Về các nhóm con trong vành chia

Từ các kết quả này nẩy sinh ramột hướng nghiên cứu mới đó là: Nếu nhóm nhân trong vành chia có tính chất A làm cho vành chia giao hoán thì một nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia có tín

Chương 2 TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHÓM CON TRONG VÀNH CHIA 21

2.1 Định lý Cartan-Brauer-Hua và các định lý mở rộng liên quan 212.2 Các định lý giao hoán liên quan tính giải được của nhóm con á chuẩn

tắc trong vành chia 252.3 Về giả thuyết của Herstein 302.4 Tính chất hữu hạn của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia 39

3.1 Tính lũy linh của nhóm con tối đại trong vành chia 423.2 Tính hữu hạn của nhóm con tối đại trong vành chia 52

Danh mục các công trình của tác giả 59

Danh Mục Các Ký Hiệu

N, Z, Q, R, C - tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức

H ≤ G - H là nhóm con của G.

H C G - H là nhóm con chuẩn tắc của G.

H ⊆ G -H là tập con của G.

H * G - H không nằm trong G.

H G - H là tập con thực sự của G.

|X| - số phần tử của X.

|a| - cấp của phần tử a.

M n (R) - vành các ma trận vuông cấp n trên R.

GL n (R) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên R.

G1 ∼ = G2 - G1 đẳng cấu với G2

ker f - nhân của đồng cấu f.

imf - ảnh của đồng cấu f.

[G : H] - chỉ số của H trong G.

[K : F ] - số chiều của không gian vectơ K trên F

x y = y−1xy - phần tử liên hợp của x bởi y.

G0 = [G, G] - nhóm con giao hoán tử của G.

G/H - nhóm thương của G theo H.

Aut(G) - nhóm các tự đẳng cấu của G.

G (i) - nhóm con hoán tử bậc i của G.

γ i (G) - nhóm tâm giảm bậc i của G.

Z i (G) - Nhóm tâm tăng bậc i của G.

F [S] - vành con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D

F (S) - vành chia con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D.

U (R) - nhóm các phần tử khả nghịch của vành R

R∗ = R \ {0} - tập các phần tử khác 0 của vành R.

Char(R) - đặc trưng của vành R.

End F (R) - tập tất cả các F -tự đồng cấu của R.

R[X] - vành các đa thức với biến X lấy hệ số trong R.

deg(f ) - bậc của đa thức f.

F/K - F là trường mở rộng của K.

K B - A tenxơ B trên trường K.

Sym(n) - nhóm đối xứng trên tập hợp n phần tử.

sgn(σ) - dấu của hoán vị σ.

MỞ ĐẦU

Đề tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu về các tính chất của các nhóm controng nhóm nhân của một vành chia Về mặt cấu trúc, vành chia có hầu hết các tínhchất của trường, ngoại trừ việc nó có thể không giao hoán Chính điều này đã làm nênsự khác biệt đáng kể giữa vành chia và trường Nếu như cấu trúc của trường đã đượcnghiên cứu rất kỹ và đã đạt được những kết quả hoàn hảo thì đến nay vẫn còn nhiềuđiều về cấu trúc vành chia chưa được biết đến Thời gian gần đây có nhiều công trìnhnghiên cứu xoay quanh các nhóm con á chuẩn tắc và các nhóm con tối đại của vành chiađã được công bố ( [4]-[5]-[7]-[16]-[18]-[19]-[24]-[26]- ) Điều này cho thấy tính thời sựcủa vấn đề vừa nêu Mục tiêu của chúng tôi trong luận án này là nhằm trình bày cácnghiên cứu về tính giao hoán của nhóm con á chuẩn tắc và nhóm con tối đại của vànhchia

Cho D là vành chia Ký hiệu D∗

:= D\{0} và Z(D) là tâm của D.D được gọi là hữu

hạn chiều trên tâm nếu D là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên Z(D) D được gọi là hữu hạn chiều địa phương trên tâm nếu với mọi tập con hữu hạn S trong D, vành chia

sinh bởi S trên Z(D) là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên Z(D) Nếu mọi phần tử của D∗ đại số trên Z(D) thì D được gọi là đại số trên tâm Một phần tử x ∈ D∗ được

gọi là căn trên tâm Z(D) nếu tồn tại số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x sao cho

x n(x) ∈ Z(D) Một tập hợp ∅ 6= S ∈ D được gọi là căn trên tâm nếu mọi phần tử của nó căn trên Z(D).

Một số kết quả cổ điển nghiên cứu về vành chia bắt nguồn từ Định lý Wedderburn:

Mọi vành chia hữu hạn đều là trường Các kết quả này có một điểm chung là tìm cách

thay tính chất hữu hạn trong Định lý Wedderburn bằng một tính chất khác mà vẫn làm

cho vành chia giao hoán Chẳng hạn như `` Nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm

lũy linh thì vành chia giao hoán" Một số kết quả khác theo dạng này của Kaplansky,

Jacobson, L.K.Hua, Faith có thể tham khảo trong [27] Từ các kết quả này nẩy sinh ra

một hướng nghiên cứu mới đó là: Nếu nhóm nhân trong vành chia có tính chất A làm

cho vành chia giao hoán thì một nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia có tính chất

A có nằêm trong tâm vành chia hay không? Trong hướng nghiên cứu này, Stuth (xem

[[30], Định lý 14.4.4, trang 440]) đã chứng minh được rằng: ``Trong một vành chia D,

mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được của D∗ đều nằm trong Z(D)" Tiếp tục với hướng

đi này chúng tôi đã chứng minh được các kết quả sau: ``Trong một vành chia D, mọi

nhóm con á chuẩn tắc lũy linh địa phương của D∗ đều nằm trong Z(D)" và ``Trong một vành chia D đại số trên tâm, mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương của

D∗ đều nằm trong Z(D)".

Việc khảo sát tính chất căn trong vành chia cũng được nghiên cứu rất nhiều Kaplansky

([27], Định lý 15.5) đã chứng minh rằng: ``Nếu D∗ căn trên Z(D) thì D giao hoán".

Rõ ràng kết quả này là một sự tổng quát hóa khá hay của Định lý Wedderburn về các

vành chia hữu hạn Năm 1978, L.N.Herstein [16] nêu giả thuyết: ``Nếu G là nhóm con á

chuẩn tắc của D∗ và G căn trên Z(D) thì G nằm trong Z(D)." Herstein đã chứng minh

được rằng giả thuyết này đúng nếu G là nhóm con hữu hạn á chuẩn tắc trong D∗

. Tuynhiên cũng chưa có câu trả lời cho trường hợp tổng quát Năm 2004, trong [7], B.X Hảivà L.K Huỳnh đã chứng minh được rằng giả thuyết của Herstein đúng đối với lớp vànhchia hữu hạn chiều trên tâm Trong luận án này chúng tôi chứng minh được giả thuyếtnày vẫn còn đúng trong lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm Cũng trong

hướng nghiên cứu này, một kết quả của Jacobson là: `` Nếu vành chia D đại số trên

trường con hữu hạn của nó thì D giao hoán" được chúng tôi tổng quát hóa thành kết

quả: ``Nếu một nhóm con á chuẩn tắc G của một vành chia D đại số trên một trường

con hữu hạn của D thì G nằm trong Z(D)." Ngoài ra chúng tôi mô tả được đa thức tối

tiểu của một phần tử a ∈ D nằm trong nhóm con chuẩn tắc căn trên Z(D) có dạng

x t − N F (a)/F (a) và nếu a3

∈ Z(D) thì a ∈ Z(D) Đối với vành chia có đặc trưng p > 0, chúng tôi cũng chứng minh được: ``Nếu a là phần tử nằm trong nhóm con á chuẩn tắc

căn trên tâm của vành chia D mà a pn

∈ Z(D) thì a ∈ Z(D).".

Một hướng nghiên cứu mới về vành chia là việc tổng quát hóa Định lý Wedderburndưới hình thức của một nhóm con á chuẩn tắc bằng cách khai thác tính chất hữu hạn.Trong [18] Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi và S.Yasamin đã chứng minh được rằng:

``Trong vành chia D hữu hạn chiều trên tâm, mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D∗ đều nằm trong Z(D)" Trong luận án này chúng tôi tổng quát hóa Định lý

Wedderburn dưới hai hình thức:

i) Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ và G hữu hạn địa phương thì G nằm trong Z(D).

ii) Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ và G là F C−nhóm thì G nằm trong Z(D)

Ởû đây nhóm G được gọi là một F C−nhóm nếu với mọi phần tử bất kỳ trong G, số phần tử liên hợp của nó trong G là hữu hạn.

Việc nghiên cứu những nhóm con tối đại trong vành chia vẫn đang là vấn đề thờisự trong lý thuyết nhóm tuyến tính trên vành chia và được nhiều nhà toán học trên thếgiới quan tâm (có thể tham khảo một số công trình trong 10 năm trở lại đây [4]-[5]-[19]-[13]-[26] để thấy điều đó ) Mặc dù có rất nhiều nghiên cứu về nhóm con tối đại của

vành chia nhưng cho tới hiện nay, câu hỏi: Có tồn tại nhóm con tối đại trong một vành

chia tổng quát hay không? vẫn chưa tìm được câu trả lời Trong khi đó đối với trường

câu trả lời là phủ định Chẳng hạn như trong trường số phức C không tồn tại nhóm contối đại

Trên cơ sở nghiên cứu nhóm con tối đại, một câu hỏi đã được nảy sinh ra là: Những

nhóm con tối đại nào có thể xuất hiện như là nhóm nhân của trường con tối đại Trong

[4], các tác giả đã chứng minh được rằng: ``Nếu M là nhóm con tối đại lũy linh của

vành chia D chứa một phần tử đại số trên tâm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D" Tiếp tục với vấn đề này, chúng tôi đã chứng minh được rằng: `` Nếu

M là nhóm con tối đại lũy linh địa phương của một vành chia đại số trên tâm thì M là nhóm nhân của một trường con tối đại của D" Trong vành chia Quaternion H, nhóm

con C∗∪C∗j

chính là nhóm con tối đại giải được của H∗ Điều này cho thấy kết quảcủa chúng tôi không thể mở rộng cho nhóm con tối đại giải được trong vành chia.Tính hữu hạn của nhóm con nhân trong vành chia liên quan chặt chẽ với tính giaohoán của nó Đối với nhóm con tối đại trong vành chia điều này càng được thể hiện rõnét Trên cơ sở này chúng tôi đã chứng minh được hai kết qủa sau:

- Nếu M là nhóm con tối đại hữu hạn địa phương của vành chia D thì M là nhóm

nhân của một trường con tối đại của D.

- Nếu M là nhóm con tối đại của vành chia D và M là F C-nhóm thì M là nhóm

nhân của một trường con tối đại của D.

Nội dung chính của luận án được chia làm ba chương Chương 1 nêu các khái niệm

cơ bản và liệt kê một số kết quả của các tác giả khác mà chúng tôi sẽ sử dụng trong cácchương sau Mục đích của Chương 1 là tạo điều kiện dễ dàng cho người đọc theo dõinhững trích dẫn của chúng tôi về các kết quả đã được các tác giả khác công bố trongnhiều bài báo hoặc sách chuyên khảo khác nhau Mặt khác, người đọc có thể truy tìmnguồn gốc của các trích dẫn đó khi cần thiết vì chúng tôi đã ghi chú rất rõ xuất xứ củachúng Chương 2 giới thiệu các kết quả nghiên cứu về những định lý giao hoán củanhóm con á chuẩn tắc trong vành chia và các kết quả đạt được gần đây xoay quanh giả

thuyết của Herstein Chương 3, luận án trình bày các vấn đề liên quan đến câu hỏi: Khi

nào nhóm con tối đại trong vành chia trở thành nhóm nhân của một trường con tối đại?

Nhằm giới thiệu một khung cảnh chung của đề tài nghiên cứu, trong từng mục chúngtôi đã liệt kê các kết quả của những tác giả khác đan xen với sự trình bày các kết quảcủa chúng tôi Điều này theo thiển ý của chúng tôi có thể giúp người đọc cảm nhận dễdàng hơn những vấn đề nghiên cứu mà chúng tôi trình bày trong luận án Tuy nhiên,

ở mọi nơi chúng tôi đều chỉ rõ kết quả nào thuộc về ai và người đọc có thể dễ dàng đốichiếu qua danh mục các tài liệu tham khảo của luận án

Phần kết luận của luận án nêu tóm tắt các kết quả mà luận án đã thu được và đềxuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận án này, vành R luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 6= 0 và ta ký hiệu R∗ = R \ {0} R được gọi là vành chia nếu mọi phần tử trong R∗ đều có phần

tử nghịch đảo Tập các phần tử nghịch đảo của vành R được ký hiệu là U(R) Như vậy

R là vành chia nếu và chỉ nếu R∗ = U (R) Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên vành

R được ký hiệu là M n (R) và ký hiệu GL n (R) thay cho U M n (R)

Nếu R là vành chia và G là nhóm con nhân của R∗ thì ta qui ước nói G là nhóm con của vành chia R Nếu

R là một trường thì một nhóm con của GL n (R) được gọi là nhóm tuyến tính, còn nếu

R là vành chia thì nhóm con của GL n (R) được gọi là nhóm tuyến tính trên vành chia Nếu G là một nhóm thì Z(G) được ký hiệu là tâm của G Nếu R là vành thì tập hợp

Cho G là một nhóm nhân với phần tử đơn vị 1 Nhóm con H của G được gọi là

nhóm con thực sự của G nếu H 6= G Nếu X là tập con khác rỗng của G thì ký hiệu

Xx ⊆ X.

Hiển nhiên

X H

= h−1xh : h ∈ H, x ∈ X

là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X và được chuẩn hóa bởi H X G

gọi là nhóm con

chuẩn tắc của G sinh bởi tập X Tâm hóa tử của X trong G là tập hợp

thể thấy rằng nếu G/H là nhóm giao hoán thì G0

≤ H Nếu x ∈ G thì số phần tử liên hợp với x trong G ký hiệu là x G và số phần tử của x G đúng bằng chỉ số của C G (x)trong

G Với H ≤ G, ta ký hiệu [G : H] là chỉ số của H trong G.

Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một nhóm, đặt

G(0)= G, G (i+1) = [G (i) , G (i) ], ∀i ≥ 0.

i) G (i) được gọi là nhóm con hoán tử bậc i của G và dãy các nhóm con

G = G(0)≥ G(1) ≥ G(2)≥

được gọi là dãy dẫn xuất của G.

ii) Nếu tồn tại n ∈ N sao cho G (n)

= 1 thì G được gọi là nhóm giải được và số nguyên dương r nhỏ nhất sao cho G (r)

= 1 được gọi là bậc giải được của G.

iii) Nếu với mọi tập con S hữu hạn khác rỗng của G, nhóm con S

là nhóm giải

được thì G được gọi là nhóm giải được địa phương.

Ta có G (i) chuẩn tắc trong G với mọi i ≥ 1 Nếu G là nhóm giải được và H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H và G/H là những nhóm giải được của G Hiển nhiên nếu G

là nhóm giải được thì nó là nhóm giải được địa phương

Định nghĩa 1.1.2 Cho G là một nhóm

i) Họ các nhóm con γ i (G) của G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

γ1(G) = G; γ i+1 = [γ i , G] với mọi i ≥ 0 các nhóm γ i (G) xác định ở trên được gọi là dãy tâm giảm của G.

ii) Họ các nhóm con Z i (G) của G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

các nhóm Z i (G) xác định ở trên được gọi là dãy tâm tăng của G.

iii) Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho Z n (G) = G hoặc γ n+1 (G) = 1 thì G được gọi là nhóm lũy linh Số n nhỏ nhất thỏa điều kiện trên được gọi là lớp lũy linh của G iv) Nếu mọi tập con S hữu hạn khác rỗng của G, nhóm S

là nhóm lũy linh thì ta

nói G là nhóm lũy linh địa phương.

Từ định nghĩa 1.1.2, ta có các kết quả sau (xem [1])

Định lý 1.1.3 Cho G là một nhóm và H là nhóm con của G.

i) γ i (G) C G và Z i (G) C G với mọi i.

ii) Z n (G) = G ⇐⇒ γ n+1 (G) = 1.

iii) Nếu G là nhóm lũy linh thì nhóm con và nhóm thương của G là những nhóm lũy linh.

iv) Nếu G là nhóm lũy linh thì G là nhóm giải được.

v) Nếu G là nhóm lũy linh thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G.

vi) Nếu G/Z(G) là nhóm lũy linh thì G là nhóm lũy linh.

vii) Nếu G là nhóm lũy linh và H là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G

thì H ∩ Z(G) 6= {1}.

Định nghĩa 1.1.4 Cho G là một nhóm G được gọi là thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

nếu mọi nhóm con H thực sựï của G đều là nhóm con thực sự của N G (H).

Điều kiện chuẩn hóa và tính lũy linh có mối quan hệ sau

Định lý 1.1.5 [[23] Định lý 12.2.2, trang 364] Cho G là một nhóm Nếu G thỏa mãn

điều kiện chuẩn hóa thì G là nhóm lũy linh địa phương

Định lý 1.1.6 [[30] Định lý 15.1.3, trang 443] Cho G là một nhóm Nếu G/Z(G) là

hữu hạn thì G0

là nhóm hữu hạn.

Định lý 1.1.7 [[20], Định lý 13.2.2, trang 83] Cho G là một nhóm và H là nhóm con

của G có chỉ số hữu hạn Khi đó H chứa một nhóm con N chuẩn tắc trong G sao cho

[G : H] là ước số của [G : N] và [G : N] là ước của [G : H]!

Định lý 1.1.8 [[30], Định lý 3.3.5, trang 53] Cho G là một nhóm và H là nhóm con của

G có chỉ số hữu hạn Khi đó

Nếu G là một nhóm hữu hạn thì ta có định lý sau.

Định lý 1.1.9 [[1], Định lý 7.1, trang 37] Cho G là một nhóm có |G| = p m k với p nguyên tố và (p, k) = 1 Khi đó với mọi 1 ≤ r ≤ m, tồn tại trong G một nhóm con có cấp p r

Định nghĩa 1.1.10 Cho G là một nhóm G được gọi là một F C−nhóm nếu với mọi

x ∈ G , số phần tử của x G là hữu hạn

Từ định nghĩa này ta có kết quả sau:

Định lý 1.1.11 [[23], Định lý 14.5.9, trang 443] Nếu G là FC-nhóm thì [G, G] là nhóm

xoắn.

Định lý 1.1.12 [[23], Định lý 14.3.1, trang 429] Cho G là một nhóm và N là nhóm

con chuẩn tắc của G Nếu N và G/N cùng hữu hạn địa phương thì G là nhóm hữu hạn địa phương.

1.2 Trường

Nếu K là trường con của trường F thì ta viết K ⊆ F và gọi F là mở rộng trên K.

Ta dùng ký hiệu F/K để chỉ F là mở rộng của K và nói K là trường cơ sở của mở rộng Nếu F/K là mở rộng trường thì có thể xem F là một không gian vectơ trên K, ký hiệu [F : K] được dùng để chỉ số chiều không gian vectơ này Ta gọi [F : K] là bậc của mở

rộng F/K.

Định nghĩa 1.2.1 Cho F/K là mở rộng trường.

i) Phần tử a ∈ F được gọi là đại số trên K nếu tồn tại đa thức f(x) ∈ K[x] có bậc lớn hơn 0 và nhận a làm nghiệm Nói cách khác, a ∈ F là đại số trên K nếu tồn tại những phần tử α0, α1, , α n ∈ K(n > 0), không phải tất cả đều bằng 0 sao cho

α0+ α1a + · · · + α n a n= 0

ii) Giả sử a ∈ F là phần tử đại số trên K Gọi p(x) là đa thức nằm trong K[x] có bậc nhỏ nhất nhận a là nghiệm Nếu p(x) có hệ số của bậc cao nhất là 1 thì p(x) được xác định duy nhất và ta gọi nó là đa thức tối tiểu của phần tử a trên K Ký hiệu

p(x) = min(K, a).

Định nghĩa 1.2.2 Cho F/K là mở rộng trường và S là tập con khác rỗng của F

i) Ký hiệu K[S] là giao của tất cả các vành con của F chứa K và S và gọi nó là vành

con của F sinh bởi S trên K.

ii) Ký hiệu K(S) là giao của tất cả các trường con của F chứa K và S và gọi nó là

trường con của F sinh bởi S trên K Nếu |S| = 1 thì K(S) được gọi là mở rộng đơn

của K Nếu S là tập hữu hạn thì ta nói K(S) là mở rộng hữu hạn sinh.

Định nghĩa 1.2.3 Cho mở rộng trường F/K.

i) F được gọi là mở rộng hữu hạn trên K nếu [F : K] < ∞.

ii) F được gọi là hữu hạn địa phương trên K nếu mọi tập con S hữu hạn của F , trường K(S) hữu hạn trên K.

iii) F được gọi là đại số trên K nếu với mọi a ∈ F , a là phần tử đại số trên F

Có thể thấy rằng:

F hữu hạn trên K =⇒ F hữu hạn địa phương trên K =⇒ F đại số trên K Nếu a là phần tử đại số trên K và n = [K(a) : K] thì 

1, a, a2, , a n−1

là một cơ sở

của K(a)/K Nếu L đại số trên F và F đại số trên K thì L đại số trên K.

Định nghĩa 1.2.4 Cho mở rộng trường F/K.

i) F được gọi là mở rộng chuẩn tắc trên K nếu F là mở rộng đại số trên K và với mọi đa thức f(x) ∈ K[x] bất khả quy trên K mà có nghiệm trong F đều phân rã trên

F

ii) Đa thức bất khả quy f trên trường K được gọi là tách được trên K nếu f không có nghiệm bội trong trường phân rã của nó Nếu mọi a ∈ F , min(K, a) tách được trên

K thì ta nói F là mở rộng tách được trên K.

iii) Phần tử a ∈ F được gọi là thuần túy không tách được trên K nếu tồn tại số tự nhiên r sao cho a pr

∈ K , trong đó p = CharK Nếu mọi phần tử a ∈ F là thuần tuý không tách được trên K thì F được gọi là thuần túy không tách được trên K.

iv) Một tự đẳng cấu σ của F được gọi là K−tự đẳng cấu nếu σ(a) = a với mọi

a ∈ K Ta gọi nhóm tất cả các K−tự đẳng cấu của F là nhóm Galois của mở rộng F trên K và ký hiệu là Gal(F/K) Ta ký hiệu

thì F được gọi là mở rộng Galois trên K

Định lý 1.2.5 [[2], Định lý 3.15, trang 72] Cho mở rộng hữu hạn L/K Khi đó L/K là

mở rôïng Galois nếu và chỉ nếu L/K là mở rộng chuẩn tắc và tách được.

Định lý 1.2.6 (Burnside) [[27], Định lý 9.9', trang 154] cho K là một trường và G là

nhóm con của GL n (K) Khi đó G là nhóm xoắn nếu và chỉ nếu G là nhóm hữu hạn địa phương.

Định lý 1.2.7 [[13], Định lý 1] Cho K là trường có đặc trưng 0 Nếu G là nhóm con

của GL n (K) thì hoặc G chứa một nhóm con tự do không giao hoán hoặc G chứa một nhóm con giải được có chỉ số hữu hạn.

Định nghĩa 1.2.8 Cho F/K là mở rộng hữu hạn bậc n Với mỗi a ∈ F , ánh xạ

L a : F → F cho bởi L a (b) = ab (∀b ∈ F ) là K−ánh xạ tuyến tính trên F Cố định một

cơ sở β của K trên F Đặt [L a]là ma trận biểu diễn của L a trong cơ sở β Định nghĩa i) N F /K (a) = det [L a]

là chuẩn của a trên K.

ii) T r F /K (a) = T r [L a]

là vết của a trên K.

Mệnh đề 1.2.9 [[21], Bổ đề 8.5, trang 80] Cho mở rộng trường F/K với [F : K] = n <

∞ Khi đó

i) Với mọi a ∈ F , N F /K (a) và T r F /K (a) là những phần tử nằm trong K.

ii) Ánh xạ T r K/F : F → K là K-ánh xạ tuyến tính.

iii) Nếu a ∈ K thì T r F /K (a) = na.

iv) Nếu a, b ∈ F thì N F /K (a.b) = N F /K (a).N F /K (b).

v) nếu a ∈ K thì N F /K (a) = a n

Mệnh đề 1.2.10 [[21], Mệnh đề 8.6, trang 80] Cho F/K là mở rộng trường với [F :

K] = n < ∞ Nếu a ∈ F và p(x) = x m + α m−1 x m−1 + · · · + α1x + α0 là đa thức tối tiểu của a trên K thì ta có

N K/F (a) = (−1) m α n/m0 và T r K/F (a) = − n

m α m−1 .

Định nghĩa 1.2.11 Cho R là một vành và S là tập con khác rỗng của R.

i) Phần tử a ∈ R được gọi là căn trên S nếu tồn tại số nguyên dương n(a) sao cho

a n(a) ∈ S.

ii) Tập con A của R được gọi là căn trên S nếu mọi a ∈ A, a căn trên S.

iii) Phần tử a ∈ R được gọi là lũy đơn (unipotent) nếu tồn tại số nguyên dương n(a) sao cho (a − 1) n(a) = 0 Nhóm con của U(R) được gọi là lũy đơn nếu mọi phần tử củanó đều là lũy đơn

Mệnh đề 1.2.12 [[27], Mệnh đề 15.13, trang 258] Cho K là trường con thực sự của F

Nếu F căn trên K thì hoặc F là thuần túy không tách được trên K hoặc F đại số trên trường con P nguyên tố Hơn nữa CharK = p > 0.

Định lý 1.2.13 [[14], trang 146] Cho F là một trường và G là nhóm con của GL n (F ) Nếu G giải được thì G chứa một nhóm con chuẩn tắc H có chỉ số hữu hạn với H0

là nhóm lũy đơn.

1.3 Vành

Cho R là một vành Ta nói vành R là vành đơn nếu R 6= 0 và R không có ideal hai phía thực sự khác 0 Nếu R là vành đơn thì Z(R) là trường và ta có thể coi vành đơn R như là không gian vectơ trên Z(R) Nếu dim Z(R) R < ∞ thì vành đơn R được gọi là đại

số đơn tâm Trường K được gọi là trường chẻ ra của đại số đơn tâm R nếu tồn tại một

đẳng cấu từ R N Z(R) K vào M n (K) với một số nguyên dương n nào đó.

Định nghĩa 1.3.1 Cho A là một đại số đơn tâm và E là trường chẻ ra của A Gọi f là

đẳng cấu đi từ AN

Z(A) E vào M n (E).

i) Với a ∈ A, chuẩn rút gọn của a trên Z(A) được định nghĩa là

N r A/Z(A) (a) = det f (a ⊗ 1)

Định lý 1.3.2 [[22], trang 146] Cho A là đại số đơn tâm, K là tâm của A và a, b là hai

phần tử trong A Khi đó.

i) Nr A/K (a) và T rd A/K (a) là những phần tử của K.

ii) Nr A/K (a.b) = N r A/K (a).N r A/K (b).

iii) Nếu a ∈ K thì Nr A/K (a) = a r r2 = [A : K]

iv) T rd A/K (a + b) = T rd A/K (a) + T rd A/K (b)

v) Nếu a ∈ K thì T rd A/K (a) = ra r2 = [A : K]

.

Định nghĩa 1.3.3 Cho D là vành chia , F là một trường con của D và S là một tập con

khác rỗng của D.

i) Ký hiệu F [S] là giao tất cả các vành con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là vành

con của D sinh ra bởi S trên F

ii) Ký hiệu F (S) là giao tất cả các vành chia con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là

vành chia con của D sinh ra bởi S trên F

Định nghĩa 1.3.4 Cho D là vành chia tâm F

i) D được gọi là hữu hạn chiều trên tâm nếu [D : F ] < ∞.

ii) D được gọi là hữu hạn chiều địa phương trên tâm nếu mọi tập con hữu hạn S của D, 

F (S) : F

< ∞.

iii) D được gọi là đại số trên tâm nếu mọi a ∈ D, a là phần tử đại số trên F

Trong ([27], trang 221) có trình bày một ví dụ về vành chia hữu hạn chiều địa phươngtrên tâm nhưng không hữu hạn chiều trên tâm

Định nghĩa 1.3.5 Cho D là vành chia tâm F và G là nhóm con của D∗

i) G được gọi là bất khả quy nếu F (G) = D.

ii) G được gọi là bất khả quy tuyệt đối nếu F [G] = D.

iii) Với K là vành chia con của D Nếu K∗ là nhóm con chuẩn tắc của D∗ thì ta nói

K chuẩn tắc trong D.

Dưới đây là các kết quả căn bản để sử dụng trong những chương sau của luận án

Định lý 1.3.6 (Wedderburn) [[30], Định lý 14.13, trang 427] Mọi vành chia hữu hạn

đều là một trường.

Mệnh đề 1.3.7 [[27], Hệ quả 13.2, trang 215] Cho D là vành chia và K là vành con

hữu hạn của D Khi đó K là một trường.

Định lý 1.3.8 (Jacobson) [[27], Định lý 13.11, trang 219] Cho D là vành chia và F là

trường con hữu hạn của D Nếu D đại số trên F thì D là trường.

Định lý 1.3.9 (Kaplansky) [[27], Định lý 15.15 trang 253] Cho D là vành chia tâm F

Nếu D căn trên F thì D giao hoán.

Định lý 1.3.10 (Hua) [[27], trang 223] Cho D là vành chia Nếu D∗ là nhóm giải được thì D giao hoán.

Định lý 1.3.11 (Faith) [[27], trang 223] Cho D là vành chia và K là vành chia con của

D∗ Nếu 

D∗ : N D∗(K∗)

< ∞ thì D giao hoán.

Mệnh đề 1.3.12 [12, Bổ đề 3.1.12, trang 12] Cho D là vành chia có đặc trưng khác 0

và G là nhóm con của D∗ Nếu G là nhóm hữu hạn thì G là nhóm cyclic.

Bổ đề 1.3.13 (Herstein) [[27], Định lý 138, trang 217] Cho D là vành chia có đặc trưng

p > 0 và a ∈ D \ F Nếu a là phần tử xoắn thì tồn tại y ∈ D∗ sao cho yay−1

= a i 6= a

với một số nguyên dương i.

Định lý 1.3.14 (Suprunenko) [[26], trang 153-161] Cho D là vành chia hữu hạn chiều

trên tâm và G là nhóm con bất khả quy của D Nếu G là nhóm giải được thì tồn tại trường con K của D sao cho [G : K∗] < ∞ và K/Z(D) là mở rộng Galois.

Định lý 1.3.15 (Về tâm hóa tử kép/ Double Centralizer Theorem) [[27], trang 254] Cho

D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F và K là vành chia con của D chứa F Khi đó

C D C D (K)

= K và [D : F ] = [K : F ][C D (K) : F ].

Mệnh đề 1.3.16 [[27], Mệnh đề 15.7 trang 254] Cho D là vành chia và K là trường

con của D Khi đó K là trường con tối đại của D khi và chỉ khi C D (K) = K

Định lý 1.3.17 (Định lý Wedderburn về sự phân tích nhân tử) [[17], trang 253] Cho

D là vành chia tâm F và a ∈ D \ F là phần tử đại số trên F Nếu f(x) ∈ F [x] là đa thức tối tiểu của a trên F có bậc là m thì tồn tại a1, a2, , a m là các phần tử liên hợp của a trong D∗ sao cho

f (x) = (x − a1)(x − a2) (x − a m ).

Hơn nữa ta có thể chọn a1 = a

Định lý 1.3.18 [[11], trang 365-370] Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm và G

là nhóm con giải được của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán có chỉ số hữu hạn.

Định lý 1.3.19 [[29], Hệ quả 1.5] Cho D là vành chia và G là nhóm con bất khả quy

tuyệt đối giải được địa phương của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán H sao cho G/H là hữu hạn địa phương.

Định lý 1.3.20 [[25], Định lý 2.5.4, trang 74] Cho D là vành chia có đặc trưng 0 và G

là nhóm con hữu hạn địa phương của GL n (D) Nếu G là nhóm giải được địa phương thì G là nhóm giải được.

Định lý 1.3.21 [[14], Định lý 2.5.2, trang 73] Cho D là vành chia có đặc trưng 0 và

G là nhóm con của GL n (D) Nếu G lũy linh địa phương thì G đẳng cấu với một nhóm con của GL (C) Đặc biệt G chứa một nhóm con giao hoán chuẩn tắc có chỉ số là ước

số của (2n)!.

Định lý 1.3.22 [[25], Định lý 5.7.11, trang 215] Cho D là vành chia và G là nhóm con

bất khả quy tuyệt đối của D và H là nhóm con chuẩn tắc lũy linh địa phương của G Khi đó tồn tại nhóm con N nằm trong tâm H sao cho H/N là nhóm hữu hạn địa phương và G/C G (H) là nhóm xoắn.

Định lý 1.3.23 [[12], Hệ quả 2, trang 162] Cho D là vành chia tâm F, K là vành chia

con của D chứa F và hữu hạn chiều trên F Khi đó mọi đơn cấu ϕ đi từ K vào D cố định các phần tử của F đều thác triển thành một tự đẳng cấu trong ϕ trên D sao cho ϕ| K = ϕ

Chương 2

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHÓM CON

TRONG VÀNH CHIA

2.1 Định lý Cartan-Brauer-Hua và các định lý mở rộng liên quan

Định lý Cartan-Brauer-Hua là một trong những định lý quan trọng nhất trong lýthuyết vành chia Nó đặt nền tảng cho việc khảo sát tính chuẩn tắc của nhóm connhân trong vành chia Hầu hết các kết quả nghiên cứu về tính chuẩn tắc của nhóm controng vành chia đều dựa trên định lý này Một trong những mở rộng quan trọng củaĐịnh lý Cartan-Brauer-Hua là Định lý Stuth Mục đích của tiết này là giới thiệu Định lýCartan-Brauer-Hua [27], Định lý Stuth [30] cùng với các hệ quả của chúng và một sốmệnh đề dùng cho những tiết sau

Định lý 2.1.1 (Cartan-Brauer-Hua)[[30], Định lý 14.1.3, trang 427] Cho K là vành chia

con của vành chia D Nếu K∗ chuẩn tắc trong D∗ thì

Mệnh đề 2.1.2 Cho D là vành chia, P là trường con nguyên tố của D, b ∈ Z(D)∗\ {1} và x, y là hai phần tử trong D∗ thỏa mãn [x, y] = b Đặt

x1 = [1 + x, y], x i+1 = [x i , y] (i ∈ N, i ≥ 1).

Nếu có n ∈ N sao cho x n= 1 thì tồn tại đa thức g ∈ P (b)[t] \ {0} sao cho g(x) = 0.

Chứng minh Do giả thiết [x, y] = b và b ∈ Z(D)∗

\ {1}nên

xy = y(bx).

Giả sử x k

y = y(bx) k với k > 1 Khi đó

x k+1 y = xx k y = (xy)(bx) k = y(bx)(bx) k = y(bx) k+1

Suy ra, nếu h là đa thức trên Z(D) thì

Với các a j ∈ P (b) Đặt g(t) = P r

j=0 a j t j , khi đó g(t) ∈ P (b)[t] là đa thức cần tìm.

Nhận xét 2.1.3 Đa thức g nhận được trong chứng minh Mệnh đề 2.1.2 chỉ phụ thuộc

vào b mà không phụ thuộc vào giá trị của x và y.

Mệnh đề 2.1.4 [[30], Định lý 14.3.3, trang 433] Cho D là vành chia, G là nhóm con

không giao hoán của D∗ Nếu G0

= [G, G] ⊆ Z(D) thì G không là á chuẩn tắc.

Với số nguyên dương n ∈ N, ta xét phát biểu sau.

P n,D : Cho K là vành chia, H là vành chia con của K, G1, G2, , G n là nhóm con của K∗ thỏa mãn

G1 ⊆ N K∗(H∗) \ Z(K) và G1 C G2 C C G n = K∗ Khi đó

Nếu H là trường con của K thì ta ký hiệu P n,F thay cho P n,D

Định lý 2.1.5 (Stuth) [[30], trang 433-439] Phát biểu P n,D đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 1.

Từ định lý của Stuth, ta có các kết quả sau

Định lý 2.1.6 cho D là một vành chia, H là vành chia con của D và G là nhóm con á

chuẩn tắc D∗ Nếu H được chuẩn hóa bởi G thì

Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.1.5.

Hệ quả 2.1.7 Cho D là vành chia không giao hoán Khi đó D∗/Z(D)∗ không chứa nhóm con á chuẩn tắc giao hoán thực sự.

Chứng minh Nếu D giao hoán thì kết quả hiển nhiên Giả sử D không giao hoán và H

là một nhóm con á chuẩn tắc giao hoán không tầm thường nằm trong D∗/Z(D)∗ Gọi π là toàn cấu chính tắc từ D∗ vào D∗/Z(D)∗ Đặt G = π−1(H) Khi đó G là nhóm con a0

chuẩn tắc không nằm trong tâm D Do giả thiết H giao hoán nên G0= [G, G] ⊆ Z(D) Theo Mệnh đề 2.1.4, G là giao hoán Suy ra G chuẩn hóa trường con Z(D)(G) Áp dụng Định lý 2.1.6 với H là Z(D)(G), ta có

Z(D)(G) ⊆ Z(D) hoặc Z(D)(G) = D.

Trường hợp đầu xảy ra thì G nằm trong tâm của D, đây là điều vô lý Còn trường hợp sau xảy ra thì D giao hoán cũng là điều vô lý Suy ra hệ quả được chứng minh.

Hệ quả 2.1.8 Cho D là vành chia không giao hoán và G là nhóm con á chuẩn tắc

không nằm trong tâm D Khi đó C D (G) = Z(D).

Chứng minh Hiển nhiên Z(D) ⊆ C D (G). Để chứng minh bao hàm ngược, chú ý rằng

C D (G) 6= D bởi G không nằm trong Z(D) Hơn nữa, C D (G) được chuẩn hóa bởi G Áp dụng Định lý 2.1.6, thì C D (G) ⊆ Z(D).

Hệ quả 2.1.9 Cho D là vành chia không giao hoán và G là nhóm con á chuẩn tắc không

nằm trong tâm của D Khi đó, với mọi x ∈ D \ Z(D)

2.2 Các định lý giao hoán liên quan tính giải được của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia

Trong vành chia, tính giải được của một nhóm con rất gần gũi với tính giao hoán,đặc biệt là đối với nhóm con á chuẩn tắc Một kết quả cổ điển trong lý thuyết vành chia

là ``Nếu D là vành chia có D∗ là nhóm lũy linh thì D giao hoán" Sau đó Hua tổng quát

hóa kết quả trên bằng cách thay tính lũy linh bằng tính giải được (xem [27]) Hướng đinày được nhiều người tiếp tục quan tâm và nghiên cứu

Trong tiết này, chúng tôi trình bày các kết quả của chúng tôi liên quan tới tính giảiđược của nhóm con á chuẩn tắc Để tiện trích đẫn, chúng tôi phát biểu lại một kết quảcủa Stuth

Định lý 2.2.1 [[30], Định lý 14.4.4, trang 440] Cho D là một vành chia và G là một

nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Nếu G là nhóm giải được thì G nằm trong tâm của D.

Trước khi trình bày các kết quả chính, ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.2 Cho D là vành chia và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Khi đó, nếu

x, y ∈ G, [x, y] 6= 1 thì [x, y] / ∈ Z(D).

Chứng minh Từ giả thiết G á chuẩn tắc trong D∗, tồn tại dãy nhóm con G0, G1, , G n

của D∗ sao cho

G = G0 C G1 C C G n = D∗Giả sử x, y là hai phần tử trong G thỏa mãn

Suy ra x n ∈ G Mặt khác, G là nhóm lũy linh địa phương nên nhóm con x n , y

là nhóm

lũy linh Vậy tồn tại số nguyên dương s sao cho x s = 1 Gọi P là trường nguyên tố của

D , theo Mệnh đề 2.1.4 tồn tại đa thức g ∈ P (b)[t] sao cho g(x) = 0 Nếu m ∈ Z thỏa mãn mx 6= 0 thì [mx, y] = b.

Do Nhận xét 2.1.3 nên mx cũng là nghiệm của phương trình g(t) = 0 Mặt khác,

g chỉ có hữu hạn nghiệm trên trường Z(D)(x) Suy ra đặc trưng của vành chia D là

nguyên tố Gọi

a1(b − 1) + + a r (b r − 1)x r−1 = 0.

Do f là đa thức tối tiểu của x và a r 6= 0 nên b r − 1 = 0 Suy ra trường P (b) là trường hữu hạn và x là phần tử đại số trên P (b) Do đó P (b)(x) là trường hữu hạn Đặt biệt x là phần tử xoắn Thay đổi vai trò của x và y trong lập luận trên ta nhận được y cũng là

phần tử xoắn Đặt

Định lý 2.2.3 Cho D là một vành chia và G là một nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Nếu

G lũy linh địa phương thì G nằm trong tâm của D.

Chứng minh Từ giả thiết G á chuẩn tắc trong D∗, tồn tại dãy nhóm con G0, G1, , G n

của D∗ sao cho

G = G n C G n−1 C C G0 = D∗Giả sử G không giao hoán Khi đó, chọn x, y là hai phần tử không giao hoán trong G.

Đặt

H = H = x, y

, H = [H , H] (i ≥ 0)

Do H là nhóm lũy linh nên tồn tại số nguyên s sao cho

H s+1 = 1, H s 6= 1

Từ H không giao hoán, ta có s ≥ 1 Suy ra H s−1 xác định Mặt khác

H s = {[a, b] : a ∈ H s−1 , b ∈ H}

6= 1.

Vậy tồn tại a0 ∈ H s−1 , b0 ∈ H sao cho c = [a0, b0] 6= 1, c giao hoán với x và y Đặt

D1 = C D (c), khi đó x và y nằm trong D1 Suy ra H ⊆ D1 Gọi N i = G i ∩D1, i = 0, , n,

điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.2 Suy ra G là nhóm giao hoán, theo Hệ quả 2.1.10 ta

có điều cần chứng minh

Hệ quả 2.2.4 Cho D là một vành chia Nếu D∗ là lũy linh địa phương thì D giao hoán.

Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.3 với G là D∗

Nếu thay tính giải được bằng tính giải được địa phương của nhóm con á chuẩn tắcthì kết quả vẫn còn đúng, nhưng trong trường hợp này lớp vành chia của chúng ta bịhạn chế xuống là lớp vành chia đại số trên tâm

Để đi tới kết quả này, trước tiên ta xét bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.5 Cho D là vành chia không giao hoán đại số trên tâm F và G là một nhóm

con của D∗ Nếu G bất khả quy thì G bất khả quy tuyệt đối.

Chứng minh Gọi F [G] là vành con của D sinh ra bởi G trên F Khi đó

Vậy d khả nghịch với

Suy ra F [G] là vành chia và vì vậy nếu G bất khả quy thì G là bất khả quy tuyệt đối.

Định lý 2.2.6 Cho D là một vành chia đại số trên tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc

của D∗ Nếu G giải được địa phương thì G nằm trong F.

Chứng minh Giả sử G không giao hoán Xét vành chia con F (G) sinh bởi F và G Dễ

thấy G chuẩn hóa F (G) Theo Định lý 2.1.6, ta có

F (G) ⊆ F hoặc F (G) = D.

Trường hợp đầu không xảy ra bởi G không nằm trong F Do đó F (G) = D nghĩa là G bất khả quy Suy ra, G là bất khả quy tuyệt đối bởi Bổ đề 2.2.5 Theo Định lý 1.3.19, tồn tại nhóm con giao hoán chuẩn tắc của G sao cho G/H là hữu hạn địa phương Hơn nữa, H còn là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ bởi G là á chuẩn tắc trong D∗ Áp dụng

Hệ quả 2.1.10, ta có H nằm trong F Suy ra

H = H ∩ F∗ ≤ G ∩ F∗ = Z(G).

Do G/H hữu hạn địa phương nên G/Z(G) cũng hữu hạn địa phương Giả sử {g1, g2, , g n }

là một tập con hữu hạn của G0

= [G, G] Khi đó với mỗi j = 1, , n, g j có biểu diễn

g j = [a1j, b1j][a2j, b2j] [a mj, b mj] (∗) Gọi N là nhóm con sinh bởi tất cả các a rk, b rk trong sự biểu diễn của tất cả các g j

ở dạng (∗) Khi đó (NZ(G))/Z(G) là nhóm con hữu hạn sinh của G/Z(G) Do đó (N Z(G))/Z(G) là nhóm hữu hạn Mặt khác

N Z(G)/Z(G) ∼ = N/N ∩ Z(G) và N ∩ Z(G) ⊆ Z(N) nên N/Z(N) là nhóm hữu hạn Suy ra N0= [N, N ] là nhóm hữu hạn bởi Định lý 1.1.6

Hơn nữa, từ định nghĩa của N, ta có

(1) CharD = p > 0 Lấy a, b ∈ G0, khi đó a, b

là nhóm hữu hạn Hơn nữa, a, b

còn

là nhóm cyclic bởi CharD = p > 0 và Mệnh đề 1.3.12 Đặc biệt a và b giao hoán với

nhau Suy ra, G0 là nhóm giao hoán và vì vậy G là nhóm giải được.

Áp dụng Định lý 2.2.1 thì G nằm trong F Điều này mâu thuẫn với giả thiết G không

giao hoán

(2) Char D = 0 Ta có G0 là giải đươc địa phương và hữu hạn địa phương Theo Định

lý 1.3.20, G0

là giải được tức là G giải được Suy ra G giao hoán bởi Định lý 2.2.1 Điều

này là vô lý với giả thiết ban đầu của chúng ta

Suy ra G phải giao hoán Theo Hệ quả 2.1.10, ta có điều cần chứng minh.

Hệ quả 2.2.7 Cho D là vành chia đại số trên tâm của nó Nếu D giải được địa phương

thì D giao hoán.

Hệ quả 2.2.8 Cho D là vành chia và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Nếu G thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa thì G nằm trong tâm của D.

Chứng minh Theo Định lý 1.1.5, G là lũy linh địa phương Áp dụng Định lý 2.2.3 ta có

điều cần chứng minh

2.3 Về giả thuyết của Herstein

Năm 1978, Herstein [16] đưa ra giả thuyết: "Giả sử G là nhóm con á chuẩn tắc của

vành chia D Nếu G căn trên tâm F của D thì G nằm trong F '' Cũng trong [16]

Herstein đã chứng minh được rằng, nếu G là nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn của D thì

G nằm trong F Từ đó tới nay đã có một số kết quả ra đời xung quanh giả thuyết này,

nhưng cho tới nay vẫn còn chưa có được câu trả lời cho trường hợp tổng quát Tiết nàytrình bày một số kết quả của chúng tôi liên quan tới giả thuyết Herstein

Để đi vào các kết quả chính của mục này, trước hết xin nhắc lại kết quả dưới đây của

B X Hải và L K Huỳnh

Định lý 2.3.1 [7] Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F và S là nhóm con á

chuẩn tắc của D∗ Nếu S căn trên F thì S nằm trong F.

Định lý nói trên chứng tỏ Giả thuyết Herstein là đúng cho lớp vành chia hữu hạnchiều trên tâm Trong định lý dưới đây chúng tôi chỉ ra rằng giả thuyết này vẫn cònđúng cho lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm

Định lý 2.3.2 Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm F và G là nhóm

con á chuẩn tắc của D∗ Nếu G căn trên F thì G nằm trong F

Chứng minh Lấy a, b là hai phần tử bất kỳ của G Từ giả thiết, ta có

[F (a, b) : F ] = n < ∞.

Do G á chuẩn tắc trong D∗ nên N = G ∩ F (a, b) là á chuẩn tắc trong F (a, b) Hơn nữa

N căn trên tâm của F (a, b) bởi F ⊆ Z(F (a, b)) Theo Định lý 2.3.1, ta có

N ⊆ Z(F (a, b)).

Đặc biệt a và b giao hoán với nhau Vậy G là nhóm giao hoán Theo Hệ quả 2.1.10 thì

G ⊆ F.

Hệ quả 2.3.3 Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm F và G là nhóm

con á chuẩn tắc của D∗ Nếu SF∗/F∗ hữu hạn địa phương thì S nằm trong tâm.

Chứng minh Lấy x ∈ SF∗ Khi đó nhóm con x.F∗

của SF∗/F∗ là nhóm hữu hạn

Suy ra tồn tại số nguyên dương k sao cho

x k F∗ = 1.F∗.

Vậy x căn trên F dẫn tới SF∗ căn trên F Hơn nữa, SF∗ còn là nhóm con á chuẩn tắc

của D∗ bởi giả thiết S là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Theo Định lý 2.3.2 thì SF∗ nằm

trong F∗ Suy ra S nằm trong F

Phần tiếp theo trong tiết này là những kết quả nghiên cứu của chúng tôi xoay quanhgiả thuyết của Herstein Những kết quả này nhằm cung cấp một số thông tin cần thiếtmà chúng tôi hy vọng có thể giúp ích trong việc tìm câu trả lới dứt khoát cho một giảthuyết đã tồn tại lâu như vậy Trước tiên ta chứng minh định lý sau:

Định lý 2.3.4 Cho D là vành chia tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên

F Khi đó với mọi phần tử a ∈ N, nhóm Galois của mở rộng F (a)/F là tầm thường.

Chứng minh Giả sử tồn tại a ∈ N sao cho Gal F (a)/F

6= 1 Do giả thiết a căn trên

F nên [F (a) : F ] < ∞ Suy ra, nhóm Gal F (a)/F

là hữu hạn Lấy

Ta có a và x đều nằm trong D1 Hơn nữa, F (x t

) nằm trong Z1 nên a và x đều căn trên

Z1 Do σ(a) là phần tử trong F (a) nên