Chuyên đề vector và tọa độ trong không gian

Chẳng khó khăn để nhận ra tầm quan trọng của hình học không gian trong quá trình học toán của học sinh chúng ta. Xét về mặt tư duy, hình học không gian đòi hỏi sự tư duy khá cao, một khả năng hình tượng nhạy bén và nhiều khả năng khác. Vì vậy, không phải khó hiểu khi những bạn giỏi hình học không gian thường làm khá tốt trong các lĩnh vực khác. Xét về mặt thi cử, trong mỗi kì thi từ bậc THPT trở đi, bài toán hình học không gian luôn có trong đề thi toán và chiếm một số điểm khá lớn. Vì vậy, tìm được một phương pháp học hình học không gian đúng đắn luôn là mối quan tâm hàng đầu của các bạn học sinh.

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

CHUYÊN ðỀ:

NĂM HỌC: 2007-2008 LƯU HÀNH NỘI BỘ

LỜI NÓI đẦU

Chẳng khó khăn ựể nhận ra tầm quan trọng của hình học không gian trong quá trình học

toán của học sinh chúng ta Xét về mặt tư duy, hình học không gian ựòi hỏi sự tư duy khá cao,

một khả năng hình tượng nhạy bén và nhiều khả năng khác Vì vậy, không phải khó hiểu khi

những bạn giỏi hình học không gian thường làm khá tốt trong các lĩnh vực khác Xét về mặt thi

cử, trong mỗi kì thi từ bậc THPT trở ựi, bài toán hình học không gian luôn có trong ựề thi toán

và chiếm một số ựiểm khá lớn Vì vậy, tìm ựược một phương pháp học hình học không gian ựúng ựắn luôn là mối quan tâm hàng ựầu của các bạn học sinh

Cũng như mọi phân môn toán học khác, hình học không gian ựược chia thành nhiều bộ phận đối với học sinh chúng ta thì có lẽ cách phân chia tốt nhất là theo phương pháp giải bài toán; vì khi ựó ta có thể tìm hiểu nhiều dạng toán khác nhau và thông qua ựó còn có thể so sánh

và rút ra cho riêng mình những kinh nghiệm quý báu về ưu nhược ựiểm của các phương pháp

ựể từ ựó có ựược cách giải tối ưu nhất

Từ những nhận xét trên, chúng tôi ựã lựa chọn chuyên ựề của mình là Phương pháp toạ ựộ

và vector trong hình học không gian

đây không phải là phương pháp quá mới ựến mức khó hiểu Chắc chắn mỗi bạn ựều từng ắt nhất một lần thực hiện phương pháp giải trên vì nó vốn ựược ựề cập khá nhiều trong chuơng trình học phổ thông Tuy nhiên, nó cũng không quá cũ, chẳng có gì ựể nói như nhiều người thường nghĩ Bởi vì tuy là tiếp xúc nhiều nhưng ta ựã cho rằng phương pháp này không ựược hiệu quả lắm bên cạnh những ựịnh lắ, tiên ựề to lớn trong hình học không gian, cho những bài giải ngắn gọn, mà lãng quên nó Do ựó, tìm hiểu về phương pháp này sẽ giúp ta có một hệ thống vững chắc giữa hình học không gian giải thuần tuý bằng ựịnh lắ, tiên ựề, tắnh chất,Ầ và hình học không gian giải bằng biến ựổi vector và toạ ựộ

Cố gắng thực hiện mục ựắch ựó, nhóm chúng tôi ựã trình bày chuyên ựề của mình như sau:

Chuyên ựề gồm hai phần lớn: Vector và Toạ ựộ Trong mỗi phần lại ựược chia thành nhiều

ựề mục nhỏ theo thứ tự nhất ựịnh, từ cơ bản ựến nâng cao, giúp xây dựng một hệ thống kiến thức vững chắc, ựa dạng nhưg vẫn dễ tiếp thu Từ lắ thuyết nền tảng ựến lắ thuyết cao hơn, vắ

dụ nhỏ ựến những bài toán ứng dụng lớn, ựó là sự cố gắng rất lơn của chúng tôi

Bên cạnh những kiến thức cần thiết cho việc học hành chắnh quy của các bạn, ựiều chúng

tôi tâm ựắc nhất là có thể giúp các bạn nâng cao óc sáng tạo thông qua mảng kiến thức Sáng tạo nằm cuối quyển sách, về hệ toạ ựộ Afin đó tuy không phải là những gì các bạn sẽ gặp

trong chương trình học cũng như trong thi cử, nhưng nó sẽ mang lại một cách suy nghĩ khá mới mẻ, mở rộng ựược tầm hiểu biết, mang ựến cho chúng ta cách nhìn nhận vấn ựề tốt hơn, và cho riêng các bạn chuyên toán, sẽ yêu môn toán hơn vì sự biến ựổi bất ngờ ựến thú vị của nó Trên lắ thuyết, hệ toạ ựộ đề-các vuông góc là tiêu chuẩn, không chỉ trong toán học mà còn nhiếu bộ môn khác Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta vẫn cần biết ựến một hệ trục khác không vuông góc điều ựó làm thay ựổi hoàn toàn cách ta ghi nhận một sự việc, hiện tượng nào ựó: hình tròn không còn tròn nữa, các ựường thẳng song song sẽ cắt nhauẦ! Nghe tuy thật mâu thuẫn nhưng thật ra giữa hai hệ trục có mối quan hệ rất chặt chẽ và dĩ nhiên, không hề

mâu thuẫn với nhau Mối liên hệ ựó như thế nào? Câu hỏi sẽ ựược giải ựáp trong phần Sáng tạo của cúng tôi Hơn thế nữa, các bạn sẽ còn nhận ra rằng nhiều khi ta ựã nhìn vấn ựề theo

một hệ trục Ộkhông trực chuẩnỢ như thế, cả trong học tập lẫn ựời sống, mà không nhận ra ựấy thôi

Chúng tôi ñã nêu lên một số vấn ñề như thế trong phần Chuyên ñề của mình Tuy nhiên vẫn còn một số câu hỏi mà chúng tôi ñang giải quyết và rất mong ñợi sự hỗ trợ từ các bạn và quý thấy cô như:

1 Một cách nhìn tổng quát nhất về những trường hợp bài toán có thể giải bằng hai cách

2 Còn những dạng toán nào có thể áp dụng phương pháp này ñể giải

LỜI CẢM TẠ

Chuyên ựề này ra ựời, bên cạnh sự cố gắng của nhóm còn có phần giúp ựỡ vô cùng to lớn của quý thầy cô ựã và ựang trực tiếp giảng dạy về cả vật chất và tinh thần đó là nguồn lực to lớn giúp cho chúng tôi có thể hoàn thành tốt công việc Nay chúng tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc, chân thành nhất ựến quý thầy cô:

Cô Tạ Thanh Thuỷ Tiên

Thầy Phan đại Nhơn

Thầy Huỳnh Bửu Tắnh

Thấy Nguyễn Hồng đức

MỤC LỤC

• Chương I VECTOR

Lí thuyết……… 5

1 ðịnh nghĩa vector, Quan hệ giữa các vector, Các phép toán ……… 5

2 ðiều kiện ñồng phẳng……… 6

3 Góc giữa hai vector, Hình chiếu, Tích vô hướng……… 7

4 Hệ vector ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính……… …

8 Bài tập……… 9

• Chương II TOẠ ðỘ Lí thuyết……… ……18

1 Toạ ñộ vector, Toạ ñộ ñiểm, ðiều kiện ñồng phẳng, ñồng phương và các phép toán……….… 18

2 Ví dụ áp dụng……… … 19

3 Tích vô hướng, Tích hữu hướng và công thức tính thể tích……… …… 25

4 Ví dụ áp dụng ……… 26

5 Hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc……… ……… 29

6 Ví dụ áp dụng……… ……… 30

7 Tâm tỉ cự……… ……… 34

Bài tập……… … 36

1 Hệ trục cho tam diện, hình chóp……… …… 36

2 Hệ trục cho lăng trụ……… 56

3 Hình không mẫu mực……… … 60

• Chương III GIẢI BÀI TOÁN BẰNG HAI CÁCH………… … 66

• Chương IV MỘT SỐ ðỊNH LÍ NỔI TIẾNG……… … 76

• Chương V ỨNG DỤNG KHÁC……… …… 80

• Chương VI SÁNG TẠO - HỆ TRỤC AFIN……….… 82

CHƯƠNG I VECTOR TRONG KHÔNG GIAN

1 ðịnh nghĩa vector:

- Vector là 1 ñoạn thẳng có quy ñịnh 1 chiều Chiều của vector là thứ tự 2 ñầu mút là ñiểm ñầu (gốc)

và ñiểm cuối (ngọn) của ñoạn thẳng ðường thẳng ñi qua 2 ñầu mút là phương của vector

- Kí hiệu vector:


AB

, ñộ dài của vector ñó là AB hay Cách khác: u

, ñộ dài của vector ñó là u hoặc

u

- Vector có ñiểm ñầu và ñiểm cuối trùng nhau ñược gọi là vector- không (kí hiệu là


AA

hoặc0)

2 Quan hệ của các vector trong không gian:

a) 2 vector ñồng phương hoặc không ñồng phương:

- Ta quy ước 1 vector 0luôn cùng phương với 1 vector khác 0

b) 2 vector cùng chiều hoặc ngược chiều:

- Ta quy ước 1 vector 0luôn cùng chiều với 1 vector khác 0

c) 2 vector bằng nhau hoặc 2 vector ñối nhau:

Trường hợp tổng của nhiều vector: Cho n vector u1,u2, ,u n Tổng của n vector ñó ñược xác ñịnh theo quy tắc ñường gấp khúc: Từ 1 ñiểm A0 bất kì ta dựng liên tiếp các vector A0A1,A2A3 , ,A n−1A n Vector A0A nlà tổng của n vector ñã cho và ñược kí hiệu: u'=u1+u2 + +u n

và v

là 1 vector w

và ñược kí hiệu u− =v w, nên w v+ = u

c) Nhân 1 vector với 1 số thực:

- ðịnh nghĩa: Cho u ≠0và số thực k≠ 0 Tích của u

với k là 1 vector v

có ñộ dài bằng k u

và cùng chiều với u

khi k>0; ngược chiều với u

+v

) = m.u

+m.v

, (m,n∈R) iv) (m+n).u

và k là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó

4 ðiều kiện ñồng phẳng của 3 vector:

- Cho 3 vector u v w

,, (khác0) và ðể 3 vector ñó ñồng phẳng cần và ñủ là tồn tại 2 số thực m.n sao cho w m u n v

+

= Cặp số m,n là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó

- Hệ quả:

i) Nếu u v w

,

, không ñồng phẳng và m u.+n v.+k w. =0, thì m = n = k = 0

ii) Với mọi vector a

tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực x,y,z sao cho a x u y v z w

+ +

=

Các vector u v w

,, ñược gọi là cơ sở của a

Bộ số (x,y,z) ñược gọi là toạ ñộ của a

Vector a

có biểu diễn như vậy ñược gọi là phân tích của a

theo 1 cơ sở

5 Góc tạo bởi 2 vector trong không gian:

a) ðịnh nghĩa: Cho 2 vector u v

, khác 0 Gọi P là 1 ñiểm bất kì trong không gian và từ ñó dựng

Góc tạo bởi 1 vector 0 và 1 vector khác 0không xác ñịnh

b) Tính chất:

i) Nếu u
'↑↑u và v
'↑↑vthì ( ', ')u v



= ( , )u v ii) Nếu ( , )u v 

và vector ñơn vị trên Ox)

7 Tích vô hướng của 2 vector trong không gian:

8 Hệ vector ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính:

a) Hệ vector ñộc lập tuyến tính:

Trong không gian vector V, hệ n vector


x x1, , ,2

x n

ñược gọi là ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi từ biểu thức:

Nếu hệ n vector không ñộc lập tuyến tính thì gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính Như vậy, hệ n vector

, yphụ thuộc tuyến tính khi và

chỉ khi ybiểu thị tuyến tính qua x x


1, , ,2 x

n

và cách biểu thịñó là duy nhất

> Việc chứng minh 1 hệ vector ñộc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính có liên quan mật thiết ñến các bài toán chứng minh 3 ñiểm thẳng hàng, 4 ñiểm ñồng phẳng, 2 ñường thẳng chéo nhau trong hình

học

MỘT SỐ BÀI TẬP Những kĩ năng biến ñổi bài toán theo kiểu vector nói chung không phức tạp, ta cần làm nhiều bài ñể nắm vững ñược nhiều dạng khác nhau Khi ñó có thể nắm ñược mấu chốt vấn ñề khi gặp một bài mới

Cho hình chóp S.ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB,

SC, SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’

Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD, người ta lấy theo thứ tự các ñiểm A’, B’, C’, D’

Biết rằng trong không gian tồn tại 1 ñiểm O sao cho:

OA














+OB +OC +OD =OA OB OC











+ + +OD

Chứng minh rằng:

Từ bài toán trên ta có bài tương tự sau:

Cho tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ là các ñiểm lần lượt chia các ñoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo

b) Giả sử A’, B’, C’, D’ ñều nằm trên mặt phẳng (P) Xét ñường thẳng ∆ nào ñó cắt (P) tại O

Dựng các mặt phẳng , , ,α β γ θ lần lượt qua A, B, C, D và song song với (P) Chúng cắt lần lượt tại A1,

B1, C1, D1 Áp dụng ñịnh lý Thales trong không gian ta có:

Bài toán ñơn giản này cho ta hình dung về một phương pháp chứng minh bất ñẳng thức thường thấy trong giải toán bằng vector, ñó là áp dụng bất ñẳng thức:

Từ bất ñẳng thức này, ta có một số bài toán khá hay khác như sau:

Cho tứ diện ABCD (với ñộ dài các cạnh là a, b, c, x, y, z) nội tiếp trong hình cầu bán kính R Gọi G là trọng tâm tứ diện Chứng minh rằng:

Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của AB, CD

Ta có ∆ ACD = ∆ BCD (c c c− − ) ⇒ AJ = JB ⇒ ∆ AJB cân tại J ⇒ JI ⊥ AB

c) Tính ñộ dài ñoạn thẳng MN theo ñộ dài a, b, c là 3 cạnh của hình hộp trong trường hợp MN song song với B’D và ABCD A B C D ’ ’ ’ ’là hình hộp chữ nhật

cos (1 cos ) cos (1 cos ) 2cos cos sin sin

cos sin cos sin 2cos

Vậy vector a có ñộ dài không ñổi

Bài 4: Cho tứ diện ñều ABCD cạnh a Gọi AH là ñường cao của tứ diện xuất phát từ A và O là trung

ñiểm của ñoạn AH Chứng minh rằng OB, OC, OD vuông góc với nhau từng ñôi một

Do ñó OB, OC, Od vuông góc với nhau từng ñôi một

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Gọi a=



AC b',=BA c


',=CB


'

a) Chứng minh rằng 3 vector , ,a b c  

không ñồng phẳng b) Hãy biểu thị vector AA’ theo 3 vector , ,a b c  

ñó

Thay vào (1) ta có l+ − = − ≠ (vô lí) k 1 3 0

Vậy ta không tìm ñược giá trị k, l ñể thỏa mãn hệ thức a =kb+c

hay 3 vector , ,x y z   phụ thuộc tuyến tính lẫn nhau vậy chúng là 3 vector không ñồng phẳng

CHƯƠNG II TỌA ðỘ

Trong phần này lý thuyết sẽ ñược minh họa ngay bằng các ví dụ nhỏ giúp chúng ta nhanh chóng

có ñược các kỹ năng cần thiết ñể giải các bài tóan lớn hơn về sau

1 Tọa ñộ của 1 vector:

Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho vector u

, khi ñó tồn tại duy nhất bộ 3 số thực x,y,z sao cho

( , ,

u=x i+y j+z k i j k    là các vector ñơn vị tương ứng trên các trục tọa ñộ Ox,Oy,Oz) Bộ 3 số thực

có thứ tự (x,y,z) ñược gọi là tọa ñộ của u

Các số x,y,z tương ứng là hoành ñộ, tung ñộ, cao ñộ của vector ñó Vector 0 có tọa ñộ (0,0,0) Kí hiệu: u

(x,y,z) Cho u

2 Tọa ñộ của 1 ñiểm:

Trong hệ tọa ñộ Oxyz cho ñiểm M tọa ñộ của OM



ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm M

- Nếu ( , , )x y z0 0 0 là tọa ñộ của OM



, thì tọa ñộ của M ñược kí hiệu M( , , )x y z0 0 0

- Nếu các ñiểm A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) thì

AB



(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

3 ðiều kiện ñồng phẳng của 3 vector:

• ðiều kiện cần và ñủ ñể 3 vector u v w  , ,

ñồng phẳng là biểu thức:[ ].u v w   =0

• Cho u x y z( , , )1 1 1

, v x y z( , , )2 2 2

và w x y z( , , )3 3 3

ðiều kiện cần và ñủ ñể 3 vector ñó ñồng phẳng là

tồn tại 1 cặp số m, n sao cho

5 ðiều kiện ñồng phương của 2 vector:

- ðiều kiện cần và ñủ ñể 2 vector u

(x1,y1,z1) và v x y z( , , )2 2 2

khác 0ñồng phương:

k>0: 2 vector ñã cho cùng chiều; k<0: 2 vector ñã cho ngược chiều

- Cho 2 ñiểm A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) và số thực k≠0,1 Nếu M(x,y,z) chia ñoạn AB theo tỉ số k, nghĩa là MA


=k MB


, thì tọa ñộñiểm M là nghiệm của hệ:

Chúng ta sẽ áp dụng ngay kiến thức này ñể giải một số bài tập cơ sở sau:

Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P), và 1 ñiểm O bất kì không thuộc (P) Chứng minh rằng

ñiều kiện cần và ñủñểñiểm M thuộc (P) là tồn tại 3 số x, y, z thỏa mãn 2 ñẳng thức sau ñây:

OM xOA yOB zOC

a Xác ñịnh y, z ñể vector b 2, y, z( ) cùng phương với vector a

b Tìm tọa ñộ vector c, biết rằng c ngược hướng với a và có ñộ dài bằng 2 lần của a

a Chứng minh rằng ba vector a, b, c   không ñồng phẳng

b Chứng minh rằng ba vector u, v, w   không ñồng phẳng

Từ (1) và (2)

122

Vậy








AC AB AE, ,

không ñồng phẳng Hay 4 ñiểm A, B, C, E không cùng nằm trên 1 mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho các vector :a 2,3,1 , b 5, 7,0 và c 3, 2, 4(− ) ( − ) ( − )

, BC



'

, IJ



ñồng phẳng d) OB




, OB



'

, OA


'

ñồng phẳng ' '

8 Công thức ñể tính thể tích hình tứ diện và hình hộp:

Cho 3 vector u v w  , , (khác 0) không ñồng phẳng với nhau Từ 1 ñiểm S trong không gian dựng ta

dựng các vector SA u

=, SB v

=, SC w


=  Thể tích V của hình chóp SABC ñược tính:

Trong không gian Oxyz, cho ba ñiểm A 1,1,1 , B 5,1, 2 , C 7,9,1( ) ( − ) ( )

a Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hang

Trong không gian Oxyz cho 3 ñiểm A(1,2,4), B(2,-1,0), C(-2,3,-1)

a) Gọi (x,y,z) là tọa ñộ của ñiểm M nằm trên mặt phẳng (ABC) Tìm sự liên hệ giữa x,y,z b) Tìm tọa ñộ của ñiểm D biết hình ABCD là hình bình hành

( , , )x y z là ñiểm mà mp ñi qua

• Công thức tính khoảng cách từ ñiểm M( , , )x y z0 0 0 ñến mặt phẳng (P) có phương trình :

khác 0 là vector chỉ phương của ñường thẳng và ( , , )x y z0 0 0 là ñiểm mà ñường thẳng ñi qua

• Phương trình chính tắc:

ðồng phẳng ðồng phẳng

x +y +z − ax− by− cz+m= , với ñiều kiện a2+b2+c2− >m 0

Và ñây là một số bài tập cho hệ tọa ñộ Descartes vuông góc

Trong không gian Oxyz tìm vector ñơn vị e

vuông góc với các vector a=(4,0, 3)− , b=(2,1,0) và tạo với trục Ox một góc tù

b) Cho biết A(2,1,-3), B(3,-2,2) C(4,0,1) Tìm tọa ñộ các ñiểm D, E, F theo k

c) Tìm diện tích tam giác ABC

Giải:

a) Ta có: AD k DB


=




35 21 735.

Trong không gian Oxyz cho 3 ñiểm A(1,0,1), B(-2,1,3), C(1,4,0)

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y, z ñể M(x,y,z) thuộc mặt phẳng (ABC)

b) Tìm trực tâm H của tam giác ABC

c) Tìm tâm và bán kính của ñừong tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3

13(2)

AD BA

k BC

23

21

2 2.7 113

21

TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ðIỂM - TỌA ðỘ TRỌNG TÂM

1 Khái niệm về tâm tỉ cự của n hệ ñiểm trong không gian:

1

n i i

n

i i

t

=

≠

∑ )

Nếu thay bộ hệ số t1, t2,…, tn (với

1

0

n i i

t

=

≠

∑ ) bằng bộ hệ số kt1, kt2,…, ktn với k≠0 thì tâm tỉ cự G của

hệñiểm A1,A2,…,An vẫn không thay ñổi

b) Trọng tâm của 1 bộ hệ ñiểm:

Tâm tỉ cự G của họñiểm A1,A2,…,An gắnvới bộ hệ số bằng nhau t1= t2=…= tn (và do ñó có thể chọn

ti=1) ñược gọi là trọng tâm của họñiểm A1, A2,…, An khi và chỉ khi:

Khi ñó với 1 ñiểm O tùy ý ta có:

Thí dụ:

- Trọng tâm của họ 2 ñiểm A1, A2 là trung ñiểm của ñoạn thẳng A1A2

- Trọng tâm của họ 3ñiểm không thẳng hang A1, A2, A3 là trọng tâm của tam giác A1A2A3

- Trọng tâm của họ 4 ñiểm không ñồng phẳng A1, A2 , A3 ,A4 là trọng tâm của tứ diện A1A2A3A4

c) Tâm tỉ cự của họ 2 tâm tỉ cự G 1 , G 2 :

Cho G1 là là tâm tỉ cự của họñiểm A1, A2, …, Am gắnvới bộ hệ số t1, t2,…, tm với ñiều kiện

1

0

m i i

M ∈không gian ⇔



A M1 = p A A



1 2+q A A



1 3+r A A



1 4

= p MA(







2−MA1)+q MA(







3−MA1)+r MA(







4−MA1)Hay (1− − −p q r MA)



1+ pMA



2+qMA



3+r MA



4 =0

ðặt 1 p q r− − − = , λ1 p=λ2, q=λ3, r=λ4thì λ λ1+ 2+λ3+λ4 = và M là tâm tỉ cự của họ ñiểm { 1

A1,A2,A3,A4} gắn với bộ 4 hệ số λ λ λ λ1, , ,2 3 4

b) ðịnh lí:

Khối tứ diện A1A2A3A4 là tập hợp những ñiểm M mà tọa ñộ trọng tâm ( , , , )λ λ λ λ1 2 3 4 của nó ñối với hệ { A1,A2,A3,A4} ñều là những số không âm λ ≥0,λ ≥0,λ ≥0,λ ≥ 0

Ta ñã tìm hiểu một số bài toán áp dụng toạ ñộ và vector ñể giải Ở những bài này ta có ñược toạ ñộ của những ñiểm cần thiết Nhưng phần lớn hình học không gian không ñơn thuần là những bài như thế mà ta rất nhiều loại hình khác nhau Vấn ñề ñặt ra là làm sao ta có ñược kinh nghiệm cần thiết ñể thiết lập ñược hệ trục hay hệ vector ñơn vị ñể quá trình giải bài toán ñược thuận lợi Những bài toán sau ñây sẽ cho chúng ta một phần kinh nghiệm và còn vài ñiều hơn thế nữa

Cho góc tam diện vuông Oxyz , trên Ox, Oy, Oz lấy các ñiểm A, B, C, sao cho OA=a, OB=b, OC=c

a Tính cosin các góc của ∆ABC Chứng tỏ ∆ABC nhọn

b Gọi G là trọng tâm ∆ABC, tính OG

AA ,MM vuông góc v1 ới mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các ñiểm N, I sao cho

Gọi H là chân ñường vuông góc hạ từ A xuống NB, CMR AH⊥NI

Vì ABN∆ cân tại A nên H là trung ñiểm BN do ñó H a,0,a

Cho góc tam diện vuông Oxyz Tìm ñiểm M trong tam diện sao cho tổng khoảng cách từ M tới các

mặt phẳng (Oxy , Oyz , Ozx) ( ) ( ) bằng :

Vậy M thuộc phần mặt cầu (S) có tâm I 1,1,1( ) bán kính R = 3 trong góc tam diện

Cho hình lập phương ABCD.A B C D c1 1 1 1 ạnh là 1 Lấy M, N, P theo thứ tự thuộc BB , CD và A D 1 1 1sao cho B M CN D P a 0 a 11 = = 1 = ( < < ) CMR :

nên M 1,0,1 a , N 1 a,1,0 , P 0,1 a,1( − ) ( − ) ( − )