Tâm tỉ cự và sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian afin và ơclit

Lời nói đầu.Trong hình học afin khái niệm tâm tỉ cự là một khái niệm có rất nhiềuứng dụng, chúng ta đã sử dụng tâm tỉ cự nh một công cụ đầy hiệu lực để giảiquyết nhiều bài toán nhờ các t

Lời nói đầu.

Trong hình học afin khái niệm tâm tỉ cự là một khái niệm có rất nhiềuứng dụng, chúng ta đã sử dụng tâm tỉ cự nh một công cụ đầy hiệu lực để giảiquyết nhiều bài toán nhờ các tính chất đặc biệt của tâm tỉ cự trong không gianAfin Đặc biệt là trong hình học sơ cấp nhiều bài toán có thể giải quyết đợc bằngmột cách khác nhờ sự biểu diễn tỉ cự của các hình qua các điểm đặc biệt Và cáckhái niệm quen thuộc trong không gian afin nh phẳng, siêu mặt bậc hai, tập lồi,

đơn hình, hộp … đều có thể biểu diễn đ đều có thể biểu diễn đợc qua tâm tỉ cự Qua đó ta có thể giảiquyết đợc các bài toán có liên quan theo một cách khác có dựa vào tâm tỉ cự

Từ những nhận xét đó chúng tôi đã thực hiện đề tài tâm tỉ cự và sự biễu diễn tỉ cự của các hình trong không gian Afin, Ơclít với mục đích hệ thống lại

khái niệm tâm tỉ cự trong không gian Afin, các tính chất và các phép biến đổitâm tỉ cự trong mặt phẳng và trong không gian Nêu ra một số biểu diễn tỉ cự củacác hình trong không gian Afin, không gian Ơclít và ứng dụng của nó trong giảitoán

Nội dung trình bày của khoá luận gồm hai phần:

-Phần I: Tâm tỉ cự và sự biểu diễn của các hình trong không gian Afin,

Ơclit

Đ1.Tâm tỉ cự và toạ độ tỉ cự Trình bày hệ thống các khái niệm và tính

chất về tâm tỉ cự và đa ra khái niệm toạ độ tỉ cự trong không gian Afin

Đ2 Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian Afin, Ơclít Trong

mục này tôi đã chứng minh đợc một số tính chất tỉ cự của các điểm đặc biệttrong các hình nh tam giác, tứ giác, hình bình hành, tứ diện, hình hộp … đều có thể biểu diễn đ Từ đó

ta có biểu diễn tỉ cự của các điểm đặc biệt đó, cũng trong mục này tôi đã biểudiễn đợc các khái niệm quen thuộc trong hình học Afin nh phẳng, siêu mặt bậchai, tập lồi, đơn hình, hộp qua tâm tỉ cự và tọa độ tỉ cự

-Phần II: Các ví dụ áp dụng Phần này gồm những bài toán hình sơ cấp

đ-ợc giải theo phơng pháp dùng các tính chất của tâm tỉ cự và các biễu diễn tâm tỉ

cự của một số hình, và những bài toán quen thuộc trong hình học Afin đợc giảitheo phơng pháp tỉ cự

Trong thời gian thực hiện đề tài này ngoài sự nổ lực cố gắng của bản thântôi còn nhận đợc sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong trờng nói chung, cácthầy cô trong khoa toán nói riêng và đặc biệt là sự hớng dẫn giúp đỡ tận tình củathầy giáo - tiến sĩ Phạm Ngọc Bội cùng sự quan tâm giúp đỡ của ngời thân và

1

bạn bè Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và chân thành cảm ơn mọi ngời đãgiúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.

Phần I TÂM Tỉ Cự và sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong

không gian afin, ƠclitTrong phần này trình bày hệ thống về khái niệm, các tính chất của tâm tỉ

cự trong hình học afin Từ đó xây dựng khái niệm toạ độ tỉ cự và sự biểu diễn tỉ

cự của các hình trong không gian Afin và không gian Ơclít

Đ1 Tâm tỉ cự và tọa độ tỉ cự

1.1 Định lí Cho k điểm P1, P2, … đều có thể biểu diễn đ, Pk của không gian afin An và k số

thuộc trờng K: 1, 2,… đều có thể biểu diễn đ , k sao cho 





k 1 i

i  0 Khi đó tồn tại duy nhất điểm G

Chứng minh: Lấy một điểm O tuỳ ý của An thì điểm G đợc xác định bởi:

i k

1 i

i OP

Vậy G luôn tồn tại và duy nhất

1.2 Định nghĩa Điểm G nói trong định lý 1 đợc gọi là tâm tỉ cự của

1

2 1

P

P P

hay

k i 1 i i

1

2 1

P

P P

k 1

1.3.1 Tính chất 1 Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi ( i=1 , k) gắn với họ

hệ số i(i=1 , k) thì G cũng là tâm tỉ cự của hệ điểm đó với họ hệ số i (với 

 0) ( Tâm tỉ cự không thay đổi khi thay các số i bởi i ,  0) Tức là:

1

2 1

P

P P

1

2 1

P

P P

1

2 1

P

P P

i k i

1

2 1

P

P P

1.3.2 Tính chất 2 Tâm tỉ cự sẽ không thay đổi nếu ta thêm vào (hoặc bớt

đi ) những điểm với hệ số bằng 0

1

2 1

P

P P

0

P

P

P

k

k 2

1

2 1

3

2 1

P

P P

i k 1 i

0

P

P

P

k

k 2

1

2 1

1.3.3 Tính chất 3 Khi ta đổi chỗ các điểm nhng vẫn giữ nguyên hệ số

kèm theo của chúng thì tâm tỉ cự không thay đổi Nghĩa là nếu i1, i2,… đều có thể biểu diễn đ, ik là

một hoán vị của 1,2,… đều có thể biểu diễn đ  thì , k 

1

2 1

P

P P

1

2 1

i

i i

i

i i

P

P P

1

2 1

P

P P

i k i

1

2 1

i

i i

i

i i

P

P P

1.3.4 Tính chất 4 Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số

i (i = 1,… đều có thể biểu diễn đ,n) và I1, I2,… đều có thể biểu diễn đ, Ik là một phân hoạch của tập 1,2,… đều có thể biểu diễn đ  sao cho, n

j =1,2,… đều có thể biểu diễn đ,k thì 

1

2 1

P

P P

=      



P

1

2 1

P

P P

, Gj =

j

I i i i

I i

i I

i i

2 1

G

G G

Khi đó theo chứng minh định lý 1 ta có:

j i I

i

k 1

j i I

j i

j

j

) (

GG ) (

i I

GP

4

j i I

i

j

) (

i i I

j i I

i i k

( 1

i i n

1 i i

i i n

1 i i

0 GP

1

2 1

P

P P

=      



P

A A

với i thoã mãn  



k 1 i

i 0

Chứng minh A ta có AA = 0  k AA

1 i i

A A

1

2 1

P

P P

   G  k 1

1

2 1

P

P P

k 1

k 1 i

1

2 1

P

P P

và một bộ hệ số 1, 2, … đều có thể biểu diễn đ , l

P

P P

1

2 1

P

P P

k 1

k 1 i

j )GP=0

5

 i

k 1

P

P P

G   P0G

 P0G = 0 i

s 1 i

i GP i + 0GPsl + … đều có thể biểu diễn đ + 0 GPk = 0

0

P P

1 0

với  0 = 1 - 





s 1 i i

Vậy G  là tâm tỉ cự của họ Pii=0,1,2, … đều có thể biểu diễn đ ,k

Ngợc lại nếu tâm tỉ cự của họ P0, P1,… đều có thể biểu diễn đ,Pk gắn với họ hệ số  0,1,… đều có thể biểu diễn đ,k

i i

GP (

i 0

i P P  P0G  

 G 

1.3.9 Hệ quả Cho m-phẳng  đi qua m+1 điểm độc lập P0 ,P1,… đều có thể biểu diễn đ,Pm khi

đó  chính là tập hợp tất cả tâm tỉ cự của hệ điểm đó (gắn với tất cả họ hệ số)

1.3.10 Định lý Cho m-phẳng  đi qua m+1 điểm độc lập P0 , P1 ,… đều có thể biểu diễn đ, Pm

và một điểm O tuỳ ý Điều kiện cần và đủ để M thuộc  là:

OM = i

m 0

i i

= 1

Chứng minh Điểm M thuộc  khi và chỉ khi M là tâm tỉ cự của họ

P0 ,P1 ,… đều có thể biểu diễn đ, Pm gắn với họ hệ số  0 , 1,… đều có thể biểu diễn đ,m nào đó

6

i OP (Vì  



m 0 i

i i

i

ta có: OM = i

m 0 i

i = 1

1.3.11 Hệ quả Khi cho hệ điểm độc lập P0 , P1 ,… đều có thể biểu diễn đ, Pm và M là tâm tỉ cự

của hệ với họ hệ số  0,1,… đều có thể biểu diễn đ,m thoả mãn 





m 0 i

i = 1 thì với điểm O tuỳ ý ta có:

OM = i

m 0 i

0 P

P

(với R , m 0 )

0 i i

i   



i m

i i

= 1 )

1.3.12 Nhận xét Tâm tỉ cự kèm theo họ hệ số là một bất biến afin Tức

là nếu f là ánh xạ afin trên An , hệ điểm P1 , P2, … đều có thể biểu diễn đ., Pk thuộc An Khi đó nếu

1

2 1

P

P P

1

2 1

) P ( f

) P ( f ) P ( f

1

2 1

P

P P

k 1





 = k ( GPi)

1 i i





k 1 i

1

2 1

) P ( f

) P ( f ) P ( f

1.3.13.Hệ quả + Phép chiếu song song bảo toàn tâm tỉ cự

7

2 1

P

P P

và phép chiếu song song biến Pi thành

1

' 2

' 1

P

P P

+ Các phép biến hình (trừ phép nghịch đảo) bảo toàn tâm tỉ cự

1

2 1

P

P P

1

' 2

' 1

P

P P

i i

=1, N là tâm tỉ cự của hệ Qj ( j = 1,2,… đều có thể biểu diễn đ,m) với

họ hệ số 1, 2,… đều có thể biểu diễn đ,m và 





m 1 j

j =1, G là tâm tỉ cự của (M,N) với họ hệ số t1 ,t2

thoả mãn t1+t2 = 1

Khi đó ta có G là tâm tỉ cự của hệ P1, P2, , Pk, Q1, Q2, , Qm với họ hệ số

1

 t1, 2t1 ,… đều có thể biểu diễn đ,kt1, 1t2, 2t2,… đều có thể biểu diễn đ,mt2

Chứng minh Theo bài ra ta có:

1

2 1

P

P P

k 1 i

1

2 1

Q

Q Q

m 1 j

 t1 GM + t2 GN = 0 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: t1 GM + t2 GN+ t1 i

k 1

 t1(





k 1 i

k 1 i

m 1 j

i (GM +MPi ) + t2





m 1 j

0 P

P P

G Khi đó luôn tồn tại và duy nhất một bộ số

m m 1 1 0

0 P

P P

P

P P G

0 P

P P

P

P P

i 0 i

P

P P

i i 0 i

1 i i

độc lập suy ra P0G phân tích theo hệ  m

1 i i

P  là duy nhất Nên ta có i  i

m 1 i i m

1 i i

1.4.2 Định nghĩa Trong không gian afin An thì mỗi hệ điểm độc lập

9

một bộ x0, x1, , xn thoả mãn n x 1

0 i

x

x x

1

P

1.4.4 Mối liên hệ giữa toạ độ tỉ cự và toạ độ afin.

Trong An cho mục tiêu P0, P1, , Pn  và điểm G có toạ độ afin là

x1, , xn đối với mục tiêu P 0 , P 1 , , P n  thì G có toạ độ tỉ cự đối với mục

x x

i 0 i

0 i

i

0 G x GP GP P

i i

x thì   

n n 1 1 0 0

x P

x P x P

1.4.5 Công thức đổi mục tiêu tỉ cự

Trong không gian afin An cho hai mục tiêu tỉ cự P 0 , P 1 , , P n  (I) và

P (II) Điểm G có toạ độ đối với mục tiêu (I) là x0, x1, , xn

còn đối với mục tiêu (II) là  ' 

n

' 1

'

o , x , , x

x Ta có công thức đổi mục tiêu tỉ cự là

 x  A * x ' Trong đó  x và  x ' là ma trận cột toạ độ tỉ cự của điểm G đối vớimục tiêu (I) và mục tiêu (II) còn A  a ij n 1 n 1







 gọi là ma trận chuyển từ cơ sở(I) sang cơ sở (II)

10

Trên đây là tổng hợp những khái niệm tính chất của tâm tỉ cự và xây dựngkhái niệm tọa độ tỉ cự, tìm ra mối liên hệ giữa tọa độ afin và toạ độ tỉ cự Hivọng từ đây các khái niệm quen thuộc trong không gian afin và không gian Ơclít

có thể biểu diễn đợc qua tâm tỉ cự và toạ độ tỉ cự

Đ2 Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian

afin và không gian ơclít

Trong mục này dựa vào khái niệm và các tính chất của tâm tỉ cự và các

điểm đặc biệt của các hình trong không gian Afin và không gian Oclít tôi đãchứng minh đợc một số tính chất tỉ cự đặc biệt của các điểm trong tam giác, tứgiác, hình bình hành, tứ diện, hình hộp… đều có thể biểu diễn đ và tìm đợc sự liên hệ giữa tâm tỉ cự với

11

các hình trong không gian Afin Phần này tạm gọi là sự biểu diễn tỉ cự theonghĩa sau đây.

2.1 Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian R 2

2.1.1 Nếu M thuộc đờng thẳng AB thì M = 

B MB A

Chứng minh Nếu M thuộc đờng thẳng AB thì :

- Khi M không thuộc đoạn thẳng AB tức MA = kMB (với k > 0) hay

MB.MA = MA.MB  MB.MA - MA.MB  0  M = 

B MB

A

2.1.2 G là trọng tâm của tam giác ABC    1 

C 1 B 1 A

( chú ý (a) định nghĩa 3 cho ta điều này )

2.1.3 Nếu tam giác ABC không vuông ta có :

H là trực tâm của tam giác ABC  H =  tgC 

C tgB B tgA A

Chứng minh Giả sử tam giác ABC nhọn (nếu tam giác tù ta làm tơng tự)

Khi đó giả sử các đờng cao của tam giác là AA1, BB1, CC1 ta dựng hìnhbình hành HB’CA’ trong đó A nằm trên đờng thẳng AA1 ,B’ nằm trên đờng thẳng

A 1

H

C A BI

C A

1 1 '

 ( vì BIA ' C)

c

b AB

AC BA

a

IC    hay a IA  b IB  c IC  0Vì a  b  c  0 nên ta suy ra   

c C b B a A

2.1.5 M là điểm nằm trong tam giác ABC thì   

c b

a S C S B S A

M Trong đóMAB

c MAC b

Suy ra M =  

c

a S

S (vì Sa+ Sb +Sc 0) 2.1.6 O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3  O =  sin 2 C 

C 2 sin B 2 sin A

A

B’

Chứng minh Giả sử O nằm trong

tam giác ABC Khi đó theo 2.1.5 ta có :

Nếu O không nằm trong tam giác ABC ta xét A’ đối xứng với A qua Othì O sẽ nằm trong tam giác A’BC và khi đó ta cũng có

O = sin 2 C 

C 2 sin B 2 sin A

2.1.7 Cho tam giác đều ABC, M là điểm bất kì và A1, B1 ,C1 lần lợt là

điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB

Khi đó ta có:  1 

C 1 B 1 A

=  1  B

(với  ++ 0)Gọi X là điểm đối xứng của A qua BC

A1=  

C X

( vì phép đối xứng trục bảo toàn tâm tỉ cự)

=    



B C =  

.Một cách tơng tự ta có :

B1 = 

C A

C1= 

C A

Từ đó ta có : 1  1

C A

=   

C A

Ta suy ra :  1 

C 1 B 1

A 1 1 =  1 

C 1 B 1 A

.2.1.8 Cho tam giác ABC , điểm M nằm trong tam giác ABC và A’ , B’ , C’

lần lợt là giao điểm của AM, BM , CM với các cạnh của tam giác ABC Khi đó

.Khi đó phép chiếu song song theo phơng BC xuống đờng thẳng AA’ ta

có : A  A, B  A’ , A’  A’, C  A’, M  M

Suy ra M =  1 

A 1 A 1

B B

= 



 3 1

A ' '

=  1  C 1 B 1

A ' '

.Ngợc lại nếu M =  1 

C 1 B 1

A ' '

=  3  M 2 2

.Giả sử M =  z 

C y B x A

Khi đó qua phép chiếu song song phơng BC xuống AA’

x  

 x = y = z Suy ra M =  x 

C x B x A

=  1  C 1 B 1 A

.2.1.9 ABMC là hình bình hành  M= 1 1 

2.2 Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong R 3

2.2.1 Cho tứ diện ABCD và M,N,P,Q,R,S lần lợt là trung điểm của AB,

CD, BC, AD, AC, BD Khi đó ta có MN, PQ, RS, đòng quy tại một điểm I làtrung điểm của mỗi đờng và I =  1 

D 1 C 1 B 1 A

Chứng minh Giả sử I là trung điểm của MN ta chứng minh I cũng là

trung điểm của PQ và RS Thật vậy ta có I =  1 

N 1 M

=  

(*) =  

C B

D

A

C

M B

A

Tơng tự ta có I là trung điểm của PQ.

Nên suy ra MN, PQ, RS đồng quy tại I là trung điểm của mỗi đờng và từ (*) ta

có I là trọng tâm của tứ diện hay I =  1 

D 1 C 1 B 1 A

2.2.2 Cho tứ diện ABCD và G1, G2, G3, G4 theo thứ tự là trọng tâm củacác tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Khi đó ta có AG1 , BG2 , CG3 , DG4 đồngquy tại G là trọng tâm của tứ diện

Chứng minh Giả sử G là trọng tâm của

tứ diện tức G =  1 

D 1 C 1 B 1 A

Ta chứng minh

G  AG1 , G  BG2 , G  CG3 , G  DG4

Thật vậy: G =  1 

D 1 C 1 B 1 A

=  1  D 1 B 1 C 1 A

2 1

M C A

Chứng minh

Đặt G =  3 

A 3 D 3

B '

là trọng tâm của tam giác BDA’, ta chứng minh M  G

Thật vậy, theo hệ quả 1.3.11 ta có:

( BDA) hay M  G

Vậy M là trọng tâm của tam giác BDA’ và AC

3

1 AG

M

D ’ N

Tơng tự ta có N là trọng tâm của tam giác B’D’C và C'N =

2.3 Phơng trình của phẳng trong A n theo tọa độ tỉ cự.

Trong không gian afin cho mục tiêu tỉ cự P 0 , P 1 , , P n .

2.3.1.Phơng trình tham số: Trong không gian afin n-chiều cho mục tiêu

i

i XA 0 t

0

t

A

t

A X U

X .Theo công thức đổi mục tiêu toạ độ I.5 ta có

1.t

ta

*

t

TAX

t

t

t T

x

x

x X

1x

0x

b

* gọi là phơng trình tổng quát của U

17

Chú ý: 1 Nếu U là siêu phẳng thì phơng trình tổng quát của U là

n n 1

1

0

0

0 a , 1 x

0 x a

x a

x

a

Khi đó bộ a 0 , a 1 , , a n gọi là toạ độ tỉ cự của siêu

phẳng đối với mục tiêu đã cho

2 U là m-phẳng trong không gian afin An và có phơng trình tổng

i j

n 0 j

j ij

1 x

m n , 1 i 0 x b

b a b

b b

i ij ij

0 0 i

1 j

j i

là tọa độ afin của điểm X  A n đốivới (I) Khi đó theo I.4 ta có X có tọa độ tỉ cự

đối với (I) là x 0 , x 1 , , x n với 







n 1 i i

(1)  a x x 2 a x aox0 x1 xn 0

n 1 i i i n

1 j

j i

1 j

j i

n 1

0 i i n

1 j

j i

j i ij n

1 j

j i

18

 n d x x 0

0 j

j i

d

0 j ,i c a d

ij ij

ij ij ij

2

b b 2

b b

c      Vậy dij  dji,  i j  0 , n

Và ta có d ij không đồng thời bằng 0, vì nếu dij  0 với  i , j  0 , n thì

0 a 0 c

0

2

b 2

b a 2

b b c n , 1 i 0

i 0 i

n , 1 i 0

bi   

  bi  bj 0  cij  0  i , j  0 , n

0 c

d

aij  ij ij 

  aij  0  i , j  1 , n điều này mâu thuẫn với giả thiết  aij  0

Vì vậy ta có thể định nghĩa siêu mặt bậc hai theo toạ độ tỉ cự nh sau:

Định nghĩa Trong không gian afin cho mục tiêu tỉ cự P0, P1, , Pn  và

phơng trình a x x 0

n 0 j

j i

0 j

j i ij

n n 1

Định nghĩa đoạn thẳng trong không gian afin thực (xem  1 )

Ta có M thuộc đoạn thẳng PQ  với điểm O bất kì thì

 1  OQ OP

Q P

Từ đó ta có định nghĩa tơng đơng sau

Định nghĩa Cho hai điểm P và Q trong không gian afin thực An thì đoạn

thẳng PQ (kí hiệu là P , Q) là tập hợp những điểm M thoả mãn 

Q P M

với 0    1

19