0 ro=|z0|2 . Suy ra
√r0+j √
r0 i+j
= (r0j −1) + (√
r0−√
r0 i)j ∈G0. Đặt
z1 = r0i−1
√r0−√
r0 i và |z1|2 =r1
Khi đó
r1 =|z1|2 = r02+ 1 2r0
≥1 và z1+j ∈G0. Tương tự như trên (√
r1 +j)(√
r1 i+j) ∈ G. Tiếp tục quá trình này ta tạo thành hai dãy số {rn}và {zn} có tính chất.
rn= r2n−1+ 1 2rn−1
≥1; zn = rn−1i−1
√rn−1 −√
rn−1 i; zn+j ∈G0 và|zn|2 =rn. Neáu a ≥1 thì
a2+ 1
2a −a= −a2+ 1 2a ≤0.
Suy ra {rn} là dãy số giảm bị chặn bởi 1. Do đó, {rn} hội tụ. Đặt α= lim
n→∞rn = lim
n→∞rn−1 ≥1.
Suy ra
α= α2+ 1
2α =⇒α = 1.
Vậy rn →1. Suy ra tồn tại số nguyên dương m sao cho.
zm+j ∈G0; |zm|=t và (t2−1)2 4t < t.
Đặt
u= (t2−1)2 4t +i
s t2 −
(t2−1)2 4t
2
G0 ≤H∗ =G=
C∗,1 +j
≤G0. Vậy H∗=
C, z+j
với mọiz ∈C∗. Bây giờ, vớiM = C∗∪C∗j
kiểm tra đơn giản ta có M là nhóm con của H∗. Hơn nữa từ H∗ =
C, z+j
với mọi z ∈ C∗ ta có M là nhóm con tối đại của H∗. Mặt khác C∗ giao hoán và [M :C∗] = 2, ta cóM là nhóm giải được không giao hoán.
52