Về tính kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng và đường cong trong không gian Lorentz Minkowski

……….21 2.2 Các tính chất của đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz-Minkowski .... 25 2.4 Độ cong và độ xoắn của đường cong trong các trường h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học- trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học và luận văn

Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình đã tận tình giúp đỡ, dày công hướng dẫn, đóng góp ý kiến giúp tác giả hoàn thành bài luận văn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ chuyên ngành Hình học- Tôpô đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, cảm ơn tập thể học viên khóa 19 chuyên ngành Hình học- Tôpô cùng gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành bài luận văn này

Nghệ An, tháng 10 năm 2013

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU……….……… ……… ….1

Chương 1: Về tính kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz-Minkowski 3

I Không gian Lorentz-Minkowski 3

1.1 Định nghĩa không gian Lorentz-Minkowski 3

1.2 Các loại vectơ trong không gian Lorentz-Minkowski 4

II Không gian con của không gian Lorentz-Minkowski 6

1.3 Đặc trưng của không gian con 6

1.4 Không gian con trực giao 8

1.5 Các mệnh đề tương đương về không gian con 11

III Các hệ thức liên quan về môđun, tích Lorentz của các vectơ trong không gian Lorentz-Minkowski 12

1.6 Kiến thức nhắc lại: 13

1.7 Bất đẳng thức Cauchy-Scwharz với vectơ kiểu thời gian trong không gian Lorentz– Minkowski 𝐸1𝑛 13

1.8 Tích Lorentz giữa các vectơ trong 𝐸13 16

Chương 2: Một số tính chất của đường cong trong không gian Lorentz-Minkowski 21

I Đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong

không gian Lorentz-Minkowski……… 21

2.1 Định nghĩa đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng

entz-Minkowski ……….21

2.2 Các tính chất của đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz-Minkowski 23

II Độ cong và độ xoắn của đường cong trong 𝐸13 24

2.3 Nhận xét 25

2.4 Độ cong và độ xoắn của đường cong trong các trường hợp: kiểu thời gian, kiểu không gian, kiểu ánh sáng 25

2.5 Đường cong phẳng với độ cong không đổi 35

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

LỜI NÓI ĐẦU

Về đường cong trong không gian Ơclit trong hình học vi phân cổ điển

đã được biết khá rõ, ở đấy hình học được xây dựng dựa trên tích vô hướng thông thường, bình phương mỗi vectơ đều không âm Khác với hình học Ơclit, hình học trong không gian Lorentz-Minkowski được xây dựng dựa trên dạng song tuyến tính đối xứng không xác định dương, do đó bình phương mỗi vectơ khác 0 có thể dương, âm hoặc bằng 0, từ đó dẫn đến sự khác nhau của hình học trên không gian Ơclit và trên không gian Lorentz-Minkowski Vì mong muốn tìm hiểu những khác biệt đó và dưới sự hướng dẫn của TS

Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là "Về tính kiểu không

gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng và đường cong trong không gian Lorentz-Minkowski"

Luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương I: Về tính kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz-Minkowski

Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, các kiến thức cơ bản của không gian Lorentz-Minkowski, không gian con, không gian con trực giao, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tích Lorentz của các vectơ trong không gian Lorentz-Minkowski

Chương II: Một số tính chất của đường cong trong không gian Minkowski

Lorentz-Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng và tính chất của các đường cong đó trong không gian Lorentz-Minkowski, nghiên cứu độ cong và độ xoắn trong các trường hợp cụ thể của đường cong để chỉ ra sự khác biệt với không gian Ơclit

Vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn có nhiều thiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, chúng tôi rất mong nhận được

sự chỉ bảo, góp ý của các Thầy Cô giáo và các bạn đọc để luận văn hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Nghệ An, tháng 10 năm 2013

Học viên Phạm Thị Hiền

CHƯƠNG 1: VỀ TÍNH KIỂU KHÔNG GIAN, KIỂU THỜI GIAN, KIỂU ÁNH SÁNG TRONG KHÔNG

GIAN LORENTZ -MINKOWSKI

Về các tính chất của không gian Lorentz-Minkowski, không gian con của không gian Lorentz-Minkowski và bất đẳng thức Cauchy-Scwhart đã được nghiên cứu rất nhiều trong các tài liệu như tài liệu [5], tài liệu [6]…với mong muốn tìm hiểu thêm về các tính chất đó một cách chi tiết hơn chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về không gian Lorentz-Minkowski với các tính chất được

mở rộng trong không gian n-chiều để làm kiến thức cơ sở cho chương sau

I Không gian Lorentz-Minkowski

1.1 Định nghĩa không gian Lorentz-Minkowski:

1.1.1 Định nghĩa (xem [6]):

Xét không gian afin 𝑅𝑛 với nền là không gian vectơ 𝑅𝑛 Trên không

gian vectơ này ta trang bị một tích vô hướng xác định bởi:

1.1.2 Định nghĩa (xem [5]):

Với 𝑥 ∈ 𝐸1𝑛 ta gọi môđun hoặc chuẩn của vectơ x là số 𝑥, 𝑥 và kí

hiệu: 𝑥 = 𝑥, 𝑥 Vectơ x được gọi là vectơ đơn vị nếu có môđun bằng 1

 Nếu x là vectơ kiểu không gian ta viết 𝑥 = 𝑥, 𝑥

 Nếu x là vectơ kiểu thời gian ta viết 𝑥 = − 𝑥, 𝑥

Kí hiệu một vectơ 𝑥 ∈ 𝑅𝑛−1 với 𝑥 = 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 Khi đó ta có

𝑥, 𝑥 = −𝑥12 + |𝑥 |2 trong đó |𝑥 | là môđun của 𝑥 trong 𝑅𝑛−1 với tích vô

hướng tự nhiên

1.2 Các loại vectơ trong không gian Lorentz-Minkowski

1.2.1 Định nghĩa (xem [5]): Cho vectơ 𝑥 ∈ 𝐸1𝑛 Khi đó :

 𝑥 được gọi là vectơ kiểu không gian nếu 𝑥, 𝑥 > 0 hoặc 𝑥 = 0

 𝑥 được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu 𝑥, 𝑥 < 0

 𝑥 được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu 𝑥, 𝑥 = 0 và 𝑥 ≠ 0

Trong không gian 𝐸13 ở tài liệu [5] người ta đã có các ví dụ về các vectơ kiểu thời gian, kiểu không gian và kiểu ánh sáng, bây giờ chúng tôi xét các ví dụ tương tự về các vectơ kiểu thời gian, kiểu không gian và kiểu ánh sáng nhưng trong không gian 𝐸1𝑛

1.2.2 Ví dụ : Trong không gian 𝐸1𝑛; ∀𝑛 ≥ 3 với cơ sở trực chuẩn

𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 , khi đó:

 𝑒1 là vectơ kiểu thời gian vì: 𝑒1, 𝑒1 = −1 < 0

 𝑒2, … , 𝑒𝑛 là các vectơ kiểu không gian vì:

1.2.3 Mệnh đề (xem [2]):

Cho không gian Lorentz – Minkowski 𝐸1𝑛 khi đó:

i) Hai vectơ kiểu ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau ii) Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau iii) Với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸1𝑛 nếu 𝑥 ≠ 0, 𝑦, 𝑦 < 0, 𝑥, 𝑦 = 0 thì 𝑥, 𝑥 > 0 Nói cách khác, một vectơ khác 0 nếu trực giao với vectơ kiểu thời gian thì nó là một vectơ kiểu không gian

1.2.4 Chú ý (xem [2]): Một vectơ trực giao với vectơ kiểu không gian thì

chưa hẳn là vectơ kiểu thời gian

II Không gian con của không gian Lorentz-Minkowski

1.3 Đặc trƣng của không gian con

(ii) W được gọi là kiểu thời gian nếu và chỉ nếu , /W là không suy biến có chỉ số 1

(iii) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu và chỉ nếu , /W là suy biến và

+ Ta xét mặt phẳng sinh bởi 𝑒1, 𝑒2+ +𝑒𝑛 , kí hiệu 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒1, 𝑒2 + ⋯ + 𝑒𝑛 khi đó ta có : 𝑒1, 𝑒1 = −1 ⇒ 𝑒1 là vectơ kiểu thời gian, do đó 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒1, 𝑒2 + ⋯ + 𝑒𝑛 chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian nên theo định nghĩa nó là phẳng kiểu thời gian Tương tự 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒1, 𝑒2 + 𝑛𝑖=3𝑒𝑖 là phẳng kiểu thời gian

+ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 là kiểu không gian vì:

∀𝑢 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒2, 𝑒3,… , 𝑒𝑛 ⇒ 𝑢 = 𝑎2𝑒2 + 𝑎3𝑒3+ +𝑎𝑛𝑒𝑛 = 0, 𝑎2, 𝑎3, , 𝑎𝑛 với ∀𝑎𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 = 2, 𝑛; 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛2 ≠ 0 Suy ra 𝑢, 𝑢 = 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛2 > 0,

do đó 𝑢 là vectơ kiểu không gian với ∀𝑢 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒2, 𝑒3… , 𝑒𝑛 Vậy

𝑒2, 𝑒3… , 𝑒𝑛 là phẳng kiểu không gian

+ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒1 + 𝑒2, 𝑒3 + ⋯ + 𝑒𝑛−1 + 𝑒𝑛 là kiểu ánh sáng vì:

∀𝑢 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒1 + 𝑒2, 𝑒3 + ⋯ + 𝑒𝑛−1 + 𝑒𝑛

⇒ 𝑢 = 𝑎 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑏 𝑒3 + ⋯ + 𝑒𝑛 = 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, … , 𝑏 với 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0 Giả sử 𝑣 = 𝑐, 𝑐, 𝑑, 𝑑 … , 𝑑 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒1 + 𝑒2, 𝑒3 + ⋯ + 𝑒𝑛−1 + 𝑒𝑛

Ta có 𝑢, 𝑣 = −𝑎𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑑 + ⋯ + 𝑏𝑑 = 𝑛 − 2 𝑏𝑑

Giả sử 𝑢, 𝑣 = 0 ⇔ 𝑛 − 2 𝑏𝑑 = 0, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0

⇒ 𝑑 = 0 ⇒ ∃𝑐 ≠ 0: 𝑢, 𝑣 = 0 ⇒ ∃𝑣 ≠ 0: 𝑢, 𝑣 = 0

Suy ra , suy biến và 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑒1 + 𝑒2, 𝑒3 + ⋯ + 𝑒𝑛−1 + 𝑒𝑛 ≠ 0

Vậy 𝑒1 + 𝑒2, 𝑒3 + ⋯ + 𝑒𝑛−1 + 𝑒𝑛 là phẳng kiểu ánh sáng

Tương tự 𝑒1 + 𝑒2, 𝑛𝑖=3𝑒𝑖 là phẳng kiểu ánh sáng

1.4 Không gian con trực giao

1.4.1 Định nghĩa (xem [5]):

Cho (𝑉, , ) là không gian với tích vô hướng không suy biến và 𝑈 ⊂ 𝑉

là không gian vectơ con của không gian 𝑉 Khi đó ta gọi

𝑈⊥ = 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢, 𝑣 = 0, ∀𝑢 ∈ 𝑈

là không gian con trực giao với không gian 𝑈

1.4.2 Bổ đề (xem [5]): Cho (𝑉, , ) là không gian với tích vô hướng không

suy biến Khi đó:

(i) Nếu 𝑈 là không gian con của 𝑉 thì 𝑑𝑖𝑚 𝑈⊥ = 𝑑𝑖𝑚 𝑉 − 𝑑𝑖𝑚 𝑈 (ii) Nếu 𝑈 là không gian con của 𝑉 thì 𝑈⊥ ⊥ = 𝑈

(iii) Nếu 𝑈 là không gian con không suy biến của 𝑉 thì 𝑈⊥ cũng là không gian con không suy biến

1.4.3 Mệnh đề (xem [5]):

(i) Cho 𝑣 ∈ 𝐸1𝑛 Khi đó 𝑣 là một vectơ kiểu thời gian khi và chỉ khi

𝑣 ⊥ là không gian kiểu không gian và như vậy 𝐸1𝑛 = 𝑣 ⨁ 𝑣 ⊥ Tương tự, 𝑣

là vectơ kiểu không gian khi và chỉ khi 𝑣 ⊥ là không gian kiểu thời gian

(ii) Cho 𝑈 là không gian con của không gian 𝑉 Khi đó 𝑈 là kiểu không gian khi và chỉ khi 𝑈 ⊥ là kiểu thời gian

(iii) Cho 𝑈 là không gian con của không gian 𝑉 Khi đó 𝑈 là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi 𝑈 ⊥ là kiểu ánh sáng

Chứng minh:

(i) Nếu 𝑣 là vectơ kiểu thời gian, bằng cách nhân lên một số nếu cần

thiết chúng ta xem 𝑣 như là một phần tử của cơ sở trực chuẩn của 𝐸1𝑛 là

𝐵 = 𝑣, 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 với 𝑣, 𝑣 = −1, 𝑒𝑖, 𝑒𝑖 = 1, 𝑒𝑖, 𝑒𝑗 = 0, 𝑣, 𝑒𝑗 = 0

∀𝑖, 𝑗 = 2, 𝑛 Khi đó 𝑣 ⊥ = 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 mà nó là một không gian con kiểu

không gian

Điều ngược lại, cho 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 là một cơ sở trực chuẩn của 𝑣 ⊥, ở

đây , | 𝑣 ⊥ là tích vô hướng xác định dương Khi đó 𝑣 ∉ 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 , thật

vậy giả sử 𝑣 ∈ 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 ∈ 𝑣 ⊥, khi đó 𝑣 ⊥ 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 (∗) và 𝑣 được

biểu diễn dưới dạng: 𝑣 = 𝛼2𝑒2 + 𝛼3𝑒3 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑒𝑛 trong đó

∃𝛼𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 2, 𝑛 , ta giả sử 𝛼2 ≠ 0, khi đó: 𝑣, 𝑒2 = 𝛼22 > 0 (mâu thuẫn với

(*)) Vậy 𝑣 ∉ 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 hay 𝑣, 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 là độc lập tuyến tính trong

đó 𝑣, 𝑣 < 0 vì nếu 𝑣, 𝑣 > 0 thì 𝑣, 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 là hệ xác định dương

(mâu thuẫn với giả thiết 𝑣, 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑛 ∈ 𝐸1𝑛 là không gian chỉ số 1) Do đó

𝑣 là vectơ kiểu thời gian

(ii) Nếu 𝑈 là một không gian con kiểu không gian, cho 𝑣 ∈ 𝑈 là một

vectơ kiểu không gian Khi đó 𝑈⊥ ⊂ 𝑣 ⊥ Mặt khác vì 𝑣 ⊥ là không gian

kiểu thời gian (suy ra từ i) nên 𝑈⊥ là không gian kiểu thời gian

Điều ngược lại, giả sử 𝑈⊥ là một không gian con kiểu thời gian, cho

𝑣 ∈ 𝑈⊥ là một vectơ kiểu thời gian Khi đó 𝑈⊥ ⊥ ⊂ 𝑣 ⊥ Mà 𝑣 ⊥ là không

gian kiểu không gian (theo i) nên 𝑈⊥ ⊥ = 𝑈 là không gian kiểu không gian

(iii) Giả sử 𝑈 là không gian kiểu ánh sáng, cho 𝑣 ∈ 𝑈 là một vectơ kiểu

ánh sáng Suy ra 𝑣 không là vectơ kiểu không gian cũng không phải là vectơ

kiểu thời gian 𝑣 ⊥không phải là không gian kiểu thời gian cũng không phải

là không gian kiểu không gian (theo i), do đó 𝑣 ⊥ là không gian kiểu ánh

sáng Mặt khác 𝑈⊥ ⊂ 𝑣 ⊥ mà 𝑣 ⊥ là không gian kiểu ánh sáng nên 𝑈⊥ là

không gian kiểu ánh sáng

1.4.4 Mệnh đề (xem [5]): Trong không gian Lorentz-Minkowski 𝐸1𝑛

(i) Cho 𝑢 và 𝑣 là hai vectơ kiểu ánh sáng Khi đó chúng là phụ thuộc

tuyến tính khi và chỉ khi 𝑢, 𝑣 = 0

(ii) Cho 𝑢 và 𝑣 là hai vectơ kiểu thời gian hoặc ánh sáng với 𝑢, 𝑣 = 0,

khi đó chúng là vectơ kiểu ánh sáng

(iii) Cho 𝑈 là không gian con kiểu ánh sáng, khi đó 𝑑𝑖𝑚 𝑈 ∩ 𝑈⊥ = 1

Chứng minh: Trong không gian Lorentz-Minkowski 𝐸1𝑛 gọi 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 là

cơ sở trực chuẩn

(i) Cho 𝑢 và 𝑣 là hai vectơ kiểu ánh sáng phụ thuộc tuyến tính, theo

mệnh đề 1.2.2.1 ta có 𝑢 và 𝑣 trực giao nhau Vậy 𝑢, 𝑣 = 0

Ngược lại ta giả sử chúng trực giao nhau Trong sự phân tích

𝐸1𝑛 = 𝑒1 ⊥⨁ 𝑒1 , chúng ta viết 𝑢 = 𝑥 + 𝜔1 và 𝑣 = 𝑥′ + 𝜔2 với

𝑥, 𝑥′ ∈ 𝑒1 ⊥, 𝜔1, 𝜔2 ∈ 𝑒1 và ta giả sử 𝜔1 = 𝑘𝜔2 khi đó 𝑘𝑣 = 𝑘𝑥′ + 𝜔1 vì

𝑘𝑣 và 𝑣 có cùng tính chất nên ta có thể thay 𝑘𝑣 bằng 𝑣, khi đó ta có thể viết

𝑣 = 𝑦 + 𝜔1 với 𝑦 = 𝑘𝑥′ ∈ 𝑒1 ⊥ Nếu 𝑢, 𝑣 = 0 và cả hai là vectơ kiểu ánh

⇔ 𝑥 − 𝑦 2 = 0 suy ra 𝑥 = 𝑦 Do đó chúng ta có 𝑢 = 𝑣, hay 𝑢 và 𝑣 là hai

vectơ phụ thuộc tuyến tính

(ii) Nếu 𝑢 và 𝑣 là hai vectơ là kiểu thời gian, bằng cách sử dụng

𝐸1𝑛 = 𝑣 ⊥⨁ 𝑣 , với 𝑣 ⊥ là không gian con kiểu không gian, chúng ta viết

𝑢 = 𝑥 + 𝜆𝑣 với 𝑥 ∈ 𝑣 ⊥ khi đó: 𝑢, 𝑣 = 𝑣, 𝑥 + 𝜆 𝑣, 𝑣 = 𝜆 𝑣, 𝑣 Nếu

𝑢, 𝑣 = 0 thì 𝜆 = 0 và 𝑢 = 𝑥 sẽ là kiểu không gian (trái giả thiết) Do đó

𝑢, 𝑣 ≠ 0 Sự biện luận hoàn toàn tương tự đối với trường hợp một vectơ

kiểu ánh sáng và một vectơ kiểu thời gian Do đó cả hai vectơ phải là vectơ

kiểu ánh sáng

(iii) Nếu 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈 ∩ 𝑈⊥ thì 𝑢, 𝑣 = 0 Do đó chúng phụ thuộc tuyến

tính Điều này chứng tỏ rằng 𝑑𝑖𝑚 𝑈 ∩ 𝑈⊥ ≤ 1 Nếu số chiều đúng bằng 0

thì 𝐸1𝑛 = 𝑈⨁𝑈⊥, và vì vậy mọi vectơ của 𝐸1𝑛 đều là vectơ kiểu ánh sáng

1.5 Các mệnh đề tương đương về không gian con

1.5.1 Mệnh đề (xem [5]):

Cho 𝑈 ∈ 𝐸1𝑛 là một không gian con 𝑚 chiều 𝑚 ≥ 2 Khi đó các mệnh

đề sau tương đương:

(i) 𝑈 là không gian con kiểu thời gian

(ii) 𝑈 chứa hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính

Chứng minh:

(i) (ii) Cho 𝑈 = 𝑒1; 𝑒2; … ; 𝑒𝑚 là không gian con kiểu thời gian của

𝐸1𝑛 Ta mở rộng cơ sở của 𝑈 đến một cơ sở trực chuẩn của 𝐸1𝑛 là

Do đó 𝑒1 + 𝑒2 và 𝑒1 − 𝑒2 là hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính

Vậy 𝑈 chứa hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính

(ii) ⇒(i) Nếu 𝑢 và 𝑣 là hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính, khi

đó 𝑢 + 𝑣 hoặc 𝑢 − 𝑣 là vectơ kiểu thời gian vì:

𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣 = 2 𝑢, 𝑣

𝑢 − 𝑣, 𝑢 − 𝑣 = −2 𝑢, 𝑣

Và 𝑢, 𝑣 ≠ 0 do cả hai đều là vectơ kiểu ánh sáng (theo mệnh đề 1.4.4 ) Vậy 𝑈 chứa một vectơ kiểu thời gian, do đó U là không gian con kiểu thời gian (theo định nghĩa)

1.5.2 Mệnh đề (xem [5]):

Cho 𝑈 là một không gian con của không gian Lorentz-Minkowski 𝐸1𝑛

Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i) 𝑈 là không gian con kiểu ánh sáng

(ii) 𝑈 ∩ 𝐶𝑛 = 𝐿 − 0 , và 𝑑𝑖𝑚𝐿 = 1, trong đó 𝐶𝑛 là tập tất cả các vectơ ánh sáng của 𝐸1𝑛, kí hiệu

𝐶𝑛 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐸1𝑛; −𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛−12 + 𝑥𝑛2 = 0 − 0,0, … ,0

III Các hệ thức liên quan về môđun, tích Lorentz của các vectơ

trong không gian Lorentz-Minkowski

Trên cơ sở bất đẳng thức Cauchy – Schwarz trong không gian Ơclit với tích vô hướng thông thường và tích có hướng của các vectơ trong 𝑅𝑛, trong phần này ta chủ yếu nghiên cứu bất đẳng thức này đối với các loại vectơ kiểu thời gian trong không gian Lorentz– Minkowski 𝐸1𝑛 để chỉ ra sự khác biệt giữa hai loại không gian trên, đồng thời nghiên cứu tích Lorentz của các vectơ trong không gian Lorentz – Minkowski 𝐸13

1.6 Kiến thức nhắc lại:

* Bất đẳng thức Cauchy-Scwharz trong không gian Ơclit : Nếu x và y là

các phần tử của không gian Ơclit với tích vô hướng thông thường thì

𝑥, 𝑦 2 ≤ 𝑥, 𝑥 𝑦, 𝑦 hay 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑥 𝑦

với chuẩn 𝑥 = 𝑥, 𝑥 = 𝑥12+𝑥22+ ⋯ + 𝑥𝑛2, dấu đẳng thức xảy khi và chỉ

khi x và y phụ thuộc tuyến tính

* Bất đẳng thức tam giác (hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) : cho

các vectơ x và y trong không gian Ơclit với tích vô hướng thông thường khi

đó ta có bất đẳng thức :

𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦

dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính

1.7 Bất đẳng thức Cauchy-Scwharz với vectơ kiểu thời gian trong không gian Lorentz– Minkowski 𝑬𝟏𝒏

Dấu của bất đẳng thức Cauchy-Scwharz với vectơ kiểu thời gian trong không gian Lorentz– Minkowski 𝐸1𝑛 hoàn toàn ngược lại với dấu của bất đẳng thức Cauchy-Scwharz trong không gian Ơclit thông thường, đây chính là sự

khác nhau giữa hai loại không gian

1.7.1 Định nghĩa (xem [5]): Gọi là tập hợp tất cả các vectơ kiểu thời gian

của 𝐸1𝑛 Với mỗi 𝑥 ∈ T ta định nghĩa nón kiểu thời gian của 𝑢 là tập hợp cho bởi:

𝐶 𝑢 = 𝑦 ∈ 𝑇; 𝑥, 𝑦 < 0 ≠ Φ

1.7.2 Định lý (xem [5]) : Cho x và y là các vectơ kiểu thời gian trong không

gian Lorentz-Minkowski 𝐸1𝑛 Khi đó với tích vô hướng đã cho thì

− 𝑥, 𝑥 − 𝑦, 𝑦 ≤ 𝑥, 𝑦 hay 𝑥 𝑦 ≤ 𝑥, 𝑦 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y là phụ thuộc tuyến tính.Và khi cả

hai vectơ cùng nằm trong một nón kiểu thời gian thì có duy nhất một số thực

không âm 𝜂 𝑥, 𝑦 sao cho:

𝑥, 𝑦 = − 𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜂 𝑥, 𝑦

và 𝜂 𝑥, 𝑦 được gọi là góc Lorentz kiểu thời gian giữa x và y

Chứng minh: Ta xét hai vectơ độc lập tuyến tính kiểu thời gian x và y, với

𝑈 = 𝑥, 𝑦 là mặt phẳng kiểu thời gian Theo mệnh đề 1.5.1 tồn tại các số 𝛼,𝛽 ≠ 0 sao cho phương trình:

𝛼𝑥 + 𝛽𝑦, 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝛼2 𝑥, 𝑥 + 𝛽2 𝑦, 𝑦 + 2𝛼𝛽 𝑥, 𝑦 = 0

có nghiệm Hơn nữa 𝛼 ≠ 0 nên chia cả hai vế cho 𝛼2 ta được phương trình

𝑥, 𝑥 + 2𝜆 𝑥, 𝑦 + 𝜆2 𝑦, 𝑦 = 0 với 𝜆 = 𝛽

𝛼

là phương trình bậc hai theo 𝜆 luôn có nghiệm, từ đó suy ra biệt số của

phương trình phải dương tức là:

𝑥, 𝑥 𝑦, 𝑦 < 𝑥, 𝑦 2(*) hay − 𝑥, 𝑥 − 𝑦, 𝑦 < 𝑥, 𝑦

và khi x và y phụ thuộc tuyến tính thì ta lại có đẳng thức:

− 𝑥, 𝑥 − 𝑦, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 Vậy ta luôn có − 𝑥, 𝑥 − 𝑦, 𝑦 ≤ 𝑥, 𝑦 hay 𝑥 𝑦 ≤ 𝑥, 𝑦

Mặt khác từ (*) ta có:

𝑥, 𝑦 2

− 𝑥, 𝑥 − 𝑦, 𝑦 ≥ 1 ⇒

− 𝑥, 𝑦 − 𝑥, 𝑥 − 𝑦, 𝑦 ≥ 1

vì 𝑥, 𝑦 = −𝑥1𝑦1 < 0 Vậy khi đó tồn tại một hàm 𝑐𝑜𝑠ℎ: 0, ∞) ⟶ 1, ∞) và tồn tại duy nhất một số thực không âm 𝜂 𝑥, 𝑦 sao cho:

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜂 𝑥, 𝑦 = − 𝑥, 𝑦

− 𝑥, 𝑥 − 𝑦, 𝑦 =

− 𝑥, 𝑦

𝑥 𝑦 hay 𝑥, 𝑦 = − 𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜂 𝑥, 𝑦

Trong không gian Ơclit từ bất đẳng thức Cachy-Scwharz người ta thu được hệ quả là bất đẳng thức tam giác và điều tương tự cũng xảy ra đối với không gian Lorentz-Mikowski và trong phần này chúng tôi đã chứng minh tính chất đó

1.7.3 Hệ quả (bất đẳng thức tam giác) (xem [5]) : Nếu x và y là hai vectơ

kiểu thời gian cùng nằm trong một nón kiểu thời gian, khi đó:

𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥 + 𝑦 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính

1.7.4 Định lý (xem [6]): Cho x và y là các vectơ kiểu không gian độc lập

tuyến tính trong 𝐸1𝑛 Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

i) Các vectơ x và y thỏa mãn 𝑥, 𝑦 < 𝑥 𝑦

ii) Không gian con V sinh bởi x và y là kiểu không gian

1.7.5 Định lý (xem [6]): Cho x và y là các vectơ kiểu không gian độc lập

tuyến tính trong 𝐸1𝑛 Khi đó các mệnh đề sau tương đương :

i) Các vectơ x và y thỏa mãn 𝑥, 𝑦 > 𝑥 𝑦

ii) Không gian con V sinh bởi x và y là kiểu thời gian

1.7.6 Định lý (xem [6]): Cho x và y là các vectơ kiểu không gian độc lập

tuyến tính trong 𝐸1𝑛 Khi đó các mệnh đề sau tương đương :

i) Các vectơ x và y thỏa mãn 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦

ii) Không gian con V sinh bởi x và y là kiểu ánh sáng

Chứng minh: Giả sử 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 khi đó theo định lý 1.7.4 suy ra không gian con V sinh bởi x và y không phải là kiểu không gian và theo định lý 1.7.5 suy ra không gian con V sinh bởi x và y không phải là kiểu thời gian, vậy không gian con V sinh bởi x và y là kiểu ánh sáng

Ngược lại, giả sử không gian con V sinh bởi x và y là kiểu ánh sáng Khi đó nó không phải là không gian kiểu thời gian cũng không phải là không gian kiểu không gian Do đó theo định lý 1.7.4 và theo định lý 1.7.5 suy ra

𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦

1.8 Tích Lorentz giữa các vectơ trong 𝐸13

Ta đã biết tính chất tích có hướng của các vectơ trong 𝑅3 như sau: Với

𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ; 𝑦 = 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 tích có hướng của các vectơ trong 𝑅3 được định nghĩa:

𝑥 × 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2; 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3; 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 Khi đó với 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜔 là các vectơ trong 𝑅3 ta có :

iv) ) 𝑥 × 𝑦 𝑧 × 𝜔 = 𝑦 𝑧 𝑦 𝜔 𝑥 𝑧 𝑥 𝜔

Dựa vào các tính chất trên người ta đã nghiên cứu tích các tính chất tương tự của các vectơ trong không gian Lorent-Minkowski và gọi là tích Lorentz của các vectơ trong không gian 𝐸13 Và dựa vào tài liệu [5] và tài liệu

[6] chúng tôi đi chứng minh các tính chất của tích Lorentz như mục 1.8.2, 1.8.3, 1.8.5

= 𝑥3𝑦2 − 𝑥2𝑦3, 𝑦1𝑥3 − 𝑥1𝑦3, 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1

Vậy 𝐽 𝑥 × 𝑦 = 𝐽 𝑦 × 𝐽 𝑥

ii) Ta chứng minh 𝑥, 𝐽 𝑦 = 𝑥 𝑦