Hình học của nhóm các phép dời trong mặt phẳng, trong không gian và ứng dụng của nó vào giảng dạy toán phổ thông

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong Khoa Toán nói chung và các thầy, cô trong tổ Bộ môn Hình Học nói riêng của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tấ

GIẢNG DẠY TOÁN Ở PHỔ THÔNG

VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢNG DẠY

TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2016

VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢNG DẠY

TOÁN PHỔ THÔNG

CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC TÔPÔ

MÃ SỐ : 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN HUỲNH PHÁN

NGHỆ AN- 2016

3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thầy là người đã đặt bài toán, chỉ rõ đề cương nghiên cứu cho tôi, thầy đã tận tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện nghiên cứu đề tài, từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện, truyền đạt và góp ý nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình hoàn chỉnh nội dung của luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo trong Khoa Sau Đại học, đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong Khoa Toán nói chung và các thầy, cô trong tổ Bộ môn Hình Học nói riêng của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức, chuyên môn, và có phương pháp học tập hữu ích Giúp tôi hoàn thành các học phần, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh, Ban Giám hiệu trường THPT Hà Huy Tập, tập thể tổ Toán trường THPT Hà Huy Tập, Huyện Cẩm Xuyên, tỉnh Hà Tĩnh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Một lần nữa tôi chân thành cảm ơn!

Nghệ An, ngày tháng năm 2016

Tác giả Nguyễn Vũ Thành

Chương II Nhóm các phép dời trong mặt phẳng, trong không

gian và ứng dụng của nó trong giảng dạy toán phổ thông

5

MỞ ĐẦU

Một trong những định luật cơ bản của toán học đã được nhà nữ toán học Pháp, Sophie Germain (1776-1831) phát biểu là: “Hình học chẳng qua là đại

số được vẽ ra, đại số chẳng qua là hình học được viết ra”

Nói cách khác, hình học và đại số chẳng qua là cùng một thứ, nhưng được mô tả bằng các cách khác nhau

Qua học tập và nghiên cứu chuyên ngành hình học và tôpô, chúng tôi hiểu sâu hơn rằng hình học nói chung là nghiên cứu tính chất bất biến trong một không gian nào đó

Hình học đại số là bộ môn nghiên cứu các hình là tập nghiệm của các đa thức và các hình có xuất xứ từ đây Mỗi tập nghiệm như vậy gọi là một tập đại số Hình học đại số có vai trò hết sức quan trọng trong toán học hiện đại

và nó kết nối nhiều ngành toán học như Giải tích, Đại số, Hình học, tôpô, … lại với nhau Chẳng hạn, có thể thấy hầu hết các hình hình học trong hình học phổ thông, Hình học afin, Hình học xạ ảnh và nhiều hình thường được xét trong các ngành toán học khác, đều là các tập đại số

Qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy hình học Ơclit chiếm phần lớn nội dung chương trình hình học phổ thông Nó gần gũi với thực tiễn và góp phần quan trọng hình thành tri thức toán phổ thông cho người học Bộ môn hình học này chủ yếu nghiên cứu tính chất bất biến qua nhóm các phép dời Do vậy, để hiểu sâu sắc hơn về toán phổ thông nói chung,

hình học phổ thông nói riêng, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “HÌNH HỌC

CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢNG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG”

6

NỘI DUNG CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 ĐA TẠP KHẢ VI

Trong mục này,chúng tôi trình bày những kiến thức chuẩn bị cho luận văn; Bao gồm 03 mục Mục 1 nêu các khái niệm liên quan tới Đa tạp khả vi; Mục 2 trình bày Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp; Mục 3 nhắc lại các kiến thức về nhóm Lie Các kết quả ở đây được lấy trong những tài liệu tham khảo [2], [3], [4], [6], [7] và [8]

- Với ( ) ( ) Khi đó ( ) được gọi

là tọa độ địa phương của đối với ( ) (( ) được gọi là hệ tọa

độ địa phương của )

- Một điểm có thể thuộc nhiều bản đồ của , do đó có nhiều bộ tọa

độ địa phương khác nhau

- Vì là phép chiếu lên trục hoành nên liên tục

- Mặt khác

( √ )

- Ta có: ( )

Với ( ) và ( ) √ , ( )

Từ liên tục, ta suy ra liên tục

Như vậy, ( ) là một bản đồ của

8

Chú ý

- Ta thấy ( ) , ký hiệu ( ) ( ) Khi đó

( ) và ( ) phù hợp nếu ánh xạ là vi

phôi, ( ) và được gọi là công thức

đổi tọa độ từ ( ) sang ( ) đối với các điểm

- Quy ước là nếu ( ) thì ( ) và ( ) là phù hợp

Trở lại ví dụ 1.2 ở trên và xét thêm bản đồ ( )với

,

*( ) | + ( )

( )

Ta kiểm tra tính phù hợp của ( ) và ( )

Ta xét: ,

*( ) | + ( ) ( )

i Giả sử là không gian

*( ) là họ các bản đồ trên + nếu thỏa mãn:

Thì ta nói là một atlat của

ii Hai atlat *( ) +, 2( ) 3 được gọi là phù hợp

- Trong quá trình khảo sát tính khả vi của đa tạp, ta chỉ cần chỉ ra một

atlat thích hợp với số bản đồ ít nhất có thể để tính toán các phép khả



và hai bản đồ bất kỳ là phù hợp Do đó

*( )+ là một alat của

Vậy là một đa tạp khả vi 1-chiều

Nhận xét: Cho là đa tạp -chiều Ta thấy ; Nếu là tập mở trong

Khi đó { } là một atlat của tập Đềcác

Vậy là một đa tạp khả vi ( )-chiều

là nhóm tất cả các song ánh (còn gọi là phép thế) trên tập số (có song ánh như vậy), là dấu của phép thế

Cho nên khi đó:

Ta có ( ) là đa tạp 1-chiều với cấu trúc khả vi (( ) ) và

là đa tạp 3-chiều với cấu trúc khả vi ( )

12

Dễ thấy liên tục, vì các hàm tọa độ liên tục

Đặt: ( )

Ta có: ( ) ⋂ ( ) ( )

( )( ) ( )

( ( ))

do đó ( ) ( ) hay

Mặt khác khả vi (theo nghĩa giải tích) Vậy là ánh xạ khả vi Kết quả sau có trong hầu hết sách về Giải tích cổ điển, nên chúng tôi không nhắc lại phép chứng minh 1.1.2.2 Mệnh đề Cho là tập con và thường được giả thiết là tập mở và ánh xạ ( ) ( )

Thế thì ta có: { ( )

( )

( )

à Hàm liên tục (khả vi) khi và chỉ khi hàm số liên tục (khả vi) Mỗi hàm số biến gọi là hàm tọa độ

ì vậy người ta thường nói tính liên tục (khả vi) của f là liên tục (khả vi) theo tọa độ

Ví dụ

13

( )

√ √ √ / là ánh xạ khả vi vì ba hàm tọa độ ( )

có khả vi Do đó với mọi bản đồ ( ) của và ( ) của sao cho ⋂ ( ) thì có

( ) ( ) khả vi theo nghĩa giải tích vì tích của hai ánh xạ khả vi là khả vi Vậy khả vi nên khả vi

Vậy ta có điều phải chứng minh

i) Vì là một nhóm Lie nên ánh xạ là một song ánh

liên tục, thật vậy: cho bất kì lân cận của xạ, từ tính liên tục của phép toán trong , tồn tại lân cận của và lân cận của để , Nhưng ( ) Cho nên ( ) , do đó liên tục

( ) liên tục, thật vậy: ( ) và ( ) Nếu ta kí hiệu thì ( ) , suy ra: ( ) Vì

liên tục nên liên tục

Vậy: là phép đồng phôi Chứng minh tương tự ta cũng có và

Giả sử là nhóm Lie, là tập mở trong và là tập bất kì trong

Khi đó , đều là các tập mở trong

Tương tự, ta thấy là tập mở trong

Cuối cùng, mở trong vì phép lấy nghịch đảo là phép đồng phôi trên

Do đó, ( ) ( )

Chú ý:

Phần tử xác định như trên là duy nhất, thật vậy: Giả sử tồn tại một phần

tử sao cho ( ) (mâu thuẫn)

1.1.3.7 Mệnh đề

Nếu là nhóm con (về phương diện đại số) của nhóm Lie và là

tập mở trong không gian tôpô , thì cũng là tập đóng trong không

gian tôpô

Chứng minh

Ta xét một quan hệ xác định trên như sau:

Do là một nhóm con (theo nghĩa đại số của ) nên là một quan hệ tương đương vì nó thỏa mãn 3 tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu:

Ta có vì ;

Nếu thì vì nếu thì ( ) ; Nếu và thì vì nếu

18

thì ( )( )

Như vậy, được phân hoạch thành các lớp tương đương, thường được gọi là các lớp ghép bên trái của G theo nhóm con H Mỗi lớp ghép ấy đều có dạng (với là phần tử tùy ý của lớp ghép này), ( là phần tử đơn vị của ) cũng là một lớp ghép Các lớp ghép khác nhau là hoàn toàn rời nhau:

⋃ ⋃(⋃ )

Tập mở trong nên mở trong (vì phép chuyển dịch trái

là vi phôi) Cho nên tập

19

(( ) ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ( ))

( ) ( ( ) ( ))

 Phần tử không: 0(0,0, ,0)

 Phần tử đối của: ( ) là: ( )

2 là đa tạp với cấu trúc khả vi:( )

 Các phép toán: →

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )( )

Và: →

( ) ( ( )) ( )

Các ánh xạ khả vi theo từng tọa độ Vậy không gian véctơ với cấu trúc khả vi tự nhiên và với phép

cộng véctơ thông thường là một nhóm Lie Ví dụ 2 Tập ( ) là tập các ma trận vuông thực cấp , không suy biến là một nhóm đối với phép nhân ma trận và là một đa tạp con mở trong đa tạp cũng là một nhóm Lie Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết là của chúng tôi) Ta có: ( ) 2 ( ) || | 3

1 là một nhóm đối với phép nhân:

Thật vậy, đồng nhất một ma trận vuông với một bộ số, ta coi

( ) là tập con của Trên , xét hàm số định thức:

là hàm khả vi, vì ) là đa thức thuần nhất biến Ngoài ra ( ) ( ) nên ( ) là tập mở trong M(n, K) (tập tất cả các ma trận vuông cấp n)

và không giao hoán nếu )

Tương tự ta cũng chứng minh được:

a) Nhóm trực giao ( ) là nhóm Lie được biễu diễn bằng các

d) Đối với bất kỳ hai phần tử thuộc nhóm Lie , đều tồn tại phần

tử sao cho qua phép tịnh tiến phải , thì biến thành Thật vậy:

Ta chọn

thì khi đó →

→ ( ) ( ) Chọn thì: ( ) ( ) ( )

Nhận xét này ta thấy rằng nhóm Lie là một không gian thống nhất

1.2 TẬP ĐẠI SỐ ZARISKI VÀ TÔ PÔ ZARISKI:

Trong mục này trình bày về định nghĩa tập đại số Zariski, tôpô Zariski

và một số ví dụ của nó

1.2.1 Vành đa thức

1.2.1.1 Định nghĩa

Cho là vành giao hoán có đơn vị Vành đa thức n biến

trên là tập , -: = , - Mỗi phần tử của , - gọi là

đa thức, nó có dạng:

∑

23

với là một số tự nhiên nào đó và gọi là các hệ tử

Khi là trường ta gọi chúng là các hệ số

Các biểu thức với hệ tử tương ứng khác không gọi là các

đơn thức Bậc của đơn thức là tổng các số mũ

Bậc của  là bậc lớn nhất của các đơn thức trong và ký hiệu là Nếu ta quy định Nếu , ta nói Khi , ta nói là đa thức bậc nhất, nó luôn

có dạng:

trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi

24

1.2.1.2 Mệnh đề

Nếu A là miền nguyên (nghĩa là với mọi mà thì

hoặc hoặc , khi này ta còn nói không có ước của

không) thì với mọi đa thức , -

Chứng minh

Mọi đơn thức của là tích của đơn thức của và đơn thức của Nếu , là đơn thức có bậc lớn nhất của và tương ứng với hệ tử khác không là khi đó đơn thức có bậc lớn nhất của là tích với hệ tử là Do là miền nguyên nên  Do

đó ( ) =

Nếu là đa thức khác trong , - thì , nên

và do đó Vậy , - là miền nguyên

Tiếp theo, nếu thì , do đó và

là những phần tử khác của vậy và là những phần tử khả nghịch của

1.2.1.4 Nhận xét:

Nếu là một trường thì:

1 Với mọi , - ta luôn có

25

2 , - là miền nguyên vì nếu

3 là tập các phần tử khả nghịch của , - vì nếu nếu hoặc

1.2.1.5 Nghiệm của một đa thức

Cho là đa thức hệ số trên trường Coi là không gian afin n- chiều Điểm ( ) gọi là nghiệm của nếu

( ) ∑

Chú ý rằng, mỗi đa thức xác định một ánh xạ  ( ), gọi là ánh xạ đa thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

26

Đây là một đa thức khác không bậc của một biến , nên nó chỉ

có hữu hạn nghiệm Điều này mâu thuẩn với giả thiết ( ) với mọi

Nhận xét:

1 Bổ đề không còn đúng nếu là một trường hữu hạn Ví dụ

* + thì đa thức ( )( ) ( )

là một đa thức khác nhưng triệt tiêu trên toàn bộ

2 Nếu trường là một trường có vô hạn các phần tử Cho và là hai đa thức trong , - Nếu ( ) ( ) với thì (Đặt , áp dụng bổ đề ta nhận được kết quả)

Trong luận văn này, từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

1.2.2 Tập đại số

1.2.2.1 Định nghĩa

Cho K là trường, tập con gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm

của một họ các đa thức biến trong , -

1.2.2.2 Ví dụ

1 Tập rỗng là tập đại số vì phương trình 1= 0 vô nghiệm

2 Tập 1 điểm ( ) là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ phương trình:

{

3 Các – phẳng trong không gian afin Kn

là các tập đại số vì đó là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính có dạng:

và

4 là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình

Chú ý: Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc và việc chọn tọa

độ, nghĩa là nếu là nghiệm của một hệ các đa thức ( ) , thì với tọa độ mới ( )

ta có:

{

thì các điểm trong với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình (

3 Nếu là tập các phương trình bậc nhất không thuần nhất

{

thì ( ) là tập rỗng hoặc là một cái phẳng trong

Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất ( ẩn) được gọi đa tạp tuyến tính

30

Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý ( ) ⋃ ( ) thì ( ) hoặc ( ) Không mất tính tổng quát giả sử ( )

Khi đó ( ) , suy ra ( )( ) ( ) ( ) , do đó ( )

3 Hợp của hai tập đại số là tập đại số

4 Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số

5 Tích của hai tập đại số là một tập đại số

6 Tương ứng ( , -) ( ), cho bởi ( ) là một ánh

xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức , - đến họ tất cả các tập con của không gian afin

Chứng minh