Rèn luyện kĩ năng giải toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông

“Quan hệ song song trong không gian” là một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán học phổ thông, đây cũng là nội dung tương đối khó với học sinh bởi các em mới bước đầu đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

================

NGUYỄN THỊ ĐỊNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ “ĐƯỜNG THẲNG

VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 3

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu 4

5 Mẫu khảo sát 4

6 Vấn đề nghiên cứu 4

7 Giả thuyết khoa học 4

8 Phương pháp nghiên cứu 4

9 Cấu trúc luận văn 5

Chương 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp dạy học tích cực 6

1.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông 6

1.1.2 Một số phương pháp dạy học tích cực 6

1.2 Kĩ năng 8

1.2.1 Khái niệm kĩ năng 8

1.2.2 Kĩ năng giải toán 14

1.3 Thực tiễn dạy học “đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song” trong chương trình hình học 11 nâng cao THPT 18

1.3.1 Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song 18

1.3.2 Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian , quan hệ song song 20

phẳng trong không gian, quan hệ song song 24

Tiểu kết chương 1 26

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG SONG 28

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng tìm tòi lời giải theo 4 bước giải toán của Pôlya 28

2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ năng xác định hình 34

Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 35

Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 42

Dạng 3: Xác định thiết diện 46

2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng chứng minh 60

Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng 61

Dạng 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 67

Dạng 3: Chứng minh các quan hệ song song trong không gian 75

2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng tính toán 90

2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kĩ năng tìm tập h ợp điểm 106

Tiểu kết chương 2 114

Chương 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 115

3.1 Mục đích thử nghiệm 115

3.1.1 Mục đích 115

3.1.2 Nhiệm vụ 115

3.2 Tiến trình thử nghiệm 115

3.3 Nội dung thử nghiệm 116

3.4 Kết quả thực nghiệm và những kết luận rút ra từ thực nghiệm 121

3.4.1 Về khả năng lĩnh hội kiến thức của HS 121

3.4.2 Về kết quả kiểm tra 122

KẾT LUẬN 125

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Luật giáo dục mới nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt nam, năm

2005, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (chương I, điều 4); “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (chương I, điều 24) Những yêu cầu trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục,

để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng còn chậm đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện

về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc ”

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó góp phần to lớn vào việc đào tạo những con người lao động mới thông minh sáng tạo

Trong các phân môn của Toán học thì Hình học không gian là một phần khá quan trọng và thiết thực, bởi thông qua việc dạy và học hình không gian, phát triển ở người học trí tưởng tượng cao, khả năng phân tích quan sát tốt, từ đó giáo dục cho học sinh những phẩm chất cần thiết cho con người lao động xã hội chủ nghĩa Tuy nhiên trên thực tế hình học không gian được xem

là một chủ đề hay nhưng khó dạy, khó học Học sinh thường lúng túng khi

giải bài tập về hình học không gian, có tư tưởng ngại và sợ làm bài tập hình không gian, khả năng tưởng tượng không gian kém, chưa biết vận dụng lí thuyết vào giải bài tập

Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn: dạy Toán là dạy kiến thức, kĩ năng, tư duy và tính cách, trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì không có kĩ năng thì không thể phát triển được tư duy và không tìm được lối thoát cho việc giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học, người thầy không chỉ cung cấp kiến thức mà còn dạy cách học, phát huy khả năng tư duy, phân tích, tổng hợp, nhận xét, đánh giá, phát hiện vấn đề làm cho học sinh chủ động trong học tập, say mê nghiên cứu, gạt bỏ tư tưởng ngại và sợ hình học không gian, làm cho hình học không gian trở thành một môn học gần gũi và thiết thực đối với học sinh Khi nói tới phương pháp giải bài tập tức là nói tới phương tiện, cách thức, con đường để đạt tới một mục đích nhất định trong nhận thức và cả thực tiễn Đứng trước một bài toán, điều quan trọng nhất là xác định được phương pháp giải Thiếu những phương pháp giải tương ứng cho một dạng bài tập cụ thể nào

đó thì không thể có định hướng đúng đắn để nắm bắt được nội dung bài học Một trong những khó khăn của người học toán là đứng trước một bài toán không biết bắt đầu từ đâu, tìm đường lối giải như thế nào “Quan hệ song song trong không gian” là một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán học phổ thông, đây cũng là nội dung tương đối khó với học sinh bởi các em mới bước đầu được làm quen với hình học không gian, đòi hỏi người giáo viên phải lựa chọn những phương pháp dạy học tích cực để tạo được niềm vui, hứng thú cho học sinh

Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng giải toán

về “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông”

2 Lịch sử nghiên cứu

Đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này, nghiên cứu

về việc xây dựng, vận dụng qui trình giải bài toán của G.Pôlya, những qui trình xác định hình trong dạy bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, quan hệ song song trong không gian Chẳng hạn như: “Rèn luyện kĩ năng xác định hình trong hình học không gian” - bài báo của Bùi Văn Nghị (Tạp chí Thông tin KHGD,

số 60, tháng 3/1997); "Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ của Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán thiết diện của các hình không gian trong chương trình Hình học 11 THPT" - luận văn thạc sĩ của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006 v.v

Đề tài này khác những đề tài nói trên là: tập trung nghiên cứu những kĩ năng cơ bản nhất về giải toán hình học không gian chỉ giới hạn trong chương thứ nhất

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm đề xuất được một số biện pháp khả thi và hiệu quả trong rèn luyện các kĩ năng giải bài tập về “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song”

Từ đó, đề tài có các nhiệm vụ nghiên cứu là:

- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu kĩ năng giải bài tập về hình học trong không gian

- Nghiên cứu nội dung, mục tiêu dạy học “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song”

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về “ Đường thẳng và

mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông”

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học các nội dung của hình học không gian

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu quan hệ song song trong không gian Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học ở trường THPT Văn giang - Hưng yên

7 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng những biện pháp đã đề xuất trong luận văn thì sẽ rèn luyện cho học sinh THPT kĩ năng giải quyết vấn đề liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, góp phần nâng cao hiệu quả dạy hình học không gian ở trường phổ thông

8 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận:

Nghiên cứu lí luận về phương pháp dạy học Phân tích, tổng hợp, phân

loại, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan đến đề tài

+ Phương pháp điều tra quan sát:

Xây dựng và sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học

“đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song” (điều tra qua giáo viên và điều tra qua học sinh)

Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong trường và các đồng nghiệp ở trường khác

Điều tra thực trạng tiếp thu kiến thức về quan hệ song song trong không gian

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Triển khai dạy thực nghiệm một số giáo án (vận dụng một số biện pháp trong các biện pháp) để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài, kiểm định giả thuyết khoa học (để chứng tỏ giả thuyết đưa ra là đúng)

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Những biện pháp rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp dạy học tích cực

1.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông

Điều 28.2 - Luật giáo dục đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “giúp học sinh phát triển toàn diện

về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006 /QĐ- BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”

Đổi mới phương pháp dạy học cần khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Rất cần phát huy năng lực tự học, học suốt đời trong thời

hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động, đổi mới nội dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong dạy học với định hướng:

+ Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông

+ Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể

+ Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh

+ Phù hợp với cơ sở vật chất, các điều kiện dạy học của nhà trường

+ Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy - học

+ Kết hợp giữa việc tiếp thu có chọn lọc, có hiệu quả các PPDH tiên tiến, hiện đại với việc khai thác những yếu tố tích cực của PPDH truyền thống

+ Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học và đặc biệt chú ý đến ứng dụng của công nghệ thông tin

1.1.2 Một số phương pháp dạy học tích cực

Thực hiện dạy và học tích cực không có nghĩa là phủ nhận những phương pháp dạy học truyền thống mà cần kế thừa, phát triển những mặt tích cực của hệ thống những phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời vận dụng một số phương pháp mới phù hợp với hoàn cảnh, điều kiện dạy và học

ở nước ta Sau đây là một số phương pháp dạy học tích cực:

- Phương pháp đàm thoại phát hiện: Là phương pháp trong đó giáo viên đặt những câu hỏi để học sinh trả lời hoặc có thể tranh luận với nhau và với cả giáo viên, qua đó học sinh lĩnh hội được nội dung bài học

- Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề: Vấn đề cốt yếu của phương pháp này là thông qua quá trình gợi ý, dẫn dắt, nêu câu hỏi, giả định,

GV tạo điều kiện cho HS tranh luận, tìm tòi, phát hiện vấn đề thông qua các tình huống có vấn đề

- Phương pháp dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ: Bằng cách nói ra những điều đang nghĩ, mỗi người có thể nhận rõ trình độ hiểu biết của mình

về chủ đề nêu ra, thấy mình cần học hỏi thêm những gì Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không chỉ là sự tiếp thu thụ động từ GV

- Phương pháp dạy học khám phá: Là phương pháp dạy học trong đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, thông qua các hoạt động, học sinh khám phá ra tri thức

Theo [31], “kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”

Theo [25], “kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”

Theo [29], “kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc

có phương pháp”

Theo [28], “trong Toán học kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng

Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng, kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, ) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định Kĩ năng chính là kiến thức trong hành động

1.2.1.2 Đặc điểm của kĩ năng

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kĩ năng:

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

- Muốn có kĩ năng về hành động nào đó thì cần phải:

+ Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra

+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy

khối kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn

và không biến thành cơ sở của các kĩ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hành động

Ví dụ 1

Cho tứ diện ABCD, I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, ABC Xác định giao tuyến của (IJK) với các mặt phẳng (BCD), (CDA), (ABC)

Dễ thấy IJ // AB (IJK) đi qua IJ và có điểm chung K với (ABC) nên (IJK) cắt (ABC) theo giao tuyến PQ đi qua K, song song với AB, P  BC,

Q  AC (IJK) (CDA) = JQ, (IJK)  (BCD) = PI

Với bài toán này, cơ sở của kĩ năng là những kiến thức về tính chất

IJ // AB Cơ sở thứ hai của kĩ năng là định lí: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)” Không

có kiến thức này, HS không thể xác định được giao tuyến PQ, từ đó xác định các giao tuyến còn lại

Trong thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy có nhiều HS học thuộc lí thuyết nhưng không vận dụng được lí thuyết đó vào bài tập Nhiều HS thuộc hết các định lí về giao tuyến song song nhưng không biết lựa chọn định lí nào phù hợp với bài toán mà mình cần giải Nguyên nhân của hiện tượng đó là do

kĩ năng chưa được hình thành

1.2.1.3 Sự hình thành kĩ năng

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau:

Con đường thứ nhất là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó Từ

đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Người ta còn gọi con đường dạy

học này là dạy học nêu vấn đề Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác định

giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, có thể thông qua một hệ thống bài tập, trên cơ sở đó HS tự đúc rút được qui trình giải để vận dụng cho một lớp các bài tập cùng dạng

Con đường thứ hai là: Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà

từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán cụ thể Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, có thể xây dựng qui trình giải, sau đó cho HS áp dụng giải các ví dụ minh họa

Cuối cùng, con đường thứ ba là: Dạy cho học sinh chủ yếu là những hoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này, GV không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác, mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc cải biến, sử dụng thông tin thu được để giải các bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất) của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu về các đối tượng, còn các thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động đối tượng

Ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ

Như vậy, người giáo viên đã định hướng cho học sinh: để chứng minh bài toán, trước hết phải phân loại dạng bài tập và tìm nội dung đã được học

để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể Từ đó xây dựng được cho học sinh các phương pháp giải bài toán

Tuy nhiên để phát triển bài toán và để khắc sâu cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: tìm các cách giải khác, tổng quát hóa bài toán

Như vậy, học sinh được hình thành kĩ năng tư duy suy luận logic Người

động trí tuệ qua từng giai đoạn Chẳng hạn, ở ví dụ 1, giai đoạn đầu tiên là cho HS xác định giả thiết, kết luận, từ đó HS xác định được các yếu tố đã cho

và yếu tố cần tìm Khi đó GV cần định hướng: Muốn xác định giao tuyến của hai mặt phẳng có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó hoặc tìm một điểm chung và phương của giao tuyến Theo định hướng thứ nhất, HS sẽ gặp khó khăn khi xác định hai điểm chung phân biệt của (IJK) và (ABC) Khi đó, HS sẽ phải liên hệ với những kiến thức đã có để lựa chọn đường lối giải thích hợp Cụ thể: từ việc phát hiện IJ // AB, học sinh sẽ liên hệ với các định lí đã học để xác định được giao tuyến của (IJK) và (ABC) là đường thẳng PQ đi qua K, song song với AB

Trên thực tế, khi hình thành các tri thức mới (có nội dung chứ không

phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế, học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu logic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó

Thực chất của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Sự hoạt động để hình thành kĩ năng và kĩ xảo cũng bao gồm cả sự vận dụng bước đầu kiến thức vào thực tiễn và cả công việc luyện tập để hoàn

thiện hành động đó Sự hình thành kĩ năng sẽ diễn ra thông minh hơn, nếu ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn kèm theo cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa

1.2.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

- Nội dung của bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc hình thành kĩ năng

- Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp

1.2.2 Kĩ năng giải toán

1.2.2.1 Khái niệm

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do

đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện

có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học ”

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kĩ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động tư duy hàm,

v v Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ

1.2.2.2 Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của môn Toán Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp cho học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ Cụ thể là rèn luyện và phát triển:

+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian + Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái quát hóa,

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong các giờ học, nói chung là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắn bó với việc rèn luyện các kĩ năng thực hành (tính toán, đo đạc, vẽ hình )

- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ: tính kiên trì, cẩn thận, chính xác, thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh những sai lầm

có thể gặp

1.2.2.3 Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

Trong giải toán học sinh cần có nhóm kĩ năng sau:

 Nhóm kĩ năng chung

- Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán:

Phân tích bài toán, làm rõ các dữ kiện đặt ra Nếu bài toán có tính chất

là một vấn đề thì cần tìm khâu nào còn chưa biết, một qui tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán, xác định đó là trọng

tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải bài tập toán Cần làm rõ các thành phần mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc không có) trong bài toán

- Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán Vấn đề khó khăn nhất của HS khi đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán hình học là đường lối giải Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán bao gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán Hai quá trình này độc lập và hỗ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt Yêu cầu xác định hướng giải bài toán phải được quan tâm trong suốt quá trình giải toán, kết quả giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này Có nhiều cách để giúp HS thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp HS phân loại, phân dạng bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó Phương pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể

Ví dụ: Với bài toán xác định một điểm trong không gian, HS phải trả lời được câu hỏi: một điểm trong không gian hoàn toàn xác định khi nào, hai đường thẳng trong không gian chỉ cắt nhau khi nào để từ đó xây dựng qui trình giải Với bài toán tìm tập hợp điểm trong không gian, HS cần có định hướng: Một là đưa về các tập hợp điểm cơ bản của không gian, hai là đưa điểm cần tìm quĩ tích vào trong một mặt phẳng và sử dụng các tập hợp điểm

cơ bản của mặt phẳng

Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán bao gồm hai dạng Dạng 1 là những nội dung HS sản sinh ra một cách tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá

- Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể giải bài toán

- Kĩ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải toán và kết quả bài toán

- Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

Ngoài ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:

- Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc và vẽ đồ thị

- Kĩ năng ước lượng, đo đạc

- Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn

 Nhóm kĩ năng về tƣ duy

- Kĩ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:

+ Sắp xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải toán

+ Phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phương pháp giải

+ Tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ

+ Xác định rõ giả thiết, kết luận, phản ánh rõ các ký hiệu trong bài toán

- Kĩ năng tổng hợp: Liên kết các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt nội dung bài toán, kết cấu lại đề toán để định hướng giải

- Kĩ năng phân tích:

+ Nhận dạng chung, phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán

+ Nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm trong giải toán

+ Phân tích các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến lời giải

- Kĩ năng mô hình hóa: Chuyển bài toán thành mô hình và phân tích các quan hệ toán học cũng như các phương pháp toán học trên mô hình đó Đây là một kĩ năng cần thiết, đặc biệt là đối với các bài toán của hình học không gian

- Kĩ năng sử dụng thông tin: Nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin

từ nội dung bài toán

1.3 Thực tiễn dạy học “đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song” trong chương trình hình học 11 nâng cao THPT

1.3.1 Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

Việc dạy học hình học không gian ở trường THPT nhằm đạt các mục đích, yêu cầu sau đây:

+ Về kiến thức

Trang bị cho học sinh một số cơ sở khoa học để hiểu rõ từ các khái niệm ban đầu: điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ “thuộc”(đi qua), quan hệ vuông góc, quan hệ song song, với các tiên đề, định lí, khái niệm Giúp học sinh

- Nắm vững các điều kiện xác định mặt phẳng

- Nắm vững các vị trí tương đối giữa các đường thẳng, giữa các mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt là quan hệ song song giữa chúng

- Nắm được cách xác định thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt phẳng

- Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình

- Nắm vững định nghĩa và cách vẽ ba hình không gian: hình chóp, hình lăng trụ và hình chóp cụt

Để đạt được mục tiêu trên cần xây dựng một hệ thống bài tập phù hợp

để hình thành qui trình giải các dạng bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, hơn nữa rèn luyện kĩ năng vận dụng qui trình đó vào giải các bài toán

Với học sinh, nhu cầu củng cố, bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán là tất yếu Muốn thoả mãn được nhu cầu đó thì các em phải được vận dụng nhiều, phải tích cực tham gia các hoạt động luyện tập,đào sâu, hệ thống hoá và ôn tập Trên thực tế, đa số học sinh khá giỏi có khả năng tự đúc kết được tri thức và tri thức phương pháp thông qua con đường kinh nghiệm (thông qua giải một hệ thống bài toán) Khi xây dựng hệ thống bài tập nên phân bậc hoạt động, chia hệ thống bài tập thành hai nhóm:

- Nhóm 1: Những bài tập trung bình củng cố kiến thức cơ bản

- Nhóm 2: Những bài tập nâng cao nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán, cũng như phát triển năng lực tư duy thuật toán cho học sinh

Thực tế cho thấy rằng, nếu giáo viên chọn lựa được một hệ thống bài tập phù hợp, sẽ giúp học sinh có khả năng khắc sâu kiến thức cũ, củng cố kiến thức và kĩ năng cần thiết, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tiếp thu kiến thức một cách vững chắc

+ Về kĩ năng

Thông qua dạy hình học không gian 11 chú trọng rèn luyện cho học sinh các kĩ năng sau:

- Kĩ năng vẽ hình

- Các kĩ năng nhận dạng bài tập để lựa chọn đường lối giải

- Kĩ năng huy động các kiến thức lí thuyết đã được trang bị vào giải một bài toán cụ thể

- Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá, trình bày lời giải của bài toán

+ Về phương pháp

Trong thực tiễn dạy học từ rất xưa phương pháp dạy học tích cực đã được xuất hiện, đến nay chúng ta cũng đang cố gắng đổi mới phương pháp dạy học nhưng không có nghĩa là phủ định sạch trơn mà yếu tố ưu điểm còn được phát triển mạnh Chú trọng cho học sinh biết cách khai thác các phương pháp khác nhau, lựa chọn ưu điểm của các phương pháp dạy học tích cực như phương pháp dạy học thuyết trình minh họa, phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học khám phá, phương pháp dạy học tự học,…để giải các dạng toán hình học không gian bằng con đường tổng hợp Giáo viên cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh năng lực thiết lập mối liên hệ giữa các kiến thức Hình học không gian

+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh Việc dạy học hình học không gian nhằm đạt mục đích, yêu cầu rèn luyện kĩ năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ- rút ra các kết luận từ các tiên đề (tiên đề, định lí, các mệnh đề đã được chứng minh đúng đắn) Ngoài ra cần bồi dưỡng học sinh năng lực chứng minh, chú trọng phát triển cho học sinh các biểu tượng không gian, yêu cầu học sinh hình dung được các hình không gian, các quan hệ giữa các yếu tố của hình học không gian từ hình biểu diễn và ngược lại, ở mức độ cao đối với học sinh khá giỏi, biết hình dung các hình không gian qua các yếu tố đã cho trong bài toán Hơn nữa kích thích học sinh tự hình thành thuật toán của riêng mình, tìm thuật toán tối ưu

1.3.2 Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian , quan hệ song song

1.3.2.1 Nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian , quan hệ song song

Nội dung về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song được thực hiện trong 16 tiết của chương trình hình học lớp 11

§1.Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 4 tiết

Bài đọc thêm: Phương pháp tiên đề trong hình học

Theo [2], ở cấp Trung học cơ sở, HS đã được học hình học không gian thông qua một số hình như hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón, hình cầu, và mối qua hệ giữa các đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng nhưng chỉ ở mức độ làm quen với hình học không gian Chương này nghiên cứu một cách hệ thống hai khái niệm cơ bản của hình học không gian: đường thẳng, mặt phẳng và các mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là quan hệ song song, đồng thời bước đầu cho HS làm quen với phương pháp tiên đề

Học xong chương này, GV cần tổng kết các điều kiện xác định mặt phẳng cho HS Cụ thể là:

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết một trong các điều kiện sau:

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

b) Mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó

c) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau

d) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song

e) Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng chéo với đường thẳng ấy

g) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng không chứa điểm ấy

Học xong chương này, GV cần giúp đỡ HS tổng kết các kiến thức đã biết để trả lời được câu hỏi: Những dấu hiệu nào cho ta nhận biết hai đường thẳng song song, nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng

hoặc nhận biết hai đường thẳng song song với nhau? Sau đây là những dấu hiệu đó:

 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

a) Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung

b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

d) Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì mọi mặt phẳng đi qua đường thẳng mà cắt mặt phẳng đã cho thì cắt theo giao tuyến song song với đường thẳng đã cho

e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

g) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau

h) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với

l thì hai hình chiếu a’, b’ của a và b theo phương l trên mặt phẳng (P) song song hoặc trùng nhau

i) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a’ của a trên (P) song song với a

 Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau

b) Nếu một đường thẳng nằm ngoài mặt phẳng và song song với một đường của mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng

c) Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì một đường thẳng của mặt phẳng

d) Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó cùng song song với một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng nói trên)

e) Nếu a // b, a // (P), b  (P) thì b // (P)

g) a // (P), (P) // (Q), a  (Q) thì a // (Q)

 Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song

a) Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau

b) Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song

c) Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

Khi học chương này, GV cần cho HS thấy rằng: các bài toán xác định thiết diện của một hình, các bài toán tính toán đóng vai trò quan trọng trong việc giúp HS nhớ lại các khái niệm, các tính chất đã học và hình dung được hình dáng của các hình

Qua thống kê, phân loại các bài tập trong chương ta thấy có các dạng bài tập cơ bản sau đây: các bài toán xác định hình, các bài toán chứng minh quan hệ song song trong không gian, các bài toán tính toán và các bài toán tìm tập hợp điểm Để giúp HS có kĩ năng giải được hệ thống bài tập trong chương, GV cần hình thành những kĩ năng cơ bản tương ứng với từng dạng toán

1.3.2.2 Những kĩ năng cơ bản

Để giúp HS có kĩ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lí thuyết cơ bản và đầy đủ Trên cơ sở lí thuyết đã được trang bị, HS cần

học cách vận dụng lí thuyết đó vào giải các bài tập cụ thể GV cần phân loại bài tập một cách có hệ thống Từ việc phân dạng bài tập, xác định những kĩ năng cơ bản, GV sẽ xây dựng cho HS qui trình giải các dạng toán, từ đó giúp

HS tích lũy được những kinh nghiệm thông qua quá trình giải một dạng toán

cụ thể Vì vậy trong đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc xây dựng một hệ thống bài tập theo từng chủ đề, sắp xếp hệ thống bài tập đó từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Cụ thể là:

- Kĩ năng xác định hình:

+ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

+ Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

+ Xác định thiết diện của đa diện với một mặt phẳng

10 Trong khi đó ở cấp 2 hình học không gian mới chỉ được giới thiệu sơ lược, chủ yếu thông qua một số hình như hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón, hình cầu qua cách tính diện tích, thể tích của một số khối

đa diện thông dụng còn toàn bộ hình học không gian được đưa vào chương trình lớp 11

những khó khăn sau đây:

- Trong mặt phẳng ta chỉ xét các quan hệ giữa điểm và đường thẳng thì trong không gian còn có thêm các quan hệ giữa các đối tượng đó và mặt phẳng – một đối tượng mới Vì vậy các mối quan hệ trở nên phức tạp hơn nhiều

- Khó khăn trong việc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng

Trước đây, HS phần lớn chỉ biết các hình trong mặt phẳng, mỗi hình

đó đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng

và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy Mọi quan hệ giữa các yếu tố đều được biểu diễn một cách trực quan Nay, trong không gian cần phải mô tả các đối tượng hình học trừu tượng bằng hình biểu diễn trên mặt giấy Điều này ảnh hưởng đến khả năng quan sát và tưởng tượng không gian

Do vậy buộc học sinh phải có tư duy logic kết hợp với trí tưởng tượng không gian phát triển Đây là trở ngại lớn nhất đối với tất cả học sinh và giáo viên khi học và dạy học hình học không gian Chẳng hạn, với bài toán: Cho hình tứ diện ABCD, M là điểm bên trong tam giác ADC Khi ta chấm một điểm biểu diễn cho điểm M như ở hình đầu tiên, HS rất dễ lầm tưởng điểm M nằm trong (ABD) và do đó AM cắt được BD Nếu một HS có khả năng quan sát và có trí tưởng tượng không gian thì từ đường nối điểm A với điểm M là nét liền sẽ nhận ra được điểm M chỉ có thể nằm trên (ACD) mà không phải là (ABD)

M(ABD) M(ACD)

- Khó khăn bộc lộ trong định hướng giải, cách giải đối với các bài toán không gian Để tháo gỡ vấn đề này, giáo viên có thể tiến bằng cách xây dựng các qui trình và phương pháp thực hiện giải toán

- Trao đổi với giáo viên bộ môn về nội dung chương trình môn học chúng tôi được biết những bài tập dành cho học sinh có trong chương trình là những bài tập mang tính vừa sức, phù hợp với trình độ nhận thức của các em Nhưng trong quá trình giải bài tập, các em vẫn không gặp ít khó khăn, nhất là đối với môn hình học

Xuất phát từ những đặc điểm nội dung môn học này, chúng tôi nghiên cứu sâu về dạy học kĩ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, quan hệ song song

Tiểu kết chương 1

Môn Toán là một môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ

Trong chương trình Toán phổ thông, các bài toán về quan hệ song song trong không gian tương đối hay và tương đối khó Vì vậy, việc tìm ra các phương pháp dạy học tích cực sẽ giúp học sinh hứng thú học toán hơn, hiểu sâu, hiểu kĩ vấn đề hơn, và việc học hình sẽ bớt đi sự nhàm chán và sự nhọc nhằn

Quá trình giải bài tập toán nói chung, bài tập hình học nói riêng góp phần quan trọng vào việc rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạo cũng như nhiều phẩm chất tốt đẹp của người học: tính tích cực, sáng tạo, tinh thần kiên trì vượt khó

Tuy nhiên cũng từ những đặc điểm của môn học mà trên thực tế, HS

hành giải bài tập hình học, đặc biệt là hình học không gian, từ đó làm hạn chế kết quả dạy – học cũng như lòng say mê, ham thích bộ môn của HS Trên cơ

sở tìm hiểu khái niệm kĩ năng, đặc điểm của kĩ năng, các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng, kĩ năng giải toán cho thấy rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán là một trong những biện pháp tích cực góp phần khắc phục những khó khăn trong học tập của HS và nâng cao chất lượng dạy học Vậy rèn luyện kĩ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song như thế nào? Trong chương 2, chúng tôi sẽ giải đáp những câu hỏi đó

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẢNG TRONG KHÔNG GIAN,

QUAN HỆ SONG SONG

2.1 Biê ̣n pháp 1: Rèn luyện kĩ năng tìm tòi lời giải theo 4 bước giải toán của Pôlya

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV chỉ đơn thuần cung cấp cho HS lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để tìm ra được lời giải đó Để tạo được hứng thú học tập cho HS, để phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng giải toán, rèn luyện tính độc lập, sáng tạo cho

HS, GV phải hình thành cho các em qui trình chung để giải một bài toán cũng như các phương pháp tìm tòi lời giải Theo G.Polya nên rèn luyện kĩ năng này thông qua các bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Không nên hiểu: “Giúp HS hiểu đề toán” là gọi HS đọc đầu bài, cũng không nên hiểu: “Giúp HS hiểu đề toán” là giáo viên phân tích đầu bài để học sinh hiểu theo cách mà GV đã hiểu, trong trường hợp này, HS có thể hiểu được GV định nói gì và cách hiểu đó hoàn toàn thụ động, HS khó có thể làm lại ở lần sau với bài toán tương tự Do đó, để giúp HS hiểu bài toán, GV nên gợi ý, hướng dẫn cho HS:

- Phát biểu đề bài với những nội dung, dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc tìm hiểu đề bài

- Bài toán nói gì? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể phát biểu bài toán bằng cách khác được không?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

Tìm tòi, phát hiện cách giải và những suy nghĩ có tính chất liên hệ, dự đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hay một bài toán liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như phương pháp phản chứng, qui nạp, toán dựng hình, toán quỹ tích …

- Có bài toán nào tương tự như vậy chưa?

- Định lí nào có thể sử dụng được cho bài toán?

- Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác được không?

- Hãy thử giải một bài toán có liên quan?

- Đã sử dụng mọi dữ kiện chưa?Đã sử dụng mọi điều kiện chưa? Đã chú ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài chưa?

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chứng để lựa chọn cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, trình bày lại nội dung bài giải theo một trình tự thích hợp Việc thực hiện chương trình giải nên để HS được chủ động trình bày theo ý hiểu của mình Thông qua trình bày, HS biết cách sắp xếp những kiến thức đã tìm tòi được theo một trình tự lôgic Cũng thông qua trình bày của HS, GV sẽ biết được HS có hiểu bản chất của bài toán hay không Bước 4: Nghiên cứu kết quả bài toán

Nghiên cứu kết quả bài toán là giúp HS hiểu lại một lần nữa những yêu cầu của bài toán, đã vượt qua yêu cầu đó bằng kiến thức, kĩ năng, cách nghĩ như thế nào Qua đó GV giúp HS hình dung lại cách suy nghĩ khi đứng trước

một bài toán, giúp HS cách làm bài toán trong trường hợp tương tự, từ đó có thể mở rộng, khai thác bài toán

Thực tế là nhiều HS bỏ qua bước nghiên cứu kết quả bài toán, các em coi việc trình bày xong lời giải là hoàn thành nhiệm vụ giải bài toán GV cần cho HS thấy lợi ích của việc nghiên cứu kết quả bài toán và tạo cho các em thói quen thực hiện công việc này

Để rèn kĩ năng tìm tòi lời giải bài toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, GV cần xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt giúp HS lựa chọn những kiến thức phù hợp với bài toán trong hệ thống các kiến thức đã được trang bị Sau đây là một số ví dụ

Ví dụ 2

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi I là trung điểm của AD, J

là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B

a) Xác định thiết diện của tứ diện với (IJK)

b) Tính diện tích thiết diện xác định được ở câu a

Câu a)

Có thể hướng dẫn HS như sau

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

GV: Vẽ hình, yêu cầu HS xác định giả thiết, kết luận của bài toán

GV: Tứ diện đều là tứ diện như thế nào?

HS: Có các mặt là các tam giác đều bằng nhau

GV: Giả thiết cho J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B nghĩa là ta có điều gì?

HS: C là trung điểm của JD, B là trung điểm của KD

Bước 2 Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Để xác định thiết diện của hình tứ diện với (IJK) ta cần phải làm công việc gì ?

HS: Xác định các giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện

GV: Muốn xác định các giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện ta dựa vào giả thiết nào ?

HS: I và J thuộc (ACD), I và K thuộc (ABD)

Từ những phát hiện trên sẽ xác định được thiết diện

Bước 3: Trình bày lời giải

GV: Chúng ta đã sử dụng phép phân tích để xác định giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD Yêu cầu cả lớp trình bày lời giải

Trong (ACD), nối IJ cắt AC tại N, trong (ABD), nối IK cắt AB tại M Thiết diện cần tìm là tam giác IMN

Bước 4: Nghiên cứu kết quả bài toán

GV: Qua bài tập trên ta thấy: để xác định thiết diện của tứ diện với một mặt phẳng, ta phải tìm được các đoạn giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của tứ diện Các đoạn giao tuyến phải tạo ra một đa giác phẳng thì đa giác đó

là thiết diện cần tìm

GV: Trong bài tập này, giao tuyến của (IJK) với (BCD) là đường nào? Vẫn xác định được 4 giao tuyến với 4 mặt, tại sao thiết diện không là tứ giác? GV: Có còn cách nào để xác định giao tuyến nữa không?

Cách 2: Nối IJ cắt AC tại N, từ N kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB

tại M Thiết diện cần tìm là tam giác IMN

Câu b)

Có thể hướng dẫn HS như sau

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

GV: Bài toán cho những yếu tố về độ dài nào?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Muốn tính diện tích thiết diện ta phải làm như thế nào?

HS: Tính diện tích tam giác IMN

GV: Muốn tính diện tích tam giác IMN ta phải xác định được những yếu tố nào? Đã biết được yếu tố nào? Cần phải tìm những yếu tố nào?

HS: Tìm độ dài ba cạnh tam giác hoặc một cạnh và đường cao tương ứng, hoặc hai cạnh và góc xen giữa

GV: Khai thác giả thiết I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua

C, K là điểm đối xứng với D qua B như thế nào?

HS: M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ suy ra tính được MN

GV: Tính IM, IN như thế nào?

HS: Tính IM bằng cách đưa vào tam giác AIM

Bước 3: Trình bày lời giải

Dễ thấy M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ

Bước 4: Nghiên cứu kết quả bài toán

GV: Có còn cách nào để tính diện tích tam giác IMN không ?

HS: tam giác IMN đồng dạng với tam giác IJK

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

GV: Yêu cầu HS vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận?

GV: Bài toán này thuộc dạng bài toán gì?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

GV: Tổng bình phương độ dài đoạn thẳng gợi nhớ đến công thức nào? (Pitago)

GV: Bài này có dấu hiệu của định lí Pitago không?

GV: Giả thiết tứ diện ABCD đều cho ta dấu hiệu gì để tính tổng T? ( Biết góc,

sử dụng định lí cosin)

Bước 3: Trình bày lời giải

Do BC // (MAN) nên (MAN) cắt (BCD) theo giao tuyến MN // BC

MND đều  MN = DM = a - x

Dễ thấy: DAM = DAN  MA = NA

Áp dụng định lí cosin trong tam giác

Bước 4: Nghiên cứu kết quả bài toán

Kiểm tra toàn bộ các bước giải, đúc rút kinh nghiệm

- Muốn tính được tổng T cần xác định được vị trí 2 điểm M, N nhờ định

lí về giao tuyến song song

- Muốn tính độ dài đoạn thẳng phải đưa đoạn thẳng đó vào trong tam giác

2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ năng xác định hình

Để giải được các bài toán của hình học không gian, trước tiên HS phải biết xác định hình Cụ thể là xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, xác định thiết diện Đây là kĩ năng tương đối khó đối với HS Nếu chỉ dừng lại ở một vài bài toán đơn lẻ thì HS

sẽ gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán khác Để khắc phục khó khăn đó, biện pháp của chúng tôi là hình thành những thuật giải cho từng dạng toán xác định hình Mỗi thuật giải được phát hiện và rèn luyện thông qua các bước sau:

- Nhìn nhận cách xác định hình thông qua một hệ thống bài toán cụ thể

- Trên cơ sở của việc giải các bài toán cụ thể, đề xuất qui trình xác định hình

- Kiểm nghiệm lại qui trình bằng hệ thống các bài tập áp dụng

Cách thức đó được cụ thể cho từng dạng bài toán như sau:

Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng, vì vậy khi định hướng để tìm đường lối giải, giáo viên cần phải có hệ thống câu hỏi dẫn dắt: GV: Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn được xác định khi nào? HS: Biết hai điểm phân biệt hoặc biết một điểm và phương của đường thẳng

Từ đó hình thành đường lối giải

1 Một số bài toán mở đầu

Phương pháp 1: Xác định giao tuyến bằng cách tìm hai điểm chung phân biệt

Ví dụ 4

Cho tứ diện ABCD và một điểm I thuộc cạnh AB Một đường thẳng a không song song với BD cắt hai cạnh BC và CD tại J và K Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I, a) với các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD)

Hướng dẫn:

Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng

Lời giải:

Ta có: I  AB nên I  (ABC)

I (I, a) suy ra I là điểm chung của (I, a) và (ABC)

Vì J là giao điểm của a và BC nên J (I, a)

J  BC nên J  (ABC)

Vậy giao tuyến của (I, a) và (ABC) là IJ

Gọi M là giao điểm của a với BD Giao tuyến của (I, a) với (ABD) là IM

Trong (ABD), IM cắt AD tại L Giao tuyến của (I, a) với (ACD) là LK

Ví dụ 5

Hình chóp tứ giác SABCD có AB và CD cắt nhau, A’ là điểm nằm giữa

S và A Tìm các giao tuyến của (A’CD) với các mặt phẳng (ABCD), (SCD), (SAB), (SDA), (SBC)

Hướng dẫn:

Để tìm điểm chung của (A’CD) với (SAB) ta phải tìm điểm chung của

2 đường thẳng cùng nằm trong (ABCD) là AB và CD

Lời giải: Giao tuyến của

(A’CD) với (ABCD) là CD

Giao tuyến của (A’CD) với

(SCD) là CD

Giao tuyến của (A’CD) với

(SAD) là A’D

Do AB không song song với

CD nên trong (ABCD), AB cắt

CD tại I

Giao tuyến của (A’CD) với (SAB) là A’I

Trong (SAB), A’I cắt SB tại B’ Giao tuyến của (A’CD) với (SBC) là CB’

Chú ý:

Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng (P), (Q) ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng đó Giao điểm của hai đường thẳng đó chính là điểm chung của (P) và (Q)

Trong ví dụ 5, để tìm điểm chung của (A’CD) với (SAB), ta đã chọn