Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian euclide

Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide .... Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến trong khôn

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới T.S Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Học viên

Nguyễn ngọc Bình

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Học viên

Nguyễn ngọc Bình

MỤC LỤC

Mở đầu 1

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach 3

1.1.1 Không gian định chuẩn 3

1.1.2 Không gian Banach 3

1.2 Nguyên lý ánh xạ co 4

1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 5

1.4 Toán tử đơn điệu trong không gian Banach và không gian Hilbert và phương trình toán tử 10

1.4.1 Khái niệm toán tử đơn điệu 10

1.4.2 Toán tử d - đơn điệu 10

1.4.3 Toán tử đơn điệu đều 11

1.4.4 Toán tử đơn điệu mạnh 11

1.4.5 Toán tử coercive 11

1.4.6 Phương trình toán tử 12

1.5 Một số khái niệm liên tục 12

1.5.1 Toán tử đêmi liên tục 12

1.5.2 Toán tử hê mi liên tục 12

1.5.3 Toán tử rađian liên tục 13

1.5.4 Toán tử liên tục Lipschitz 13

1.5.5 Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn 13

2 Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide 14

2.1 Phương pháp thác triển theo tham số 14

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm 14

2.1.2 Ước lượng tốc độ hội tụ 18

2.2 Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình tuyến tính trong n 21

2.2.1 Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình (2.19) sử dụng phương pháp thác triển theo tham số 23

2.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển theo tham số 23

2.2.3 Ví dụ 27

2.3 Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến trong không gian n 31

2.3.1 Định nghĩa 31

2.3.2 Định lý tồn tại của phương trình nghiệm (2.33) 32

2.3.3 Ví dụ 33

3 Ứng dụng phần mềm Toán học vào giải bài toán hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide 39

3.1 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm Toán học 39

3.1.1 Ví dụ 1 39

3.2 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phần mềm toán học 47

3.2.1 Ví dụ 1 47

3.2.2 Ví dụ 2 52

Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học đề cập đến Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn và có hiệu lực mạnh mẽ Nhưng trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng, do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán tử theo quan điểm xấp xỉ

Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ của phương trình toán tử rất phong phú đa dạng Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụng rộng rãi

Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn bước theo tham số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co Phương pháp thác triển tham số ứng dụng nhiều để giải các phương trình toán

tử phi tuyến trong các không gian định chuẩn khác nhau và giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide là một trong những ứng của phương pháp này

Bởi vậy tôi đã chọn đề tài :

“Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn trình bày những nghiên cứu lí thuyết của phương pháp thác triển theo tham số để giải hệ phương trình toán tử phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Phương pháp thác triển theo tham số

- Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình toán tử phi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống những vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập

6 Đóng góp mới của luận văn

- Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển theo tham số

- Giải hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến trên máy tính điện tử

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực hay phức

Hàm thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu:

1.1.2 Không gian Banach

Không gian định chuẩn X là không gian mêtric đầy với mêtric sinh bởi

chuẩn được gọi là không gian Banach

i i

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M X d,  vào chính

nó đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x X thỏa mãn hệ thức

Ax =x

Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ :A X X thỏa mãn điều kiện :d Ax Ay( , )d x y( , ) với hằng số  1 và x y, X

Khi đó tồn tạo duy nhất phần tử *

x sao cho x* Ax*, hơn nữa với mọi

1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Ta xét phương trinh toán tử phi tuyến

Nếu giả thiết thêm rằng <1 thì ta nói rằng toán tử A là toán tử co trong X

Định lí 1.3.1

Giả sử toán tử A tác động trong X và là toán tử co Khi đó phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp đơn

x n  A x( n1) n1, 2, , (1.2)

Trong đó x0 là phần tử tùy ý trong X Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác

định bởi một trong các công thức

0

n n

trong đó x* là nghiệm của phương trình (1.1)

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng dãy  x n là dãy cơ bản từ đó

suy ra sự hội tụ của nó

Điều này có nghĩa là *

x là nghiệm của phương trình (1.1)

Ta chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.1) là duy nhất Kí hiệu ,

x y là nghiệm của phương trình (1.1)

Khi đó các kết luận của định lí 1.3.1 vẫn đúng

Từ giả thiết của định lí này suy ra A là toán tử tác động trong S

Giả sử A là một toán tử tác động trong không gian Banach X, và một

lũy thừa nào đó k

A của toán tử A là một toán tử co trong X Khi đó phương

trình (1.1) có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.2) Tốc độ hội tụ được xác định bằng công thức

A x là điểm bất động của toán tử A Do đó tính chất duy k

nhất của điểm bất động của toán tử k

A , ta suy ra

x*  A x( )*

Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (1.1) có nghiệm Tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.1) được suy ra từ tính duy nhất nghiệm của phương trình

Nếu đặt n k  j thì

k j  j (j0,1,2, )

Từ đó dễ dàng thu được bất đẳng thức

 

Định lí được chứng minh

Định lí 1.3.5

Giả sử X là một không gian Banach, toán tử F x y( , ) tác động từ XX

vào X và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

1.4.1 Khái niệm toán tử đơn điệu

Giả sử X là không gian định chuẩn thực, *

X là không gian liên hợp của X Toán tử A:   *

D A X X được gọi là toán tử đơn điệu trên D A 

nếu:

A x  A y xy  x yD A (1.7) Trong đó A x,  A x (Giá trị của phiếm hàm A tại x )

Nếu x y, D X  ta có A x A y x ,  y 0 thì toán tử A được gọi là đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt)

Ví dụ 1.4.1 Cho không gian Hilbert H Khi đó ta có *

1.4.2 Toán tử d-đơn điệu

Cho không gian định chuẩn X , toán tử *

1.4.3 Toán tử đơn điệu đều

Cho không gian định chuẩn X , toán tử *

1.4.4.Toán tử đơn điệu mạnh

Cho không gian định chuẩn X , toán tử *

Như vậy nếu A là toán tử coercive thì: lim ,

u

Au u u

x t K t s x s ds f t f t C

Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2

1.5 Một số khái niệm liên tục

1.5.1 Toán tử đêmi liên tục

Giả sử X Y, là hai không gian định chuẩn và ánh xạ

A X Y

Ánh xạ A được gọi là đêmi liên tục tại x0D A X nếu với mọi dãy

 x n D mà x n x0 0 khi n thì A x hội tụ yếu về  n G x  0

1.5.2 Toán tử hêmi liên tục

Giả sử X Y, là hai không gian định chuẩn và ánh xạ

1.5.3 Toán tử rađian liên tục

Cho không gian định chuẩn X , toán tử *

:

A X X gọi là rađian liên tục nếu u v, X thì hàm số  s  A u sv v, liên tục trên  0,1

1.5.4 Toán tử liên tục Lipschitz

Giả sử X là không gian định chuẩn, *

X là không gian liên hợp của X

1.5.5 Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn

Giả sử X là không gian định chuẩn, *

X là không gian liên hợp của X

:

A X X được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm số

 đơn điệu tăng trên 0, sao cho u v, X :

 , max , 

Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

2.1 Phương pháp thác triển theo tham số

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm

Xét họ một tham biến các phương trình toán tử

xAx f , 0  1 (2.1) Với 0 ta có phương trình thường x f

Với 1 ta có phương trình:

xAx f (phương trình loại hai) (2.2) Nếu toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì có thể chỉ ra được 0 0 sao cho 0L1 bằng cách cố định một số tự nhiên N sao cho

Mà 00L1 suy ra 0A là toán tử co

Giả sử nghiệm của phương trình (2.1) là ( )x  và giả sử x( )0 tìm được

Như vậy ta đã trượt một bước 0 theo tham biến  từ phần tử (0)x  f

theo hướng đến phần tử (1)x u

Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến  sẽ đến nghiệm của phương trình (2.2) sau một số hữu hạn bước

Xét phương trình loại hai:

xAx f (2.3) Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần

tử cho trước

Giả thiết A(0)=0

Định lý 2.1.1

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong khong gian Banach X là liên tục Lipschitz

và đơn điệu Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất với phần tử tùy ý

f X

Chứng minh

Giả sử ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L

Ta cố định một số tự nhiên N sao cho N>L và đặt 0 1

Sau các phép thay biến trên phương trình (2.3) có dạng:

Như vậy phương trình xuất phát (2.3) tương đương với phương trình (2.5) cũng giải được duy nhất với phần tử tùy ý f

Cụ thể đối với phương trình:

x Ax  f

Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần

tử cho trước Giả thiết A(0) = 0

Giả sử hằng số Lipschitz là L và 1

2

L  Trong trường hợp này có thể lấy số N= 2

Khi đó

x  x   f (2.6) đặt

1Ax=F1

2

y  x x (2.7) phương trình (2.6) tương đương với phương trình

1AF1 1

2

y  y f (2.8) Đầu tiên ta tìm nghiệm y từ phương trình (2.8) sau đó đặt y vào (2.7) ta

sẽ tìm được x Nghiệm y trong phương trình (2.8) có thể tìm bằng công thức xấp xỉ của phép lặp đơn

1 1AF (1 1 ) , 0,1, 2

2

y    y  f n (2.9) Mỗi lần muốn tìm 1

Ta có thể hiểu cách viết (2.11) như sau

Ta lấy xấp xỉ không x0 x và dựng quá trình lặp

2.1.2 Ước lượng tốc độ hội tụ

Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách tự nhiên là trong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép lặp

Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng n phép lặp Ta giả thiết toán tử trong định lý (2.1) thỏa mãn điều kiện A(0) = 0

Định lý 2.1.2

Giả sử ánh xạ A tác động trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ{x(n,N)}, N>L, n=1,2,…, được dựng trong quá trình lặp (2.12), hội tụ đến nghiệm đúng x của phương trình (2.3), theo chuẩn của không gian X, hơn nữa ta có ước lượng

 

1

exp( ) 1 ( , )

Ta thiết lập ước lượng

Bài toán 1 (một bước theo tham biến )

Như đã chứng minh, trong phương trình này toán tử 1

0AF1

 

là toán tử co

do đó nhờ nguyên lý ánh xạ co phương trình (2.13) có nghiệm y Giá trị xấp

xỉ của phần tử y thu được nhờ quá trình lặp

y n  0AF11 f (2.14) Với sai số ( ) n Vì toán tử 0A co với hệ số co q0L1 nên sai số ( )n

 cho đối số của toán tử 0A tương đương với sai số q( )n cho vế phải của phương trình

Lý luận tương tự với bài toán k:

xkAx f f, [1,N] ta thu được ước lượng

x nx k( 0)  k( )n k( ) ( ),n  1 n (2.15) 1( )n q[i1( ) n  1( )]n ( ), 1n  i k (2.16) Trong đó n là số các phép lặp thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng Viết bất đẳng thức (2.16) dưới dạng khác

k exp[ (q k 1)], k2,3,4, ,N (2.17)

Do đó có thể viết ước lượng sai số (2.16) đới với bài toán K dưới dạng sau đây nếu lưu ý đến ước lượng (2.16)

0

1 1

exp( ) 1exp[ ( 1)]

exp( ) 1

k

i k

Ta đã biết rằng chuẩn của ma trận n n

A  tương thích với chuẩn của vectơ trong nđược xác định bởi hệ thức:

 1 12

2 2

ij

j n i

T i

x của phương trình (2.19) Hơn nữa ta có đánh giá

Suy ra toán tử B thỏa mãn điều kiện Lipschitz

B thỏa mãn điều kiện đơn điệu và liên tục Lipschitz do đó phương trình (2.19) có nghiệm duy nhất

2.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển theo tham số

Thực hiện N-1 phép thay biến

m 1 1 AF1 1F2 1 F 1N 1 m f

N

Với 0 cho tùy ý

Sau đó ta giải phương trình (2.22) bằng công thức xấp xỉ của phép lặp đơn tìm được nghiệm vv1, ,v n

Tiếp tục quá trình trên ta tìm được nghiệm yy1, ,y n và thay vào phương trình (2.2.3) ta tìm được nghiệm xx1, ,x n

Bây giờ ta mô tả algoritm giải phương trình trên Giả sử hằng số Lipschitz

là L và L<2 Trong trường hợp này ta có thể lấy N =2 khi đó

21

Mỗi lần muốn tìm

1 1

m

nm

y G y

0.25 0.3 0.2

123

0.5 1 0.252

Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình (2.30)

Nghiệm y ( ,y y y1 2, 3) có thể tìm bằng công thức xấp xỉ của phép lặp đơn

3

n n n

0.5 1 0.252

0.25 0.3 0.2

n n n

(2.32) Nghiệm xấp xỉ của (2.32) có thể tìm bằng phép lặp

0.5 1 0.252

x x x

Tiếp tục quá trình lặp dãy này ta được nghiệm gần đúng của hệ

Nghiêm xấp xỉ của hệ phương trình là: (-0.2654; 0.9177; -3.4453)

2.3 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình phi tuyến trong không gian n

Xét phương trình phi tuyến trong n

, ( )F x 0 trong đó

2.3.2 Định lý tồn tại nghiệm của phương trình (2.33)

Giả sử toán tử B tác động trong không gian n

với

1 1

1

( , , ) ( )